n) Trong A2P(R) ta có: GA GP Gp ∩ ∆
2.10.2.Mơ hình xạ ảnh của khơng gian Ơclit En
Xét không gian xạ ảnh thực Pn, một siêu phẳng ∆ của Pn , thì có mơ hình xạ ảnh n
P
A = Pn \ ∆ của không gian afin thực n chiều xác định bởi một mục tiêu xạ ảnh (S0,,Sn;E) , với S1,…, Sn ∈∆.
Xét mục tiêu afin (S0,e1,,en), trong đó ei = S0Ei và Ei là giao điểm của
i
S
S0 với siêu phẳng αi đi qua E, Sj mà j = 1, …,n, j ≠i.
Có thể đưa vào một tích vơ hướng Ω trong n P
A như sau :
Với x=x1e1++xnen , y= y1e1++ynen thì Ω( )x,y =x1y1 ++xnyn. Khi đó n
P
A trở thành một không gian Ơclit n - chiều, kí hiệu là n P
E và gọi là
Xét không gian mở rộng Pn(i) của Pn. Đặt Q là tập hợp các điểm của ∆ ⊂Pn(i) có toạ độ xạ ảnh (x0 ::xn) thoả mãn phương trình 2 2 0
1 + +xn =
x . Nếu xem
∆ là khơng gian Pn-1(i) thì Q là một siêu mặt bậc hai của nó gồm tồn những điểm ảo. Ta gọi Q là cái tuyệt đối của n
P
E . Trường hợp n = 3 thì Q là một đường bậc hai(chỉ có các điểm ảo) gọi là đường rốn của 3
P
E . Trường hợp n = 2 thì Q là một cặp điểm ảo liên hợp gọi là cặp điểm xyclic của 2
P
E và thường kí hiệu là { I,J}.
Sau đây là một số kết quả cần chú ý:
a)Nếu hai đường thẳng phân biệt a,b của n P
E có hai phương xác định bởi hai điểm vô tận A,B và đường thẳng xạ ảnh AB cắt cái tuyệt đối Q tại hai điểm ảo liên hợp V, W thì góc θ giữa hai đường thẳng a,b được tính theo cơng thức Laguerre: ln 2 1 i = θ [ABVW]
Đặc biệt a ⊥b khi và chỉ khi [ABVW] = -1. b) Siêu mặt bậc hai GE của n
P
E là một siêu cầu khi và chỉ khi nó được sinh ra bởi siêu mặt bậc hai xạ ảnh Gp chứa Q.
c) Phép đối xứng trực giao qua siêu phẳng αE của En là thu hẹp của một phép thấu xạ đối hợp qua siêu phẳng xạ ảnh αP, trong đó αE =αP \∆, tâm thấu xạ
là cực H của (n - 2)- phẳng β =αP ∩∆đối với Q. d) Trong mặt phẳng 2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
P
E các đường bậc hai được thể hiện như sau:
2
P
E P2(i) Minh hoạ
Đường trịn GE
Đường ơ van Gp đi qua hai điểm xyclic I,J
Đường hypebol vuông GE
Đường ôvan GP cắt ∆ tại hai điểm M,N thoả mãn [MNIJ] = -1 Trục đối xứng dE của parabol GE
Đường thẳng dp đi qua tiếp điểm D của ∆ với Gp
mà cực của dp là điểm H thoả mãn [DHIJ]= -1 Hai trục đối xứng aE và bE elip Hai đường thẳng ap và bp đi qua cực O của ∆ đối với Gp, liên hợp với nhau đối với Gp và cắt ∆ tại hai
điểm A,B sao cho [ABIJ]= -1 Tiêu điểm
F của parabol
GE
Giao điểm F của hai tiếp tuyến xuất phát từ I,J đến
Gp Hai tiêu điểm F1,F2 của elip hay hypebol GE
Hai điểm thực F1,F2 trong bốn giao điểm của bốn cặp tiếp tuyến xuất từ I,J
Đường chuẩn dE ứng với tiêu điểm F của một cônic GE
Đường đối cực dp của điểm F đối với Gp
*Khái niệm hình chữ nhật của hình học Ơclit được thể hiện trong mơ hình E2P bởi một hình bốn đỉnh ABCD có các đỉnh khơng thuộc ∆,hai giao điểm P=AB∩CD và Q=BC∩DA thuộc ∆ thoả mãn [PQIJ] =-1.
*Hình vng ABCD được thể hiện bằng một hình bốn đỉnh ABCD như trên và thêm điều kiện sau: đặt R = AC∩∆,S=BD∩∆thì [RSIJ]=-1.
(do tính chất hình vng là hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc ) *Hình thoi ABCD được thể hiện bằng hình bốn đỉnh ABCD có các đỉnh khơng thuộc ∆và R=AC ∩∆,S=BD∩∆thoả mãn [RSIJ]=-1.( Áp dụng tính chất hình thoi là hình bình hành có hai đường chéo vng góc ). *Tam giác ABC cân tại A được thể hiện bằng một đơn hình ABC có các đỉnh khơng thuộc ∆,có điểm H thuộc BC sao cho với D=BC∩∆,E=AH∩∆thì [BCHD]=- 1 và [DEIJ]=-1.
*Các đường tròn đồng tâm O được thể hiện bằng những đường bậc hai khơng suy biến,có điểm thực, đi qua I,J và các cực của ∆đối với chúng trùng nhau tại O.
Ở chương III chúng tôi nêu và sắp xếp một số ví dụ điển hình thể hiện mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học sơ cấp và sự vận dụng, khai thác mối liên hệ đó vào việc nâng cao hiệu quả dạy học hình học ở trường phổ thơng. Đó là các bài tốn có nội dung bám sát chương trình hình học được giảng dạy ở trường phổ thông trung học như đường thẳng, đường trịn,ba đường cơnic.
CHƯƠNG III