b. Định lí Steiner.
2.8.5.Định lí Desargues thứ hai.
Định lí:
Trong P2 cho hình bốn đỉnh ABCD và đường thẳng lkhông đi qua A,B,C,D. Một đường bậc hai (G) biến thiên đi qua A,B,C,D và cắt l tại hai điểm M,N . Khi đó ánh xạ : f: hg{l}→hg {l}
M N
là một biến đổi xạ ảnh đối hợp, mà ba cặp điểm ( l ∩AB , l ∩CD), (l ∩AC, l ∩BD) , (l ∩BC, l∩AD) là ba cặp phần tử tương ứng của f.
Hệ quả: Cho ba đỉnh ABC và ba điểm A,'B,'C' lần lượt thuộc các cạnh BC,CA,AB mà không phải là đỉnh. Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng
',' ,' ,'BB CC
AA đồng quy là có một đường thẳng l cắt ba cặp đường thẳng
(AA,'BC),(BB,'CA),(CC ,'AB) thành ba cặp điểm tương ứng của một biến đổi xạ ảnh đối hợp của hg{l}.
Định lí đối ngẫu:
Trong P2 cho hình bốn đỉnh ABCD và điểm E khơng nằm trên các cạnh của nó. Đặt P = AB ∩CD, Q = BC ∩DA. Một đường bậc hai (G) biến thiên luôn luôn tiếp xúc với AB,BC,CD,DA.Giả sử m,n là hai đường thẳng biến thiên đi qua E và tiếp xúc với (G).
Khi đó ánh xạ :f : ch{E}→ch{E}, f(m) = n là một biến đổi xạ ảnh đối hợp của ch{E} mà ba cặp đường thẳng (EA,EC),(EB,ED),(EP,EQ) là ba cặp phần tử tương ứng của f.
Cho hình ba đỉnh ABC và ba điểm A,'B,'C' lần lượt nằm trên BC,CA,AB mà không phải là đỉnh. Điều kiện cần và đủ để ba điểm A,'B,'C'thẳng hàng là có một điểm E sao cho ba cặp đường thẳng (EA,EA'), (EB,EB'), (EC,EC') là ba cặp phần tử tương ứng của một biến đổi xạ ảnh đối hợp của ch{E}.
2.9.Mơ hình xạ ảnh của khơng gian Afin: