A,B,C.Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC cũng thuộc (C).”
Bài toán 14:
Chứng minh rằng : Nếu một hình bình hành có hai đỉnh đối diện nằm trên một hypebol và mỗi cạnh của nó song song với một đường tiệm cận của hypebol thì hai đỉnh cịn lại thẳng hàng với tâm của hypebol.
Lời giải:
Bổ sung vào mặt phẳng A2 [R] đường thẳng vơ tận ∆ ta có P2 [R].
thẳng sinh ra hai đường tiệm cận của hypebol.
Trong A2: AB //CD// p thì trong P2:< A,B>∩<C,D>∩p∈∆.
Tương tự, BC//AD//q (trong A2) thì trong P2: <B,C>∩< A,D>∩q∈∆. Chuyển bài tốn đã cho về bài toán xạ ảnh:
Trong P2 cho đường trái xoan )(H’).Một đường thẳng ∆cắt (H’) tại P và
Q.Tiếp tuyến với (H’) tại P và Q cắt nhau tại O.A,C là hai điểm nằm trên (H’) .< A,P>∩<Q,C>=B,<P,C >∩<Q,A>= D.
Chứng minh rằng: O,B,D thẳng hàng.
Chứng minh:
Xét tứ đỉnh toàn phần PQAC nội tiếp đường trái xoan (H’) nên ba điểm chéo D,I,B tạo thành một đơn hình mà mỗi cạnh là đường đối cực của đỉnh đối diện. Suy ra <B,D> là đường đối cực của I.
Mặt khác: I∈ ∆,∆là đường đối cực của O nên I liên hợp với O đối với (H’). Vậy I,B,D thẳng hàng.
Chuyển kết quả trên về mặt phẳng A2:
O = p∩q (trong P2) nên O là tâm của hypebol.
<B,A>∩<C,D>=P∈∆,<B,C>∩<A,D>=Q∈∆(trong P2) thì AB//CD//p và BC//AD//p (trong A2).
Trong P2,O,B,D thẳng hàng và chúng không thuộc ∆nên trong A2 chúng thẳng hàng (đpcm).
Bài toán 15
Chứng minh rằng: Nếu hai điểm A,B nằm trên một Parabol và thẳng hàng với tiêu điểm của Parabol thì tiếp tuyến với Parabol tại A và B vng góc với nhau.
Lời giải:
Gọi F là tiêu điểm của Parabol (P),d là đường chuẩn của Parabol .Gọi T là giao điểm của hai tiếp tuyến với (P) tại A và B.
Trong mặt phẳng Euclid E2 bổ sung đường thẳng vô tận ∆ và lập mơ hình xạ ảnh E2P=P2(i)\∆. Gọi I,J là hai điểm xiclic.
Thế thì: (P) sinh bởi đường trái xoan (P’) tiếp xúc với ∆,T là cực của đường thẳng <A,B>.
Do F thuộc <A,B> nên T liên hợp với F đối với (P’ suy ra T thuộc d. Hình ba đỉnh FIJ có ba cạnh tiếp xúc với đường trái xoan (P’).
Gọi Q=<T,J >∩<F,I >.Qua Q dựng tiếp tuyến thứ hai với (P’) cắt <I,J> tại X,cắt <J,F> tại U.
Xét hình tứ đỉnh IJUQ và bốn tiếp điểm
V∈<I,J >,P'∈<J,U >,R∈<U,Q>,P∈<Q,I >.
Do hình tứ đỉnh IJUQ ngoại tiếp đường trái xoan (P’) và V,P’,R,P là bốn tiếp điểm thuộc bốn cạnh trên ,theo định lí Brianchon thì bốn đường thẳng
<I,U>,<J,Q>,<V,R>,<P’,P> là bốn đường thẳng đồng quy. Mà <P,P’>∩<J,Q>=T.Vậy I,U,T thẳng hàng.
Xét hình bốn cạnh tồn phần <I,J>,<J,F>,<Q,X>,<Q,I> tiếp xúc với đường trái xoan (P’). Do đó ba đường chéo <I,T>,<F,X>,<Q,T> tạo thành một đơn hình mà mỗi đỉnh là cực của cạmh đối diện suy ra <F,X>∩<Q,J>=T’, <F,X>
∩<I,T>=T”,<I,T>∩<Q,J>=T. Do đó cực của <T,T’> là T”,cực của <T,I> là
T’ suy ra <T,I > chứa cực của <T,J> và ngược lại.Do đó <T,I> kiên hợp với <T,J> đối với đường trái xoan (P’).
Mà <T,A>,<T,B>là hai tiếp tuyến của (P’) tại A và B nên [<T,A>,<T,B>,<T,I>,<T,J>]==-1.
Điều đó chuyển về trong mặt phẳng Euclid E2 thì hai đường thẳng TA và TB vng góc( đpcm).
Nhận xét:
Giả sử tiếp tuyến với Parabol tại A và tại B cắt nhau tại M thì M nhìn Parabol dưới một góc vng.Theo kết luận 2) của bài tốn 6 : Nếu (G) là một Parabol
thì quỹ tích các điểm nhìn nó dưới một góc vng là một đường thẳng , đó là đường chuẩn của (G) thì M thuộc đường chuẩn của Parabpl đã cho.
Kết hợp hai bài này, một giáo viên PTTH có thể sáng tạo ra những bài toán cho học sinh của mình luyện tập.Ví dụ như:
tiếp tuyến d của (P) tại A cắt đường chuẩn của (P) tại M.Chứng minh rằng tiếp tuyến thứ hai d’của (P) kẻ từ M vng góc với d và tiếp điểm N của d’ với (P) nằm trên đường thẳng nối A với tiêu điểm F của (P)”
2.2.Dùng hình học xạ ảnh để sáng tạo ra các định lí,các bài tốn của hình học sơ cấp.
Ta lấy một định lí hay một bài tốn của hình học xạ ảnh rồi chọn một hình thích hợp nào đó của khơng gian xạ ảnh làm hình tuyệt đối trong mơ hình xạ ảnh của khơng gian aphin hay khơng gian Euclid .Sau đó bằng ngơn ngữ của mơ hình chuyển định lí,bài tốn đã cho thành một mệnh đề afin hay Euclid tương ứng ta sẽ nhận được các định lí hoặc đề tốn của hình học afin hay Euclid tương ứng.
Vì có nhiều cách chọn siêu phẳng vơ tận nên từ một kết quả của hình học xạ ảnh ta có thể tạo ra nhiều kết quả của hình học sơ cấp.
Như vậy,với việc nắm vững kiến thức hình học xạ ảnh một giáo viên THPT có thể sáng tạo ra các bài tốn có mức độ phù hợp với đối tượng học sinh của mình.
Sau đây là một vài ví dụ thể hiện.
Bài 1:
Xét định lí Brianchon cho trường hợp hình ba đỉnh:
Nếu một đường trái xoan (G) tiếp xúc với ba cạnh <A,B> , <B,C>, <C,A> của hình ba đỉnh ABC tương ứng tại các đỉnh C’,A’,B’ thì ba đường thẳng <A,A’>,<B,B’>,<C,C’> đồng quy tại một điểm nào đó.
* Nếu trên mặt phẳng xạ ảnh A,B,C ta lập mơ hình xạ ảnh của mặt phẳng afin bằng cách chọn dường thẳng <B’,C’> làm đường thẳng vơ tận thì mệnh đề trên tương ứng với các mệnh đề sau đây của hình học phẳng:
Mệnh đề 1:
Cho một hypebol (G) có tâm A và một tiếp tuyến tại A’ thuộc (G) cắt hai đường tiệm cận tại B và C. Khi đó hai đường thẳng đi qua B,C và song song với hai đường tiệm cận cắt nhau tại một điểm O thẳng hàng với A và A’.
Mệnh đề 2:
Hai đường tiệm cận của một hypebol chắn ra trên một tiếp tuyến bất kì một đoạn thẳng mà tiếp điểm là trung điểm.
*Nếu chọn <B,C> làm đường thẳng vơ tận thì ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 3:
Cho một parabol (G) và hai tíêp tuyến xuất phát từ một điểm A không thuộc
(G) nhận hai tiếp điểm B’, C’. Nếu từ B’ và C’ dựng các đường thẳng song song với các tiếp tuyến thì hai đường thẳng này sẽ cắt nhau tại một điểm O nằm trên đường kính qua điểm A của parabol.
Bài 2:
Từ định lí Ménélaus và định lí Céva dưới dạng xạ ảnh.
Trong P2 [V] cho hệ ba điểm (A,B,C) độc lập xạ ảnh và ba điểm P,Q,R theo thứ tự thuộc các đường thẳng <B,C>,<C,A> , <A,B> và không trùng
với các điểm A,B,C. d là một đường thẳng trong P2 [V] không đi qua các
điểm A,B,C.
Ký hiệu d ∩<B,C> = A’, d ∩<C,A> = B’ ,d ∩<A,B> = C’.
Chứng minh rằng:
a.[B,C,A’,P]. [C,A,P’,Q]. [A,B,C’,R] = 1 khi và chỉ khi P,Q,R thẳng hàng. b.[B,C,A’,P] . [C,A,P’,Q] . [A,B,C’,R] = -1khi và chỉ khi các đường thẳng <A,P>, <P,Q>,<C,R> đồng quy.
Ta có thể suy ra định lí Ménélaus và Céva dưới dạng sơ cấp sau:
Trong A2 cho ba điểm P,Q,R lần lượt nằm trên ba cạnh BC,CA,AB của
tam giác ABC nhưng không trùng với các đỉnh A,B,C. Chứng minh rằng: a.[B,C,P] . [C,A,Q] . [A,B,R] = 1 khi và chỉ khi P,Q,R thẳng hàng.
b.[B,C,P] . [C,A,Q] . [A,B,R] = -1 khhi và chỉ khi các đường thẳng AP,BQ,CR đồng quy.
Thật vậy:
Nếu tronh mơ hình xạ ảnh A2P chọn đường thẳng d làm đường thẳng vô tận.
a.TrongP2[V]: [ ][ ][ ] [ ] [ ] [ , , , '] 1 . ' . . . 1 . ' , , , 1 ,' , , . ,' , , . ,' , , C R B A B Q A C A P C B R C B A Q P A C P A C B =
[B C P] [C A Q] [A,B,R]