b. Định lí Steiner.
2.9.1Định nghĩa mơ hình xạ ảnh của khơng gian afin An.
Ta đã biết ,từ không gian xạ ảnh Pn nếu bỏ đi một siêu phẳng nào đó và xây dựng phần cịn lại thàng một khơng gian afin.
Cho không gian xạ ảnh Pn (n≥1) trên trường số K và một siêu phẳng ∆của Pn. Đặt An = Pn \ ∆. Lấy một mục tiêu xạ ảnh (S0,,Sn;E) của Pn mà
∆∈ ∈
n
S
S0,, . Điểm M(x0::xn) thuộc An khi và chỉ khi x0 ≠0, tức là khi và chỉ khi M( 0 0 1 : : : 1 x x x x n ). Bộ số (X1, …,Xn) mà 0 0 1 1 , , x x X x x X n n = = gọi là toạ độ không thuần nhất của M đối với mục tiêu xạ ảnh đã cho. Kí hiệu M(X1,
…,Xn).
Xét khơng gian vectơ n chiều Kn (trên trường K). Có thể lập ánh xạ
n
K:A×A→ :A×A→
ϕ theo quy tắc : cho M(X1,…,Xn),N(Y1,…,Yn) ∈A theo toạ độ khơng thuần nhất thì ( ) ( ) n n n X K Y X Y N M, = 1− 1,, − ∈ ϕ .Ánh xạ ϕ thoả mãn hai tính chất:
(i) Cho M ∈A và v∈Kn thì có duy nhất N∈A để ϕ(M,N)=v.
Vậy A là một không gian afin liên kết với Kn bởi ϕ.
Ta gọi khơng gian afin này là mơ hình xạ ảnh của khônh gian afin n-chiều
tổng quát trên trường K và kí hiệu là Anp(K) hay Anp.Siêu phẳng ∆ gọi là cái
tuyệt đối hay siêu phẳng vô tận của mơ hình Anp.Mỗi điểm của ∆gọi là một
điểm vơ tận của Anp.
Nếu Hp là một hình của An mà Hp ⊄∆thì HA=Hp\∆ là một hình của Anp.
Ta nói hình HA được sinh ra bởi hình Hp mà mỗi điểm của Hp ∩∆là một điểm vô tận của HA.
Với mơ hình này,ta thu được một số kết quả cơ bản sau:
2.9.2.Một số kết quả cơ bản.
a) Mỗi m - phẳng αp của Pn mà αp không nằm trong ∆, sinh ra một
m - phẳng αA của n p
A . Ngược lại, mỗi m - phẳng αA của n p
A được sinh ra bởi một và chỉ một m - phẳng αp của Pn.
b) Hai đường thẳng song song phân biệt của n p
A được sinh ra bởi hai đường thẳng phân biệt của Pn cắt nhau trên ∆.
c) Tọa độ không thuần nhất (X1,…,Xn) của điểm M n p
A
∈ là toạ độ afin của
điểm M đối với mục tiêu afin có gốc là S0, các vectơ cơ sở là S0Ei,trong đó Ei có toạ độ khơng thuần nhất (0,…,1,…,0) (Ei là giao của đường thẳng xạ ảnh S0Si với siêu phẳng xạ ảnh đi qua E và các điểm Sj với j ≠0 ,j ≠i). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
d) Phương một chiều của n p
A có vectơ chỉ phương v(v1,,v0) được xác định bởi điểm vô tận V(0: v1: …:vn).
e) Nếu A,B,C là ba điểm thẳng hàng của n p
A mà A≠B≠C thì tỉ số đơn [ABC] là tỉ số kép [ABCD] trong đó D là điểm vơ tận của đường thẳng xạ ảnh AB. Nói riêng, C là trung điểm của AB (tức [ABC] = -1) khi và chỉ khi A,B chia điều hoà C,D.
g) Mỗi siêu mặt bậc hai xạ ảnh Gp (của Pn) không chứa ∆ sinh ra một siêu mặt bậc hai afin GA = Gp \ ∆ và GA không suy biến khi và chỉ khi Gp không suy
biến. Ngược lại, mỗi siêu mặt bậc hai afin GA của n p
A được sinh ra bởi một và chỉ một siêu mặt bậc hai xạ ảnh GP không chứa ∆ .
h) Điểm C là tâm của GA khi và chỉ khi C liên hợp với mọi điểm của ∆ đối với Gp. Nói riêng, nếu GA khơng suy biến thì C là tâm của SA khi và chỉ khi C là cực của ∆ đối với Sp.