HỌC XẠ ẢNH 2.1.Không gian xạ ảnh.

2.1.Không gian xạ ảnh.

Xét trường số K với đặc số khác 2 và Vn+1 là một khơng gian vectơ n+1 chiều trên K. Kí hiệu [Vn+1] là tập hợp tất cả các không gian con một chiều của Vn+1.

Giả sử P là một tập hợp khác ø và p :[ ]Vn+1 →P

là một song ánh thì bộ ba Pn = (P,p,Vn+1) gọi là một không gian xạ ảnh n chiều trên trường số K. Ta nói Pn liên kết với Vn+1 bởi p.

Mỗi phần tử của [ ]Vn+1 là bao tuyến tính x của một vec tơ x≠0 thuộc Vn+1. Giả sử p x = M ∈ Pn thì gọi x là một vec tơ đại diện của điểm M.

Một họ hữu hạn điểm M1,…,Mr được gọi là họ điểm độc lập nếu các vectơ

r

x

x1,... đại diện chúng độc lập tuyến tính.

Tập con α của Pn được gọi là một cái phẳng m- chiều , hay vắn tắt là một m -

phẳng, nếu có một khơng gian vectơ con (m+1)- chiều của Vn+1 sao cho

[ ]W =α

p . Ta nói W đại diện cho α. Quy ước gọi 1 - phẳng, 2- phẳng, (n-1)-

phẳng lần lượt là đường thẳng, mặt phẳng, siêu phẳng.

Cho r cái phẳng của Pn, đại diện bởi W1,… Wr . NếuW1∩...∩Wr ≠{ }0 thì

r

α

α1 ∩...∩ là một cái phẳng đại diện bởi W1∩...∩Wr, gọi là phẳng giao của

r

α

α1,..., .Vì W1 + …+ Wr ≠{ }0 nên nó đại diện cho một cái phẳng nào đó của Pn , ta kí hiệu cái phẳng này là α1+...αr và gọi là phẳng tổng của α1,...,αr . Với hai cái phẳng α,β của Pn

+) nếu α∩β ≠φ ta có β α β α β

α +dim =dim + +dim ∩

dim . +) nếu α∩β =φ thì 1 dim dim dimα + β = α+β − .

Một không gian xạ ảnh (P,p,Vn+1) mà P,p,Vn+1 đã được xác định cụ thể thì gọi là một mơ hình của khơng gian xạ ảnh Pn tổng qt.

Giả sử đã có một mơ hình (P,p,Vn+1) của Pn. Muốn có một mơ hình khác ta chỉ cần tìm một tập Q≠φ , một song ánh q : P → Q, khi đó (Q,qp,Vn+1) cũng là một mơ hình của Pn.

Một hệ k điểm (k≥2) độc lập khi và chỉ khi chúng khơng cùng thuộc một (k- 2) - phẳng.

Có duy nhất một (k-1)-phẳng đi qua hệ k điểm độc lập cho trước. Trong không gian xạ ảnh hai chiều P2:

* Hai đường thẳng phân biệt bao giờ cũng cắt nhau tại một điểm. * Ba điểm A,B,C là độc lập khi và chỉ khi chúng không thẳng hàng.

* Điều kiện cần và đủ để bất cứ ba trong bốn điểm A,B,C,D độc lập là có thể tìm được các vectơ a,b,c,d lần lượt đại diện cho A,B,C,D sao cho { }a.b,c độc lập và d=a+b+c.