luận văn trình bày các cơ sở khoa học của hình học nói chung, hình học cao cấp và hình học sơ cấp nói riêng. mối liên hệ giữa hình học cao cấp và hình học sơ cấp, lý luận về tư duy, khả năng học tập của học sinh trong hình học, dùng hình cao cấp soi sáng hình học sơ cấp, đưa ra các biện pháp sư phạm nhằm nâng cao hiệu quả dạy học hình học ở trường thpt
MỞ ĐẦU 1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1.Nhu cầu đổi phương pháp dạy học PPDH yếu tố quan trọng trình dạy học Cùng với bùng nổ thông tin, phát triển nhanh chóng khoa học giáo dụccơng nghệ đặt thách thức cho ngành giáo dục đào tạo, giáo dục đào tạo với khoa học công nghệ nhân tố định tăng trưởng kinh tế phát triển xã hội Nghị hội nghị lần thứ tư Ban chấp hành trung ương Đảng cộng sản Việt Nam khoá VII rõ nhiệm vụ quan trọng ngành Giáo dục Đào tạo : “Phải khuyến khích tự học, phải áp dụng phương pháp dạy học bồi dưỡng cho sinh viên lực tư sáng tạo, lực giải vấn đề ” Nghị TW2, khoá VIII tiếp tục khẳng định:” Đổi phương pháp giáo dục, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến phương tiện đại vào trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, sinh viên Cao đẳng Đại học” Định hướng thể chế hoá điều 24.2, luật GD: “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Văn kiện Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ X nêu rõ : “Đổi tư giáo dục cách quán, từ mục tiêu, chương trình, nội dung, phương pháp đến cấu hệ thống tổ chức, chế quản lý để tạo chuyển biến toàn diện giáo dục nước nhà , khắc phục cách đổi chắp vá, thiếu tầm nhìn tổng thể, thiếu kế hoạch đồng ” Những quy định phản ánh nhu cầu đổi phương pháp giáo dục để giải mâu thuẫn yêu cầu đào tạo người với thực trạng dạy học nước ta 1.2 Vai trò, nhiệm vụ đào tạo trường ĐHSP Yêu cầu nội dung giáo dục đại học nêu điều 36.Luật giáo dục sau: “ Đào tạo trình độ đại học phải bảo đảm cho sinh viên có kiến thức khoa học chun ngành tương đối hồn chỉnh, có phương pháp làm việc khoa học, có lực vận dụng lý thuyết vào công tác chuyên môn.” Nội dung đào tạo giáo viên trường sư phạm thường có hai mảng lớn, khoa học khoa học giáo dục Hai mảng hỗ trợ cho nhau, hướng vào việc hình thành người học trình độ chun mơn, nghiệp vụ Thực trạng, đào tạo khoa học phần nhiều nhằm mục đích tự nó, cho người học thấy kiến thức khoa học mà họ trang bị sử dụng việc đào tạo khoa học giáo dục chưa liên hệ nhiều với nội dung môn học trường sư phạm với hoạt động mà họ phải thực công việc sau Về điều này, GS.TS Trần Bá Hoành nhận xét: “ Trong ngành sư phạm có thói quen phân biệt đào tạo chun mơn với đào tạo nghiệp vụ Thực ra, phần chuyên mơn nghiệp vụ, nghiệp vụ giáo viên dạy môn học Phải làm cho việc giảng dạy môn khoa học thấm nhuần tính nghiệp vụ sư phạm từ mục tiêu đến nội dung, phương pháp ”(xem [1]) Vì vậy, cần tích hợp đào tạo chun mơn ( khoa học bản) đào tạo nghiệp vụ ( khoa học giáo dục) làm cho hai mảng làm thành thể thống : đào tạo chuyên môn phải đảm bảo tính nghiệp vụ , cịn đào tạo nghiệp vụ phải đồng thời dựa đào tạo chuyên mơn Nhiệm vụ trường ĐHSP đào tạo giáo viên cho trường THPT nên việc đào tạo sinh viên trường ĐHSP đòi hỏi phải định hướng đến nhiệm vụ dạy học trường phổ thông sau , việc khai thác yếu tố nghiệp vụ sư phạm dạy học môn khoa học trường sư phạm góp phần chuẩn bị nghề cho sinh viên vấn đề cần quan tâm đào tạo trường sư phạm Nó khơng thể hành động sinh viên lớp mà việc biên soạn giáo trình cách hệ thống, khoa học, mang ý nghĩa sư phạm Theo giáo sư Đồn Quỳnh , việc viết giáo trình khoa học theo định hướng sư phạm quan trọng Điều giúp sinh viên hiểu sâu kiến thức liên quan đến việc giảng dạy họ trường phổ thông hội tốt để mở rộng tầm nhìn tốn học cho họ Nhiều vấn đề tốn học phổ thơng hiểu cách xác chất nhìn chúng từ tốn học đại.Do việc tăng cường định hướng sư phạm thông qua giảng dạy môn khoa học giúp cho sinh viên sư phạm thấy kiến thức toán học cao cấp công cụ hữu hiệu việc định hướng tìm lời giải số tốn sơ cấp mà giúp sinh viên hiểu sâu sắc kiến thức tốn phổ thơng q trình học tập, rèn luyện để trở thành người giáo viên toán vững vàng chuyên môn nghiệp vụ (xem [2]) 1.3 Tình hình dạy học mơn hình học xạ ảnh trường sư phạm Hình học xạ ảnh môn học bắt buộc dành cho sinh viên năm thứ trường ĐHSP, chiếm thời lượng đơn vị học trình Nội dung chương trình hình học xạ ảnh biên soạn với mục đích ngồi việc truyền đạt kiến thức khoa học nhằm nâng cao phát triển tư toán học cho người học, cịn có dụng ý sư phạm mà thông qua việc học tập môn này, người học tìm thấy mối liên hệ qua lại nội dung kiến thức hình học xạ ảnh với nội dung hình học giảng dạy trường phổ thông Hiện nay, trường sư phạm, đổi phương pháp dạy học bước tiến hành để phù hợp với mục tiêu giáo dục đào tạo Các phong trào thi đua giảng dạy tốt: sinh viên học tập , rèn luyện ngày mai lập nghiệp; phong trào nói khơng với bệnh thành tích tiêu cực thi cử làm cho chất lượng giảng dạy học tập môn học nói chung; mơn hình học xạ ảnh nói riêng ngày thực chất nâng cao.Bên cạnh tồn thực tế là: Do ảnh hưởng cách dạy truyền thống, số giảng viên trọng tới việc truyền đạt kiến thức mà xem nhẹ việc rèn luyện kỹ đào tạo nghề cho sinh viên, chưa thể rõ dược mối liên hệ khoa học khoa học giáo dục Cùng với quan niệm phận không nhỏ sinh viên học môn hình học xạ ảnh với quan điểm học để thi cho qua Với cách dạy học làm dụng ý sư phạm- yêu cầu không nhỏ môn Sinh viên chưa thấy rõ mối liên hệ hình học xạ ảnh với cơng việc họ sau này: giảng dạy Tốn trường PTTH Qua trao đổi với đồng nghiệp giáo viên giảng dạy toán trường THPT Hà Nam nhận thấy phần lớn họ quên kiến thức hình học xạ ảnh học trước hệ hiển nhiên giáo viên khơng thể khó khăn nhiều vận dụng kiến thức tốn cao cấp nói chung hình học xạ ảnh nói riêng vào việc dạy hình học trường phổ thơng Đã có đề tài nghiên cứu mối liên hệ hình học cao cấp hình học sơ cấp song cịn đề tài nghiên cứu,khai thác mối liên hệ hình học xạ ảnh với nội dung hình học giảng dạy trường PTTH Từ lý phân tích trên, chúng tơi lựa chọn đề tài: “Khai thác mối liên hệ hình học xạ ảnh hình học sơ cấp nhằm nâng cao hiệu dạy học mơn hình học trường phổ thơng” 2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu để thấy mối liên hệ hình học xạ ảnh hình học sơ cấp đồng thời đề xuất cách khai thác,vận dụng mối liên hệ nhằm nâng cao hiệu dạy học mơn hình học trường THPT 3.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Nghiên cứu chương trình, nội dung mơn hình học xạ ảnh trường sư phạm nội dung hình học trường phổ thơng nhằm phân tích mối liên hệ chúng Khai thác ,vận dụng mối liên hệ hình học xạ ảnh hình học sơ cấp trường phổ thông vào việc học tập mơn hình học xạ ảnh trường sư phạm (của sinh viên) vào việc giảng dạy mơn hình học trường phổ thông (của giáo viên) 4.GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu biết cách khai thác vận dụng mối liên hệ hình học xạ ảnh hình học sơ cấp vào việc giảng dạy mơn hình học trường phổ thơng góp phần nâng cao hiệu giáo dục 5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu lí luận: Đọc nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài Phương pháp điều tra: Điều tra, thăm dò,lấy ý kiến sinh viên sư phạm đồng nghiệp Phương pháp tổng kết kinh nghiệm : Tổng kết kinh nghiệm rút từ thực tế giảng dạy tác giả đồng nghiệp 6.CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Ngoài phần mở đầu kết luận , luận văn gồm chương: Chương I : Cơ sở lí luận thực tiễn Chương II : Nhắc lại số kiến thức hình học xạ ảnh Chương III: Các ví dụ minh hoạ Chương I : CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1.Nội dung hình học giảng dạy trường phổ thơng nội dung hình học xạ ảnh trường Đại Học Sư Phạm 1.1.1.Nội dung hình học giảng dạy trường phổ thông trung học Theo phương pháp dạy học mơn tốn - phần hai: Dạy học nội dung (Nguyễn Bá Kim chủ biên: NXBGD - 94) nội dung hình học giảng dạy trường PTTH gồm nội dung sau: 1.1.1.1.Chương trình hình học khơng gian trường PTTH Trong chương trình hình học trường phổ thơng trung học, hình học không gian nghiên cứu ba phương pháp: Phương pháp tiên đề (hay phương pháp tổng hợp) (lớp 11) , phương pháp véc tơ phương pháp toạ độ (lớp 12) Những kiến thức mà học sinh cần nắm vững là: - Hệ tiên đề hình học khơng gian Các cách xác định mặt phẳng Vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng, hai mặt phẳng - Định nghĩa tính chất hai đường thẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song - Định nghĩa tính chất hai đường thẳng vng góc, đường thẳng vng góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc - Tính chất phép chiếu song song phép chiếu vng góc - Các loại khoảng cách: Khoảng điểm đường thẳng, hai đường thẳng chéo nhau, điểm mặt phẳng, đường thẳng mặt phẳng - Các loại góc : Góc hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng, hai mặt phẳng: - Định nghĩa tính chất hình chóp, hình lăng trụ, hình đa diện , hình nón, hình trụ, hình trịn xoay - Định nghĩa vectơ, phép toán véctơ, điều kiện để hai vectơ phương, điều kiện để ba vectơ đồng phẳng, góc hai vectơ - Hệ toạ độ Đề vng góc khơng gian, biểu thức toạ độ phép tốn vectơ, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng, cơng thức để tính góc khoảng cách, phương trình mặt cầu 1.1.1.2 Vectơ toạ độ chương trình phổ thơng Ở trường PTTH (trường PTTH phân ban năm tới), học sinh học vectơ toạ độ từ lớp 10 đến lớp 12 Theo chương trình hành, lớp 10 đề cập đến vectơ mở đầu toạ độ mặt phẳng Tiếp đó, sử dụng công cụ phương pháp vectơ để khảo sát hệ thức lượng tam giác, đường tròn ứng dụng phần để nghiên cứu số phép biến hình (phép đối xứng, phép tịnh tiến, phép vị tự…) Đến lớp 11, học sinh học hình học khơng gian phương pháp tổng hợp Ở lớp 12 học sinh tiếp tục nghiên cứu hình học phẳng hình học khơng gian phương pháp toạ độ với đối tượng đường thẳng, đường trịn, ba đường cơnic (Elip; parabol; hypebol), đường thẳng không gian, mặt phẳng không gian,mặt cầu Như vậy, chương trình hình học trường phổ thơng nay, phương pháp vectơ phương pháp toạ độ xem phương pháp toán học kết hợp với phương pháp tổng hợp để nghiên cứu đối tượng quan hệ hình học mặt phẳng khơng gian Chương trình hình học trường PTTH phân ban triển khai vài năm tới có xếp lại số nội dung để đảm bảo rõ nét tính hệ thống thể quan điểm nêu 1.1.2 Nội dung hình học xạ ảnh trường Đại Học Sư Phạm Chương trình hình học xạ ảnh giảng dạy khoa Toán, ĐHSP Hà Nội bao gồm vấn đề sau: -Không gian xạ ảnh -Ánh xạ xạ ảnh biến đổi xạ ảnh -Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh Với nội dung cụ thể như: Không gian xạ ảnh, toạ độ xạ ảnh mục tiêu xạ ảnh, phương trình mặt phẳng, ánh xạ xạ ảnh biến đổi xạ ảnh, tỷ số kép, mơ hình xạ ảnh không gian afin, nguyên tắc đối ngẫu, siêu mặt bậc hai phân loại xạ ảnh chúng, số định lý quan trọng P 2, mô hình xạ ảnh khơng gian Ơclit Ta nhận thấy nội dung hình học xạ ảnh học trường đại học sư phạm nội dung hình học giảng dạy trường PTTH có mối liên hệ chặt chẽ,thể điểm sau: 1.2.Mối liên hệ hình học xạ ảnh hình học sơ cấp 1.2.1.Mối liên hệ thể quan điểm biên soạn giáo trình Nội dung đào tạo giáo viên trường sư phạm thường có hai mảng lớn, khoa học khoa học giáo dục Hai mảng lồng ghép đan xen hỗ trợ cho nhau, hướng vào việc hình thành người học trình độ chun mơn,nghiệp vụ Nhiệm vụ trường Đại học sư phạm đào tạo giáo viên giảng dạy trường phổ thông trung học nên việc đào tạo sinh viên trường đại học sư phạm đòi hỏi phải định hướng đến nhiệm vụ dạy học trường phổ thơng sau này, việc khai thác yếu tố nghiệp vụ sư phạm dạy học môn khoa học trường sư phạm góp phần chuẩn bị nghề cho sinh viên Theo giáo sư Đồn Quỳnh, việc viết giáo trình khoa học theo định hướng sư phạm quan trọng Nó giúp sinh viên hiểu sâu kiến thức liên quan đến việc giảng dạy họ trường phổ thơng mở rộng tầm nhìn tốn học cho họ Giáo trình “ hình học xạ ảnh” giáo trình khoa học bản, thể định hướng sư phạm Bởi vì: Giáo trình hình học xạ ảnh học giáo trình hình học afin hình học Ơclit- hai mơn hình học gần gũi với hình học sơ cấp trình bày trường phổ thơng Khơng gian Ơclit hai chiều E ba chiều E3 học trường PTTH không gian Aphin theo thứ tự liên kết với không gian vec tơ (tự do) hai chiều V2 ba chiều V3 với định nghĩa vec tơ, phép cộng véc tơ, phép nhân vec tơ với số thực trình bày sách giáo khoa PTTH Ở - phẳng; - phẳng; - phẳng điểm; đường thẳng mặt phẳng Đơn hình chiều điểm; đơn hình chiều; hai chiều; ba chiều đoạn thẳng; tam giác; tứ diện Hình hộp chiều điểm; hình hộp chiều đoạn thẳng; hình hộp2 chiều hình bình hành; hình hộp chiều hình hộp theo nghĩa thơng thường Elip; hypebol; parabol; cặp đường thẳng cắt nhau, song song; trùng đường bậc hai, cặp mặt phẳng cắt nhau; cặp mặt phẳng song song; cặp mặt phẳng trùng mặt bậc hai… Các tính chất thẳng hàng hay khơng thẳng hàng hệ điểm; tính chất song song, cắt hay chéo hai đường thẳng; hai mặt phẳng; đường thẳng mặt phẳng tính chất tâm tỉ cự hệ điểm gắn với họ hệ số tính chất A fin.(Các tính chất bất biến nhóm A fin) Không gian Ơclit ba chiều E học chương trình tốn học bậc phổ thơng Trong khơng gian này; mặt phẳng Ơclit không gian Ơclit hai chiều E2 Các không gian E E không gian vec tơ tự ba chiều hai ( ) 3 2 a.b = a b cos a.b chiều Tích vơ hướng E E định nghĩa Theo định nghĩa, không gian Ơclit không gian A phin nên không gian Ơclit có khái niệm tính chất khơng gian Afin Mặt khác khơng gian Ơclit cịn có tính chất khái niệm khơng có khơng gian Afin vng góc hai đường thẳng; hai mặt phẳng; đường thẳng mặt phẳng, độ dài đoạn thẳng, độ lớn góc… trang bị thêm khái niệm tính chất tích vơ hướng Các phép dời hình E2 E3 phép Afin đặc biệt có tính chất khơng làm thay đổi khoảng cách hai diểm Hình học Ơclit nghiên cứu tính chất khơng thay đổi qua phép dời hình (tức tính chất có hình có hình nó) Hình học xạ ảnh nghiên cứu tính chất bất biến qua nhóm phép biến đổi xạ ảnh Những tính chất nghiên cứu hình học xạ ảnh gọi tính chất xạ ảnh Thí dụ phép biến đổi xạ ảnh f biến mmặt phẳng thành m- phẳng, tính chất thẳng hàng ba điểm; tính chất đồng quy đường thẳng… Hình học xạ ảnh đời từ việc nghiên cứu bất biến qua phép chiếu xuyên tâm không gian hai chiều ba chiều thơng thường Trong giáo trình hình học xạ ảnh, tác giả trình bày mối liên hệ hình học Afin hình Ơclit với hình học xạ ảnh Từ không gian Afin A n ta xây dựng mơ hình khơng gian xạ ảnh Pn cách thêm vào An điểm vô tận Ngược lại, từ khơng gian xạ ảnh Pn bỏ bớt số điểm để xây dựng mơ hình khơng gian Afin Gọi Kn nhóm phép biến đổi xạ ảnh P n hình học xạ ảnh hình học nhóm Kn Nếu Pn ta chọn siêu phẳng Pn-1 làm siêu phẳng vơ tận phép biến đổi xạ ảnh giữ nguyên P n-1 làm thành nhóm nhóm K n, nhóm đẳng cấu với nhóm phép biến đổi Afin An không gian 10 * Nếu mặt phẳng xạ ảnh A,B,C ta lập mơ hình xạ ảnh mặt phẳng afin cách chọn dường thẳng làm đường thẳng vơ tận mệnh đề tương ứng với mệnh đề sau hình học phẳng: Mệnh đề 1: Cho hypebol (G) có tâm A tiếp tuyến A’ thuộc (G) cắt hai đường tiệm cận B C Khi hai đường thẳng qua B,C song song với hai đường tiệm cận cắt điểm O thẳng hàng với A A’ Mệnh đề 2: Hai đường tiệm cận hypebol chắn tiếp tuyến đoạn thẳng mà tiếp điểm trung điểm *Nếu chọn làm đường thẳng vô tận ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 3: Cho parabol (G) hai tíêp tuyến xuất phát từ điểm A không thuộc (G) nhận hai tiếp điểm B’, C’ Nếu từ B’ C’ dựng đường thẳng song song với tiếp tuyến hai đường thẳng cắt điểm O nằm đường kính qua điểm A parabol 102 Bài 2: Từ định lí Ménélaus định lí Céva dạng xạ ảnh Trong P2 [V] cho hệ ba điểm (A,B,C) độc lập xạ ảnh ba điểm P,Q,R theo thứ tự thuộc đường thẳng , , không trùng với điểm A,B,C d đường thẳng P [V] không qua điểm A,B,C Ký hiệu d ∩ = A’, d ∩ = B’ ,d ∩ = C’ Chứng minh rằng: a.[B,C,A’,P] [C,A,P’,Q] [A,B,C’,R] = P,Q,R thẳng hàng b.[B,C,A’,P] [C,A,P’,Q] [A,B,C’,R] = -1khi đường thẳng , , đồng quy Ta suy định lí Ménélaus Céva dạng sơ cấp sau: Trong A2 cho ba điểm P,Q,R nằm ba cạnh BC,CA,AB tam giác ABC không trùng với đỉnh A,B,C Chứng minh rằng: a.[B,C,P] [C,A,Q] [A,B,R] = P,Q,R thẳng hàng b.[B,C,P] [C,A,Q] [A,B,R] = -1 khhi đường thẳng AP,BQ,CR đồng quy Thật vậy: Nếu tronh mơ hình xạ ảnh A2P chọn đường thẳng d làm đường thẳng vô tận a.TrongP2[V]: [ B, C , A' , P].[ C , A, P' , Q].[ A, B, C ' , R ] = 1 [ B, C , P, A'] [ C A.Q.B'] [ A, B, R, C '] 103 = 1 [ B, C , P] [ C , A, Q ] [ A, B, R] (trong A ) Mà P2[V] : [ B, C , A' , P ].[ C , A, P' , Q ].[ A, B, C ' , R ] = P,Q,R thẳng hàng 1 Vậy A2 : [ B, C , P ] [ C , A, Q ] [ A, B, R ] = ⇔ P, Q, R thẳng hàng Tức là: [ B, C , P ].[ C , A, Q ], [ A, B, R ] = ⇔ P, Q, R thẳng hàng PB QC RA ( PC QA RB = ⇔ P, Q, R thẳng hàng) (Định lí Ménélaus) b.Theo chứng minh được: [ B, C , A' , P].[ C , A, B' , Q].[ A, B, C ' , R ] = 1 [ B, C , P] [ C , A, Q] [ A, B, R] (trong A ) Mà P2[V]: [ B, C , A' , P].[ C , A, B' , Q].[ A, B, C ' , R ] = −1 ⇔< A, P >, < B, Q >, < C , R > đồng quy 104 1 Vậy A2: [ B, C , P ] [ C , A, Q ] [ A, B, R ] = −1 ⇔ AP, BQ, CR đồng quy Do : [ B, C , P ].[ C , A, Q ].[ A, B, R ] = −1 AP, BQ, CR đồng quy Bài Trong hình học xạ ảnh ta biết định lý Pascal hình đỉnh: “ Điều kiện cần đủ để có đường bậc hai khơng suy biến (G) qua đỉnh hình sáu đỉnh ABCDEF ba điểm AB ∩ DE, BC ∩ EF, CD ∩ FA thẳng hàng.” Chuyển sang ngôn ngữ hình học sơ cấp ta tốn sau: Nếu lục giác mà nội tiếp đường tròn ba cặp cạnh đối diện giao theo ba điểm thẳng hàng Sau lời giải sơ cấp toán này: Gọi AF ∩ DE = Q , BC ∩ DE = R AF ∩ BC = P Áp dụng định lý Ménélaus vào tam giác PQR với cát tuyến NEF ta có : NP ER FQ ⋅ ⋅ =1 NR EQ FP (1) 105 MR AQ BP ⋅ ⋅ =1 MQ AP BR (2) ( xét ∆ PQR với cát tuyến MAB) KQ CP DR ⋅ ⋅ =1 KP CR DQ Tương tự : (3) ( xét ∆ PQR với cát tuyến KCD) Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta được: ( ( )( )( )( )( ) ) NP MR KQ ER ⋅DR FQ ⋅ AQ BP ⋅CP ⋅ ⋅ =1 (*) NR MQ KP BR ⋅CR EQ ⋅ DQ AP ⋅ FP Lại có lục giác ABCDEF nội tiếp (O) nên ta có : ER ⋅ DR P(R/O) = RB ⋅ RC = RD ⋅ RE ⇒ BR ⋅ CR = DR ⋅ ER ⇒ BR ⋅ CR = Hồn tồn tương tự ta có : FQ ⋅ AQ =1 EQ ⋅ DQ BP ⋅ CP =1 AP ⋅ FP Thay kết vào (*) ta : NP MR KQ ⋅ ⋅ =1 NR MQ KP mà M,N,K thuộc cạnh QR,PR PQ ∆ PQR Điều chứng tỏ M,N,K thẳng hàng.( đpcm) 106 * Kết cho lục giác ABCDEF suy biến thành ngũ giác, tứ giác tam giác Chẳng hạn lục giác ABCDEF trở thành ngũ giác ABCDE nội tiếp đường tròn (O), cạnh FA trở thành tiếp tuyến đường trịn (O) A Khi ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1: Trong ngũ giác nội tiếp cặp cạnh không giao theo hai điểm thẳng hàng với giao điểm cạnh thứ năm với tiếp tuyến đỉnh đối diện Tương tự ta có hai kết sau tứ giác tam giác Mệnh đề Trong tứ giác nội tiếp hai cặp cạnh đối diện hai cặp tiếp tuyến cặp đỉnh đối diện giao bốn điểm thẳng hàng 107 Mệnh đề 3: Ba cạnh tam giác cắt ba tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp ba đỉnh đối diện theo ba điểm thẳng hàng Bài 4: Từ định lí Đơdác thứ (Desargues) xạ ảnh: Trong mặt phẳng xạ ảnh cho sáu điểm A,B,C A’, B’ ,C’ khơng có ba điểm thẳng hàng Khi hai mệnh đề sau tương đương: i) Ba đường thẳng AA’,BB’,CC’ đồng quy ii) Giao điểm cặp đường thẳng AB A’B’, BC B’C’, CA C’A’ thẳng hàng *Nếu chọn đường thẳng vô tận ∆ cho O,D,E,F khơng thuộc ∆ ta có định lí Đơdac E2 \ ∆ : 108 Cho hai tam giác ABC A’B’C’ có AB ∩ A’B’ = F, AC ∩ A’C’= E BC ∩ B’C’= D Khi hai mệnh đề sau tương đương: i) Ba đường thẳng AA’,BB’,CC’ đồng qui ii) Ba điểm D,E,F thẳng hàng * Nếu chọn đường thẳng vô tận ∆ qua ba giao điểm (chẳng hạn điểm D) không qua O ta có tốn E2 sau: Bài toán 1: Cho hai tam giác ABC A’B’C’ cho : AB ∩ A’B’ = F; AC ∩ A’C’=E BC // B’C’ Chứng minh rằng: 1)Nếu đường thẳng AA’,BB’,CC’ đồng qui O EF // BC 2) Nếu BB’ ∩ CC’ = O BC// EF AA’ qua O ( hay AA’,BB’,CC’ đồng qui O *Nếu chọn đường thẳng vô tận ∆ qua ba giao điểm khơng qua O ta tốn sau: 109 Bài toán 2: Cho hai tam giác ABC A’B’C’ có AC// A’C’ BC // B’C’ Chứng minh rằng: 1)Nếu đường thẳng AA’, BB’,CC’ đồng qui O AB // A’B’ 2) Nếu BB’ ∩ CC’= O AB // AA’ AA’ qua O ( hay AA’,BB’,CC’ đồng qui O) * Nếu chọn đường thẳng vô tận ∆ qua O mà không qua ba giao điểm trên, ta có toán sau: Bài toán 3: Cho hai tam giác ABC A’B’C’ có AB ∩ A’B’= F, AC ∩ A’C’ = E BC ∩ B’C’ = D Chứng minh rằng: 1) Nếu AA’ //BB’//CC’ ba điểm D,E,F thẳng hàng 2) Nếu BB’//CC’ D,E,F thẳng hàng AA'//BB’ *Nếu chọn đường thẳng vô tận ∆ qua O qua ba điểm trên, ta có toán sau: Bài toán 4: Cho hai tam giác ABC A’B’C’ có AB ∩ A’B’ = F, AC ∩ A’C’ = E BC//B’C’ Chứng minh rằng: 1) Nếu AA’ // BB’ // CC’ EF//BC 2) Nếu BB’ // CC’ BC// EF AA’// BB’ 110 *Nếu điểm O,D,E,F thuộc đường thẳng vô tận ∆ , ta có tốn: Bài tốn 5: Cho hai tam giác ABC A’B’C’ có AC// A’C’ BC// B’C’ Chứng minh rằng: 1) Nếu AA’ // BB’ // CC’ AB// A’B’ 2) Nếu BB’ // CC’ AB // A’B’ AA’ // BB’ *Nếu chọn ∆ đường thẳng không qua điểm A,B,C,A’,B’,C’,O mơ hình A2 = P2\ ∆ định lí Đơdac thứ cho tốn sau: 111 Bài toán 6: Trong mặt phẳng cho hai tam giác ABC A’B’C’.Nếu đường thẳng AA’, BB’,CC’ đồng quy cặp đường thẳng AB A’B’, BC B’C’, AC A’C’ cắt giao điểm chúng thẳng hàng *Nếu chọn ∆ đường thẳng AA’ mơ hình A = P2 \ AA’, cặp đường thẳng B’P C’Q, BQ RP, BB’ CC’ song song với Vì EPFQ hình bình hành (P= A’B’ ∩ EA, Q = BF ∩ C’E) BB’CC’ hình thang nội tiếp hình bình hành Vậy ta có tốn A2 : Bài tốn 7: Nếu hình thang BB’CC’ (BB’//CC’) nội tiếp hình bình hành EPFQ điểm E ,F giao điểm D C’B’ CB thẳng hàng *Nếu gọi ∆ đường thẳng qua O không qua điểm A,B,C,F,D,E lấy mơ hình A2 = P2 \ ∆ Khi A2 đường thẳng AA’,BB’, CC’ trở thành đường thẳng đơi song song Do AA’BB’, AA’CC’ hình thang Vậy ta có tốn sơ cấp : Bài tốn 8: Cho hình thang AA’CC’ (AA’//CC’) đường thẳng a song song với cạnh đáy hình thang Giả sử B,B’ điểm thuộc a cho sáu điểm A,B,C,A’,B’,C’ ba điểm thẳng hàng cặp đường thẳng: AB A’B’, BC B’C’, AC A’C’ cắt Khi , giao điểm đường thẳng thẳng hàng 112 Bài 5: Trong P2 cho hình bốn đỉnh tồn phần nội tiếp cơnic (S) Hai tiếp tuyến A B cắt O Gọi Q,P,E giao điểm AM với BN; AN với BM; MN với AB Chứng minh Q,O,P thẳng hàng Chứng minh: Theo ABNM hình bốn đỉnh tồn phần nội tiếp cơnic (S) E = AB ∩ MN, Q = AM ∩ BN, P = AN ∩ BM nên Q,P,E điểm chéo hình bốn đỉnh ABNM ⇒ Q,P,E đơn hình mà đỉnh cực cạnh nối hai đỉnh lại Do PQ đối cực E cônic (S) (1) Mặt khác E ∈ AB nên E đối cực O suy O đối cực E dẫn đến O liên hợp với E (2) Từ (1) (2) ta có O liên hợp với E P,Q liên hợp với E ⇒ O,P,Q nằm đường đối cực E O,P,Q thẳng hàng 113 Đối với toán ta xét mơ hình P2 \ ∆ ( ∆ đường thẳng vô tận) *Nếu ∆ không qua O Q không cắt (S) qua E AB // MN,các yếu tố khác giữ nguyên cơnic (S) trở thành Elíp E ta có tốn afin tương ứng: Cho Elíp E ngoại tiếp hình thang ABMN, AB // MN gọi Q = BN ∩ AM, O giao hai tiếp tuyến A B P giao hai đường chéo AN BM hình thang ABMN Chứng minh P, Q,O thẳng hàng *Nếu ∆ đường thẳng qua A B OA OB trở thành hai tiệm cận a b hypebol (H), (H) sinh từ cônic(S) ,MQ //NP, MN //NQ tức hình bốn đỉnh MPNQ trở thành hình bình hành ⇒ I tâm hình bình hành với I giao QP MN Việc chứng minh O,P,Q thẳng hàng giữ ngun Vậy ta có tốn afin khác: Cho hypebol (H) hai tiệm cận a b cắt O.M,N hai điểm thuộc nhánh (H) I trung điểm MN, IO lấy điểm Q Chứng minh gọi P dỉnh thứ tư hình bình hành QNPM nhận I làm tâm P thuộc đường thẳng QO Nhận xét : Những toán nêu giải phương pháp hình học sơ cấp ……………………………………………… 114 KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu thực mục đích luận văn đối chiếu với nhiệm vụ đề tài,chúng giải vấn đề sau; Tìm hiểu yêu cầu đổi giáo dục tình hình Phân tích ,làm rõ hình học cao cấp nói chung, hình học xạ ảnh nói riêng khơng mơn trang bị kiến thức khoa học mà chuẩn bị chuyên môn nghiệp vụ cho sinh viên khoa Tốn trường ĐHSP Tìm hiểu nội dung chương trình hình học trường THPT nội dung hình học xạ ảnh trường ĐHSP từ khẳng định mối liên hệ chúng Chỉ tiềm việc khai thác,vận dụng mối liên hệ vào việc nâng cao hiệu dạy học hình học trường phổ thơng Tuy nhiên,chúng tơi nhận thấy hình học xạ ảnh mơn học khó, để hiểu cần sử dụng nhiều kiến thức liên quan Hơn việc áp dụng phụ thuộc nhiều vào điều kiện thời gian hoàn cảnh cụ thể Hy vọng đề tài tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa Toán cho giáo viên THPT 115 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Văn Như Cương, Hình học xạ ảnh – NXB GD (1999) 2.Phạm Bình Đơ, Bài tập hình học xạ ảnh – NXB ĐHSP (2006) 3.Trần Bá Hoành, Suy nghĩ số định hướng đổi chương trình đào tạo giáo viên THCS, Tạp chí giáo dục số 4( 5/2001) 4.Nguyễn Bá Kim tác giả, Phương pháp dạy ọc mơn tốn, phần II: Dạy học nội dung – NXBGD- 1994 Phan Ngọc Liên, Nâng cao chất lượng đào tạo giáo viên, học rút từ lịch sử ngành sư phạm,Trích kỉ yếu hội thảo kỉ niệm 45 năm thành lập trường ĐHSP – ĐHQG HN (1996) Bùi Văn Nghị,Chuyên đề vận dụng lí luận dạy học dạy học mơn tốn trường phổ thơng,Giáo trình giảng dạy cao học K15.2 Đồn Quỳnh, Chương trình chi tiết mơn học, học phần ngành sư phạm toán học, Dự án đào tạo giáo viên THCS (2004) Nguyễn Cảnh Toàn, Hình học xạ ảnh- NXB GD (1963) 116 ... “Khai thác mối liên hệ hình học xạ ảnh hình học sơ cấp nhằm nâng cao hiệu dạy học mơn hình học trường phổ thơng” 2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu để thấy mối liên hệ hình học xạ ảnh hình học sơ cấp. .. hình học trường phổ thơng nhằm phân tích mối liên hệ chúng Khai thác ,vận dụng mối liên hệ hình học xạ ảnh hình học sơ cấp trường phổ thơng vào việc học tập mơn hình học xạ ảnh trường sư phạm... trường Cao đẳng; Đại học? ?? Với lí luận trên; ta khẳng định: Giữa hình học xạ ảnh giảng dạy trường Đại học sư phạm hình học sơ cấp trường PTTH có mối liên hệ với Giáo trình “ hình học xạ ảnh? ?? trường