n) Trong A2P(R) ta có: GA GP Gp ∩ ∆
1.2 Dùng hình học sơ cấp để sáng tạo ra những định lí,bài tốn của hình học xạ ảnh.
học xạ ảnh.
Muốn tạo ra một định lí,một bài tốn hình học xạ ảnh ta có thể lấy một định lí, một bài tốn sơ cấp đã biết của khơng gian afin hay Euclid rồi đưa nó vào mơ hình xạ ảnh của khơng gian afin hay Euclid tương ứng. Bằng ngơn ngữ của mơ hình có thể chuyển định lí hoặc bài tốn ấy thành định lí hoặc bài tốn của hình học xạ ảnh.
Cách làm này thường được các giảng viên sử dụng để tạo ra các bài tập xạ ảnh có nội dung gần gũi với tốn học phổ thơng cho các sinh viên của mình luyện tập và cũng là cách để các sinh viên tự tìm tịi,phát hiện ra các kết quả mới (cho bản thân) về hình học xạ ảnh từ vốn kiến thức phong phú đã được
trang bị ở trường phổ thơng. Sau đây là một số ví dụ thể hiện.
Bài tốn 1.
Chứng minh rằng trong A2 một hình bình hành ngoại tiếp một Elip thì tâm
của nó trùng với tâm của Elip.
Bằng kiến thức sơ cấp ta có thể chứng minh được bài tốn nêu trên mà một trong các cách là:
Bằng cách chọn trục toạ độ thích hợp ta ln có phương trình Elip (E) dạng
12 2 2 2 2 = + b y a x .
Giả sử hình bình hành ABCD ngoại tiếp (E) thì trong hệ trục đó các cạnh của nó có phương trình dạng:
AB: A1x+B1y+C1 =0 AD: A2x+B2y+C2 =0 CD: A1x+B1y−C1 =0 BC: A2x+B2y−C2 =0 (Do AB//CD,AD//BC và sử dụng điều kiện đường thẳng tiếp xúc Elip)
Tìm toạ độ của điểm A và C suy ra toạ độ tâm hình bình hành là O(0,0) trùng với tâm của (E) (đpcm).
Bây giờ ta chuyển bài toán này thành một bài tốn của hình học xạ ảnh. Giả sử trong A2 cho hình bình hành ABCD tâm O ngoại tiếp Elip (E). Các cạnh AB,BC,CD,DA lần lượt tiếp xúc với (E) tại N,E,F,M.
Bổ sung đường thẳng vô tận ∆vào A2 ta được mặt phẳng xạ ảnh P2..
Elip (E) trong A2 trở thành Conic (S) khơng cắt ∆và nội tiếp hình bốn cạnh ABCD.
Việc chứng minh tâm O của hình bình hành trùng với tâm của Elip (E) (trongA2) trở thành chứng minh O là cực của ∆hay ∆ là đối cực của O trong P2.
Bài toán đã cho trở về bài toán xạ ảnh sau :
Bài tốn 1’:
Cho hình bốn cạnh tồn phần AB,BC,CD,DA lần lượt tiếp xúc với Conic(S)
tại N,F,E,M.Gọi O= AC∩BD,P= AB∩CD,Q= AD∩BC.
Chứng minh rằng: O là cực của PQ.
Ta giải bài toán 1’) bằng kiến thức của hình học xạ ảnh .
Theo tính chất của hình bốn cạnh tồn phần thì đường chéo PQ là đối cực của điểm O O=CA∩BD⇒O là cực của PQ .
Mặt khác Q là cực của MF,P là cực của NE.
Theo định lí Briăngsơng thì BD,AC,NE,MF đồng quy tại O’ là tâm của (S).Suy ra O’ liên hợp với P và Q nên O’ cũng là cực của PQ(đpcm).
Vì chỉ có duy nhất cách bổ sung đường thẳng vơ tận nên mỗi bài tốn sơ cấp chỉ tạo ra duy nhất một bài toán xạ ảnh tương ứng. Ở phần tiếp theo ta chỉ quan tâm đến việc tạo ra một bài toán xạ ảnh từ một bài tốn sơ cấp cịn việc giải nó bằng kiến thức xạ ảnh sẽ được chúng tôi đề cập ở phần sau.
Cho Parabol (P) và hai tiếp tuyến phân biệt a,b của (P) tại A,B. Gọi C là
trung điểm của đoạn thẳng AB và D là giao điểm của a và b.
Chứng minh rằng đường thẳng CD cùng phương với trục của Parabol (P).
Đây là một bài tốn quen thuộc của hình học sơ cấp.Lời giải theo hướng dẫn sau:
Chọn hệ trục toạ độ sao cho (P) có phương trình y2=2px.
A(x1,y1),B(x2,y2) phân biệt thuộc (P).
Tiếp tuyến a và b của (P) lần lượt tại A và B có phương trình a: y1y=p(x+x1) b: : y2y=p(x+x2)
Trung điểm C của AB có toạ độ C(
2, , 2 2 1 2 1 x y y x + + ) . Tung độ của điểm D=a∩b là yD=
12 2 1 2 ) ( y y x x p − − .
Do A,B thuộc (P) nên y12 =2px1 , y22 =2px2 2 2 ( 2 1)
12 2 2 y p x x y − = − ⇒ ⇒ yD= 1 2 1 2 ) ( y y x x p − − =y +y = yC 2 1
2 chứng tỏ đường thẳng CD cùng phương với Ox là trục của (P) (đpcm).
Nếu bổ sung đường thẳng vô tận ∆ vào mặt phẳng xạ ảnh P2 [V] thì Parabol (P) trong A2 được sinh bởi đường trái xoan (P') trong P2 tiếp xúc với đường thẳng vô tận ∆tại U. C là trung điểm của đoạn thẳng AB trong A2 thì trong P2 : <A,B> ∩∆ = C' mà [A,B,C,C'] = -1 .
Bài toán 2.chuyển về bài toán xạ ảnh sau :
Bài toán 2’:
Trong P2 cho đường trái xoan (P') tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại U. Hai tiếp tuyến phân biệt a,b của (P') tại A,B cắt nhau tại D.Đường thẳng <A,B>
cắt ∆ tại C'. C là điểm thuộc đường thẳng ∆ sao cho [A,B,C,C']= -1.
Chứng minh U,C,D thẳng hàng.
Bài toán 3:
Trong mặt phẳng Euclid cho hai đường thẳng phân biệt a,b. Một điểm A
thuộc a, một điểm D không thuộc a,b.Một đường thẳng biến thiên đi qua D cắt a tại M và cắt b tại N. Tìm quỹ tích các đường thẳng đi qua M và thẳng góc với đường thẳng AN.
Trong mặt phẳng Euclid bổ sung đường thẳng vô tận ∆ và lập một mơ hình xạ ảnh E2(i)=P2(i)\∆.I,J là hai điểm xiclic,d là đường thẳng qua M và thẳng góc với AN trong E2.
Giả sử <A,N>∩∆=P, d∩∆=Q thì [I,J,P,Q]=-1. Bài tốn chuyển về bài toán xạ ảnh sau đây:
Bài toán 3’:
Trong P2(i) cho I,J là hai điểm ảo liên hợp trên đường thẳng ∆. a,b là hai đường thẳng phân biệt. Một điểm A không thuộc a, D không thuộc a,b.
Đường thẳng biến thiên đi qua D cắt a tại M,cắt b tại N.Đường thẳng <A, N> ∩∆=P.
Tìm quỹ tích các đường thẳng đi qua M sao cho:[I,J,P,Q] = -1.Trong đó Q
là giao của đường thẳng đi qua M và∆.
Bài toán 4:
Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và một parabol biến thiên tiếp xúc với
các đường thẳng AB,BC,CA, theo thứ tự các điểm R,P,Q.
a.Chứng minh rằng mỗi đường thẳng biến thiên RP,PQ,QR đi qua một điểm cố định.
b.Chứng minh rằng ba đường thẳng AP,PQ,CR cùng đi qua một điểm cố định E. Tìm quỹ tích điểm E.
Bổ sung đường thẳng vô tận ∆ vào mặt phẳng ta có mặt phẳng xạ ảnh P2
[V]. Parabol (P) trong A2 được sinh bởi đường trái xoan (P') trong P2 tiếp xúc với đường vô tận ∆ tại I.
Bài toán chuyển về bài toán xạ ảnh:
Bài toán 4’:
Trong P2 cho một đường trái xoan biến thiên tiếp xúc với các cạnh <A,B>, <B,C> , <C,A> của đơn hình ABC lần lượt tại các điểm R,P,Q và luôn tiếp
xúc với một đường thẳng ∆ cố định.
a. Chứng minh rằng mỗi đường thẳng biến thiên <R,P>,<P,Q>, <Q,R> đi qua một điểm cố định.
b. Chứng minh rằng ba đường thẳng <A,P>,<B,Q>, <C,R> cùng đi qua một điểm E. Tìm quỹ tích điểm E.
Mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học sơ cấp khơng chỉ được thể hiện ở việc dùng hình học sơ cấp có thể giải và sáng tạo các định lý và các bài toán của hình học xạ ảnh mà cịn được thể hiện bẳng con đường ngược lại.Chúng có mối quan hệ qua lại với nhau.
II.Dùng hình học xạ ảnh để giải và sáng tạo các bài tốn của hình học sơ cấp 2.1Dùng hình học xạ ảnh để giải các bài tốn của hình học sơ cấp
Trong mặt phẳng thông thường nếu bổ sung thêm đường thẳng vơ tận thì cho ta mặt phẳng xạ ảnh.Chuyển bài toán afin thành bài tốn xạ ảnh sau đó giải bằng phương pháp hình học xạ ảnh.Diễn tả kết quả thu được bằng ngơn ngữ mơ hình xạ ảnh. Chuyển bài tốn đã giải thành kết quả afin hay Euclid tương ứng ta được kết quả của bài toán đã cho.
Bằng cách này một giáo viên Toán ở trường trung học phổ thơng có thêm một cơng cụ để giải các bài tốn hình học sơ cấp và quan trọng hơn là được nhìn nhận một bài tốn sơ cấp dưới góc độ của hình học cao cấp.Dùng kiến thức về hình học xạ ảnh soi sáng , định hướng cho việc tìm lời giải sơ cấp từ đó thuận lợi cho việc khai thác mối liên hệ giữa chúng vào việc nâng cao hiệu quả giảng dạy của mình.
Sau đây là một số ví dụ thể hiện
Bài tốn 1: Dùng mơ hình xạ ảnh của mặt phẳng A2 chứng minh rằng: a. Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. b. Đường trung bình của tam giác song song với cạnh đáy tương ứng. c. Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy.
Chứng minh:
a. Gọi O = AC ∩ BD ta phải chứng minh O là điểm nằm giữa của AC và BD, tức là ta phải chứng minh [A,C,O] = [B,D,O] = -1.
Bổ sung đường thẳng vô tận ∆ vào mặt phẳng afin A2 ta được mặt phẳng xạ ảnh P2 [V].
Theo giả thiết ABCD là hình bình hành nên AB // DC , AD // BC ( trong A2) thì trong P2[V]: <A,B>∩<D,C>=P ∈∆, <A,D> ∩<B,C> = Q∈∆.
Xét hình tứ đỉnh tồn phần ABCD ta có : [A,C,O,R] = -1; [B,D,O,S] = -1. Do R,S ∈∆ nên trong P2 [V] : [A,C,O,R] = [A,C,O] = -1 (trong A2)
[B,D,O,S] = [B,D,O] = -1 (trong A2) . Suy ra : [A,C,O ] = [ B,D,O ] = -1. Tức là trong mặt phẳng afin hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
b. Đường trung bình của tam giác song song với cạnh đáy tương ứng.
Bổ sung đường thẳng vô tận của ∆ vào mặt phẳng A2 , ta được mặt phẳng xạ ảnh P2 [V].
Muốn chứng minh: MN song song BC trong A2 thì phải chứng minh : <M,N> ∩ <B,C> = P ∈∆ (trong P2 [V]).
Gọi : <A,B> ∩∆ = Q , <A,C> ∩∆ = R
Trong A2 : [A,B,M] = [A,B,M,Q] = -1 (Trong P2 [V]) Trong A2 : [A,C,N] = [A,C,N,R ] = -1 (trong P2 [V]) Bài toán chuyển về bài toán xạ ảnh sau đây:
b’.Trong P2 [V] cho đơn hình ABC. Đường thẳng ∆ cắt <A,B> tại Q cắt
cho : [A,B,M,Q ] = -1 và [A,C,N,R] =-1.
Chứng minh rằng : <M,N> , <B,C> giao nhau tại P thuộc ∆.
Giải :
Do [A,B,M,Q] = -1 , [A,C,N,R] = -1. Suy ra :
Hàng (A,B,M,Q) ∧ hàng (A,C,N,R) , giao của hai giá hàng điểm là A tự ứng. Vậy <M,N>, <B,C> , <Q,R> đồng quy tại P. Tức là <M,N> ∩ <B,C> = P
∆
∈ .
Chuyển kết quả về mặt phẳng xạ ảnh A2 ta được MN // BC.
c. Ba đường trung tuyến đồng quy.
Đặt G = CP ∩BN . P là trung điểm của AB , N là trung điểm của AC.
Gọi M là giao điểm của AG và BC. Ta phải chứng minh M là trung điểm của BC tức là [B,C,M ] = -1
Bổ sung đường thẳng vô tận ∆ vào mặt phẳng A2 ta có P2 [V] và PN // BC trong A2 thì trong P2 [V] <P,N> ∩ <B,C> = S ∈∆.
Chuyển về bài toán xạ ảnh ta phải chứng minh [B,C,M,S] = -1. Xét tứ cạnh toàn phần <A,P> , <P,G> , <G,N> , <N,A> có B, C là hai diểm chéo. M,S là
hai điểm nằm trên đường chéo <B,C> xác định bởi đường thẳng đ i qua giao điểm hai cạnh còn lại với đường chéo còn lại nên:
[B,C,M,S] = -1.
Chuyển kết quả về mặt phẳng A2 ta có : [B,C,M ] = -1 . Tức là ba đường trung tuyến này đồng quy.
Bài toán 2.
Cho tam giác ABC có trung tuyến AA’. Điểm I thuộc vào AA’, Đặt
.' '
,
' BI AC C CI AB
B = ∩ = ∩ Chứng minh rằng B’C’//BC.
Bổ sung đường thẳng vô tận ∆vào mặt phẳng afin A2 ta được mặt phẳng xạ ảnh P2.
Giả sử BC∩B'C'=M .
Ba điểm A,B,C độc lập.C’,B’,M thẳng hàng. Áp dụng định lí Menelaus ta được:
[ABC'C'][.BCA'M][.CAB'B']=−1
[ ] 1 [ ' ] 1 ' ' : ' ' . ' . ' ' : ' ' =− ⇒ =− ⇒ BCAM A B C B A B C B M BCA B C A C B C A C
B’C’ cắt BC ở vô cực.Chuyển về A2 ta được B’C’//BC.
Bài toán 3.
Trong A2 cho Parabol (P) và tam giác ABC có các cạnh tiếp xúc với (P).Từ B kẻ đường thẳng b’song song với AC, b’cắt (P) tại H và K. Tiếp tuyến với (P) tại H và K cắt nhau tại L.
Chứng minh : LA//BC, LC//AB.
Bổ sung đường thẳng vô tận∆vào mặt phẳng A2 ta được mặt phẳng xạ ảnh P2. Parabol đã cho trở thành đường trái xoan(H’) tiếp xúc với ∆tại O.
Trong A2 : BC//LA,LC//AB thì trong P2:<B,C>∩<L,A>=I∈∆
,, ,
, >∩< >= ∈∆
< L C A B T gọi R=<A,C >∩∆. Bài toán trên trở thành bài toán xạ ảnh :
Trong P2 cho đường trái xoan (H’).Một đường thẳng ∆ tiếp xúc với (H’). Đơn hình ABC có các cạnh tiếp xúc với (H’) P,S và Q. Đường thẳng b’ đi qua B cắt đường thẳng <A,C> tại R thuộc ∆,b’ cắt đường trái xoan (H’) tại H và K.Tiếp tuyến của (H’) tại H và K cắt nhau tại L.
Chứng minh rằng:
Ba đường thẳng <A,L>,<B,C>,∆đồng quy. Ba đường thẳng <L,C>,<A,B>,∆đồng quy.
Chứng minh:
Xét hình tứ đỉnh RCBT ngoại tiếp đường trái xoan (H’) và Q,S,P,O lần lượt là các tiếp điểm của tứ điểm với đường trái xoan.
Theo định lí Brianchon ta có:<B,R>,<O,S>,<P,Q> đồng quy hay <H,K>,<O,S>,<P,Q> đồng quy.
Hai tiếp tuyến của (H’) tại H và K cắt nhau tại L do đó <H,K> là đường đối cực của L. <A,B>,<A,C> tiếp xúc với đường trái xoan tại P,Q nên <P,Q> là đường đối cực của A.
∆ tiếp xúc với (H’) tại O,<B,C> tiếp xúc với (H’) tại S .Mà ∆∩<B,C >=I
Ba đường đối cực <H,K>,P,Q>,<O,S> đồng quy nên ba cực L,A,I thẳng hàng.Suy ra I∈<B,C >,I∈<L,A>⇒<B,C>∩<L,A>= I
Do I∈∆ nên <B,C> ,<L,A>,∆ đồng quy.
*Chứng minh hoàn tồn tương tự ta cũng có <A,B>,<L,C>,∆đồng quy(đpcm) Chuyển kết quả thu được sang A2 ta có điều phải chứng minh.
Bài tốn 4.
Trong mặt phẳng cho đường trịn (O).Một đường thẳng t tiếp xúc với (O) tại
T và một đường thẳng ∆ đi qua P’ là điểm xuyên tâm đối của T trên đường
tròn (O).Một điểm P di động trên ∆ sao cho từ P kẻ được hai tiếp tuyến với
đường tròn (O)cắt t ở M và N.
Chứng minh rằng:M,N đối xứng với nhau qua một điểm cố định.
Đây là một bài toán được đề xuất làm bài thi IMO-1992,Moscow.
Trước hết ta trình bày lời giải bài tốn trên bằng kiến thức của hình học xạ ảnh. Lời giải 1.
Rõ ràng f: M→N là một phép biến đổi xạ ảnh trên t và thuộc loại hypebolic vì nó có hai điểm bất động ,trong đó một điểm ở xa vơ tận còn một điểm là trung điểm S của đoạn thẳng TT’ với T’là giao điểm của ∆ và t.
Vì thế f là một phép đồng dạng trên t.Phép đồng dạng này là phép vị tự tâm S tỉ số k.
Hơn nữa phép đồng dạng này có tính chất đối hợp nên k=-1. Vậy f là phép đối xứng tâm S.
Với lời giải xạ ảnh trên ta biết được điểm cố định mà M,N đối xứng qua đó chính là trung điểm S của TT’.Từ đó định hướng cho lời giải sơ cấp của bài toán đã cho.
Lời giải 2.
Gọi T’ = t ∩ ∆ và S là trung điểm TT’ suy ra S cố định.
Qua P’ kẻ một đường thẳng song song với t cắt PM,PN lần lượt ở M’ và N’. suy ra MNN’M’ là hình thang ngoại tiếp đường trịn (O).
Do đó : N T N P PN PN MN N M EM EN MT N P ' ' ' ' ' ' ' ' ' = = = = thế thì MT=T’N hay SM=SN
Vậy M và N đối xứng với nhau qua S cố định (đpcm).
Bài toán 5.
Cho đường thẳng song song a và b của mặt phẳng afin A2 [R] . A,B là hai
điểm của a. Chỉ bằng thước kẻ hãy dựng trung điểm của đoạn thẳng AB.
Lời giải:
Phân tích :
Giả sử đã dựng được điểm M là trung điểm của [AB], tức là dựng được điểm sao cho [A,B,M] = -1.
Nếu trong mặt phẳng A2 [R] bổ sung đường thẳng vô tận ∆, ta được mặt phẳng xạ ảnh P2 [R].
Do a // b trong mặt phẳng afin A2 [R] nên trong P2 [R] : [A,B,M,S ] = [A,B,M] = -1 (trong A2 [R]), ở đó S = a∩b.
Trong mặt phẳng P2 [R] lấy điểm O. <O,A> , <O, B> lần lượt cắt b tại A', B'. Gọi <A,B'> ∩ <B, A' > = G.
Xét tứ cạnh toàn phần <O, A' > , <A' ,G>, <G', B> , <B',O > có A,B là hai đỉnh. M,S là hai điểm chéo nhau nằm trên đường thẳng <A,B> do đó theo tính