luận văn làm rõ lý luận về phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, phương pháp đàm thoại, khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh thpt trong học toán, các dạng toán bất đẳng thức áp dụng phương pháp dạy học mới, các biện pháp sư phạm trong dạy học bất đẳng thức nhằm áp dụng phương pháp phát hiện giải quyết vấn đề.
MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong trình hình thành phát triển tư học sinh Tốn học có vai trị đặc biệt quan trọng Người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh thấy nhiều hình thức diễn tả nội dung Toán học đồng thời phải rèn luyện cho học sinh biết lựa chọn hình thức phù hợp thể nội dung Theo quan điểm triết học vật biện chứng, vật mang hai yếu tố nội dung hình thức Nội dung thể nhiều hình thức khác nhau, nội dung định hình thức hình thức tác động trở lại nội dung Bất đẳng thức nội dung hay Tốn phổ thơng thường xuất kì thi Olympic Tốn Đây nội dung quan trọng nhằm rèn luyện trí tuệ cho học sinh Nhìn bất đẳng thức nhiều phương diện khác giúp học sinh linh hoạt lựa chọn hình thức thể nội dung Điều kích thích tư biện chứng, tư sáng tạo cho em Tuy nhiên, bất đẳng thức nội dung khó, khơng đổi phương pháp dạy học dẫn đến tình trạng truyền thụ chiều Định hướng đổi phương pháp dạy học tích cực hóa việc học người học Để giải mâu thuẫn người thầy cần tăng cường giao lưu thầy trò q trình dạy học Có vừa tích cực hóa việc học người học vừa rèn luyện tính linh hoạt nhìn nhận vấn đề theo nhiều phương diện khác cho học sinh Từ lý trên, đề tài chọn :‘Vận dụng phương pháp đàm thoại phát giải vấn đề dạy học bất đẳng thức cho học sinh giỏi’ Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Tốn học Nguyễn Sơn Hà Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu vận dụng số phương pháp dạy học tích cực dạy học bất đẳng thức cho học sinh giỏi Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu phương pháp đàm thoại phát giải vấn đề - Xây dựng câu hỏi đàm thoại phát dạy học nội dung bất đẳng thức cho học sinh giỏi - Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi hiệu đề tài Nội dung nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp dạy học tính cực đặc biệt phương pháp đàm thoại phát - Nghiên cứu bất đẳng thức - Đề xuất quy trình đàm thoại phát dạy học bất đẳng thức - Nhìn nhận đẳng thức, bất đẳng thức theo nhiều phương diện khác dựa vào mối liên hệ tương ứng số với đại lượng hình học lượng giác - Sáng tạo bất đẳng thức cách nhìn bất đẳng thức có theo phương diện - Đề xuất giải pháp sư phạm Phương pháp nghiên cứu 4.1 Nghiên cứu lý luận Tìm hiểu, nghiên cứu vấn đề liên quan đến đề tài định hướng cho việc nghiên cứu; phân tích tổng hợp quan điểm dựa tài Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà liệu tâm lý học, giáo dục học, phương pháp dạy học mơn tốn tài liệu bất đăng thức 4.2 Thực nghiệm sư phạm Đối tượng thực nghiệm: học sinh lớp 11 T2 Khối THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội Xử lý kết số phương pháp thống kê toán học Cấu trúc luận văn Chương Cơ sở lý luận thực tiễn 1.1 Phương pháp đàm thoại phát giải vấn đề 1.1.1 Lịch sử vấn đề 1.1.2 Quan niệm dạy học đàm thoại phát giải vấn đề 1.1.3 Những ưu điểm, nhược điểm dạy học phát giải vấn đề 1.2 Những kiến thức liên quan đến bất đẳng thức 1.2.1 Định nghĩa, tính chất bất đẳng thức 1.2.2 Nhìn nhận, đẳng thức, bất đẳng thức theo nhiều phương diện khác dựa vào mối liên hệ tương ứng số với đại lượng hình học lượng giác 1.3 Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh chứng minh bất đẳng thức Chương Vận dụng phương pháp đàm thoại phát giải vấn đề dạy học bất đẳng thức 2.1 Đề xuất quy trình đàm thoại phát 2.2 Đàm thoại phát giải vấn đề dạy học số bất đẳng thức 2.3 Sáng tạo bất đẳng thức cách nhìn bất đẳng thức có theo phương diện Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà 2.4 Đề xuất giải pháp sư phạm Chương Thực nghiệm sư phạm 3.1 Mục đích, nội dung tổ chức thực nghiệm sư phạm 3.2 Triển khai thực nghiệm sư phạm 3.3 Đánh giá thực nghiệm sư phạm KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 PHƯƠNG PHÁP ĐÀM THOẠI PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1.1.1 Lịch sử vấn đề Phương pháp đàm thoại phát có từ thời Socrate, kỉ thứ III trước cơng nguyên Phương pháp dựa câu hỏi - đáp, học sinh không tự khám phá mà theo bước lý luận giáo viên đưa Bởi vậy, phương pháp gọi phương pháp khám phá thụ động Các phương pháp dạy học truyền thống chia thành ba nhóm nhóm phương pháp dùng lời, nhóm phương pháp trực quan, nhóm phương pháp thực hành Trong nhóm phương pháp dùng lời có phương pháp vấn đáp sử dụng nhiều dạy học Trong phương pháp vấn đáp có vấn đáp tìm tịi - vấn đáp phát hay đàm thoại, vấn đáp giải thích- minh hoạ, vấn đáp tái Vấn đáp tìm tịi gọi vấn đáp phát hay đàm thoại Với phương pháp giáo viên tổ chức đối thoại, trao đổi ý kiến tranh luận thầy lớp, có trị trị, thơng qua học sinh nắm tri thức Hệ thống câu hỏi đặt hợp lý giữ vai trị đạo, tìm tịi, ham muốn hiểu biết Giáo viên đóng vai trị người tổ chức tìm tịi cịn học sinh tự lực phát kiến thức mới, kết thúc đàm thoại học sinh có niềm vui khám phá Cuối giai đoạn đàm thoại, giáo viên khéo léo vận dụng ý kiến học sinh để kết luận vấn đề đặt ra, có bổ sung chỉnh lý cần thiết Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà 1.1.2 Quan niệm dạy học đàm thoại phát giải vấn đề Trong q trình dạy học, để tích cực hoá hoạt động nhận thức sử dụng kinh nghiệm có người học, người giáo viên thường sử dụng hệ thống câu hỏi hoạt động Cũng nhiều để hiểu sâu sắc hơn, rộng vấn đề đó, người học đưa câu hỏi cho giáo viên Khi giáo viên sử dụng phương pháp đàm thoại để dạy học Yếu tố định để sử dụng phương pháp hệ thống câu hỏi Theo nhiệm vụ dạy học, có: câu hỏi tái hiện, câu hỏi gợi mở, câu hỏi củng cố kiến thức, câu hỏi ôn tập hệ thống hoá kiến thức Theo mức khái quát vấn đề, có: câu hỏi khái quát, câu hỏi theo chủ đề học, câu hỏi theo nội dung học Theo mức độ tham gia hoạt động nhận thức người học, có: câu hỏi tái tạo câu hỏi sáng tạo Mỗi loại câu hỏi có ý nghĩa, vị trí định q trình dạy học Việc xây dựng lựa chọn sử dụng câu hỏi phải phù hợp với nhiệm vụ dạy học khả nhận thức người học Phương pháp vấn đáp, vận dụng khéo léo, có tác dụng điều khiển hoạt động nhận thức học sinh, kích thích học sinh tích cực độc lập tư duy, bồi dưỡng cho học sinh lực diễn đạt lời vấn đề khoa học Giáo viên thu tín hiệu ngược nhanh chóng từ học sinh để điều chỉnh kịp thời hoạt động dạy hoạt động học đồng thời vấn đáp thường xuyên tạo không khí sơi học Tuy nhiên, với phương pháp này, vận dụng dễ làm thời gian, ảnh hưởng đến kế hoạch dự kiến, dễ trở thành đối thoại hiệu Yêu cầu xây dựng câu hỏi: - Câu hỏi xác, thể hình thức rõ ràng đơn giản Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà - Câu hỏi xác rõ ràng giúp người học hình thành câu trả lời đúng, câu hỏi đa nghĩa phức tạp gây khó khăn cho tư học sinh - Câu hỏi xây dựng theo hệ thống logic chặt chẽ Để xây dựng hệ thống câu hỏi theo yêu cầu cần vào cấu trúc nội dung học - Hệ thống câu hỏi thiết kế theo quy luật nhận thức khả nhận thức đối tượng cụ thể: + Xây dựng câu hỏi từ dễ đến khó + Từ cụ thể đến khái quát, từ khái quát đến cụ thể + Câu hỏi từ tái tạo đến sáng tạo + Số lượng câu hỏi vừa phải, sử dụng câu hỏi tập trung vào nội dung ‘phải biết’ học (trọng tâm học) Những yêu cầu đặt câu hỏi: - Câu hỏi đưa cách rõ ràng - Câu hỏi hướng tới lớp - Chỉ định học sinh trả lời, lớp lắng nghe phân tích câu trả lời - Giáo viên có kết luận Trong dạy học mơn Tốn, GV thường tạo đàm thoại để học sinh phát giải vấn đề, để tìm cách giải tốn (có thể theo bảng gợi ý Polya) Thậm chí, q trình tìm lời giải tốn, học sinh có tự đối thoại với Các câu hỏi lặp lại qua bất đẳng thức giúp học sinh tập luyện tri thức ăn khớp với tri thức phương pháp Bất đẳng thức nội dung hay khó Nếu khả học sinh cịn hạn chế, người thầy cần làm cho học sinh có cảm giác tự HS làm được, thầy phải giúp đỡ kín đáo mà khơng bắt học sinh lệ thuộc vào Người thầy phải đặt vị trí học sinh, nghiên cứu Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà trường hợp cụ thể HS, cố gắng hiểu xem HS nghĩ gì, đặt câu hỏi để học sinh tự trả lời Để đặt vào vị trí người học, người thầy phải nghĩ đến kinh nghiệm thân mình, nhớ lại khó khăn thành cơng việc giải toán Khi người thầy đặt câu hỏi cần nhằm vào hai mục đích: thứ giúp học sinh giải toán cụ thể, thứ hai phát triển khả học sinh để họ tự lực giải toán sau Hai mục đích liên hệ mật thiết với Nếu học sinh giải tốn cụ thể từ HS có khả giải toán tổng quát Như câu hỏi mà thầy đặt cho học sinh phải tổng quát áp dụng vào nhiều trường hợp Nếu dùng nhiều lần câu hỏi, học sinh ý đến cách trực giác HS tự đặt câu hỏi trường hợp tương tự Nếu HS tự đặt câu hỏi nhiều lần HS rút ý kiến xác đáng Người thầy phải làm cho học sinh thấm nhuần câu hỏi câu hỏi góp phần phát triển thói quen trí óc Đàm thoại hiểu câu hỏi gợi ý Gợi ý câu hỏi cách giáo viên đứng lớp giúp học sinh sử dụng vốn hiểu biết có sẵn chủ đề Gợi ý liên quan đến ‘các dấu hiệu’ kinh nghiệm có sẵn học sinh Giáo viên gợi ý cho học sinh, chờ đợi kiến thức mới, điều khiến óc em nảy dự đốn thông tin Việc đặt câu hỏi có chức Khi đàm thoại, cần tập trung vào vấn đề quan trọng, trọng tâm khơng phải vào bất thường Khoảng thời gian ‘chờ đợi’ trước tiếp nhận nhận câu trả lời học sinh có tác dụng làm cho hiểu biết em sâu sắc Khi thầy hướng dẫn học sinh qua hệ thống câu hỏi đàm thoại, học sinh bước suy nghĩ trả lời, tìm kiếm kiến thức Qua tư Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà số phẩm chất đạo đức nảy nở phát triển tính chủ động, tự tin, niềm phấn khởi, hứng thú dẫn đến tư sáng tạo việc chọn câu trả lời xác Tư tính cách vơ hình, khó thấy lại thấm dần vào trí tuệ, hình thành nên nhân cách người lao động sáng tạo sau Tư tính cách khơng hình thành theo kiểu kiến thức mà thấm dần theo kiểu ‘lắng đọng phù sa’, ngày tí khó thấy, tích luỹ lâu ngày thấy rõ, giống hạt cát nhỏ li ti coi khơng đáng kể, lâu ngày tích lại thành bãi phù sa Một vài hạt cát nhỏ chẳng có ý nghĩa bãi cát phù sa có ý nghĩa Sáng tạo việc phát vấn đề, sau tìm cách giải vấn đề giải có đời giúp học sinh vượt qua khó khăn để tiến phía trước Nhưng làm để có khả phát triển vấn đề ? Điều liên quan đến vấn đề phát triển tư biện chứng Nếu A A tư quanh quẩn A, khơng để hướng tới khác A, nghĩa khơng thấy có vấn đề Tư biện chứng thừa nhận thống mặt đối lập nên không chịu ép bề, khó khăn nhìn thuận lợi, phát vấn đề Cần tìm hết mặt thuận lợi phải cảnh giác để thuận lợi khơng chuyển hố thành khó khăn Nếu ta đề cao sáng tạo phải đề cao tư biện chứng Khơng giúp ta phát vấn đề mà phát giúp ta tìm hướng giải vấn đề Ta biết riêng trường hợp đặc biệt nhiều chung khác tuỳ theo cách nhìn riêng Ta sáng tạo nhiều hay tuỳ thuộc vào ta trí tưởng tượng rào đến đâu tìm góc độ khác để nhìn nhận riêng, điều lại liên quan đến tư hình tượng Như tư hình tượng góp phần tạo nên ‘tư sáng tạo’ Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà Bất đẳng thức nội dung khó phương pháp giải đa dạng, làm cho nhiều giáo viên phổ thơng khó khăn việc dạy học theo phương pháp tích cực cho học sinh Việc đưa quy trình đàm thoại giúp giáo viên giải khó khăn Khơng thế, quy trình đàm thoại phát cịn có tác dụng tích cực đến tri giác, tư học sinh Trí nhớ hoạt động phản xạ có điều kiện; thơng tin cần lặp lặp lại nhiều lần thành lập phản xạ có điều kiện Do đưa quy trình đàm thoại lặp lặp lại phương pháp hiệu giúp tăng cường sức nhớ M.I.Makhmutnov nhấn mạnh: ‘trong việc tích cực hố hoạt động nhận thức học sinh câu hỏi có ý nghĩa tiên quyết’ Trong trình dạy học cần tăng cường thảo luận thơng qua hệ thống câu hỏi Biện pháp sử dụng để giúp đỡ học sinh tìm kiếm chiến lược giải vấn đề Hệ thống câu hỏi phải thoả mãn số điều kiện Mỗi khái niệm, mệnh đề toán học có cấu trúc logic định Ta phân giải thành yếu tố cấu thành diễn đạt cách tường minh bên người học, đồng thời lại xếp yếu tố theo trật tự liên tiếp Vì vậy, hệ thống câu hỏi (được xây dựng nhằm nghiên cứu cấu trúc đó) phải xếp ‘gần’ tương ứng với trật tự (gần nhiều cần có câu hỏi rẽ nhánh theo yêu cầu sư phạm), tức hệ thống, câu hỏi sau phải suy từ câu hỏi trước Các câu hỏi phải đặt cho kích thích tối đa hoạt động nhận thức học sinh Muốn câu hỏi phải chứa đựng tình có vấn đề (vấn đề tìm tòi, nghiên cứu nhỏ phân, tách từ vấn đề chính), tức câu hỏi phải hướng học sinh tới mục tiêu đặt logic Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà 10 B+C A 2 B + C A Ta có ∑ cos ≤ ∑ sin ⇔ ∑ sin ≤ ∑ cos 2 2 Bài 46 Dạng lượng giác A A ∑ sin ≤ ∑ cos 2 tan α π ; α ∈ 0; , ta có Từ đẳng thức cos α = + tan α ; sin α = 2 + tan α A tan ≤ ⇔ ∑ ∑ A A + tan + tan 2 ∑ tan A A + tan 2 ≤ ∑ 1 + tan A Bài 47 Dạng đại số Cho a, b, c >0 thoả mãn ab+bc+ca=1 Chứng minh 1 a b c + + ≥ + + + a2 + b2 + c2 1+ a2 1+ b2 1+ c2 2.3.2 Xuất phát từ bất đẳng thức sin nα + cos nα ≤ Khai triển sinn α cosn α đặt cos α =x, sin α =y ta có loạt bất đẳng thức với hai biến x, y thoả mãn x2+y2=1 3 Bài 48 Cho x2+y2=1 Chứng minh 3( x − y ) − 4( x − y ) ≤ Bài 49 Cho x2+y2=1 Chứng minh x − x + xy ( x − y ) ≤ − 2.3.3 Bài 50 Iran Seclection Test forInternational Mathematical Olympiad 1996 Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà 71 x, y , z > xy + yz + zx = Cho 1 Chứng minh ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x) ≥ Xét x = tan A B C ; y = tan ; z = tan với A, B, C ba góc tam giác 2 A B A B cos cos cos 1 2 = 2 = Khi ( x + y ) = C 2 A + B A B cos sin tan + tan 2 cos A B B C C A cos cos cos cos cos 2 2 2 ≥9 + + C A B cos cos cos 2 2 cos Bài 51 Vietnam Seclection Test forInternational Mathematical Olympiad 2006 Cho tam giác ABC Chứng minh A B A B A B cos cos cos cos cos 2 2 ≥9 2 + + C C C cos cos cos 2 cos Xét x=cotA, y=cotB, z=cotC Khi 1 sin A sin B = = x + y cot A + cot B sin C Ta có tốn Bài 52 Cho tam giác ABC Chứng minh Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà 72 2 sin A sin B sin B sin C sin A sin B + + ≥ sin C sin A sin C a b sin A sin B a 2b = 2R 2R = Áp dụng định lý sin ta có : c 4R c sin C 2R Ta có tốn Bài 53 Cho tam giác ABC Chứng minh a 2b b c c a + + ≥ 9R c a b Nhận xét Đây kết đẹp, khó nhận R ≥ a + b + c với tam giác 2.3.4 Bài 54 China Mathematical Olympiad Cho số dương a, b, c, d thoả mãn abcd =1 Chứng minh + 1+ a2 1 + + ≥ 2 1+ b 1+ c 1+ d y z t x 2 2 Đặt a = x ; b = y ; c = z ; d = t ta phải chứng minh y 1+ x ⇔ + 1 z 1+ 1+ t y z + x 1+ t ≥2 x y z t + + + ≥ ( bất đẳng thức Nestbit) t+x x +y y +z z +t 2.3.5 Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà 73 Bài 55 Chứng minh bất đẳng thức cosA+cosB+cosC > với tam giác ABC Từ bất đẳng thức ta có sin A B C + sin + sin > với tam giác ABC 2 2.3.6 Xuất phát Ta có kết 3(x4+y4+z4) ≥ (x+y+z)(x3+y3+z3) Bất đẳng thức dễ dàng chứng minh tương đương với (x3-y3)(x-y)+(y3-z3)(y-z)+(z3-x3)(z-x) ≥ Nhận xét: Bất đẳng thức tương đương với 4 x y z + + ≥ 3 x + y + z x + y + z x + y + z 3 x y z x+ y+ z + x+ y+ z + x+ y+ z x y z Bằng cách coi biểu thức số x + y + z = a ; x + y + z = b ; x + y + z = c , ta có tốn Bài 56 3(a4+b4+c4) ≥ (a3+b3+c3) ∀a, b, c; a+b+c=1 2.3.7 Bài 57 Cho tam giác ABC Chứng minh sinA + sinB + sinC ≤ 3 Nhận xét : Nếu A, B, C ba góc tam giác B+C C + A A+ B ; ; ba 2 góc tam giác Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà 74 sin B+C C+A A+ B + sin + sin ≤ 2 2 cos A B C 3 + cos + cos ≤ 2 2 2.3.8 Xuất phát Cho số dương x, y, z có tích Chứng minh 1 + + ≥ (1 + x) (1 + y ) (1 + z ) Bài 58:VietNam Seclection Test forInternational Mathematical Olympiad 2005 Cho số dương a, b, c Chứng minh a3 b3 c3 + + ≥ 3 ( a + b) ( b + c) ( c + a) 2.3.9 Xuất phát từ bất đẳng thức sinA+sinB+sinC < (cosA+cosB+cosC) ∀∆ABC Áp dụng tam bất đẳng thức cho tam giác có ba góc B +C C + A A+ B ; ; 2 ta có tốn Bài 59 Cho tam giác ABC Chứng minh bất đẳng thức cos A B C A B C + cos + cos < 2(sin + sin + sin ) 2 2 2 2.3.10 Xuất phát từ bất đẳng thức cosA+cosB+cosC > ∀∆ABC Áp dụng bất đẳng thức cho tam giác có ba góc Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà B+C C + A A+ B ; ; 2 75 ta có tốn Bài 60 Cho tam giác ABC, chứng minh bất đẳng thức sin A B C + sin + sin > 2 Chuyển sang phương diện hình học, ta có toán Bài 61 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I,r) Chứng minh bất đẳng thức 1 1 + + > IA IB IC r Xuất phát tan 2.3.11 x A B C + tan + tan ≥ ∀∆ABC 2 Sử dụng công thức tan = sin x x x sin cos 2 = − cos x = − cot x ta có toán sin x sin x Bài 62 Chứng minh bất đẳng 1 + + ≥ cot A + cot B + cot C + sin A sin B sin C Nhận xét: Áp dụng công thức cot A + cot B + cot C = thức ∀∆ABC a2 + b2 + c2 ; 4S bc ca ab = = = ; ; ta có tốn sin A S sin B S sin C 2S Bài 63 Chứng minh 2ab+2bc+2ca –a2 –b2 –c2 ≥ 3S ∀∆ABC Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà 76 Lại áp dụng kết 19 cho tam giác có ba góc B +C C + A A+ B ; ; ta có 2 tốn Bài 64 Chứng minh cos A + cos B + cos C ≥ tan A B C + tan + tan + 2 ∀∆ABC 2.3.12 Xuất phát Nếu a, b, c dương thỏa mãn ab+bc+ca = a + + b2 + + c2 + ≤ ( a + b + c ) Tồn tam giác ABC thoả mãn a = tan Khi a2 +1 = cos A; A B C ; b = tan ; c = tan 2 b2 +1 = cos B; c2 + = cos C Ta có tốn Bài 65 Chứng minh cos A + cos B + cos C ≤ 2(tan A B C + tan + tan ) 2 ∀∆ABC Nhận xét: Từ 21 22 ta có kết thú vị 2(tan A B C 1 A B C + tan + tan ) ≥ + + ≥ tan + tan + tan + A B C 2 2 2 cos cos cos 2 2.3.13 x2 y2 z2 + + ≥ ∀x + y + z ≥ Xuất phát Với x, y >0 ta có y+z z+x x+ y Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà 77 a b Thay x = ; y = ; z = ta có kết c 1 + + ≥ 1 1 1 ∀a, b, c > 0; + + ≥ 2 a ( + ) b ( + ) c ( + ) a b c b c c a a b Khi abc=1, thay 1 = bc; = ca; = ab ta có tốn a b c Bài 66 International Mathematical Olympiad 1995 Cho a, b, c > abc =1 Chứng minh 1 + + ≥ a3 ( b + c ) b ( c + a ) c ( a + b ) 2.3.14 Xuất phát Bất đẳng thức Vasile Cirtoaje x y z + + ≥ ∀x, y, z > 0; x + y + z = xy + yz + zx + Thay x = 3a 3b 3c ;y = ;z = a, b, c >0 Tác giả có kết a+b+c a+b+c a+b+c đẹp khó Bài 67 Đề thi chọn đội dự tuyển tốn Đại học Sư phạm năm 2007-2008 Chứng minh bất đẳng thức a b c + + ≥ ∀ a, b, c >0 2 2(a + b + c) 9ab + (a + b + c) 9bc + (a + b + c) 9ca + (a + b + c ) 2.4 Đề xuất giải pháp sư phạm Vận dụng phương pháp đàm thoại phát giải vấn đề để người thầy thực tốt quy trình đàm thoại trình tổ chức hoạt động cho học sinh trước hết người thầy cần đặt học sinh vào tình địi hỏi phải xây dựng tựa thuật toán để giải vấn đề đặt Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà 78 Những tập người thầy đưa phải vừa sức để học sinh tranh luận xây dựng tựa thuật tốn, tổng kết thành quy trình Khi thầy giáo giúp học sinh xây dựng xong quy trình đàm thoại người thầy phải tập phải giúp học sinh dễ nhận diện quy trình đặt hệ thống giúp học sinh thấm nhuần quy trình Sau người thầy cần phải đưa tập khó với phương pháp khác lại dễ vận dụng quy trình tìm lời giải nhằm kích thích lịng say mê học sinh khai thác quy trình đàm thoại vào toán phức tạp Cuối cùng, người thầy cần nhấn mạnh vài trị quy trình thói quen trí óc giải tốn bất đẳng thức, qua hướng dẫn em tự đặt câu hỏi cho tự trả lời câu hỏi nhằm biến trình dạy học thành trình tự học Song song với việc người thầy giúp học sinh tự sáng tác tập thông qua việc thay đổi phương diện bất đẳng thức nâng cao khả độc tập, sáng tạo em Người thầy không vận dụng quy trình cách áp đặt, cần vào toán cụ thể đối tượng khác Khi cần thiết, người thầy đưa câu hỏi rẽ nhánh để học sinh đạt bước lớn quy trình Như vậy, người thầy cần vào vấn đề phân bậc hoạt động qúa trình xây dựng hệ thống câu hỏi đàm thoại Không phải tốn vận dụng quy trình đàm thoại có tác dụng tích cực, nhiều vận dụng máy móc phải đưa nhiều câu hỏi vụn vặt, lan man phân tán tập trung vào vấn đề Người thầy cần phối hợp với việc xây dựng tài liệu tự học với tình gợi mở để từ giúp học sinh vận dụng quy trình đàm thoại phát tự đối thoại với giải vấn đề đặt Phối hợp với phương pháp dạy học giải vấn đề cấp độ thầy trò vấn đáp giải vấn đề để phát huy tính tích Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Tốn học Nguyễn Sơn Hà 79 cực học sinh, tăng cường câu đàm thoại có tính chất đưa học sinh vào tình có vấn đề Vận dụng phương pháp đàm thoại phát dạy học bất đẳng thức theo nhiều phương diện khác nhau, người thầy tổ chức dạy học chuyên đề cho học sinh Nếu lớp học có phân hố khả học tập, người thầy cần tổ chức chuyên đề theo nhóm nhỏ mà khả tư không chênh lệch để từ định hướng việc đặt câu hỏi phù hợp cho nhóm dựa quy trình xác định Người thầy cần xác định chủ đề cho tiết học : Phương pháp lượng giác chứng minh bất đẳng thức, phương pháp đổi biến số chứng minh bất đẳng thức, sau Giải tốn bất đẳng thức theo nhiều cách khác để từ định hướng tập trung học sinh việc thực mục đích đàm thoại Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà 80 CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 Mục đích, nội dung tổ chức thực nghiệm sư phạm a) Mục đích Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi hiệu đề tài Vận dụng phương pháp đàm thoại phát giải vấn đề dạy học bất đẳng thức cho học sinh giỏi b) Nội dung Dạy thực nghiệm sư phạm toàn nội dung chương Luận văn c) Tổ chức Đối tượng học sinh lớp 11 T2 Khối THPT Chuyên trường Đại học Sư phạm Hà Nội Lớp có 36 em Tác giả chia cách ngẫu nhiên thành hai nhóm, nhóm 18 học sinh Thời gian thực nghiệm sư phạm: tuần kể từ 15/8/2007 – 15/9/2007 em học xong phần biến đổi lượng giác lớp 11 Trong thời gian này, em học chuyên đề bất đẳng thức, tuần buổi (4 tiết) Đặc điểm lớp : Sau kết thúc năm học lớp 10, học sinh chuyên Toán Khối chuyên ĐHSP HN phải tham dự kỳ thi chuyển hệ Những học sinh xuất sắc toán học lớp 11 T1, học sinh lại học lớp 11 T2 Như học sinh 11 T2 có mặt kiến thức nhau, khơng thực xuất sắc trường chun, điều kiện để dễ nhận biết thay đổi kết học tập thực phương pháp Bên cạnh đó, việc chia nhóm ngẫu nhiên đảm bảo tính khách quan q trình thực nghiệm Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà 81 Tại nhóm đối chứng, tác giả dạy nội dung bất đẳng thức theo phân phối chương trình Bộ gáo dục cho học sinh chuyên Nhóm thứ hai tác giả dạy theo nội dung luận văn Tại thời gian thực nghiệm, tác giả kiểm hai đợt, đợt thứ sau dạy ba tuần, đợt thứ hai sau dạy tuần Mỗi đợt, đánh giá kết hai nhóm 45phút làm với đề: Bài kiểm tra đợt Bài 1: Cho x2+y2=1 Chứng minh x − x + xy ( x − y ) ≤ − Bài : Cho số dương x, y, z nhỏ thoả mãn xy+yz+zx=1 x y z 3 + + ≥ 2 1− x 1− y 1− z Chứng minh Bài 3: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn a.b.c =1 Chứng minh 1 1 1 a − + ÷ b − + ÷ c − + ÷ ≤ b c a Bài kiểm tra đợt 2: Bài 1: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I,r) Chứng minh bất đẳng thức Chứng minh 1 1 + + > IA IB IC r Bài 2: Cho số dương x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 + 2xyz = Chứng minh − x + − y + − z ≤ Bài 3: Cho a, b, c > thoả mãn 1 + + =1 + 2a + 2b + 2c Chứng minh abc ≥ Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà 82 3.2 Đánh giá thực nghiệm sư phạm a) Kết thực nghiệm sư phạm: tính theo số học sinh làm Bài kiểm tra đợt Bài 18 15 17 100% 16 83,33% 12 94,44% 88,88% 66,66% 27,77% Nhóm Nhóm thực nghiệm Nhóm đối chứng Nhận xét qua việc chấm quan sát học sinh làm kiểm tra Bài 1: Cho x2+y2=1 Chứng minh x − x + xy ( x − y ) ≤ − Ở nhóm thực nghiệm: tất học sinh tiến hành việc đặt x = cosa, y=sina chuyển bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức 8cos4a – 8cos2a + 4cosa.sina(cos2a –sin2a) ≤ − Các em chứng minh nhờ công A sin α + B cos α ≤ thức hạ bậc bất đẳng thức A2 + B Ở nhóm đối chứng: số em khơng làm xa vào biến đổi tương đương bất đẳng thức đại số Bài : Cho số dương x, y, z nhỏ thoả mãn xy+yz+zx=1 Chứng minh x y z 3 + + ≥ 2 1− x 1− y 1− z Ở nhóm thực nghiệm, 15 em làm nhờ việc đặt x, y, z tang góc đặc biệt sử dụng bất đẳng thức tam giác Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà 83 Ở nhóm đối chứng có 12 em phát việc đặt ẩn phụ tang góc đặc biệt giải Cịn lại bế tắc biến đổi tương đương Bài 3: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn a.b.c =1 Chứng minh 1 1 1 a − + ÷ b − + ÷ c − + ÷ ≤ b c a Đây thực khó nên nhóm đối chứng có em làm nhờ biến đổi tương đương phức tạp Tuy nhiên 17 em nhóm thực nghiệm giải dễ dàng thơng qua phép đổi biến a =x/y , b =y/z, c =z/x (x, y, z >0) Bài kiểm tra đợt 2: Bài Nhóm đối chứng Bài Bài 17 18 17 94,44% 100% 14 94,44% 15 27,77% Nhóm Nhóm thực nghiệm Bài 77,77% 83,33% Đợt kiểm tra thứ hai yêu cầu em mức độ cao hơn, em không quen chuyển đổi phương diện khó giải tốn nhiều thời gian giải Bài 1: 1 1 + + > IA IB IC r Sau nhìn thấy khó khăn chứng minh bất đẳng thức hình học hầu hết học sinh hai nhóm chuyển phương diện hình học sang phương diện lượng giác sin Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà A B C + sin + sin > Ở nhóm thực 2 84 nghiệm, em biết chuyển đổi phương diện cách xét tam giác khác có góc A' = B+C C+A A+ B ; B' = ;C'= sử dụng tính chất 2 A' B' C' sin sin >1 2 cosA’ + cosB’ + cosC’ = + 4sin ⇒ cos B+C + cos C+A + cos A+ B > ⇔ sin A + sin B + sin C > Ở nhóm đối chứng có số em làm cách chứng minh trực tiếp bất đẳng thức lượng giác em nhiều thời gian cho việc biến đổi lượng giác Bài 2: − x + − y + − z ≤ 2 Các em nhóm thực nghiệm làm nhờ việc đặt x = cosA, y=cosB, z=cosC với A, B, C ba góc tam giác chuyển bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức lượng giác quen thuộc sin A B C + sin + sin ≤ 2 2 Ở nhóm đối chứng có 14 em làm được, nhiều em biến đổi đại số dùng bất đẳng thức cổ điển nên nhiều thời gian Bài 3: abc ≥ Đây tập dễ dàng dùng bất đẳng thức Côsi em nhóm đối chứng phải nhiều cơng sức để phát cách biến đổi: 1− 2a 1 = = + ≥ + 2a + 2a + 2b + 2c 1− 2b 1 = = + ≥ + 2b + 2b + 2c + 2a 1− 2c 1 = = + ≥ + 2c + 2c + 2a + 2b (1 + 2b)(1 + 2c ) (1 + 2c)(1 + 2a ) (1 + 2a )(1 + 2b ) Nhân vế tương ứng, ta có đpcm Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Nguyễn Sơn Hà 85 ... sinh chứng minh bất đẳng thức Chương Vận dụng phương pháp đàm thoại phát giải vấn đề dạy học bất đẳng thức 2.1 Đề xuất quy trình đàm thoại phát 2.2 Đàm thoại phát giải vấn đề dạy học số bất đẳng. .. vận dụng số phương pháp dạy học tích cực dạy học bất đẳng thức cho học sinh giỏi Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu phương pháp đàm thoại phát giải vấn đề - Xây dựng câu hỏi đàm thoại phát dạy học. .. Toán học Nguyễn Sơn Hà 20 CHƯƠNG VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÀM THOẠI PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC 2.1 Đề xuất quy trình đàm thoại phát Để điều khiển hoạt động học sinh, vấn