Luận văn Thạc sỹ: Dùng hình học cao cấp để xây dựng hệ thống bài tập hình học sơ cấp nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh chuyên toán THPT

luận văn trình bày một số hướng khai thác hình học cao cấp xây dựng hệ thống bài tập hình học sơ cấp, dùng toán cao cấp soi sáng toán sơ cấp

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa của đất nước ta hiện nayviệc phát triển lực lượng lao động khoa học, kỹ thuật chất lượng cao đang làvấn đề được quan tâm hàng đầu Hơn lúc nào hết, việc phát hiện và bồi dưỡngnhân tài cho đất nước được coi là quốc sách Vấn đề này được thể hiện qua

các nghị quyết số 14/NQTƯ (11/1979) và đặc biệt là Hiến pháp nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam (1992, Điều 66, Điều 72) đã trực tiếp đề cập

đến việc phát triển các trường đào tạo tài năng, đặc biệt là tài năng trẻ

Hội nghị lần IV BCHTƯ Đảng khóa VII (1/1993) đã ra nghị quyết về

"Tiếp tục đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo", nêu rõ bốn quan điểm chỉ đạo

của Đảng, trong đó có quan điểm thứ hai trực tiếp đề cập đến việc "nâng cao

dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài".

Nghị quyết Đại hội IX của Đảng khẳng định: "Con đường công nghiệp

hóa, hiện đại hóa của nước ta cần và có thể rút ngắn thời gian so với các nước đi trước, vừa có những bước tuần tự, vừa có những bước nhảy vọt về khoa học và công nghệ, bước nhảy vọt về dân trí, nhân lực, nhân tài cùng với

cơ sở cần thiết, được đào tạo nên bởi một trong những yếu tố quyết định là giáo dục và đào tạo".

Trong phần hai của Văn kiện hội nghị lần thứ IX của BCHTƯ khóa IX

có viết: "Bộ chính trị ra nghị quyết về công tác quy hoạch cán bộ, trong đó

cần nhấn mạnh việc phát triển, tuyển chọn, đào tạo, bồi dưỡng và sử dụng tài năng".

Đào tạo nhân tài là một trong những mục tiêu quan trọng nhất củangành giáo dục, mà các trường chuyên là một trong những mũi nhọn tiênphong trong quá trình đào tạo nhân tài cho đất nước Qua 42 năm tồn tại vàphát triển, các trường chuyên đã có những đóng góp to lớn Tuy nhiên, bêncạnh đó còn có rất nhiều hạn chế Cụ thể, chúng ta thấy hiện nay ở các trườngchuyên đang đi theo con đường "luyện thi", "luyện gà chọi", đánh giá chất

lượng nặng về thành tích thi học sinh giỏi nên quên đi mục tiêu lâu dài, mụctiêu mang tính chất chiến lược, đó là phát triển và bồi dưỡng năng lực của họcsinh giúp những học sinh năng khiếu trở thành những tài năng cho đất nước.

Trong hệ thống các lớp chuyên toán THPT của nước ta hiện nay đanggặp nhiều khó khăn, bất cập, trong đó việc chưa có một bộ sách giáo khoadành riêng cho các lớp chuyên toán là một khó khăn không nhỏ Tài liệu màcác giáo viên giảng dạy chủ yếu là do giáo viên tự biên soạn dựa theo khunghướng dẫn của Bộ giáo dục và đề thi học sinh giỏi các năm

Mặc dù các lớp chuyên toán có ý nghĩa vô cùng to lớn trong việc đàotạo nhân tài cho đất nước nhưng chưa có một đội ngũ các chuyên gia nghiêncứu và viết sách giáo khoa cho học sinh, đồng thời các giáo viên giảng dạycũng chưa chú trọng vấn đề này

Mặt khác, hướng dùng toán cao cấp soi sáng toán sơ cấp để xây dựngchuyên đề dạy học sẽ phát huy được năng lực giải toán cho học sinh nhưngchưa được quan tâm nghiên cứu một cách đầy đủ, toàn diện

Vì các lí do trên nên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu là

Dùng hình học cao cấp xây dựng hệ thống bài tập về tứ diện trực tâm

và bài toán "con bướm" giúp giáo viên bồi dưỡng năng lực giải toán cho họcsinh chuyên toán THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận về quá trình dùng hình học cao cấp soi sánghình học sơ cấp

- Nghiên cứu thực trạng quá trình dạy học ở chuyên toán THPT

- Xây dựng hệ thống bài tập về tứ diện trực tâm và bài toán "conbướm".

- Đề xuất một số biện pháp nhằm giúp giáo viên bồi dưỡng năng lựcgiải toán cho học sinh chuyên toán THPT

4 Giả thuyết khoa học

Nếu dùng hình học cao cấp xây dựng hệ thống bài tập về tứ diện trựctâm và bài toán "con bướm" góp phần giúp giáo viên bồi dưỡng năng lực giảitoán cho học sinh chuyên toán THPT hiệu quả

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu khai thác tài liệu về lí luận dạy học môn Toán ở trườngphổ thông

- Nghiên cứu khai thác tài liệu về bồi dưỡng năng lực giải toán cho họcsinh khá giỏi

- Nghiên cứu chương trình hình học cao cấp ở bậc đại học và hình học

sơ cấp dành các lớp chuyên toán THPT

5.2 Phương pháp điều tra quan sát

- Điều tra thực trạng giảng dạy của giáo viên và học tập của học sinhtrước và sau thử nghiệm

- Quan sát việc học tập của học sinh liên quan đến luận văn

- Thu thập kết quả thực tế của học sinh làm cơ sở thực tiễn để đưa ra hệthống bài tập phù hợp có tính khả thi dành cho đối tượng học sinh chuyêntoán khối 11

- Đánh giá kết quả thử nghiệm

5.3 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

- Thống kê số liệu sau thử nghiệm của lớp thử nghiệm

- Lấy ý kiến đánh giá tham khảo của giáo viên trực tiếp giảng dạy đểđiều chỉnh luận văn cho phù hợp với thực tiễn dạy học phần chuyên đề đượcxây dựng

6 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Lí thuyết về phần đơn hình trực tâm và cáctính chất liên quan, bài toán "con bướm" đối với siêu mặt bậc hai

- Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học hình học ở các lớp chuyêntoán THPT

7 Phạm vi nghiên cứu

Học sinh và giáo viên trường chuyên Lam Sơn - Thanh hóa

8 Cấu trúc luận văn

Phần 1: Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Giả thuyết khoa học

5 Phương pháp nghiên cứu

6 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

7 Phạm vi nghiên cứu

8 Cấu trúc luận văn

Phần 2: Nội dung

Chương 1- Cơ sở lí luận

Chương 2- Dùng hình học cao cấp soi sáng hình học sơ cấp

Chương 3- Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh chuyên toánTHPT, thông qua việc giải bài tập hình học Thử nghiệm sư phạm

Phần 3: Kết luận

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN1.1 Lí luận về năng lực giải toán của học sinh

1.1.1 Năng lực (ability)

Khái niệm năng lực đã từ lâu được rất nhiều nhà giáo dục học quantâm, nghiên cứu và cũng có rất nhiều cách quan niệm về khái niệm này.Chẳng hạn như

Theo Từ điển Tiếng Việt 1995 NXB Đà Nẵng

Theo Từ điển Giáo dục (NXBGD):

Năng lực, khả năng được hình thành hoặc phát triển, cho phép một conngười đạt thành công trong một hoạt động thể lực, trí tuệ hoặc nghề nghiệp

Năng lực được thể hiện vào khả năng thi hành một hoạt động, thực hiệnmột nhiệm vụ Năng lực chỉ có hiệu quả khi nó được chứng minh Trongtrường hợp ngược lại nó chỉ là giả định hoặc không có thực

Năng lực có thể bẩm sinh hoặc do rèn luyện mà chiếm lĩnh được Nóphát triển bởi kinh nghiệm hoặc bởi việc học tập phù hợp với tính riêng biệtcủa cá nhân

Năng lực được coi như khả năng của con người khi đối mặt với nhữngtình huống mới, gợi lại được những tin tức và những kỹ thuật đã được sửdụng trong những thực nghiệm trước đây

Hiện nay trên thế giới vẫn chưa có một định nghĩa thống nhất về năng

lực PGS.TS Trần Thúc Trình trong cuốn "Tư duy và hoạt động toán học" đã

viết một số định nghĩa về năng lực như sau:

"Ở Hoa Kỳ định nghĩa được sử dụng rộng rãi nhất (theo nghĩa có nhiềutài liệu đề cập và nhiều hệ thống trường học công nhận để hướng dẫn hànhđộng của mình) là định nghĩa của Sidney Marlan: "Trẻ em có năng khiếu vàtài năng là những trẻ em có những năng lực nổi bật, có khả năng đạt đượcnhững thành tích cao đã qua thẩm định của các nhà chuyên môn giỏi Đó lànhững trẻ em đòi hỏi một chương trình giáo dục chuyên biệt hay được giáodục với nội dung vượt xa chương trình học bình thường, để có những đónggóp cho bản thân và xã hội Những trẻ em có tiềm lực cho những thành tíchcao trong một hay một số mặt sau:

- Năng lực trí tuệ chung

- Năng khiếu hàn lâm riêng biệt

- Tư duy sáng tạo hay phát triển

Nói chung năng khiếu là phải có thành phần sáng tạo, đó là quan điểmđược nhất trí bởi Gakkagher và Weiss (1979) – hai ông đã có nhiều cố gắngtổng kết những đặc trưng của trẻ em có óc sáng tạo: đó là những em bé cónăng lực nổi bật trong khái quát, nhìn nhận, trình diễn hay mô tả tư tưởngmới, quan điểm mới hay sản phẩm mới

Các nhà triết học duy vật cho rằng:

Con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất khácnhau Tố chất là cơ sở tự nhiên ban đầu của năng lực, còn chưa được phát

triển và chỉ được bộc lộ ra trong hành động, đó chính là những tính chất giảiphẫu sinh lí C Mác chỉ ra rằng:

"Con người là một thực thể tự nhiên, lại là một thực thể tự nhiên sống, con người một mặt đước phú cho những sức lực tự nhiên, những sức lực sống, trong khi vẫn là một thực thể tự nhiên hoạt động, những sức lực ấy tồn tại trong con người ở dạng những tố chất và năng lực, dưới dạng những đam mê Tuy nhiên những sức lực tự nhiên ấy cần có môi trường thuận lợi mới phát triển được nếu không sẽ bị thui chột".

Muốn phát triển các tố chất phải kiên trì lao động "Thiên tài đó là 1%

hứng khởi và 99% mồ hôi" (Gioocgiơ Bupphông - Pháp, thể kỷ XVIII)

([36], tr 48)

Nhà tâm lí học Xô- viết V.A Kơrutecxki cho rằng:

- Khi nói đến năng lực tức là nói đến năng lực trong một loại hoạt độngnhất định của con người Nó chỉ tồn tại một loại hoạt động nhất định, vì vậychỉ trên cơ sở phân tích loại hoạt động đó mới thấy được biểu hiện của nănglực

- Năng lực là một cái gì động: Nó không những chỉ thể hiện và tồn tạitrong hoạt động tương ứng mà nó còn được tạo nên trong hoạt động và pháttriển hoạt động

- Trong các thời kỳ phát triển riêng biệt xác định của con người thì xuấthiện các điều kiện thích hợp nhất cho việc hình thành và phát triển các loạinăng lực riêng biệt

- Kết quả của hoạt động thường phụ thuộc vào một lớp tổ hợp năng lực.([15])

Nghiên cứu về lý thuyết năng lực của các tác giả đã nêu trên có thể hiểu năng lực, khả năng được hình thành và phát triển cho phép con người đạt được thành công trong một hoạt động nào đó Năng lực tiềm ẩn ở mỗi con người nếu không có môi trường thuận lợi để nó phát triển thì năng lực sẽ

bị thui chột Năng lực của mỗi con người là khác nhau, có người năng lực cao đó là những thiên tài hay những người có năng khiếu.

1.1.2 Lí luận về năng lực toán học

Năng lực nói chung chỉ tồn tại trong hoạt động, nói riêng năng lực toánhọc chỉ tồn tại trong hoạt động toán học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt độngtoán học mới thấy được biểu hiện năng lực toán học Năng lực toán học cũng

ở trạng thái động, nó hình thành và phát triển trong hoạt động toán học theotừng thời kỳ, có thời kỳ thích hợp nhất cho việc hình thành và phát triển nănglực toán học, thường vào lứa tuổi 12, 13, 14 Cũng thường xảy ra các tổ hợpnăng lực toán học với triết học, toán học với ngoại ngữ

a) Năng lực toán học

Được hiểu theo hai ý nghĩa, hai mức độ:

Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với

việc học toán, đối với việc nắm giáo trình toán học ở trường phổ thông, nắmmột cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học) tức là năng lực đối

với hoạt động sáng tạo toán học tạo ra những kết quả mới, khách quan có mộtgiá trị lớn đối với loài người" ([15], tr13)

Bộ óc con người có thiên hướng tách từ môi trường xung quanh nhữngkích thích loại quan hệ không gian, quan hệ số lượng, quan hệ lôgic và cóthiên hướng làm việc hiểu quả với các kích thích thuộc loại đó

Khuynh hướng toán học của trí tuệ đặc trưng cho những người có nănglực toán học là thường tri giác nhiều hiện tượng qua lăng kính của các quan

hệ toán học, thường nhận thức các hiện tượng đó trên phương diện toán học

b) Theo sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toán học ở lứa tuổi học sinh

Theo Khinsin thì năng lực toán học thể hiện ở những nét sau:

- Suy luận theo sơ đồ lôgic

- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích

- Trí tưởng tượng hình học hay trực giác hình học.

- Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bước đã được phân chia một cáchđúng đắn kế tiếp nhau, đặc biệt hiểu và có kỹ năng vận dụng đúng đắn quynạp toán học là tiêu chuẩn của sự trưởng thành lôgic hoàn toàn cần thiết đốivới nhà toán học

Theo Kơrutecxki thì cấu trúc của năng lực toán học bao gồm những thành phần sau:

- Thu nhận thông tin toán học: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệutoán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán

- Chế biến thông tin toán học:

+ Năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực quan hệ số lượng và không gian,

hệ thống ký hiệu số và dấu Năng lực tư duy bằng kí hiệu toán học

+ Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ toánhọc và các phép tính, phép toán

+ Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phéptoán tương ứng Năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn

+ Tính linh hoạt mềm dẻo của quá trình tư duy trong hoạt động toánhọc

+ Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm, hợp lí củalời giải

+ Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá

trình tư duy thuận sang tư duy đảo (trong suy luận toán học).

- Lưu trữ thông tin toán học: Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát về các

quan hệ toán học đặc điểm về loại, sơ đồ, suy luận và chứng minh; phương pháp giải toán; nguyên nhân tắc đường lối giải toán).

- Thành phần tổng hợp khái quát hóa

- Khuynh hướng toán học của trí tuệ

Các thành phần nêu ở trên quan hệ biện chứng với nhau hợp thành một

hệ thống duy nhất, một cấu trúc toàn vẹn của năng lực Ngoài ra, trong cấutrúc năng lực còn có thể có các thành phần không bắt buộc như:

+ Tốc độ của quá trình tư duy

+ Năng lực tính toán

+ Trí nhớ về chữ số, số, công thức

+ Năng lực tưởng tượng không gian

+ Năng lực biểu diễn trực quan các quan hệ và phụ thuộc toán học trừutượng

Phân tích sơ đồ cấu trúc của năng lực toán học ta có thể chú ý rằng một

số yếu tố xác định trong đặc điểm của các mặt tri giác, tư duy, trí nhớ củahoạt động toán học có một ý nghĩa chung Chẳng hạn, việc tri giác hình thứchóa bài toán đó là một sự tri giác được khái quát hóa, tắt, linh hoạt; trí nhớtoán học đó là một trí nhớ về các hệ thống khái quát, tắt và linh hoạt Nếu như

ta nói đến việc tri giác hình thức hóa (khái quát) bài toán, thì cũng có thể nóiđến việc giải hình thức hóa (khái quát) và đến việc ghi nhớ hình thức hóa(khái quát) Vì vậy, sơ đồ triển khai của cấu trúc năng lực có thể biểu thị bằng

một công thức cô đọng hơn: Năng lực toán học được đặc trưng bởi tư duy

khái quát, gọn, tắt và linh hoạt trong lĩnh vực các quan hệ toán học, hệ thống các ký hiệu số, dấu và bởi khuynh hướng toán học của trí tuệ.

Đặc điểm của tư duy toán học dẫn đến việc tăng cường tốc độ chế biếnthông tin toán học Điều này liên quan đến việc thay thế một khối lượng thông

tin lớn bởi một khối lượng thông tin nhỏ do khái quát hóa và suy luận gọn, tắt

và vì vậy liên quan đến việc tăng cường tiết kiệm sức lực của trí tuệ

Các năng lực đã nêu biểu hiện với các mức độ khác nhau ở các em họcsinh giỏi , khá, trung bình, yếu Ở các em có năng khiếu, các em giỏi thì cácmối liên tưởng khái quát, tắt, linh hoạt, ngược và hệ thống trên tài liệu toánhọc được tạo thành ngày tức khắc, sau đó một số ít bài tập Ở các em kém thìmối liên tưởng đó được tạo thành một cách hết sức khó khăn Ở các em trungbình thì muốn hình thành dần dần các mối liên tưởng đó cần phải có cả một

hệ thống bài tập, cần phải có sự rèn luyện Chính vì vậy, người giáo viên cầnđánh giá năng lực toán học của học sinh một cách đúng đắn để có thể giúp đỡhọc sinh học toán tốt hơn

Những chỉ tiêu năng lực toán học cơ bản của UNESCO Paris (1973):

- Năng lực phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phéptoán, các khái niệm

- Năng lực tinh nhanh và cẩn thận, sử dụng đúng các kí hiệu

- Năng lực dịch chuyển các dữ kiện thành kí hiệu

- Năng lực biểu diễn các dữ kiện, ẩn, các điều kiện ràng buộc giữa ẩn

và các dữ kiện thành kí hiệu

- Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh

- Năng lực xây dựng một chứng minh

- Năng lực giải một bài toán đã toán học hóa

- Năng lực giải một bài toán chưa toán học hóa (toán có lời văn)

- Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể áp dụng

để giải

- Năng lực khái quát hóa toán học

1.1.3.Lí luận về năng lực giải toán của học sinh

a) Năng lực giải toán của học sinh

Năng lực giải toán của học sinh là một biểu hiện của năng lực toán học,

có thể hiểu:

Năng lực giải toán của học sinh là những đặc điểm tâm lí cá nhân đáp ứng cao yêu cầu lĩnh hội tri thức, có khả năng huy động các kiến thức, các kỹ năng khoa học, các thủ pháp nhận thức, các cách giải quyết vấn đề trong hoạt đông giải toán, hướng đến việc tạo ra các phẩm chất tư duy có tính mới

mẻ có giá trị với bản thân học sinh.

Học sinh có năng lực giải toán, tức là khi cho biết đề bài toán học sinhtức thì có thu nhận thông tin toán học của bài toán, chế biến các thông tin đó,huy động trí nhớ toán học tìm ra phương pháp giải bài toán đó đồng thời cũnglưu trữ thông tin đó sau khi đã tổng hợp khái quát hóa

Theo G Pôlya học sinh có năng lực giải toán tức là phải biết giải toán,không chỉ những bài toán thông thường mà cả những bài toán đòi hỏi tư duyđộc lập nhất định, có óc phán đoán, tính độc đáo, sáng tạo

b) Năng lực giải toán hình học của học sinh phổ thông

Theo Ăng-ghen "Đối tượng của toán học thuần túy là những hình dạng

không gian và những quan hệ số lượng của thế giới khách quan".

Thực tiễn cho thấy môn hình học nói riêng và môn toán nói chungkhông chỉ cung cấp cho những kiến thức mà nó còn giúp học sinh phát triểnnăng lực trí tuệ chung Do tính trừu tượng cao của hình học nên nó có thểgiúp rất nhiều cho việc rèn luyện ở học sinh óc trừu tượng Do tính chính xáccao, lập luận lôgic chặt chẽ, hình học có khả năng phong phú dạy cho họcsinh tư duy hợp lôgic và tư duy biện chứng Việc tìm cách chứng minh haygiải một bài toán hình học có tác dụng lớn trong việc rèn luyện cho học sinh

tư duy sáng tạo, rèn cho học sinh phương pháp khoa học trong suy nghĩ, biếtgiải quyết vấn đề bằng phân tích tổng hợp, so sánh, khái quát hóa Từ đó họcsinh phát triển phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo

Vậy năng lực giải toán hình học của học sinh được hiểu là: Năng lực

giải toán hình học của học sinh là những đặc điểm tâm lí các nhân, đáp ứng yêu cao yêu cầu lĩnh hội tri thức hình học, có khả năng huy động kiến thức,

kỹ năng khoa học, các thủ pháp nhận thức, các cách thức giải quyết vấn đề

trong hoạt động giải bài toán hình học hướng đến việc tạo ra sản phẩm tư duy có tính mới mẻ có giá trị với bản thân học sinh.

Có thể hiểu một cách gọn hơn: "Học sinh có năng lực giải toán hình học

tức là có khả năng giải các bài tập hình học theo lược đồ của G Pôlya".

Học sinh có năng lực giải toán hình học khi cho biết đề bài toán hìnhhọc thể hiện ngay năng lực giải toán Có thể vẽ hình đúng, chính xác, rõ ràngvới những bài cần vẽ hình, với những bài toán chứng minh hình học biết rõgiả thiết và kết luận Sau đó có thể tìm ngay ra cách chứng minh bài toán Từbài toán đó lại có thể chứng minh hoặc làm thêm câu hỏi hoặc khái quát hóa,tương tự, Với các bài toán quỹ tích hay dựng hình học sinh cũng có thể giải

và làm rõ các trường hợp đặc biệt, biện luận bài toán

Học sinh có năng lực giải toán ở THPT cũng vậy, các em biết tìm cáchgiải và trình bày lời giải bài toán hình học rõ ràng sáng sủa

Một vấn đề đặt ra là khi dạy hình học ở THPT, đặc biệt là lớp 11, làmthế nào để biết một học sinh có năng lực giải toán hình học? Theo chúng tôihọc sinh đó có thể

+ Giải nhanh các bài tập hình học

+ Nghĩ ra nhiều cách giải khác nhau cho cùng một bài toán hình học.+ Nghĩ ra những khả năng vẽ hình và trình bày lời giải bài toán hìnhhọc tốt

+ Ít mệt mỏi trong những giờ học hình học, ngược lại còn ham mê,hứng thú

1.1.4 Các yêu cầu rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THPT

a) Mục đích dạy học Toán trong nhà trường phổ thông

Theo [44] dạy học Toán trong nhà trường phổ thông nhằm giúp họcsinh lĩnh hội và phát triển một hệ thống kiến thức, kỹ năng thói quen cần thiếtcho:

- Cho cuộc sống hàng ngày với những đòi hỏi đa dạng của cá nhân, củagia đình, trong cộng đồng

- Tiếp tục học tập, tìm hiểu Toán học dưới bất kỳ hình thức nào củagiáo dục thường xuyên.

- Hình thành và phát triển các phẩm chất tư duy cần thiết của một conngười có học vấn trong xã hội hiện đại (tư duy lôgic, thuật giải, hình tượng…)cùng những phẩm chất và thói quen khác như đầu óc suy lí, tính chính xác,…

- Hình thành và phát triển vốn ngôn ngữ và nắm vững công cụ Toánhọc trong việc giải quyết các vấn đề có yêu cầu sử dụng trực tiếp các phươngpháp toán học

- Góp phần quan trọng trong việc hiện thực hóa khả năng hình thànhthời gian khoa học qua Toán học, hiểu được bức tranh toàn cảnh của khoa họccũng như năng lực hình thành một số phẩm chất khác

- Hiểu rõ nguồn gốc thực tiễn của Toán học và vai trò của nó trong quátrình hình thành và phát triển văn hóa, văn minh nhân loại cùng với nhữngtiến bộ của khoa học, kỹ thuật

b) Yêu cầu nhiệm vụ môn toán ở trường phổ thông

Xuất phát từ mục tiêu của nhà trường XHCN, từ đặc điểm và vị trí môntoán, việc dạy học môn này có nhiệm vụ sau ([20], tr 6):

- Truyền thụ tri thức, kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán họcvào thực tiễn

` - Phát triển năng lực trí tuệ chung

- Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ

- Đảm bảo chất lượng phổ cập đồng thời chú trọng phát hiện và bồidưỡng năng khiếu về toán

c) Một số năng lực khi giải toán

Kiến thức là cơ sở của năng lực, do đó tùy theo nội dung kiến thứctruyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng, năng lựctương ứng Con đường đi từ chỗ có kiến thức đến chỗ có kỹ năng, năng lực làcon đường luyện tập bằng hoạt động, nội dung của sự luyện tập hay nhữnghoạt động tương ứng rất phong phú

Một số kỹ năng, năng lực cần thiết khi giải toán ở THPT

- Năng lực tính toán: Năng lực tính toán là một trong những năng lực

cơ bản của việc học toán ở trường phổ thông Trong thực tế đời sống, trongsản xuất, kỹ thuật, đâu cũng đòi hỏi năng lực tính toán: tính nhanh, tínhđúng, tính hợp lí Nên cần rèn luyện, phát triển cho học sinh năng lực tínhtoán

- Năng lực khám phá và lĩnh hội những quy tắc, phương pháp:

+ Những quy tắc, phương pháp có tính thuật toán:

Ví dụ: Thuật toán giải phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhất

hai ẩn

Tuy có những quy tắc thể hiện phần nào nhưng không hoàn toàn yêucầu chặt chẽ của khái niệm thuật toán mà ta gọi là quy tắc mang tính chấtthuật toán

Ví dụ: Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

+ Những quy tắc, phương pháp mang tính chất phi thuật toán

Ví dụ: Quy trình tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

1- Tìm điểm chung sẵn có của hai mặt phẳng

1.1- Tìm điểm chung trong các điểm đã cho của hai mặt phẳng,

1.2- Tìm điểm đã cho của mặt phẳng này thuộc đường thẳng của mặtphẳng kia,

1.3- Tìm điểm đã cho của mặt phẳng này thuộc mặt phẳng kia

Sau 1.1, 1.2, 1.3 nếu tìm được hai điểm chung phân biệt thì đườngthẳng đi qua hai điểm phân biệt đó là giao tuyến cần tìm Nếu chưa có haiđiểm chung phân biệt thì thực hiện 2

2- Tìm điểm chung chưa có sẵn của hai mặt phẳng (P), (Q)

2.1- Tìm một đường thẳng d thuộc (P) và một đường thẳng d' thuộc(Q), d và d' cùng thuộc một mặt phẳng thứ ba (R)

Nếu tìm được d thuộc (P) (như trên) thì giao điểm của d và d' Nếu cógiao điểm thì đó là một điểm chung của (P) và (Q),

Nếu không có giao điểm thì giao tuyến (nếu có) của (P) và (Q) songsong với d.

2.2- Tìm một mặt phẳng (R) cắt cả (P) lẫn (Q)

Nếu tìm được thì xác định hai giao tuyến (của (P) và (R), của (Q) và(R)), rồi xác định giao điểm của hai giao tuyến đó Nếu có giao điểm thì đó làmột điểm chung của (P) và (Q) Nếu không có giao điểm thì giao tuyến (nếucó) của (P) và (Q) sẽ song song với hai giao tuyến đó

- Năng lực vẽ hình và tính toán trên các hình

- Năng lực vận dụng các kiến thức để giải bài toán (suy luận, chứngminh, vận dụng kiến thức toán học để giải quyết vấn đề thích hợp trong đờisống) và trình bày lời giải rõ ràng và chính xác

- Năng lực chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch

- Năng lực hoạt động tư duy hàm

- Năng lực toán học hóa các tình huống thực tiễn

- Năng lực tự kiểm tra, tự đánh giá, trình bày lời giải và tránh sai lầmkhi giải toán

1.2 Ý nghĩa của bài tập toán trong dạy học môn toán

Dạy học giải bài tập toán có tầm quan trọng đặc biệt và từ lâu đã là mộttrong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học toán ở trường phổthông Đối với học sinh THPT và đặc biệt là các lớp chuyên toán THPT, cóthể coi việc giải bài tập toán là một hình thúc chủ yếu của việc học toán Việcgiải bài toán có nhiều ý nghĩa:

- Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức

và rèn luyện kỹ năng Trong nhiều trường hợp, giải bài toán là một hình thức

để dẫn dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới

- Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn

đề cụ thể, vào thực tế, vào các vấn đề mới

- Đó là một hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra được năng lực họcsinh và học sinh tự kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiếnthức đã học.

- Việc giải bài toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập cho học sinh,phát triển trí tuệ và giáo dục rèn luyện cho con người về rất nhiều mặt

Với ý nghĩa quan trọng như trên, trong việc lựa chọn hệ thống bài tậptoán và hướng dẫn học sinh giải toán, người giáo viên cần phải chú ý đầy đủđến tác động nhiều mặt của bài tập toán ([2])

1.3 Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh chuyên toán THPT

Để bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh chuyên toán THPT ngườigiáo viên cần sử dụng tối ưu các phương pháp dạy học trong quá trình dạygiải toán cho học sinh Do vậy, ở đây chúng tôi đưa ra một số biện pháp bồidưỡng năng lực giải toán cho học sinh phổ thông chuyên toán

1.3.1 Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh

a) Cơ sở lí luận để xây dựng các biện pháp nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh chuyên toán THPT

* Những cơ sở của tâm lí học và giáo dục học:

Quá trình dạy học được tiến hành bằng sự phối hợp giữa hoạt động dạycủa thầy giáo và hoạt động học của học sinh, cho nên các biện pháp sư phạmphải thông qua hoạt động dạy tác động vào hoạt động học của học sinh, làmcho học sinh có "động cơ hoàn thiện tri thức" Bản chất của hoạt động học làquá trình tự tổ chức, tự điều khiển, điều chỉnh hoạt động nhận thức của mình,đồng thời người chủ động trong hoạt động học Mặt khác, nhân cách của họcsinh trong đó có kết quả trí dục, chính là chất lượng sản phẩm mà nhà trườngđào tạo cho xã hội Vì vậy, cần chú ý đến hoạt động học, các biện pháp tậptrung vào phát triển các hoạt động học, các biện pháp tập trung vào tăngcường các hoạt động nhằm bồi dưỡng, nâng cao năng lực giải toán cho họcsinh (năng lực nhận thức, năng lực thực hành, năng lực tổ chức hoạt động,năng lực tự kiểm tra, đánh giá)

* Lí luận về phương pháp dạy học bộ môn toán:

Theo [2] và [20], phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông phảiluôn gắn liền với việc truyền thụ tri thức, kỹ năng với việc giáo dục rèn luyệncon người, với việc bồi dưỡng và phát triển năng lực của học sinh

Căn cứ vào nhiệm vụ của việc dạy học bộ môn: bên cạnh việc truyềnthụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng thực hành toán học, học sinh còn phải rènluyện năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn, cụ thể là trau dồi cho họcsinh khả năng vận dụng những hiểu biết toán học vào việc học tập các mônhọc khác, vào thực tiễn cuộc sống Do đó, cần thiết xây dựng các biện phápnhằm rèn luyện các kỹ năng giải toán cho học sinh nhằm bồi dưỡng, nâng caonăng lực giải toán, góp phần thực hiện nhiệm vụ dạy học bộ môn Các biệnpháp này được dựa trên quan điểm hoạt động với 4 tư tưởng chủ đạo([20],tr73):

- Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt độngthành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học

- Gây động cơ học tập và tiến hành hoạt động

- Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phương pháp nhưphương tiện và kết quả hoạt động

- Phân bậc hoạt động làm chỗ dựa cho việc điều khiển quá trình dạyhọc

b) Nội dung biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh chuyên toán THPT

Theo các yêu cầu rèn luyện, nâng cao năng lực giải toán cho học sinhtrên cơ sở lí luận tâm lí học và giáo dục học đã trình bày ở trên: Biện pháp bồidưỡng năng lực thực hành cho học sinh nói chung và bồi dưỡng năng lực giảitoán cho học sinh nói riêng phải nhằm vào việc biến kiến thức và kỹ năng cơbản trong từng phần kiến thức một thành kiến thức và kỹ năng cơ bản tổnghợp, hoàn chỉnh chuẩn bị cho mọi hoạt động học tâp, lao động nghề nghiệp

cho cả cuộc sống theo tinh thần giáo dục kỹ thuật tổng hợp và hướng nghiệpdạy nghề qua môn toán ở trường phổ thông.

Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán chủ yếu được đề nghịtheo phương châm chỉ đạo trên:

* Biện pháp 1: Trang bị đầy đủ các kiến thức về môn toán.

Để đảm bảo cho việc học tập môn toán được tốt, trước hết cần đảm bảocho học sinh nắm vững và có hệ thống các kiến thức trong chương trình Từ

đó người thầy giáo chọn lọc các kiến thức và kỹ năng từ cơ bản đến nâng cao,

từ đơn giản đến phức tạp để dạy cho học sinh, sao cho đảm bảo 50% đến 75%thời gian cho luyện tập kỹ năng

* Biện pháp 2: Trang bị các tri thức về phương pháp toán:

- Dạy giải bài tập toán có nêu giả thiết, kết luận, không thỏa mãn khitìm được cách giải mà phải tìm được cách giải ngắn gọn nhất

- Dạy cách giải bài tập toán, cách suy luận, phân tích ra những bài toánnhỏ quen thuộc, Dạy tập dượt tìm tòi, phát hiện, sáng tạo theo con đườngsuy đoán, suy diễn

Đặc biệt, đối với những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải, giáoviên cần hướng học sinh cách suy nghĩ, cách tìm lời giải Qua đó trang bị chohọc sinh một số tri thức về phương pháp giải toán Thông qua dạy học một sốbài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức kinh nghiệmtiến tới linh hoạt trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán, hình thànhphương pháp giải một lớp các bài toán dạng quen thuộc Bản gợi ý của G.Pôlya về phương pháp tìm lời giải (thường được tìm theo 4 bước):

B1: Tìm hiểu đề bài toán,

B2: Xây dựng chương trình giải,

B3: Thực hiện chương trình giải,

B4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.

Như vậy, để bồi dưỡng cho học sinh chuyên toán THPT chúng tôi cầndạy cho học sinh giải toán dựa trên bảng hướng dẫn giải toán của G.Pôlyatheo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề.

1.3.2 Phương pháp tìm lời giải

Theo lí luận của các nhà khoa học V.M Bradixơ, Fanghaenel,

Faorekhop, G.Pôlya, Phạm Văn Hoàn, Đỗ Trung Hiếu, có thể hiểu:"Giải bài

toán tức là tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới mục đích của bài toán Đó là một quá trình tìm tòi, sáng tạo, huy động kiến thức -

kỹ năng - thủ thuật và các phẩm chất của trí tuệ để giải quyết bài toán đã cho"

([33])

Xuất phát từ đặc điểm các bài toán bậc phổ thông (tính vừa sức, tínhkết quả, tính liên thông môn đồng bộ thống nhất và tính phát triển) tiến trìnhgiải một bài toán (gọi tắt là TTGT) được hiểu là một quá trình lao động phátminh của học sinh (theo nghĩa sáng tạo tái tạo) để chiếm lĩnh tri thức mới

"đồng hóa- điều tiết thích nghi với môi trường có dụng ý sư phạm cùng vớicác tính huống học tập lí tưởng được tạo ra" ([20], tr 225, 226, 227)

Phân tích - tổng hợp các quan niệm TTGT của G Pôlya: Các nhà khoahọc GS.TSKH Nguyễn Bá Kim, GS.TSKH Phạm Văn Hoàn, Hoàng Chúng,Nguyễn Thái Hòe đi đến nhận định chung:

+ Có thể thiết kế một TTGT (một algôrít tổng quát) theo các bước cơbản (tập hợp các thao tác trí tuệ)

+ TTGT phải tương thích với hệ thống giáo dục hiện hành: chươngtrình SGK và đặc thù bậc học

+ TTGT phải phát huy được năng lực sáng tạo - năng lực giải quyết vấn

đề của học sinh trong dạy học giải toán

+ TTGT đảm bảo được tính khả thi, chất lượng và hiệu quả ([33])

Căn cứ vào tiến trình giải toán gồm 4 bước của G.Pôlya, nhiều giáoviên đã đạt kết quả cao khi dạy học sinh TTGT theo hướng phát hiện và giảiquyết vấn đề theo các bước sau:

Bước 1: Tìm hiểu đề bài toán,

Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán,

Bước 3: Thực hiện chương trình giải bài toán,

Bước 4: Kiểm tra tiến trình giải toán, nghiên cứu lời giải.

a) Tìm hiểu bài toán

Để hiểu một bài toán, trước hết phải hiểu đề bài toán và hơn nữa cònphải có hứng thú giải bài toán đó Vì vậy, điều đầu tiên người thầy giáo cầnchú ý hướng dẫn học sinh giải toán là khêu gợi trí tò mò lòng ham muốn giảitoán của học sinh, giúp học sinh hiểu bài toán phải giải

Thực chất của bước "tìm hiểu bài toán" là tiếp nhận bài toán, tri giácvấn đề hay là giai đoạn chuẩn bị của quá trình sáng tạo

+ Tạo tâm lí hứng thú giải toán, khêu gợi trí tò mò, gợi mở trí sáng tạo,lòng ham muốn và khát vọng giải bằng được bài toán, tạo môi trường có dụng

ý sư phạm cùng các tình huống học tập lí tưởng

+ Hiểu và phân tích bài toán, nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khácnhau biểu diễn hình học hoặc đồ thị, biểu thức đại số, đối với từng loại bàitoán Tránh thói quen không tốt của một số học sinh là đi ngay vào các chitiết Cần tách ra những yếu tố chính của bài toán, xem xét các yếu tố chínhnhiều lần và ở nhiều mặt Nếu là bài toán về chứng minh thì yếu tố chính làgiả thiết và kết luận Nếu bài toán về tìm tòi thì yếu tố chính là ẩn (cái cầntìm, cái chưa biêt), là dữ kiện (những cái đã biết) và điều kiện (mối liên hệgiữa cái cần tìm và cái cho) của bài toán

+ Chuyển dịch ngôn ngữ tự nhiên trong bài toán sang ngôn ngữ kí hiệutoán học

Có những bài liên quan đến hình vẽ thì phải vẽ hình Có những bài toánlại cần đưa vào các kí hiệu Điều này cũng giúp ta hiểu rõ đề toán

* Hình vẽ:

Đối với bài toán hình học, nói chung phải vẽ hình Hình vẽ làm hiện lênđối tượng, các yếu tố cũng như các chi tiết cùng mối liên hệ giữa cái chi tiết

đã cho trong bài toán Vì thế, thường sau khi vẽ hình đúng, đề toán được hiểu

- Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác dễ nhìn thấy những quan hệ (songsong, cắt nhau, ) và tính chất (đường trung tuyến, trung trực, phân giác, ) màbài toán đã cho Có những trường hợp còn phải khéo léo lựa chọn trình tự vẽcác đối tượng hình học trong bài toán

Ngoài ra, để làm nổi bật vai trò khác nhau của các đường, các tìnhhuống trong hình vẽ, có thể bằng nét đậm, nét nhạt, màu sắc khác nhau,

Đối với những bài toán không phải là hình học, ta cũng có thể dùngmột biểu diễn hình học, ví dụ dùng sơ đồ ven để biểu diễn tập hợp Cảm nhậntrực giác trên biểu diễn hình học này có thể giúp ta dễ nắm bắt được nội dung

cơ bản của đề toán, như G Pôlya đã nêu: "Tìm một biểu diễn hình học rõ ràng,

sáng sủa cho những bài toán không phải là bài toán hình học có thể cho phép tiến một bước rõ rệt tới cách giải" ([27], tr131).

*Kí hiệu: Khi nghiên cứu đề toán, nhiều trường hợp ta phải chọn kí

hiệu và đưa kí hiệu vào một cách thích hợp Dùng các kí hiệu toán học có thểghi lại các đối tượng và mối liên quan giữa chúng trong bài toán một cáchngắn gọn, dễ nhớ, dễ quan sát Cách kí hiệu thích hợp có thể nhanh chónggiúp ta hiểu được đề toán

"Thời gian dành để chọn kí hiệu sẽ được trả công rất hậu bởi thời gian tiết kiệm được nhờ tránh khỏi mọi sự do dự và lẫn lộn" ([27], tr137).

Khi chọn các kí hiệu cần phải chú ý:

- Mỗi kí hiệu phải có nội dung và dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hoặc hiểunước đôi.

- Thứ tự các kí hiệu và quan hệ giữa chúng phải giúp ta liên tưởng đếnthứ tự và quan hệ giữa các đại lượng tương ứng

Không dùng một kí hiệu để cùng chỉ hai đối tượng khác nhau Kí hiệucùng loại chỉ để chỉ các đối tượng cùng loại Chẳng hạn, với tam giác ABC:

A, B, C chỉ các đỉnh; a, b, c chỉ các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng A,

B, C

Như vậy, bước "Tìm hiểu bài toán" theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp với bước "phát hiện/ thâm nhập vấn đề" của phương pháp

dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

- Học sinh phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề nào đó

- Phát biểu và chính xác hóa tình huống

- Phát biểu vấn đề và đặt ra mục đích giải quyết vấn đề

b) Xây dựng chương trình giải (giai đoạn ấp ủ của quá trình sáng tạo)

Tìm tòi lời giải là một bước quan trọng trong hoạt động giải toán Nóquyết định sự thành công hay không thành công, đi đến sự thành công nhanh

hay chậm của việc giải toán Điều cơ bản ở bước này là biết "định hướng đúng"

để tìm ra được đường đi đúng

+ Phát biểu các mối quan hệ định hướng định tính và định lượng củabài toán Huy động các lực lượng tâm lí tiềm thức, vốn tri thức, lượng thôngtin, kỹ năng và thủ thuật, kinh nghiệm về giải toán

+ Lựa chọn cách giải

Theo lí luận dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thì "xây dựng

chương trình giải" nằm trong bước 2 "giải quyết vấn đề" khi thực hiện dạy học

giải quyết vấn đề Cần:

 Phân tích, làm rõ mối quan hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm

 Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết, có thể điều chỉnh, thậmchí bác bỏ và chuyển hướng khi cần thiết Trong khâu này

thường hay sử dụng những quy tắc tìm đoán và chiến lược nhậnthức như sau: Quy lạ về quen, đặc biệt hóa, chuyển qua trườnghợp suy biến; xem xét tương tự, khái quát hóa, xét những mốiliên hệ phụ thuộc, suy ngược (tiến ngược, lùi ngược) và suy xuôi.(Khâu này có thể làm nhiều lần cho đến khi tìm ra hướng điđúng) ([20]).

Không một thuật toán tổng quát nào để giải được mọi bài toán cả:

"Những người có kinh nghiệm giải toán" đã có lời khuyên như sau:

* Sử dụng bài toán đã giải

Việc tìm ra con đường đi đúng trong việc giải một bài toán nhiều khikhá thuận lợi nếu ta nhớ lại được là ta đã từng tìm ra con đường đi đến cáchgiải một bài toán tương tự hoặc gần giống với bài toán cần giải Thực tế khó

mà đặt ra được một bài toán hoàn toàn mới, không giống bất hay liên quanđến bài toán đã có Mặt khác, cũng có thể có rất nhiều bài toán liên quan đếnbài toán đang giải Cần phải lựa chọn được một hay một số bài toán trong đó

mà thực sự có lợi Hãy xét kỹ lại cái chưa biết hay một cái chưa biết tương tự.Hãy nhớ lại một bài toán đã được giải và gần giống với bài toán đang xét Cầnphải lợi dụng bài toán đã giải này về phương pháp giải, về kết quả, về kinhnghiệm giải toán ([31], tr 6)

Chính là "quy lạ về quen", "xem xét tương tự" khi giải quyết vấn đề.

* Biến đổi bài toán:

Để đi đến cách giải một bài toán cần phải huy động và tổ chức nhữngkiến thức đã học từ trước Cần phải nhớ lại và vận dụng những yếu tố cầnthiết cho việc giải toán Có thể dùng định nghĩa hay định lí đã biết để thay thếđiều phải chứng minh hay cần tìm bằng cái tương đương, phát biểu bài toánmột cách khác Việc biến đổi bài toán tạo ra những liên hệ mới, những khảnăng mới, gợi lại trong trí nhớ những gì liên quan đến bài toán đang xét

c) Thực hiện chương trình giải

Sau khi đã tìm được cách giải rồi tiến hành thực hiện chương trình giải.Việc tiến hành thực hiện này là công việc chủ yếu, là kết quả để đánh giá hoạtđộng giải toán Khi đã tìm thấy cách giải rồi thì việc thực hiện giải không khókhăn như trước nữa nhưng tính chất công việc có khác nhau

Khi đang tìm kiếm lời giải thì có thể tự do mò mẫm dự đoán và khôngngại gì mà không dùng một cách lập luận “tạm thời” Nhưng khi thực hiệnchương trình giải thì phải thay đổi quan niệm đó và chỉ được thừa nhận những

lý lẽ chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết Một điều quan trọng trongviệc trình bày lời giải là trình tự các chi tiết nhất là đối với các bài toán phứctạp Phải trình bày sao cho tường minh sự liên hệ giữa các chi tiết trong từnggiai đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải ấy Trình tự mà ta trình bàytrong lời giải có thể rất khác với trình tự mà ta đã theo để tìm lời giải

Thực hiện chương trình giải: Học sinh có thể đồng hóa hay điều tiết để

thực hiện kế hoạch Sử dụng các thao tác tư duy và các phương pháp suy luậntrong dạy học giải toán Lựa chọn từ các phương án để có cách giải tối ưu.Việc trình bày lời giải cũng cần phải hết sức chú ý, trình tự trình bày các chitiết trong lời giải cần phải gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa

Hiện nay, học sinh các lớp chuyên toán là những em có tố chất, nănglực về toán, nhưng người thầy giáo cũng cần rèn luyện cho các em trong việctrình bày lời giải Không những nó giúp học sinh trình bày lời giải của bàitoán tốt hơn mà nó còn giúp các em phát triển về ngôn ngữ rất tốt Vì vậy,nhận thức rõ điều này, người thầy giáo cần có kế hoạch dài hơi, nghiêm túctrong việc rèn luyện học sinh trong trình bày lời giải, yêu cầu cao, có thái độnghiêm khắc trong mọi giờ học đối với mọi bài làm của học sinh

d) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Học sinh thường có thói quen không tốt là khi đã tìm được lời giải củabài toán thì thỏa mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm hay thiếusót gì không, ít đi sâu cải tiến lời giải, khai thác lời giải Vì vậy, cần tránh

những thói quen đó của học sinh và cần rèn luyện thói quen tốt cho học sinhchuyên toán, tránh những yếu điểm như đã nêu ở trên Có mấy vấn đề cần chú

ý hướng dẫn học sinh:

* Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận:

Việc này phải trở thành một thói quen đối với học sinh và giáo viênphải yêu cầu học sinh thực hiện thường xuyên

Ở bậc tiểu học, học sinh dã được rèn luyện tập kiểm tra kết qua làmtính, kiểm tra phép cộng bằng phép trừ, kiểm tra phép chia bằng phép nhân…Lên đến trung học cơ sở, cần quan tâm đến điều này mỗi khi có điều kiện,chẳng hạn khi giải phương trình, khi tìm được nghiệm của phương trình thìcác em thay nó trở lại xem kết quả đã đúng chưa Còn đối với bậc THPT, đặcbiệt là các học sinh lớp chuyên toán thì việc làm này thường nên tạo cho các

em thành phản xạ khi giải toán

* Đối với các bài toán hình học tính toán

Ta cũng có thể kiểm tra lại kết quả thông thường phải nhìn lại xem đãxét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán không? Đối với học sinhcác lớp chuyên toán thì việc làm này thực sự cần thiết, vì mỗi lần làm như vậythì rèn cho các em nhìn nhận vấn đề một cách hoàn chỉnh và sâu sắc hơn

* Tìm cách giải khác của bài toán

Một bài toán thường có nhiều cách giải, học sinh có những cách suynghĩ khác nhau khi đứng trước một bài toán, nhiều khi khá độc đáo và sángtạo, đặc biệt là học sinh khối chuyên toán thì khả năng độc lập suy nghĩ, suynghĩ táo bạo và có nhiều ý tưởng để giải quyết vấn đề Vì thế, giáo viên phải ýthức được điều này và phát huy tốt những phẩm chất đó của học sinh, luônkhuyến khích các em tìm tòi sáng tạo, không những làm cho học sinh chiếmlĩnh được kiến thức, kỹ năng cần thiết mà còn tạo cho các em tinh thần hưngphấn trong học tập, lòng say mê tìm hiểu, nghiên cứu toán

* Tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải của bài toán này cho một bài toán khác, đề xuất bài toán mới

Đây chính là yêu cầu cần thiết và quan trọng của học sinh chuyên toánTHPT Giáo viên cần chuẩn bị những phần bài tập, những chuyên đề mangtính chất sâu sắc, khai thác đầy đủ, những dạng bài tập có tính chất mở vàluôn khuyến khích học sinh tìm tòi và xây dựng bài toán mới một cách chủđộng Từ đó chúng ta đã tập cho các em sáng tạo toán học, nghiên cứu toán

e) Bảng gợi ý của G Pôlya trong việc giải toán

Bảng này rất có ích cho giáo viên trong quá trình dạy học giải toán chohọc sinh Người giáo viên có kinh nghiệm về mặt này thường là người biết đề

ra cho học sinh đúng lúc kịp thời những câu hỏi gợi ý sâu sắc và sát với trình

độ học sinh, nâng dần mức độ nào đó trong sử dụng thành thạo và linh hoạtbảng này Cụ thể:

Bước 1: Hiểu rõ bài toán:

 Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Có thể thỏa mãn được điều kiện haykhông? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không, hay chưa đủ,hay thừa, hay có mâu thuẫn?

 Hình vẽ Sử dụng một kí hiệu thích hợp

 Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện Có thể diễn tả cácđiều kiện đó thành công thức không?

Bước 2: Xây dụng một chương trình giải:

 Bạn đã gặp bài toán lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạnghơi khác?

 Bạn có biết bài toán nào liên quan không? Một định lí có thể dùng đượckhông?

 Xét kỹ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có

cùng ẩn hay ẩn tương tự

 Đây là một bài toán liên quan mà bạn có lần giải rồi Có thể sử dụng nókhông? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hay sử dụng phương

pháp khác? Có cần phải dựa thêm một yếu tố phụ thì mới sử dụng được

nó hay không?

 Có thể phát biều bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa?Quay về định nghĩa

 Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một bài toán

có liên quan Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơnkhông? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bàitoán tương tự? Bạn có thể giải được một phần bài toán không? Hãy giữlại một phần điều kiện, bỏ qua phân kia Khi đó ẩn được xác định đếnmột chừng mực nào đó, nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể từ các dữkiện rút ra một yếu tố có ích không? Có thể thay đổi ẩn hay khác dữkiện, hay cả hai đều cần thiết, sao cho ẩn và các dữ kiện mới được gầnnhau hơn không?

 Bạn sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện haychưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán hay chưa?

Bước 3: Thực hiện chương trình giải:

Hãy kiểm tra lại từng bước Bạn thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúngchưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không?

Bước 4: Trở lại cách giải (Nghiên cứu cách giải đã tìm ra):

 Bạn kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giảibài toán không?

 Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho mọi bài toán nàokhác không?

Trong quá trình giải toán rất nên làm cho học sinh biết các nội dung củalôgic hình thức một cách có ý thức, xem như vốn thường trực quan trọng đểlàm việc với toán học cũng như để sử dụng trong quá trình học tập liên tục,thường xuyên Để thực hiện điều này, sau khi giải xong mỗi bài toán cần cóphần nhìn lại phương pháp đã sử dụng để giải Dần dần những hiểu biết vềlôgic sẽ thâm nhập vào ý thức của học sinh

Rất nên hệ thống hóa các bài toán liên quan với một chủ đề hay môhình nào đấy để học sinh thấy được những tính chất đa dạng thông qua cácchủ đề và mô hình đó.

1.4 Hình học cao cấp soi sáng hình học sơ cấp

1.4.1 Tình hình nghiên cứu của vấn đề

Các nhà sư phạm cho rằng "Có nhiều vấn đề toán học phổ thông chỉ có

thể được hiểu chính xác và đúng bản chất nếu chúng được nhìn từ những vấn

đề của toán học hiện đại" Vì vậy, việc soi sáng toán học sơ cấp bằng toán học

cao cấp nói chung và trong lĩnh vực hình học nói riêng là cần thiết

Đối với giáo viên toán ở trường phổ thông việc nắm vững mối liên hệgiữa toán cao cấp và toán sơ cấp là cần thiết nhằm giúp học sinh hiểu sâu sắccác vấn đề về toán học phổ thông và có thể dẫn dắt cho học sinh tìm kiếmkiến thức mới một cách hiệu quả Các công trình nghiên cứu về vấn đề nàybao gồm :

1) Luận án tiến sĩ : "Tăng cường định hướng sư phạm trong dạy học Đại

số đại cương thông qua việc xây dựng một số chuyên đề cho sinh viên toán CĐSP" của tác giả Đặng Quang Việt (Viện Khoa học giáo dục Hà Nội, 2001).

2) Luận văn Thạc sĩ : "Xây dựng một số chuyên đề ‘‘cầu nối’’ giữa chương

trình Đại số ở Cao đẳng Sư phạm với chương trình Đại số Trung học cơ sở nhằm tăng cường định hướng cho giáo sinh khoa Toán trường Cao đẳng Sư phạm" của tác giả Phan Văn Lý (Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2003).

3) Luận văn Thạc sĩ : "Tăng cường định hướng sư phạm cho sinh viên Cao

đẳng Sư phạm trong dạy học Lí thuyết số và Cơ sở số học" của tác giả Vương

Hội (Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2005)

4) Luận văn Thạc sĩ : "Xây dựng một số chuyên đề ‘‘cầu nối’’ giữa hình

học cao cấp ở Cao đẳng Sư phạm với hình học ở phổ thông nhằm tăng cường định hướng sư phạm cho giáo sinh viên" của tác giả Nguyễn Thị Minh Yến

(Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2006)

Nói chung các đề tài được nêu ở trên đều nghiên cứu mối liên hệ giữatoán cao cấp dành cho sinh viên Cao đẳng và toán sơ cấp phần kiến thức dànhcho học sinh THCS, nhằm giúp cho sinh viên Cao đẳng nắm được mối liênmối quan hệ giữa phần toán cao cấp được học và phần toán sơ cấp sau nàydạy học Các đề tài có tính định hướng nghề nghiệp tốt cho sinh viên sau khi

ra trường

1.4.2 Ý nghĩa của việc hình học cao cấp soi sáng hình học sơ cấp

Chúng tôi cho rằng, việc dùng hình học cao cấp soi sáng hình học sơ cấp

là một việc làm cần thiết và hữu ích, bởi các lí do sau:

Thứ nhất, chúng ta biết rằng hình học cao cấp nói chung và hình học

Ơclit nói riêng là trường hợp tổng quát của hình học phẳng và hình học khônggian ở chương trình phổ thông Vì vậy, việc nhìn nhận một vấn đề của hìnhhọc phổ thông dưới "con mắt" của hình học cao cấp làm cho vấn đề đượcsáng tỏ, chính xác và khoa học Từ đó giúp người thầy giáo có cách nhìn khoahọc về một vấn đề mà đang trực tiếp giảng dạy

Thứ hai, trong hình học cao cấp thì công cụ giải quyết vấn đề nhiều hơn,

phong phú hơn, giúp người thầy giáo có thể giải quyết được nhiều vấn đề,hoặc những vấn đề mà chỉ giới hạn của hình học phổ thông thì khó hoặckhông phát hiện ra Từ đó, người thầy giáo chỉ việc đặc biệt hóa các kết quảcủa hình học cao cấp thì sẽ thu được những kết quả của hình học sơ cấp mangtính chính xác và khoa học Đây chính là một công cụ phát hiện vấn đề củagiáo viên

Thứ ba, từ tâm cao người giáo viên có cách nhìn từng vấn đề mang tính

chất hệ thống, từ đó có thể xây dựng được nội dung học tâp cho học sinhmang tính "hệ thống" cao, không phải là những bài toán sơ cấp rời rạc, mà cácbài toán thuộc chuyên đề trong một hệ thống hoàn chỉnh hơn

Thứ tư, đối với học sinh, các kết quả của từng bài toán trong hình học

phẳng và hình không gian đó chính là tài liệu quan trọng mang tính định

hướng giúp học sinh có thể khái quát hóa để có được các kết quả hình học caocấp sau này được tiếp xúc với hình học cao cấp.

Do đó chúng tôi chọn đề tài theo hướng từ kết quả của hình học cao cấpsoi sáng kết quả của hình học sơ cấp, để xây dựng chuyên đề dạy học cho họcsinh chuyên toán THPT nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh.Chẳng hạn như

Trong hình học cao cấp ta chứng minh được kết quả sau :

Trong n- đơn hình trực tâm  (J , J , , J ) 0 1 n , tâm siêu cầu Ơle cùng trọng tâm

T, trực tâm H của n- đơn hình cùng nằm trên một đường thẳng, ta gọi đó làđường thẳng Ơle của n- đơn hình  (J , J , , J ) 0 1 n , đồng thời với mỗi số q tựnhiên 0 q n 1    gọi Oq là tâm siêu cầu Ơle loại q của n- đơn hình

Từ đó chúng ta có kết quả cho bài toán hình học sơ cấp sau:

* Đối với tam giác:

Cho tam giác ABC, H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm đườngtròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh rằng GH2GO

* Đối với tứ diện:

Chứng minh rằng trong tứ diện trực tâm, trọng tâm của nó nằm tại trungđiểm của đoạn thẳng nối trực tâm với tâm của mặt cầu nội tiếp của tứ diện.Đối với người giáo viên bằng vốn hiểu biết về hình học cao cấp thì hai bàitoán trên thu được bằng cách đặc biệt hóa bài toán tổng quát trong không gianƠclit n-chiều với n=2, n=3 Nhưng đối với học sinh thì bài toán đối với n=2thì đã được biết trong hình học phẳng ở trung học cơ sở còn đối với bài toántrong hình học không gian thì là mới Vậy giáo viên cần giúp học sinh chiếmlĩnh bài toán này bằng cách hướng dẫn giải theo sơ đồ gợi ý của G Pôlya:

Bước 1 : Tìm hiểu bài toán

- Bài toán cho gì ? Yêu cầu gì ?

- Hãy vẽ hình

- Hãy tìm lời giải cho bài toán

- Học sinh nhắc lại giả thiết và kếtluận của bài toán

- Vẽ hình

- Suy nghĩ và tìm lời giải bài toán

Bước 2 : Xây dựng chương trình

giải

- Bài toán này em đã được học chưa ?

Hay em có biết một bài toán tương tự

không ?

- Hãy nhắc lại lời giải của bài toán

- Từ lời giải của bài toán tương tự có

gợi ý gì cho việc giải bài toán này

không ?

- Hãy trình bày lời giải cho bài toán

- Suy nghĩ và nhớ lại kiến thức đãđược học

- Bài toán tương tự (Bài toán tronghình học phẳng nêu ở trên)

- Nhắc lại bài toán (nếu em nào quênthì có thể làm lại)

- Tìm cách áp dụng cách giải của bàitoán cũ trong trường hợp mới

Bước 3 : Thực hiện chương trình giải

- Học sinh tự trình bày lời giải

- Sau đó giáo viên có thể đưa lời giải cho học sinh tham khảo đốichiếu

Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

- Học sinh tự kiểm tra lời giải

- Đề nghị lời giải mới

- Nghiên cứu sự mở rộng của bài toán hoặc đặc biệt hóa bài toánxem có được bài toán mới không ?

Với cách làm như vậy, đối với người giáo viên sáng tỏ được phần kiếnthức hình học sơ cấp, nếu không để ý thì có thể cho rằng hai bài toán trên làđộc lập Còn nếu người thầy giáo hiểu biết về hình học cao cấp thì hai bài

toán trên chỉ là hai trường hợp đặc biệt của một bài toán tổng quát Còn đốivới học sinh thì qua cách làm của bài toán này vừa được rèn luyện cách giảitoán theo sơ đồ của G Pôlya, vừa rèn luyện được khả năng xem xét bài toántương tự từ hình học phẳng sang hình học không gian Qua đó góp phần bồidưỡng năng lực giải toán cho học sinh.

1.4.3 Mối liên hệ giữa hình học cao cấp và hình học sơ cấp

Dưới đây là những phần kiến thức tương ứng giữa hình học cao cấp và hình học sơ cấp

- Siêu cầu Ơ le trong đơn hình bất kì

- Các bất đẳng thức đối với đơn hình

- Các dấu hiệu nhận biết trực tâm củatam giác, tứ diện trực tâm

- Đường tròn Ơle trong tam giác, mặtcầu Ơle trong tứ diện trực tâm

- Mặt cầu Ơle trong tứ diện bất kì

- Các bất đẳng thức đối với tứ diệntrực tâm

- Bài toán "con bướm" đối với đườngtròn, đối với cặp đường thẳng, đối vớiElip, đối với Hyperbol, đối vớiParabol, đối với mặt cầu, đối với cặpđường thẳng

Ở phần kiến thức này có mối quan hệ bao hàm, phần kiến thức hình học

sơ cấp chính là các trường hợp đặc biệt của các phần kiến thức hình cao cấptương ứng

Mặc dù mối liện hệ giữa hình học cao cấp và hình học sơ cấp còn rất lànhiều, nhưng trong khuôn khổ luận văn này chúng tôi chỉ làm rõ mối liên hệ

giữa các đối tượng được nêu và từ đó xây dựng hai chuyên đề nhằm bồidưỡng năng lực giải toán cho học sinh chuyên toán THPT Đây chính là sựkhác biệt của đề tài này với các đề tài đã nêu ở trên.

1.5 Thực trạng dạy học ở các lớp chuyên toán THPT

Để tìm hiểu thực trạng dạy học ở các lớp chuyên toán THPT hiện nay,chúng tôi đã trao đổi trực tiếp với các giáo viên dạy toán ở trường THPTchuyên Lam Sơn – Thanh Hóa và được biết tình hình cụ thể như sau:

* Về nhận thức:

Hầu hết giáo viên đều cho rằng, việc bồi dưỡng năng lực giải toán chohọc sinh chuyên toán là việc làm cần thiết đối với người giáo viên toán Đây

là việc làm trọng tâm, xuyên suốt quá trình dạy học của giáo viên

Về việc xây dựng nội dung các chuyên đề dạy học, đây là vấn đề đượcquan tâm hàng đầu của giáo viên dạy chuyên hiện nay Nói chung là hầu hếtgiáo viên còn lúng túng ở hướng giải quyết cho vấn đề này, những người cókinh nghiệm thì việc biên soạn tài liệu giảng dạy thuận lợi hơn Một số giáoviên mới thì việc làm này gặp nhiều khó khăn, đó là chưa có một bộ sách giáokhoa chính thống cho học sinh chuyên, việc định hướng xây dựng nội dungtài liệu giảng dạy cũng gặp nhiều khó khăn, chủ yếu là người đi sau học tập

và rút kinh nghiệm của những người đi trước

Việc xây dựng chuyên đề dạy học theo cách hướng dẫn học sinh giảibài tập theo sơ đồ bốn bước của G Pôlya, thì đa số ủng hộ việc làm này Còn

một số thì cho rằng có nhiều cách làm khác cũng hoàn toàn đáp ứng được yêucầu về việc bồi dưỡng năng lực giải toán, việc hướng dẫn học sinh theo sơ đồ

ấy thì không thường xuyên làm nên thay đổi thói quen này cũng rất ngại

* Về hành vi:

Mặc dù việc đa số giáo viên được hỏi rất thích thú với việc xây dựngnội dung các chuyên đề dạy bồi dưỡng bằng con đường dùng hình học caocấp soi sáng hình học sơ cấp để xây dựng nội dung các chuyên đề dạy học,nhưng việc này chưa được tiến hành ở đây Nguyên nhân là ngay từ khi họcđại học thì việc tìm hiểu sâu về mối quan hệ giữa hình học cao cấp và hìnhhọc sơ cấp cũng ít để ý, thứ hai là khi đi dạy, việc không thường xuyên tiếpcận với nội dung hình học cao cấp nên kiến thức bị mai một đi rất nhiều nênviệc làm này cũng gặp không ít khó khăn Theo thói quen từ trước đến nay thìviệc xây dựng nội dung các chuyên đề dạy học chủ yếu là tham khảo các tàiliệu về toán sơ cấp có sẵn, chỉ làm việc với toán sơ cấp thì mất ít thời giansoạn bài hơn

Về việc soạn giáo án giảng dạy phần bài tập thì soạn theo sơ đồ gợi ýcủa G Pôlya thì không tiến hành, chủ yếu là soạn nội dung về toán, cònhướng dẫn giải cho học sinh thì được biết: khi lên lớp, với kinh nghiệm củabản thân sẽ gợi ý cho học sinh khi gặp tình huống

Ở chương trình hình học của các lớp chuyên Toán thì có một chuyên đề

dành dạy cho học sinh về “các tứ diện đặc biệt” (Chương trình hình học 11

chuyên toán THPT)

Phần các tứ diện đặc biệt, bao gồm: tứ diện đều, tứ gần đều, tứ diệnvuông, tứ diện trực tâm Trong đó, các tài liệu tham khảo hầu hết khai thác rấtnhiều về tứ diện đều, tứ diện gần đều, tứ diện vuông, còn tứ diện trực tâm thìcòn rất sơ sài, chưa có hệ thống

Phần bài toán "con bướm", trong hình học phẳng cũng có rất nhiều tàiliệu đề cập đến, nhất là bài toán "con bướm" đối với đường tròn thì cũng đượcnghiên cứu khá kỹ, nhưng để nghiên cứu một cách hệ thống đầy đủ, giúp học

sinh nhìn nhận về bài toán "con bướm" một cách đầy đủ và hệ thống thì chưa

có tài liệu nào làm được việc này

Như đã nói trong phần mở đầu, việc dạy học nói chung và việc dạyhình học ở các lớp chuyên toán THPT hiện nay vẫn đang ở tình trạng quá

tham về kiến thức, dạy "luyện thi" nên chưa chú ý đến việc rèn luyện tư duy, bồi

dưỡng năng lực học tập cho học sinh Đây chính là hạn chế lớn của các lớpchuyên toán hiện nay của nước ta Mục tiêu giáo dục ở trường chuyên là cầngiúp những em học sinh có năng khiếu trở thành tài năng cho đất nước, nhữngngười có khả năng sáng tạo thì cần phải đổi mới phương pháp dạy học ởtrường chuyên hiện nay

Vì vậy, việc chúng tôi quyết định nghiên cứu vấn đề này cũng là mộthướng rất tích cực cho việc nghiên cứu và xây dựng chương trình học tập chohọc sinh ở lớp chuyên toán THPT hiện nay

- Năng lực được hình thành, phát triển trong hoạt động nên để pháttriển được năng lực của mỗi cá nhân thì chúng ta cần phải có kế hoạch pháthiện và bồi dưỡng các em cho kịp thời Các em phải được đào tạo và bồidưỡng trong hoạt động đó

- Muốn bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thì cần phải cho các

em hoạt động giải toán Trong luận văn này chúng tôi đề xuất con đường bồidưỡng năng lực giải toán theo hướng tập luyện cho học sinh giải toán theo sơ

đồ gợi ý của G Pôlya

Chương 2 HÌNH HỌC CAO CẤP SOI SÁNG HÌNH HỌC SƠ CẤP

2.1 Chuyên đề 1: ĐƠN HÌNH TRỰC TÂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

2.1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM

2.1.1.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1

n- đơn hình  (J , J , , J ) 0 1 n trong đó J0, J1, , Jn là (n + 1) điểm độc lập afintrong không gian Ơclít hữu hạn chiều E, là bao lồi của hệ điểm (J0,J1, ,Jn).

Định nghĩa 2

Cho n-đơn hình  (J , J , , J ) 0 1 n trong không gian Ơclit hữu hạn chiều E,mỗi Ji(i = 0,1, ,n) Lấy (q + 1) đỉnh phân biệt (0qn-1) của nó thì bao lồicủa hệ (q + 1) điểm này gọi là một q-mặt bên của n-đơn hình đã cho, q-mặtbên S và q'-mặt bên S' của đơn hình gọi là măt đối diện nến q + q' = n-1 và S,S' không có đỉnh chung

Kí hiệu

Ta kí hiệu {0,1, ,n}\{i} bởi {0,1, ,i, ,n} (i = 0,1, ,n)

2.1.1.2 Trường hợp đặc biệt

- Trong E2: Tam giác là đơn hình trực tâm

- Trong E3: Tứ diện là đơn hình Một tứ diện gọi là tứ diện trực tâm nếu bốnđường cao trong tứ diện đồng quy

2.1.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA ĐƠN HÌNH TRỰC TÂM

2 Điều kiện đủ: Nếu trong n-đơn hình chẳng hạn có J J J J 0 i 0 k = a không đổi

Ta sẽ chứng minh:  (J , J , , J ) 0 1 n là đơn hình trực tâm và nhận H là trựctâm

Nếu n-đơn hình  (J , J , , J ) 0 1 n là đơn hình trực tâm thì mọi q-mặt bên (q

2) đều là q-đơn hình trực tâm

2.1.2.3 Định lí

Điều kiện cần và đủ để n-đơn hình  (J , J , , J ) 0 1 n là n-đơn hình trực tâm

là tồn tại duy nhất điểm H sao cho HJ HJ i k không đổi với mọi ik, i,k {0,1, ,n}