Trong P2 cho bốn điểm A,B,C,D mà trong chúng khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Tập hợp gồm bốn điểm A,B,C,D và sáu đường thẳng AB,AC,AD,BC,BD,CD gọi là một hình bốn đỉnh tồn phần mà mỗi điểm, mỗi đường thẳng nói trên lần lượt gọi là một đỉnh, một cạnh của nó. Các điểm P = AB ∩ CD, Q = AC ∩BD , R = AD ∩ BC gọi là các điểm chéo. Hai cạnh
đi qua một điểm chéo gọi là hai cạnh đối diện. Đường thẳng nối hai điểm chéo gọi là một đường chéo
Tính chất: Hai cạnh đối diện chia điều hoà hai đường chéo cùng đi qua một
điểm chéo.
Chẳng hạn: PB,PC chia điều hoà PQ,PR, suy ra M,N chia điều hoà Q,R (M = QR ∩ PB , N = QR ∩PC).
2.5.Nguyên tắc đối ngẫu.
2.5.1. Trong Pn hai cặp khái niệm sau đây được gọi là hai cặp khái niệm đối ngẫu nguyên thuỷ:
+) (m - phẳng; (n - m -1) - phẳng).
+) ( k - phẳng thuộc vào m - phẳng; (n - k- 1) - phẳng chứa (n - m- 1) - phẳng).
+) (Tỉ số kép của 4 điểm thẳng hàng; tỉ số kép của 4 siêu phẳng thuộc một chùm ).
2.5.2. Giả sử P là một mệnh đề (câu ) nói về những cái phẳng của Pn và quan hệ liên thuộc giữa chúng. Nếu thay trong P mỗi từ m - phẳng bằng từ (n – m -1) - phẳng, từ “ thuộc vào” bằng từ “ chứa”, từ “ chứa” bằng từ “thuộc vào”, còn các từ khác để nguyên thì trở thành một mệnh đề P *, gọi là mệnh đề đối ngẫu của P.
khái niệm N* nào đó. Khái niệm N* được gọi là khái niệm đối ngẫu của N. 2.5.4. Nguyên tắc đối ngẫu: Nếu P là một định lí thì P* là một định lí. 2.5.5.Một số cặp các khái niện đối ngẫu cơ bản.
Điểm. Siêu phẳng. m-phẳng (n-m-1) - phẳng. ⊂ ⊃
Nằm trên Đi qua.
Hệ điểm độc lập Hệ siêu phẳng độc lập.
Bốn điểm thẳng hàng. Bốn siêu phẳng đi qua (n-2)-phẳng. Tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng . Tỷ số kép của chùm bốn siêu phẳng.
Đặc biệt trong P2:
Điểm đường thẳng Ba điểm thẳng hàng Ba đường thẳng đồng quy. Tam giác Tam giác
Tứ giác toàn phần . Bốn đỉnh tồn phần . Ví dụ:
Định lí Pappus trong P2: Cho 6 điểm phân biệt và không thẳng hàng
A,B,C,A’,B’,C’ ,trong đó A,B,C thẳng hàng và A’,B’,C’ thẳng hàng. Gọi: A"=BC'∩B'C. B"= AC'∩A'C. C"= AB'∩A'B.
Khi đó: A”,B”,C” thẳng hàng.
Thì định lí đối ngẫu của định lí này là:
Trong P2 cho ba đường thẳng phân biệt a,b,c đồng quy tại D và ba đường
thẳng phân biệt a’,b’,c’ đồng quy tại D’với D,D’phân biệt và đường thẳng DD’ không trùng với sáu đường thẳng đã cho.Khi đó ba đường thẳng
)' ' ,' ( ), ' ' ,' ( ), ' ,' (a∩b a∩b b∩c b∩c c∩a c∩a đồng quy. 2.6. Ánh xạ xạ ảnh. Biến đổi xạ ảnh 2.6.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản:
Ánh xạ f : P →P’ được gọi là một ánh xạ xạ ảnh nếu có một ánh xạ tuyến tính
ϕ: V →V’ sao cho nếu điểm M ∈P đại diện bởi vectơ x ∈V thì ảnh M’ =
f(M) ∈P’ đại diện bởi x'=ϕ(x)∈V’. Ta gọi ϕ đại diện cho f.
Ánh xạ xạ ảnh là một đơn ánh. Nếu P và P’ có cùng một số chiều thì ánh xạ xạ ảnh f : P →P’ là một song ánh và được gọi là một đẳng cấu xạ ảnh giữa P và P’
Một ánh xạ xạ ảnh f : P →P còn gọi là một biến đổi xạ ảnh của P
Mọi ánh xạ xạ ảnh đều biến m - phẳng thành m - phẳng và bảo toàn tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng hay 4 siêu phẳng cùng thuộc một chùm. Ngược lại, mọi ánh xạ f : Pn →P’n biến đường thẳng thành đường thẳng và bảo toàn tỉ số kép bốn điểm thẳng hàng đều là ánh xạ xạ ảnh.
Trong Pn cho r - phẳng α và (n – r -1) - phẳng β mà α∩β =φ và β
α dim
dim ≤ . Ta gọi cặp (α,β) là một r - cặp. Một biến đổi xạ ảnh f : Pn →Pn
mà f(M) = M với mọi M ∈α ∪β thì được gọi là một phép thấu xạ (qua) r -
cặp với cơ sở (α,β ). Nếu f ≠id thì với mọi cặp (M,M’) mà M’ = f(M) ≠M,
đường thẳng MM’ cắt α,β lần lượt tại hai điểm A,B. Tỉ số kép [ABMM’] = k là một hằng số khơng phụ thuộc vào vị trí của M. Số k gọi là tỉ số thấu xạ của f. Một phép thấu xạ qua O - cặp (α,β ) còn gọi là phép thấu xạ tâm với tâmα
,nền β.
Biến đổi xạ ảnh f của Pn sẽ được gọi là một phép thấu xạ đặc biệt (hoặc thấu xạ đơn ) nếu tập các điểm bất động của f là một siêu phẳng α hoặc toàn
bộ Pn. Siêu phẳng α gọi là nền thấu xạ của f khi f khác đồng nhất.Tồn tại một
điểm O (duy nhất) thuộc α sao cho mọi đường thẳng đi qua O đều bất động.
Điểm O này gọi là tâm thấu xạ của f.