Luận văn Thạc sỹ: rèn luyện tư duy thuật toán và tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học phương trình

các biện pháp phát triển tư duy thuật toán cho học sinh qua giải phương trình. phát triển tư duy sáng tạo qua giải phương trình

Chơng 2 Rèn luyện t duy thuật toán và t duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học phơng trình lợng giác ở

Ví dụ 1 Giải phơng trình: 2sin2 x sinx  1 0

(Giáo viên làm mẫu)

Bớc 1 Đặt sin x t (điều kiện : t [ 1,1])

Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình: 2t2 t  1 0

Bớc 2 Giải phơng trình: 2t2 t  1  trong đoạn 0 [ 1,1]

2t2  t  1  0

121

t t

26

32

22

Bớc 4 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là:

265

6

22

Ví dụ 2 Giải phơng trình: 6cos 22 x13cos 2x 5 0

(Học sinh và giáo viên cùng làm)

Bớc 1 Đặt: cos2 x t (điều kiện : t [ 1,1])

5t2  4t  3 0

2 195

2 19

1 (5

Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình: a t 2 b t c 0 Bớc 2 Giải phơng trình: a t 2 b t c 0 trong đoạn [ 1,1]

- Nếu vô nghiệm trong đoạn [ 1,1] thì chuyển sang bớc 4, kết luậnphơng trình đã cho vô nghiệm

- Nếu có nghiệm t0 [ 1,1] thì chuyển sang bớc 3 (có thể có 2nghiệm t0 [ 1,1])

2.1.1.3 Ví dụ áp dụng quy tắc (thực hiện theo qui tắc giải học sinh giải)

Ví dụ 4 Giải phơng trình: 6cos2 x  cosx  1 0

Bớc 1 Đặt cos x t (điều kiện : t [ 1,1])

Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình: 6t2  t  1 0

Bớc 2 Giải phơng trình: 6t2  t  1 0 trong đoạn [ 1,1]

6t2  t  1 0

1213

Ví dụ 5 Giải phơng trình: sin 32 x  sin 3x  2 0

Bớc 1 Đặt: sin 3 x t (điều kiện : t [ 1,1])

Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình: t2  t  2 0 Bớc 2 Giải phơng trình: t2  t  2 0 trong đoạn [ 1,1]

Ví dụ 6 Giải phơng trình: 3cos2 x  2cosx  1 0

Bớc 1 Đặt: cosx t (điều kiện : t [ 1,1])

Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình: 3t2 2t  1 0 Bớc 2 Giải phơng trình: 3t2  2t  1 0 trong đoạn [ 1,1]

3t2  2t  1 0

11

1) cos 2x 3cosx 4 0 2) 5sin2 x 4sinx 1 0 3) 2sin2 x 2 3 sin x 3 0 4) 4cos x2  2 3 1 cosx 3 05) 2cos 22 x  3cos 2x  1 0 6) 4cos2x  3cosx  1 0

7) 2sin2 5sin 3 0

2  2  

8) 3cos2 x  7cosx 4 09) 2sin2 x  sinx  3 0 10) 2sin 32 x  5sin 3x  2 0

11) 2sin 42 x  7sin 4x  1 0 12) 2cos2 3cos 2 0

Lời giải Bài 1 Giải phơng trình: cos 2x 3cosx 4 0

Phơng trình tơng đơng với : 2cos2x 3cosx 5 0

Bớc 1 Đặt: cosx t (điều kiện t  1,1)

Thay vào phơng trình ta nhận đợc dạng: 2t2 3 5 0t 

Bớc 2 Giải phơng trình: 2t2 3 5 0t  trong đoạn [ 1,1]

2

51

Bài 3 Giải phơng trình: 2sin2x 2 3 sin x 3 0

Bớc 1 Đặt: sin x t (điều kiện t  1,1 )

Thay vào phơng trình ta nhận đợc dạng: 2t2  2 3t 3 0Bớc 2 Giải phơng trình: 2t2  2 3t 3 0 trong đoạn [ 1,1]

23

23

3223

Phơng trình tơng đơng với : 3sin 22 x  2sin 2x 0

Bớc 1 Đặt: sin 2 x t (điều kiện t  1,1)

Bài 19 Giải phơng trình: 2sin2 x 5cosx  1 0

Phơng trình tơng đơng với : 2cos x2  5cosx  3 0

Bớc 1 Đặt: cosx t (điều kiện t  1,1)

Khi đó phơng trình đợc chuyển về dạng: 2t2  5t  3 0

Bớc 2 Giải phơng trình: 2t2  5t  3 0 trong đoạn [ 1,1]

2

1114

12

Bớc 4 Kết luận phơng trình đã cho có nghiệm là: 2

t duy thuật toán

Từ ba ví dụ cụ thể phát biểu thành qui tắc giải phơng trình tổngquát(khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tợng riêng lẻ thànhmột quá trình điễn ra trên một lớp đối tợng), áp dụng qui tắc tổng quát để giảicác phơng trình cụ thể(khả năng thực hiện thuật toán)

2.1.2 Rèn luyện t duy thuật toán trong dạy học phơng trình bậc hai đối với tgx hoặc cotgx

2.1.2.1 Các ví dụ

Ví dụ 1 Giải phơng trình: 3tg x2  4tgx  3 0

(Giáo viên làm mẫu)

Bớc 1 Đặt điều kiện: cos 0 ( )

Bớc 5 Các giá trị x tìm đợc thoả mãn điều kiện:

(Giáo viên và học sinh cùng làm)

Bớc 1 Đặt điều kiện: sin 0 2 , ( )

Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình: 4t2  5t  1 0

Bớc 3 Giải phơng trình: 4t2  5t  1 0

4t2  5t  1 0

114

 1

2 

x cotg

Bíc 1 §Æt ®iÒu kiÖn: cos 2 0 ( )

k k

Bớc 5 Các giá trị x tìm đợc thoả mãn điều kiện:

2.1.2.3 Ví dụ áp dụng qui tắc giải (thực hiện theo qui tắc giải học sinh giải)

Ví dụ 5 Giải phơng trình: 3cotg x2  2cotgx  1 0

Bớc 1 Đặt điều kiện: sinx  0 x k (k )

Bớc 2 Đặt: cotgx t

Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình: 3t2  2t  1 0

Bíc 3 Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3t2  2t  1 0 

3t2  2t  1 0

113

3t2  t  4 0

431

Bớc 5 Các giá trị x tìm đợc thoả mãn điều kiện: 3 3

k k x

Bài tập Giải các phơng trình sau đây:

Bớc 1 Đặt điều kiện: cos 0 ( )

Bµi 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: cotg x2  4cotgx3 0

Bíc 1 §Æt ®iÒu kiÖn: sinx  0 x k (k )

t2  2t  1 0  t 1

Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình: 3t2  4t  7 0

Bớc 3 Giải phơng trình: 3t2  4t  7 0

3t2  4t  7 0

731

Bớc 1 Đặt điều kiện: cos 0 ( )

Từ ba ví dụ cụ thể phát biểu thành qui tắc giải phơng trình tổng quát(khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tợng riêng lẻ thành mộtquá trình điễn ra trên một lớp đối tợng), áp dụng qui tắc tổng quát để giải cácphơng trình cụ thể (khả năng thực hiện thuật toán)

2.2 Rèn luyện TDTT và TDST trong dạy học phơng trình ợng giác dạng bậc nhất đối với sinx và cosx

l-2.2.1 Các ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình: 3sinx  3 cosx 3

(Giáo viên l m màm m ẫu)

Bước 1 Chia hai vế của phương trình cho: (3) 2  ( 3) 2  2 3

Khi đó phơng trình (1) được chuyển về dạng: 3 1 3

sinx cosx

(Gi¸o viªn v hàm m ọc sinh cïng giải)

Bước 1 Chi hai vế cña phương tr×nh cho: ( 3)2 ( 3)2 2 3

Ph¬ng tr×nh được chuyển về dạng: 1 x 3 x 6

2 2  2 2  6 Bước 2 Đặt: 1

2.2.2 Quy tắc giải

Kh¸i qu¸t hãa: Từ ba vÝ dụ trªn c¸c em h·y ph¸t biểu một quy tắc tổngqu¸t bao gồm c¸c bước để giải phương tr×nh tổng qu¸t:

a.sinx b.cosx c  ( ,a b, ,a b0)

Bước 1 Chia hai vế cña phương tr×nh cho: a2  b2

2.2.3 VÝ dụ ¸p dụng quy tắc ( học sinh giải )

VÝ dụ 4 Giải phương tr×nh: 3 sinx + cosx = 2

Bước 1 Chia hai vế phương tr×nh cho: ( 3)2 (1)2 2

212

VÝ dụ 5 Giải phuơng tr×nh: 3sin4x  3 os4x 1c 

Bước 1 Chia hai vế cña phương tr×nh cho : 3 (2  3)2 2 3

k k x

Bớc 4 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm l : àm m 4 24 2

k k x

1) osx - sinx = 1c 2) 3 osx 3sinx = 3c 

3) 2sinx  5 osx = 4c 4) 3 osx - 3sinx 1c 

os + 3sin 1

c 6) sinx - 3 osx = 2c

7) 5 sinx  2 osx c  4 8) 2sinx  2 osx = 2c

9) 3 os3xc  4sin3x 5 10) (1 3)sinx (1  3) osx 2c 11) sinx  3 osx 3c  12) 5cos 2x 12sin 2x  13 0

13) 3sin 4x  3 cos 4x  6 14) 2sin 2cos 2 0

Lêi gi¶i

B i 1 ài 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh: osxc  sinx 1

C¸ch gi¶i 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh: osxc  sinx 1

Bước 1 Chia hai vÕ cña phương tr×nh cho: (1)2  ( 1)2  2

Phương tr×nh được chuyển vÒ dạng: 2 2 2

Bước3 Giải c¸c phương tr×nh cơ bản: sinx 0 vµ sinx  1

B i 2 ài 1 Giải phương tr×nh: 3 osxc  3sinx = 3

C¸ch giải 1 Giải phương tr×nh: 3 osxc  3sinx = 3

Bước 1 Chia hai vế phương tr×nh cho: ( 3)2  ( 3)2 2 3

C¸ch giải 2 Giải phương tr×nh: 3 osxc  3sinx = 3

Bước 1 Chia hai vế phương tr×nh cho: 3

Khi đã ph¬ng tr×nh được chuyển vÒ dạng: osxc  3sinx = 3

Bước 3 Giải c¸c phương tr×nh cơ bản: sinx  1 vµ sinx 1

2 ( ).6

7

26

B i 6 ài 1 Giải phương tr×nh: sinx - 3 osx = 2c

C¸ch giải 1 Phương tr×nh: sinx - 3 osx = 2c

Bước 1 Chia hai vÕ cña của phương tr×nh cho: (1)2 ( 3)2 2

Khi đã ph¬ng tr×nh được chuyển về dạng: 1 3

B i 10 ài 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh: (1 3)sinx (1  3) osx 2c 

C¸ch gi¶i 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh: (1 3)sinx (1  3) osx 2c 

Bíc 1 Chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho: 1 3 2  1 32 2 2

 

24

3

24

C¸ch gi¶i 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: (1 3)sinx (1  3) osx 2c 

Bíc 1 Chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho: 1 3

26

- Tư duy thuật toán: Từ ba ví dụ cụ thể phát biểu thành qui tắc giải phương trình tổng quát ( khái quát hóa một hoạt động diễn ra trên một số đối tượngriêng lẻ th nh màm m ột hoạt động diễn ra trên một lớp đối tượng ), áp dụng qui tắctổng quát để giải các phương trình cụ thể ( khả năng thực hiện thuật toán)

- Tư duy sáng tạo: Tìm nhiều lời giải khác nhau của một b i toán.àm m

2.3 Rèn luyện TDTT và TDST trong dạy học phơng trình

đẳng cấp đối với sinx và cosx

2.3.1 C¸c vÝ dụ.

VÝ dụ 1 Giải phương tr×nh: 4sin2x6 3sinx.cosx 2cos 2x4

(Gi¸o viªn l m màm m ẫu)

Bước 1 Chia hai vế của phương tr×nh cho: cos2x

Ph¬ng tr×nh được chuyển về dạng: 3 2 tgx  3tg x2  2(1tg x2 )Bước 2 Đặt: tgx t

Thay v o phàm m ương tr×nh ta nhận được: ( 2  3)t  2t  2  3 0Bíc 3 Giải phương tr×nh: ( 2  3)t2  2t  2  3 0

Bước 4 Giải phương tr×nh: tgx (1 2)( 3 2 ) vµ

tgx (1 2)( 3 2 )  tgx (1 2)( 3 2 )tg  x   k (k )  tgx (1 2)( 3 2 )tg  x  k (k )

Bước 4 Giải c¸c phương tr×nh cơ bản: tgx t  0

2.3.3 VÝ dụ ¸p dụng qui tắc giải (häc sinh gi¶i)

VÝ dụ 4 Giải phương tr×nh: 4 osc 2x  2 3.sinx.cosx 2.sin x 1 2 

Bước 5 VËy phương tr×nh đ· cho cã nghiệm l : àm m ( )

Bước 1 Chia hai vế của phương tr×nh cho: cos2x

1) 3sin2 x  4 osc 2xsinx.cosx 2) 6.sin2x sin osx c x c os2x33) 2 3 osc 2x6sin osx c x 3 3 4) 2sin2xsin osx c x c os2x 1 05) 4sin2 x3 3.sin 2x 2 osc 2x4 6) 6sin2 x8sin osx c x15 osc 2x6

13) 3sin2x8sin cosx x4cos x2 0 14) 4sin2 x3 3sin 2x 2cos x2 4

Lêi gi¶i

B i 1 ài 1 Giải phương tr×nh: 3sin2x  4 osc 2x sinx.cosx

C¸ch gi¶i 1 Giải phương tr×nh: 3sin2x  4 osc 2x sinx.cosx

2

Bước 1 Chia hai vế của phương tr×nh cho: cos2x

Khi đã ph¬ng tr×nh được chuyển về dạng: 3tg x2  4tgx

Ph¬ng tr×nh được chuyển vÒ dạng: sin 2x  7 os2c x  1

Bíc 2 Chia hai vế của phương tr×nh cho:  1 2   72  40

Ph¬ng tr×nh được chuyển về dạng: 1 7 1

40 x  40c x  40 Bíc 3 §ặt: 1 7

40 c  40   Thay v o phàm m ¬ng tr×nh ta nhËn được: 1

sin 2 os os2 sin

B i 2 ài 1 Giải phương tr×nh: 6sin2x  sin osx c x c os2x 3

C¸ch gi¶i 1 Giải phương tr×nh: 6sin2x  sin osx c x  cos2x 3

Bước 2 Đặt: tgx t

Thay v o phàm m ¬ng tr×nh ta nhận được phương tr×nh: 3t2  t 4 0

Bøoc 3 Giải phương tr×nh: 3t2 t  4 0

3t2 t  4 0

431

Bước 4 Giải c¸c phương tr×nh cơ bản: 4

1 3

B i 3 ài 1 Giải phương tr×nh: 2 3 osc 2x  6sin osx c x 3 3

C¸ch gi¶i 1 Giải phương tr×nh: 2 3 osc 2x  6sin osx c x  3 3

2

Bước 1 Chia hai vế của phương tr×nh cho: cos2x

Phương tr×nh được chuyển về dạng: 2 3  6tgx 3 3 (3  3)tg x2

Bước 3 Giải phương tr×nh cơ bản: tgx 1 vµ tgx = 2 - 3

 tgx1

 tgx tg   x   k  tgx 2 3tg x  k

sinx và cosx đã góp phần pháp triển một số yếu tố của tư duy thuật toán v tàm m ưduy sáng tạo.

- Tư duy thuật toán: Từ ba ví dụ cụ thể phát biểu th nh qui tàm m ắc giảiphương trình tổng quát (khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đốitượng riêng lẻ th nh màm m ột quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng); áp dụngqui tắc tổng quát để giải các phương trình cụ thể( khả năng thực hiện thuậttoán)

- Tư duy sáng tạo: Tìm nhiều lời giải khác nhau của một b i toán.àm m

2.4 Rèn luyện TDTT trong dạy học phơng trình lợng giác dạng đối xứng với các hàm số lợng giác

2.4.1 Rèn luyện tư duy thuật toán trong dạy học phương trình lượng giác dạng đối xứng đối với sinx và cosx

2.4.1.1 Các ví dụ

Ví dụ 1 Giải phương trình: 3(sinx cosx) 2sinx.cosx 3 0

(Giáo viên l m màm m ẫu)

Bước 1 Đặt: sinx osx 2sin(x )

Bíc 2: Giải phương tr×nh: t2 3t  2 0 trong ®o¹n [ 2 , 2]





t

(§iÒu kiÖn : t [ 2 , 2])

Thay v o phàm m ương tr×nh ta nhận được: t2  (2 2)t 2 2 0

Bíc 2 Giải phương tr×nh: t2 (2 2)t 2 2 0 trong ®o¹n [  2, 2]

t2  (2 2)t 2 2 0 1

2

2 2 ( )2

Bước 1 Đặt: sinx osx 2sin(x )





t

(§iÒu kiÖn : t [ 2 , 2])

Thay v o phàm m ương tr×nh ta nhận được: 2t2 t  2 0

Bíc 2 Giải phương tr×nh: 2t2 t  2 0 trong ®o¹n [ 2, 2]

2t2 t  2 0

222

9

28

2 ( ).12

9

28

Kh¸i qu¸t hãa: Từ ba vÝ dô trªn c¸c em h·y ph¸t biểu một qui tắc tổng qu¸t

bao gồm c¸c bước để giải phương tr×nh tổng qu¸t:

.(sinxa cosx) b.sinx.cosx  c 0 ( , ,a b c )

Bước 1 Đặt: sinx osx 2sin(x )

Bớc 2 Giải phương trình: b t 2  2 a t 2c b 0 trong đoạn [ 2, 2]

- Nếu vô nghiệm trong đoạn [ 2, 2] thì chuyển sang bớc 4, kết luậnphơng trình đã cho vô nghiệm

- Nếu có nghiệm t0[- 2 , 2]) thì chuyển sang bước 3( có thể có 2

2.4.1.3 Ví dụ áp dụng qui tắc giải ( học sinh giải)

Ví dụ 4 Giải phương trình: sinx  cosx sinx.cosx 1

Bước 1 Đặt: sinx osx 2sin(x )





t

(Điều kiện : t [ 2 , 2])

Thay v o phàm m ương trình ta nhận được: t2 2t  3 0

Bớc 2 Giải phương trình: t2 2t  3 0 trong đoạn [ 2, 2]

Bước 1 Đặt: sinx osx 2sin(x )

VÝ dô 6 Gi¶i ph¬ng tr×nh: sinx cosx  2cosx sinx 1

Bước 1 Đặt: sinx osx 2sin(x )

1) 10sinx.cosx  11(sinx cosx) 7 0 

2) 4sinx cosx  4(sinx cosx ) 3 0

3) 4.sinx cosx  2 2 ( sinx cosx  1) 0

4) sinx cosx  2sinx 2cosx 2

Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

8) osxc  sinx sinx.cosx  1 0

9) 6 osx sinxc   sinx.cosx 6 0

10) 4 4( osx sinx) c   2sinx.cosx 0

11) 4sinx.cosx ( 6  2)( osx sinx) 2c    3

12) 2sinx.cosx sinx  cosx 1

Lêi gi¶i Bµi 1 Giải phương tr×nh: 10sinx.cosx  11(sinx cosx) 7 0 

Bước 1 Đặt: sinx osx 2sin(x )





t

(§iÒu kiÖn :t [ 2 , 2] )

Thay v o phàm m ương tr×nh ta nhận được: 5t2 11t  2 0

Bíc 2 Giải phương tr×nh: 5t2  11t  2 0 trong ®o¹n [ 2, 2]

5t2  11t  2 0

15

24

Bµi 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4sinx cosx  4(sinx cosx ) 3 0 

Bước 1 Đặt: sinx osx 2sin(x )





t

( §iÒu kiÖn :t [ 2, 2] )

Thay v o phàm m ương tr×nh ta nhận được: 2t2  4t  1 0

Bíc 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2t2  4t  1 0 trong ®o¹n [ 2, 2]

2

22

Thay v o phàm m ương tr×nh ta nhận ®ược: t22t  1 0

Bíc 2 Giải phương tr×nh: t2  2t  1 0 trong ®o¹n [ 2, 2]

Thay v o phàm m ương tr×nh ta nhận ®ược: t2 12t  13 0

Bíc 2 Giải phương tr×nh: t2 12t  13 0 trong ®o¹n [ 2, 2]



Bước 3 Giải c¸c phư¬ng tr×nh: 6

2

5

21213

212

(kh¸i qu¸t hãa một qu¸ tr×nh diễn ra trªn một số đối tượng riªng lẻ th nh màm m ộtqu¸ tr×nh diễn ra trªn một lớp đối tượng), ¸p dụng qui tắc tổng qu¸t để giải c¸cphương tr×nh cụ thể (khả năng thực hiện thuật to¸n)

2.4.2 RÌn luyện tư duy thuật to¸n trong dạy học phương tr×nh lượng gi¸c dạng đối xứng đối với tgx vµ cotgx

2.4.2.1 C¸c vÝ dô

VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (tg x2 cotg x2 ) 7( tgxcotgx) 14 0 

(Gi¸o viªn lµm mÉu)

Bíc 1 §Æt ®iÒu kiÖn: sin 0

Bíc 4 Gi¶i ph¬ng tr×nh: tgx cotgx  3 vµ tgx cotgx 4

1

4sin cos

VÝ dô 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: (tg x2 cotg x2 ) 3( tgx cotgx) 2 0

(Häc sinh vµ gi¸o viªn cïng lµm)

Bíc 1 §Æt ®iÒu kiÖn: sin 0

tgx cotgx 4 sin cos 4

Bớc 3 Giải phơng trình: a t 2b t  c 2a 0 với điều kiện t 2

- Nếuvô nghiệm trong điều kiện t 2 thì chuyển sang bớc 5, kết luận

phong trình đã cho vô nghiệm

- Nếu có nghiệm t thỏa mãn điều kiện 0 t 2 thì chuyển sang bớc 4 (có thể có 2 nghiệm t0 2)

Bớc 4 Giải phơng trình: tgx cotgx t 0

Bớc 5 Kết luận

2.4.2.3 Ví dụ áp dung qui tắc giải (học sinh giải)

Ví dụ 4 Giải phơng trình: 2(tg x2 cotg x2 ) 5( tgxcotgx) 6 0 

Bớc 1 Đặt điều kiện: sin 0