Luận văn thạc sỹ: Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh qua dạy học bất đẳng thức

rèn luyện tư duy thuật giải thông qua bất đảng thức

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Tư duy thuật giải có vai trò quan trọng trong nhà trường phổ thông đặcbiệt trong dạy học toán Trong môn toán, có nhiều dạng toán được giải quyếtnhờ thuật giải Trong thực tế giảng dạy những bài toán, những dạng toán cóthuật giải, có qui tắc giải, có sự phân chia thành các bước để giải thì học sinh

dễ tiếp thu lĩnh hội Thông qua các bước hoạt động, yêu cầu bài toán đượcgiảm dần phù hợp với khả năng của học sinh, nó là định hướng để học sinhgiải quyết bài toán đó

Qua việc tìm tòi thuật giải, qui tắc tựa thuật giải để giải từng bài toán,từng dạng toán, nó thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ khác cho họcsinh như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, tương tự hoá,…Hơnnữa, nó còn hình thành cho học sinh những phẩm chất trí tuệ như: Tính cẩnthận chi tiết, tính linh hoạt, tính độc lập, sáng tạo, kích thích sự ham muốnkhám phá,…các phẩm chất tốt đẹp của người lao động như: Tính ngăn nắpcẩn thận, tính kỷ luật, ý thức tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc…Mặt khác qua đó từng bước giúp học sinh thích nghi được yêu cầu của xã hội,của đất nước đang trên con đường công nghiệp hoá hiện đại hoá, đáp ứng yêucầu của con người mới trong nền sản xuất tự động hoá và bối cảnh công nghệthông tin, tin học đang có ảnh hưởng mạnh mẽ, sâu rộng tới mọi lĩnh vực củacuộc sống

Tuy nhiên ở trường phổ thông hiện nay, vấn đề rèn luyện và phát triểnTDTG chưa được quan tâm đúng mức, nó chỉ diễn ra một cách tự phát, chưa

có sự chỉ đạo và tài liệu hướng dẫn GV thực hiện Do đó, GV chưa biết cáchkhai thác các tình huống, các nội dung dạy học nhằm rèn luyện và phát triểnTDTG cho học sinh

Khi dạy một nội dung toán học, ngoài việc giúp học sinh nắm vững nộidung đó, ta cần giúp học sinh biết vận dụng nó để học và giải quyết các bàitập, các nội dung khác có liên quan.

BĐT được giảng dạy cho học sinh THPT ở lớp 10 Tuy thời gian có ít

và các lớp tiếp theo không được đề cập lại nhưng nó có nhiều ứng dụng đểgiải nhiều dạng toán khác Nội dung BĐT phong phú, đa dạng, nó thu hútđược sự quan tâm đặc biệt của cả giáo viên và học sinh Tuy nhiên ở trườngTHPT, việc khai thác các ứng dụng của BĐT còn gặp nhiều khó khăn và hạnchế Một trong những nguyên nhân của tình trạng này là GV và HS chưa biếtcách khai thác, xây dựng các thuật giải và các qui tắc tựa thuật giải để giảiquyết dạng toán này

Đó chính là những lý do mà chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: Rèn

luyện tư duy thuật giải thông qua dạy học giải toán có ứng dụng bất đẳng thức ở trường trung học phổ thông.

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh khi dạy học nội dung: Ứngdụng bất đẳng thức trong giải toán

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

+ Tổng hợp lí luận về phát triển TDTG qua môn toán

+ Tìm hiểu thực tiễn về việc rèn luyện và phát triển TDTG của môntoán ở trường THPT

+ Đề ra giải pháp nhằm rèn luyện và phát triển TDTG thông qua dạyhọc nội dung: Giải toán có ứng dụng BĐT

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu chúng ta tăng cường việc rèn luyện TDTG cho học sinh khi dạyhọc nội dung giải toán có ứng dụng bất đẳng thức thông qua một giải phápdạy học dựa trên hệ thống các bài toán chọn lọc thì không những giúp học

sinh học tốt nội dung đó mà còn góp phần phát triển tư duy thuật giải, kỹnăng, năng lực giải toán.

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1 Nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu các tài liệu về lý luận dạy học, các sách giáo khoa, sáchgiáo viên, các tài liệu tham khảo có liên quan

5.2 Phương pháp quan sát điều tra:

+ Điều tra chất lượng học sinh trước và sau thử nghiệm

+ Quan sát giờ dạy để tìm hiểu thực trạng về rèn luyện tư duy thuật giảicủa giáo viên và học sinh

+ Sưu tầm các bài toán, các vấn đề có liên quan Những kinh nghiệmcủa bản thân và của các đồng nghiệp

+ Chọn lọc phân loại các vấn đề sưu tầm được

5.3 Thực nghiệm sư phạm:

Tác giả trực tiếp dạy và phối hợp với đồng nghiệp dạy và kiểm tra họcsinh ở trường THPT Yên Dũng số I và THPT Yên Dũng số II

6 CẤU TRÚC LUẬN VĂN:

Ngoài phần mở đầu, mục lục và tài liệu tham khảo, luận văn gồm bachương:

Chưong 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.

Chương 2: Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh THPT thông

qua dạy học giải toán có ứng dụng bất đẳng thức.

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 TƯ DUY THUẬT GIẢI TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 1.1.1 Một số vấn đề về tư duy

* Khái niệm

“Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những bản chất, những mốiquan hệ có tính chất qui luật của sự vật hiện tượng mà trước đó chủ thể chưabiết” [13, tr.1]

Ở mức độ nhận thức cảm tính, con người chỉ phản ánh các thuộc tính ởgóc độ trực quan, cụ thể, bề ngoài, các mối quan hệ về mặt không gian, thờigian và trạng thái vận động của sự vật hiện tượng, phản ánh trực tiếp bằnggiác quan cái đang tác động Còn tư duy thường bắt đầu từ nhận thức lí tính,trên cơ sở của nhận thức cảm tính Tư duy phản ánh những thuộc tính bêntrong, những mối quan hệ có tính chất qui luật của hàng loạt sự vật hiệntượng, những điều mà con người chưa biết, cần phải tìm tòi, khám phá và giải quyết

* Các thao tác tư duy

Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao táctrí tuệ Các thao tác trí tuệ cơ bản là:

- Phân tích, tổng hợp

- So sánh, tương tự

- Khái quát hóa, đặc biệt hóa

- Trừu tượng hóa

* Một số loại hình tư duy toán học

Hoạt động tư duy phụ thuộc vào đối tượng tư duy Trong toán học cómột số loại hình tư duy sau:

- Tư duy hình thức và tư duy biện chứng

- Tư duy phê phán, tư duy giải toán và tư duy sáng tạo.

- Tư duy ngữ nghĩa và tư duy cú pháp

- Tư duy thuật giải

- Tư duy hàm

Sự phân chia các loại hình tư duy toán học chỉ mang tính tương đối.Hiện nay chưa có sự phân loại nào triệt để và thống nhất Mặc dù mỗi loạihình tư duy có những đặc điểm, đặc trưng khác nhau nhưng chúng khônghoàn toàn độc lập với nhau, giữa chúng cũng có sự liên hệ, hỗ trợ nhau.TDTG là một trong những thành phần quan trọng của tư duy toán học Rènluyện tư duy thuật giải trong môn toán sẽ góp phần phát triển tư duy toán họccho học sinh

1.1.2 Tư duy thuật giải

1.1.2.1 Thuật giải và quy tắc tựa thuật giải

1.1.2.1.1 Thuật giải

Hàng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đếnphức tạp Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định nhằm mô tảquá trình giải Từ việc mô tả quá trình giải ấy, người ta đi đến khái niệm trựcgiác về thuật giải

Theo [10, tr 378 ]: “Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như mộtdãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được một cách đơn trị, kết thúc sau một

số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào (INPUT) củamột lớp bài toán thành thông tin ra (OUTPUT) mô tả lời giải của lớp bài toán đó”

Theo [9, tr 51] thì: “Thuật giải là một quy tắc chính xác và đơn trị quyđịnh một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định trênnhững đối tượng sao cho sau một số hữu hạn những thao tác đó ta thu đượckết quả mong muốn”

Những khái niệm trên đều thống nhất rằng mỗi thuật giải đều có nhữngtính chất cơ bản và quan trọng sau:

* Tính đơn trị

Tính đơn trị của thuật giải đòi hỏi rằng các thao tác trong thuật giải phảiđơn trị Nghĩa là hai phần tử cùng một cơ cấu thực hiện cùng một thao tác trêncùng một đối tượng thì phải cho cùng một kết quả Tính chất này nói lên tínhhình thức hoá của thuật giải nhờ đó ta có thể lập trình giao cho các thiết bị tựđộng thực hiện thuật giải thay thế con người

Ví dụ: Thuật giải hệ phương trình bậc nhất:







= +

= +

' ' 'x b y c a

c by ax

Bước 1: Xác định các hệ số: a, b, c, a’, b’, c’

Bước 2: Tính các định thức:

D = ab’- a’b; Dx = cb’- c’b; Dy = ac’- a’c

Bước 3: Kiểm tra điều kiện: D = 0

Nếu đúng thì chuyển sang bước 4 nếu sai chuyển sang bước 5

Bước 4: Kiểm tra: Dx = Dy = 0

Nếu đúng thì kết luận mọi cặp số (x ; y) đều là nghiệm của hệ;

Nếu sai thì kết luận hệ vô nghiệm

Bước 5: Kết luận:

Hệ có nghiệm duy nhất: (x ; y) = (Dx Dy; )

D D

Trong ví dụ trên tính đơn trị thể hiện: Chẳng hạn trong một bước 4 nếu

ta cho lần lượt từng học sinh thực hiện các thao tác thì kết quả thu được củacác học sinh là như nhau

* Tính dừng

Tính dừng của thuật giải yêu cầu sau một số hữu hạn lần thực hiện cácthao tác đã chỉ ra phải đi đến kết thúc, thu được kết quả như mong muốn

Tính dừng của thuật giải không quy định cụ thể mỗi thuật giải phải cóbao nhiêu bước, điều đó phụ thuộc vào tính chất và độ phức tạp của bài toánnhưng phải đảm bảo không được lặp lại mãi.

Nếu có chuyển sang bước 4

Nếu không chuyển sang bước 5

Nếu không chuyển sang bước 7

Bước 7:

Nhân tất cả các thừa số đã viết riêng Tích của các số đó chính là ƯCLNcủa hai số x và y

Trong thuật giải trên mỗi số x, y chỉ phân tích được thành tích của một

số hữu hạn các thừa số nguyên tố

Với các thao tác xóa dần các số nguyên tố trong số x, đảm bảo sau một

số hữu hạn bước trong x, không còn số nguyên tố nào Khi đó thuật giải thuđược kết quả mong muốn

* Tính đúng đắn

Thuật giải phải đảm bảo tính đúng đắn tức là phải giải quyết đúng vấn

đề đặt ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn Thuật giải không cho phépkết quả sai hoặc không đầy đủ, bỏ sót trường hợp

Ví dụ:

Giải phương trình ax + b = 0

Bước 1: Xác định các số a, b

Bước 2: Chuyển số hạng tự do sang vế phải: ax = -b

Bước 3: Chia 2 vế của phương trình cho a

Bước 4: Kết luận phương trình có nghiêm duy nhất x =

* Tính phổ dụng

Thuật giải phải áp dụng được cho một lớp các bài toán có cùng cấu trúcvới những dữ liệu cụ thể khác nhau Nhờ tính chất này, người ta sáng tạo ranhững thuật giải, rồi từ đó xây dựng những chương trình mẫu để giải từng lớpbài toán

Ví dụ:

Thuật giải tìm ƯCLN áp dụng cho mọi cặp số nguyên (x,y), thuật giải

phương trình bậc hai: ax2+ bx + c = 0 (a ≠ 0) áp dụng cho mọi phương trìnhbậc 2

* Tính hiệu quả

Yêu cầu hiệu quả của thuật giải là tính tối ưu Tiêu chuẩn tối ưu đượchiểu là:

+ Thuật giải thực hiện nhanh, tốn ít thời gian

+ Thuật giải dùng ít giấy hoặc thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian.+ Đáp ứng được nhu cầu của thực tiễn Đặc biệt trong điều kiện hiệnnay khi mà có nhiều phương tiện, kĩ thuật trợ giúp thực hiện các thuật giải

* Các hình thức biểu diễn thuật giải

Thuật giải tồn tại dưới nhiều hình thức khác nhau Trong môn toán vàtrong thực tế người ta thường gặp những hình thức biểu diễn thuật giải sau: Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, sơ đồ khối, ngôn ngữ phỏngtrình và các ngôn ngữ lập trình

Ta lấy ví dụ giải phương trình bậc hai: ax2+ bx +c = 0 (a ≠ 0) để minh

hoạ cho các hình thức biểu diễn thuật giải

Dạng 1: Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học

+ Nếu ∆ < 0 thì kết luận phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ > 0 thì chuyển sang bước 4

Bước 4: Kết luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Kết thúc

Pt có 2 nghiệm phân biệt :

x =(-b -)/(2a)x= (-b+)/(2a)

Kết thúc

then wreti (’nghiem kep ’ , -b/(2*a) :8 : 2)

1.1.2.1.2 Quy tắc tựa thuật giải

Như đã trình bày ở trên, đặc trưng của thuật giải là hệ thống các quyđịnh nghiêm ngặt được thực hiện theo một trình tự chặt chẽ Tuy nhiên trongquá trình và thực tiễn dạy học, ta cũng thường gặp một số quy tắc tuy chưa mang đầy đủ các đặc điểm đặc trưng của thuật giải nhưng có một sốtrong các đặc điểm đó và chúng có nhiều tác dụng trong việc hướng dẫn họcsinh giải toán

* Khái niệm quy tắc tựa thuật giải

+ Theo Nguyễn Bá Kim: “Quy tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãyhữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biếnđổi thông tin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớpbài toán đó” [10, tr 379]

Ví dụ: Quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x)

Bước 1: Cho số gia của đối số tại điểm x là ∆x Tính số gia của hàm số:

Giới hạn (nếu có) của tỉ số trên gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tạiđiểm x Trong quy tắc này, học sinh dễ hình dung và nắm được quy tắc, cácbước tiến hành để tính đạo hàm của hàm số tại điểm x Tuy nhiên có nhữngchỉ dẫn chưa mô tả một cách xác định công việc, chẳng hạn: chỉ dẫn ở bước 3

về việc tìm limΔx 0lim→

Quy tắc tựa thuật giải phân biệt với thuật giải như sau:

+ Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc đó có thể chưa mô tả hành động một cáchxác định

+ Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn không đơn trị

+ Quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thìđem lại kết quả là lời giải của lớp bài toán

Mặc dù có một số hạn chế trên so với thuật giải song quy tắc tựa thuậtgiải cũng vẫn là tri thức phương pháp quan trọng có ích cho quá trình hoạtđộng và giải toán

1.1.2.2 Tư duy thuật giải

Một trong những luận điểm cơ bản của giáo dục học là: Con người pháttriển trong hoạt động, học tập diễn ra trong hoạt động

Quan điểm định hướng đổi mới phương pháp dạy học chỉ ra rằng:Phương pháp dạy học cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tậptrong hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực chủ động và sáng tạo.Nghiên cứu mối liên hệ giữa nội dung dạy học với hoạt động cho thấy:Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động nhất định tương thích

với nó Đó là những hoạt động được thực hiện trong quá trình hình thành vàvận dụng nội dung này.

Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học được thể hiện ởnhững tư tưởng chủ đạo sau:

+ Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt độngthành phần tương thích với nội dung và mục tiêu dạy học

+ Hướng đích và gợi động cơ cho các hoạt động học tập

+ Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức đặc biệt là tri thức phương pháp nhưphương tiện và kết quả của hoạt động

+ Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học

Tương thích với khái niệm thuật giải ta cần khai thác các dạng hoạtđộng sau:

T1: Thực hiện các thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với mộtthuật giải

T2: Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theomột trình tự xác định

T3: Khái quát hoá một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻthành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng

T4: Mô tả chính xác một quá trình tiến hành một hoạt động

T5: Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết một công việc

Hoạt động T1 thể hiện năng lực thực hiện thuật giải

Các hoạt động từ T2 đến T5 thể hiện năng lực xây dựng thuật giải Cả 5hoạt động trên đươc gọi là các hoạt động của TDTG

Như vậy có thể phát biểu rằng: “TDTG là phương thức tư duy biểu thịkhả năng tiến hành các hoạt động thực hiện và xây dựng thuật giải”.

1.2 MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA TDTG TRONG MÔN TOÁN

TDTG được rèn luyện ở trường phổ thông thông qua dạy học thực hiện,xây dựng thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải Qua các tình huống điểnhình trong dạy học toán TDTG có mặt ở các cấp học, các môn trong bộ môntoán: Khi học môn số học, HS được biết các thuật giải tìm ƯCLN , BCNN …Khi học các Hệ thống số, các quy tắc tính toán, so sánh thường mang tínhthuật giải Trong Đại số, HS được học các thuật giải phương trình bậc nhất,phương trình bậc 2, thuật giải hệ phương trình bậc nhất…Trong dạy học giảitoán có ứng dụng BĐT có thể rèn luyện TDTG cho HS thông qua việc hướngdẫn HS phát hiện , xây dựng các thuật giải và quy tắc tựa thuật giải để giảimột số bài toán, dạng toán (Các dạng toán này sẽ được trình bày ở chương 2)

* Thực hiện thuật giải

Trong chương trình toán phổ thông, HS được học, thực hiện nhiều thuậtgiải như: Thuật giải tìm ƯCLN, BCNN, thuật giải phương trình, hệ phươngtrình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình bậc nhất với sinx và cosx:asinx + bcosx = c,…

∆ = 52 – 4.1.6 = 1

Bước 3: Xét dấu ∆

∆> 0 Bước 4 : Kết luận:

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

x1 = 5 1 2

2− = ; x2 = 5 1 3

2

+ =

Khi dạy học thực hiện thuật giải, quy tắc tựa thuật giải cần lưu ý:

+ Cho HS biết nhiều hình thức thể hiện thuật giải, quy tắc tựa thuật giảitạo điều kiện cho họ nắm vững nội dung từng bước và trình tự các bước củathuật giải đó

+ Mặc dù các bước của thuật giải đã được trình bày rõ theo một trình tựxác định tuy nhiên, cần luyện tập cho HS thực hiện tốt các chỉ dẫn đã nêu.Nếu HS không biết thực hiện những chỉ dẫn như vậy thì dù có học thuộc cácquy tắc tổng quát cũng không thể áp dụng nó vào trường hợp cụ thể, vẫnkhông giải quyết được yêu cầu của công việc

* Xây dựng thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải

Bên cạnh việc học và thực hiện các thuật giải có sẵn, HS cũng cần đượcrèn luyện cách xây dựng các thuật giải, quy tắc tựa thuật giải Đặc biệt, tronggiải toán nếu ta xây dựng được nhiều các thuật giải và các quy tắc tựa thuậtgiải sẽ giúp HS sử dụng chúng thực hiện tốt , nhanh gọn , chính xác yêu cầucủa bài toán

Ví dụ: Hướng dẫn HS xây dựng quy tắc tựa thuật giải cho dạng toán:

Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Bài toán: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là hai điểm lần lượt trên AB và AC

sao cho MN cắt BC Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng(BCD)

Phân tích :

Gọi K là giao điểm của MN và (BCD)

⇒ K ∈(BCD) Mặt khác K∈ MN ⊂(ABC)

⇒ K ∈ (ABC) ⇒ K ∈(BCD)∩ (ABC)

Mà (BCD)∩ (ABC) = BC

⇒ K chính là giao điểm của BC và MN.

* GV hướng dẫn HS phân tích quá trình tìm điểm K.

Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P)

Quy tắc tựa thuật giải:

Bước 1: Chọn một mặt phẳng (Q) chứa a

Bước 2: Tìm giao tuyến b của (P) và (Q)

Bước 3: Tìm giao điểm M của a và b.

Bước 4: Kết luận M là giao điểm cần tìm

1.3 VẤN ĐỀ RÈN LUYỆN TDTG TRONG MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

1.3.1 Vai trò TDTG trong dạy học môn toán

TDTG là một trong số các loại hình tư duy cần được rèn luyện và pháttriển cho học sinh phổ thông Phát triển TDTG của HS là góp phần nâng cao

chất lượng toàn diện của quá trình dạy học toán Trong dạy học toán, vai tròcủa TDTG được thể hiện ở các mặt sau:

+ TDTG tạo điều kiện tốt để học sinh tiếp thu kiến thức, rèn luyện các

kĩ năng toán học

+ TDTG cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chung như:Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,…cũng nhưnhững phẩm chất trí tuệ như: Tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo,…+ TDTG góp phần hình thành ở học sinh một số phẩm chất tốt đẹp củangười lao động trong nền sản xuất tự động hóa như tính ngăn nắp, tính kỉ luật,

ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối ưu trong khi giải quyết công việc,…

+ TDTG giúp HS hình dung được quá trình tự động hóa diễn ra trongcác lĩnh vực họat động khác nhau của con người trong đó có lĩnh vực sử líthông tin Điều này giúp HS thích nghi với xã hội tự động hóa, góp phần xóa

bỏ sự ngăn cách giữa nhà trường và xã hội

+ Tiến hành các hoạt động TDTG có thể dẫn đến hình thành cho HSnhững tri thức phương pháp để giải quyết một vấn đề, góp phần hình thànhcho HS năng lực giải quyết vấn đề trong học tập cũng như trong cuộc sống

* TDTG được rèn luyện, phát triển khi dạy học những tình huống điểnhình trong dạy học môn toán:

- Dạy học khái niệm

- Dạy học định lý

- Dạy học quy tắc, phương pháp

- Dạy học giải bài tập toán học

1.3.2 Rèn luyện TDTG trong dạy học khái niệm

Khi dạy học khái niệm, ta cần chú ý một khâu rất quan trọng là củng cố

và vận dụng khái niệm Nhận dạng và thể hiện là một trong những hoạt động

cơ bản để củng cố, vận dụng khái niệm Trong nhiều trường hợp ta có thể xâydựng thuật giải để nhận dạng khái niệm

Ví dụ:

Nhận dạng và thể hiện khái niệm hàm số

Nội dung của khái niệm hàm số là hội của hai điều kiện như sau:

• Điều kiện P1:

Với mỗi phần tử x ∈ R đều tồn tại một phần tử tương ứng y ∈R

• Điều kiện P2:

Với mỗi phần tử x ∈ R thì phần tử tương ứng y là duy nhất

Ta có thể hướng dẫn học sinh sử dụng thuật giải sau để nhận dạng kháiniệm hàm số:

1.3.3 Rèn luyện TDTG trong dạy học định lý

Các định lí và các khái niệm toán học tạo thành nội dung cơ bản củamôn toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kỹ năng bộ môn, đặc biệt là khả

Bắt đầu

i : = 1

Bi(x)( )

năng suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tưtưởng, phẩm chất và đạo đức cho HS.

Một trong những yêu cầu của việc dạy học định lí là giúp HS nắm được

hệ thống các định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó HS có khả năngvận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trongthực tiễn

Trong quá trình dạy học định lí, nếu giúp HS xây dựng được các thuậtgiải, quy tắc tựa thuật giải để chứng minh, thể hiện định lí sẽ tạo điều kiện tốt

để HS tiếp thu, lĩnh hội, và vận dụng chúng vào trong các hoạt động giải toán

Ví dụ :

Khi dạy học định lí dấu tam thức bậc hai ta có thể hướng dẫn, giúp HSxây dựng quy tắc thuật giải thể hiện định lí để xét dấu của tam thức bậc haif(x) = ax2 + bx + c (a≠0) như sau:

Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c và dấu của a

Bước 2: Tính biệt số ∆= b2 – 4ac

Bước 3: Áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai:

−

−

1.3.4 Rèn luyện TDTG trong dạy học giải bài tập toán

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán Bởi lẽ, nó khôngchỉ yêu cầu HS tiến hành những hoạt động như: Nhận dạng và thể hiện, cáchoạt động trí tuệ phổ biến trong toán, các hoạt động trí tuệ chung,…mà còntrực tiếp liên hệ thuật giải và qui tắc tựa thuật giải Thông qua giải bài tập cóthể rèn luyện, phát triển tư duy thuật giải cho HS Mặc dù không có thuật giảitổng quát nào có thể giải được mọi bài toán tuy nhiên, trong quá trình giảitoán việc tìm tòi, xây dựng những thuật giải, quy tắc tựa thuật giải cho một sốlớp các bài toán sẽ giúp HS dễ dàng lĩnh hội, tiếp thu kiến thức, hệ thống kiếnthức và giúp HS có những tri thức phương pháp trong giải toán

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Do IA = IB = IC = ID nên

I ∈ d trong đó, d là đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại tâm O của đườngtròn ngoại tiếp đáy ABCD (d gọi là trục của đường tròn tâm O) Tứ giácABCD là hình vuông nên O là giao của AC và BD

Mặt khác: IA = IB = IC = ID = IS nên I ∈ (P) trong đó (P) là mặt phẳngtrung trực của một cạnh bên Từ đó ta có I là giao của (P) và d

Như vậy ta cần:

• Tìm tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD.

• Tìm d là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy

• Tìm (P) là mặt phẳng trung trực của một cạnh bên

• Tìm giao điểm I của d và (P)

* Từ bài toán trên giáo viên có thể hướng dẫn xây dựng qui tắc tựa thuật giải cho bài toán:

Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bước 1: Kiểm tra đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp

Bước 2: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

Bước 3: Xác định đường thẳng d là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy

Bước 4: Xác định (P) là mặt phẳng trung trực của một cạnh bên

Bước 5: Xác định giao điểm I của d và (P); kết luận I là tâm mặt cầu

Ví dụ 2:

Khi dạy học nội dung ứng dụng BĐT có thể hướng dẫn HS xây dựngthuật giải để giải lớp các bài toán sau:

Bài toán:(Bài 88- Chương 2)

Cho 2 điểm phân biệt A, B không nằm trên mặt phẳng (P), tìm điểm Mtrên (P) sao cho biểu thức: Q = MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

* Thuật giải:

Bước 1:

Kiểm tra A, B cùng phía hay khác phía (P)

• Nếu A, B cùng phía với (P) thì kết luận:

minQ = AB đạt được khi M là giao điểm

của đường thẳng AB với (P)

• Nếu A, B khác phía (P) thì chuyển bước 2.

Bước 2: Tìm A’ đối xứng A qua (P)

Bước 3: Tìm giao điểm I0 của A’B với (P).

• Dùng bất đẳng thức chứng tỏ Q đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi:

M là giao điểm của A’B với (P)

• Tìm giao điểm I0 của A’B với (P)

Bước 4: Tính A’B

Bước 5: Kết luận: minQ = A’B đạt được khi M trùng I0

1.4 TÌNH HÌNH DẠY HỌC ỨNG DỤNG BĐT ĐỂ GIẢI TOÁN Ở TRƯỜNG THPT

Nội dung BĐT được trình bày cho học sinh THPT ở SGK Đại số 10 vớithời lượng 4 tiết (2 tiết lí thuyết và 2 tiết bài tập) Thời gian có ít tuy nhiên,nội dung BĐT rất phong phú, đa dạng và có nhiều ứng dụng trong các hoạtđộng giải toán Qua tìm hiểu tình hình dạy học BĐT và các ứng dụng củaBĐT ở một số trường THPT chúng tôi có một số nhận xét sau:

• Về phía giáo viên:

+ Đa số GV chưa thực sự quan tâm việc dạy học giải toán có ứng dụngBĐT Nhiều GV cho rằng BĐT và việc ứng dụng BĐT trong giải toán là vấn

đề khó đối với GV và HS Mặt khác do sức ép của thời gian đứng lớp ít màvẫn phải hoàn thành chương trình SGK, do thói quen bảo thủ, ỷ lại vào cáccông cụ khác để giải quyết vấn đề nên họ ít quan tâm nghiên cứu …Trong khivẫn biết có nhiều bài toán, nhiều vấn đề nếu biết ứng dụng BĐT sẽ đem lại lờigiải hay, ngắn gọn, dễ hiểu, tiết kiệm thời gian, tránh được sự tính toán phứctạp, dài dòng…

+ Có một số ít GV phải bồi dưỡng HS giỏi đã quan tâm, nghiên cứu ứngdụng BĐT để giải toán

+ Đa số các GV thiếu định hướng, hệ thống các bài toán có ứng dụngBĐT

+ Nhiều GV chưa chú trọng quan tâm đến việc dạy tri thức phươngpháp và rèn luyện TDTG cho HS

• Về phía học sinh:

Khảo sát thăm dò học sinh bằng hai bài kiểm tra 15 phút.

Bài 1: Giải phương trình:

(Thời gian kiểm tra là giờ bài tập trong bài:Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, trong chương trình giải tích 12)

• Kết quả:

Bài 1: Đa số HS chưa định hướng được hướng giải quyết bài toán Một

số ít HS (khoảng 15%) biết cách giải nhờ đánh giá hai vế, tuy nhiên việc trìnhbày còn chưa rõ

Bài 2: Đa số HS sử dụng phương pháp khảo sát hàm số Trong số đó có

nhiều em rất lúng túng trong việc lập bảng biến thiên hoặc tính toán sai Cómột số ít biết sử dụng BĐT Côsi để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Như vậy, tình hình dạy học nội dung: Giải toán có ứng dụng BĐT ởtrường phổ thông còn có những bất cập, cả về phía GV và HS, dẫn đến chấtlượng dạy học giải toán chưa cao HS còn gặp nhiều khó khăn khi giải nhữngbái toán có ứng dụng BĐT, mà nguyên nhân chủ yếu là do HS yếu cả về kiếnthức và phương pháp tư duy, chưa biết cách tìm ra những thuật giải, qui tắctựa thuật giải để giải quyết các bài toán đó

1.5 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

TDTG là một trong những thành phần quan trọng của tư duy toán học.TDTG có vị trí và tầm quan trọng trong môn toán của nhà trường phổ thông,được thể hiện ở các cấp học, các môn học trong bộ môn toán

Rèn luyện và phát triển TDTG góp phần phát triển tư duy toán học cho

HS, góp phần nâng cao chất lượng toàn diện của quá trình dạy học toán vàthực hiện một phương hướng giáo dục tin học trong nhà trường phổ thông.TDTG được khai thác, rèn luyện, phát triển trong các nội dung dạy học củaquá trình dạy học Tuy nhiên, trong dạy học toán ở trường THPT, vấn đề rènluyện TDTG còn có những khó khăn, tồn tại

Vấn đề đặt ra là: Với mỗi nội dung, tình huống dạy học cụ thể việc khaithác chúng như thế nào để rèn luyện và phát triển TDTG cho HS? Vấn đề này

sẽ được đề cập trong chương 2 khi vận dụng vào nội dung dạy học: Ứng dụngBĐT trong giải toán

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN CÓ ỨNG DỤNG BĐT 2.1 NỘI DUNG BĐT Ở TRƯỜNG THPT

Nội dung BĐT ở trường THPT được trình bày cho học sinh lớp 10.Theo quan điểm của SGK chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và SGK mới đềuthống nhất các nội dung:

Học sinh lớp 10 đã được biết: Trong tập số thực R có quan hệ thứ tự

Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, nếu a – b là một số dương, tức a- b > 0.Với mỗi cặp 2 số thực a và b luôn xảy ra một và chỉ một trong 3 khả năng:

Hoặc a bằng b, kí hiệu a = b

Hoặc a lớn hơn b, kí hiệu a > b

Hoặc a nhỏ hơn b, kí hiệu a < b

• Định nghĩa BĐT

Các mệnh đề dạng “ a < b ” hoặc “a > b ” được gọi là các BĐT

• Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương.

+ Nếu mệnh đề “ a < b ⇒ c < d ” đúng thì ta nói rằng: c < d là bấtđẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là:

a < b ⇒ c < d

+ Nếu c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và ngượclại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết:

a < b ⇔ c < d

• Cũng giống như bất cứ một mệnh đề nào trong toán học một bất đẳng thức

“a < b” hoặc “a > b” có thể đúng hoặc có thể sai

được một BĐT tương đương ngược chiều.

có tất cả các vế dương, thì ta được một bất đẳng thức cùng chiều

Tính chất 5:

a > b ⇔ a2n+1 > b2n+1 với ∀ n nguyên dương

a > b > 0 ⇒ a2n > b2n với ∀ n nguyên dương

Tính chất 6 :

a > b > 0 ⇒ n a > n b với ∀ n nguyên dương

Hệ quả: Nếu a, b là hai số dương thì:

a > b ⇔ a2 > b2

• Chú ý:

Các mệnh đề dạng “a ≥ b” hoặc “a ≤ b” cũng được gọi là các bất đẳngthức Để phân biệt ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi cácbất đẳng thức dạng a > b hoặc a < b là các bất đẳng thức ngặt Các tính chấtnêu trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt

2.1.3 Một số BĐT cơ bản trong chương trình phổ thông

2.1.3.1 Các BĐT gốc

Trong chương trình phổ thông ta thường gặp một số BĐT cơ bản sau:

• x2 ≥ 0 với∀x ∈R Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = 0

• x2 + y2 ≥ 0 với ∀ x , y ∈ R Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y= 0

• Tổng quát: x12m + x22m + …+ xn2m ≥ 0 (*) với ∀ x1, x2,…, xn ∈ R;

m, n ∈ N* Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x1 = x2 =….= xn = 0

Quy ước: Trong luận văn, ta gọi các BĐT có dạng (*) là các

(1) với ∀ a, b không âm

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a = b

Chứng minh:

Do hai vế của (1) không âm nên bình phương hai vế ta được:

(1) ⇔ ) 2

2 (a b

• Hệ quả 2: Nếu hai số x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + ynhỏ nhất khi và chỉ khi: x = y.

a

2 1 2

1+ + ≥ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a1 =….= an

• Hệ quả 1:

Nếu n số thực dương a1, a2,…, an có tổng không đổi thì tích của chúng:T= a1a2…an đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi: a1 = a2 =….= an

• Hệ quả 2:

Nếu n số thực dương a1, a2 ,…., an có tích không đổi thì tổng của chúng:

S = a1 + a2 +….+ an đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi:

a

1

1 1

2 1

+ + + đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi: a1= a2 =….= an.

a

(Với quy ước: Nếu bj = 0 thì aj = 0)

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi: M, A, B thẳng hàng

• Cho hai véc tơ ur r, v ta luôn có:

u vr r+ ≤ ur + vr

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi ur r, v cùng hướng

• Cho hai véc tơ ur r, v ta luôn có: uvrr ≤ ur rv

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi ur r , v cùng phương

2.1.4 Một số phương pháp chứng minh BĐT

Muốn chứng minh BĐT, ta dùng định nghĩa hoặc các tính chất cơ bảncủa BĐT

Khi dùng các tính chất cơ bản của BĐT, có hai hướng biến đổi:

- Hoặc biến đổi BĐT phải chứng minh thành một BĐT tương đương

mà ta đã biết là đúng (phương pháp biến đổi tương đương)

-Hoặc xuất phát từ các BĐT đúng đã biết biến đổi thành bất đẳng BĐTphải chứng minh (BĐT phải chứng minh là hệ quả của những BĐT đúng đã biết)

* Phương pháp biến đổi tương đương

Bài toán :Chứng minh BĐT: A ≥ B

Phương pháp:

Ta dùng các phép biến đổi tương đương biến đổi:

0

b a

b a

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

* Sử dụng một số BĐT cơ bản như: Côsi , Bunhiacopxki …

Ví dụ 1: (Sử dụng BĐT Côsi)

Cho a, b là hai số dương Chứng minh: (1 +1)(a+b) ≥ 4

b a

Lời giải:

Do a, b là các số dương nên áp dụng BĐT Côsi cho cặp số a, b và

a

1,

≥ +

ab b

a

ab b

a

1 2 1 1

2

⇒(1 +1)(a+b) ≥ 4

b a

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a b

b a

b a

+ Củng cố các kiến thức, rèn luyện các kĩ năng giải toán

+ Rèn luyện cho HS thói quen và các kĩ năng phát hiện, xây dựng, thực hiện các thuật giải và quy tắc tựa thuật giải Qua đó, HS dần hình thành và phát triển TDTG

• Cách thức trình bày hệ thống các bài tập trong luận văn:

+ Đưa ra dạng toán tổng quát

+ Nêu phương pháp hoặc định hướng chung để giải bài toán

+ Các ví dụ minh họa nhằm giúp HS tìm lời giải, trình bày lời giải theocác bước có tính thuật giải Qua đó, giúp HS xây dựng được thuật giải hoặcquy tắc tựa thuật giải cho dạng toán đó, đồng thời biết vận dụng chúng để giảicác bài tập tương tự

+ Chọn lọc một số bài tập cho HS tự luyện

+ Đưa ra những kết luận, gợi ý sư phạm cho mỗi dạng toán

Do nội dung BĐT và ứng dụng BĐT rất phong phú và đa dạng, nêntrong luận văn, chúng tôi tập trung vào việc nghiên cứu hai ứng dụng củaBĐT là: Giải phương trình và tìm cực trị hàm số Bởi vì, đây là hai ứng dụngquan trọng và thường được sử dụng trong giải toán ở trường phổ thông Sauđây chúng tôi trình bày hệ thống các bài tập giải phương trình và tìm cực trịcủa hàm số nhờ ứng dụg BĐT, với cách thức đã nêu nhằm rèn luyện TDTGcho HS

2.3 ỨNG DỤNG BĐT ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

2.3.1 Giải phương trình bằng phương pháp đánh giá hai vế

Dạng toán 1: Giải phương trình: f(x) = g(x) (I) bằng phương pháp đánh

giá hai vế

Khi nghiên cứu các cách giải phương trình, ta thấy mỗi loại phươngtrình đều có những cách giải đặc trưng cho loại đó Tuy nhiên, có nhữngphương trình mà nếu chỉ sử dụng các phương pháp đặc trưng thì sẽ gặp khókhăn hoặc không thể giải quyết được Trong thực tế có những lớp phươngtrình mà phương pháp giải chúng dựa trên những quan điểm sau:

+ Có thể quan điểm đẳng thức f(x) = g(x) là trường hợp đặc biệt đượcsinh ra từ BĐT f(x) ≥ g(x) (hoặc f(x) ≤ g(x)) Như vậy thay bằng việc giải

phương trình ta đi chứng minh BĐT rồi tìm các giá trị của x sao cho đẳngthức xảy ra.

+ Thực chất của việc giải phương trình là đi tìm x để cho hai vế củaphương trình nhận cùng một giá trị tại x Do vậy ta có thể dùng phương phápđánh giá, so sánh tập giá trị của hai vế để đưa việc giải phương trình về việctìm x để f(x), g(x) nhận cùng một giá trị Thông thường, ta so sánh hai giá trịđặc biệt trong các tập giá trị của f(x) và g(x) là: minf(x) và maxg(x) (hoặcmaxf(x) và ming(x)) Việc so sánh trên thực chất vẫn là để chứng minhf(x) ≥ g(x) (hoặc f(x) ≤ g(x))

Từ những quan điểm trên ta có thể xây dựng cách giải phương trìnhbằng phương pháp đánh giá hai vế như sau:

• Thiết lập BĐT: f(x) ≥ g(x) (hoặc f(x) ≤ g(x)).

• Chứng minh BĐT: f(x) ≥ g(x) (hoặc f(x) ≤ g(x)).

• Tìm tập T = {x: f(x) = g(x)}.

• Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là T.

Ta có thể chứng minh trực tiếp BĐT: f(x) ≥ g(x) (hoặc f(x) ≤ g(x)) Tuynhiên trong thực tế, ta hay gặp phương trình mà f(x), g(x) là hai loại hàm khácnhau, việc chứng minh trực tiếp gặp khó khăn Khi đó ta có thể sử dụngphương pháp sau:

Xét phương trình (I)

• Tập xác định của (I) là: D

• Nếu f(x); g(x) thoả mãn điều kiện:

f(x) ≥ M với mọi x∈ D dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi x ∈ T1

g(x) ≤ M với mọi x∈D dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi x ∈ T2.

M x f

) (

) (

Tập nghiệm của (I) là: T1 ∩T2.

• Nếu f(x); g(x) thoả mãn điều kiện:

g(x) ≥ M với mọi x∈ D dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi x ∈ T3.

f(x) ≤ M với mọi x∈D dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi x ∈ T4.

M x f

) (

) (

Kết luận: Tâp nghiệm của (I) là: T3 ∩T4.

* Một số ví dụ giúp HS phát hiện, xây dựng phương pháp giải (quy trình tựa thuật giải) để giải quyết dạng toán trên:

Ví dụ 1 (Bài 1): Giải phương trình: x− 2+ 4 −x= x2 – 6x + 11 (1)

Phân tích lời giải:

• Tập xác định D = [ ]2;4

Nhận thấy rằng: Nếu ta khử căn bằng phương pháp lũy thừa hai vế sẽdẫn tới một phương trình bậc 4 đầy đủ khó giải quyết Nếu xét bài toán theophương diện hàm số ta nhận thấy: Vế phải là hàm bậc hai trên [ ]2 , 4 nên tìmđược tập giá trị hàm số Vế trái là hàm căn thức có tổng các biểu thức trongcăn không đổi nên có thể dùng BĐT để tìm tập giá trị của hàm số

• GV hướng dẫn HS khảo sát, tìm tập giá trị các hàm số:

f(x) = x− 2+ 4 −x và g(x) = x2 – 6x + 11 trên D

Ta thấy công thức biểu diễn f(x) gợi ý cho ta sử dụng BĐTBunhiacôpxki nên ta tìm maxf(x) Còn g(x) là hàm bậc 2 trên một đoạn [ ]2 , 4nên tồn tại ming(x) (hơn thế còn tồn tại Maxg(x))

⇒ ming(x) = 2 đạt được khi x ∈ T2 = {3}.

2 ) (

x g

x f

• Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là: T1 ∩ T2 = {3}.

* GV hướng dẫn HS mô tả, xây dựng các bước giải bài toán.

Bước 1: Tìm tập xác định D của phương trình

Bước 3: Chứng minh: maxf(x) = min g(x)

Bước 4: Tìm: T1 ∩T2; Kết luận tập nghiệm của phương trình là: T1∩T2.

Ví dụ 2 (Bài 2): Giải phương trình: ln(sin2x) – 1 + sin3x = 0 (2)

Phân tích lời giải:

Phương trình (2) chứa hai loại hàm khác nhau nên cần chuyển vế để xétriêng từng loại hàm Biến đổi (2) về dạng: ln(sin2x) = 1 - sin3x

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi: sinx = 1 ⇔x =

2

π + 2kπ.

0 ) (

x g

x f

2 2

* GV hướng dẫn HS mô tả, xây dựng các bước giải bài toán trên

Bước 1: Tìm tập xác định của phương trình

Bước 3: Chứng minh: Max f(x) = Min g(x) = 0

Bước 4: Tìm T1 ∩T2 Kết luận: Nghiệm của phương trình là: T1∩T2.

* Từ các ví dụ trên, ta có thể xây dựng phương pháp giải (Quy tắc tựa thuật giải) cho dạng toán (I).

Bước 1: Tìm tập xác định D của phương trình (I)

Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x), g(x) trên D

Giả sử: min f(x) = p1 khi x ∈ P1

max f(x) = p2 khi x ∈ P2

min g(x) = q1 khi x ∈ Q1 max g(x) = q2 khi x ∈ Q2Bước 3: So sánh: p1 và q2 ; p2 và q1

Nếu p1 = q2 thì chuyển sang bước (4)

Nếu p2 = q1 thì chuyển sang bước (5).

Bước 4: Tập nghiệm của (1) là: P1 ∩Q2 (kết thúc).

Bước 5: Tập nghiệm của (1) là: P2 ∩Q1 (kết thúc).

• Do sinx chỉ nhận giá trị trong đoạn [− 1;1] nên có thể tìm được giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của: g(x) = 1 − sin 4 x

• Mặt khác: f(x) = x2 + 1 là hàm bậc hai hệ số a = 1 > 0 nên có giá trị nhỏ nhất

Bước 2: Tìm min f(x), max g(x)

Ta có: f(x) = x2 + 1 ≥ 1 với ∀x Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = 0

Do sin4x ≥ 0 với ∀x suy ra g(x) = 1 − sin 4 x ≤ 1 với ∀x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: sinx = 0 ⇔x = kπ.

Bước 3: So sánh min f(x) và max g(x)

1 ) (

x g

x f

` Phương trình có nghiệm duy nhất: x = 0

Ví dụ 4 (Bài 4): Giải phương trình: x2 − 2x+ 5+ x− 1 = 2

e HS.

Bước 1: Tìm tập xác định

Tập xác định: D = [1 ; +∞)

Bước 2: Tìm minf(x): f(x) = x2 − 2x+ 5+ x− 1`

Ta có: f(x) = x2 − 2x+ 5+ x− 1`= (x− 1 ) 2 + 4+ x− 1

Do (x− 1 ) 2 + 4 ≥ 2 với ∀x ∈D Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = 1.

Do x− 1 ≥ 0 với ∀x ∈D Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 1 Suy ra f(x) ≥ 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 1.

(HD: Sử dụng BĐT Côsi: minVP = 2; maxVT = 2)

Bài 10: cos4x + (cos2x – sinx)2 = 5

Bài 11: sin2008x + cos2008x = 1

(HD: So sánh sin 2008 x và sin 2 x; cos 2008 x và cos 2 x; SD: sin 2 x + cos 2 x =1)

Bài 12: tg2x + cotg2x = 2sin5(x + 450)

Bài 13: 2

5

6 4

y sin os

x

x x

y c x