Nhóm đẳng cự trên nửa phẳng pioncaré và hình học lobachevsky 2 chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐINH BÌNH DƯƠNG NHĨM ĐẲNG CỰ TRÊN NỬA PHẲNG POINCARÉ VÀ HÌNH HỌC LOBACHEVSKY CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐINH BÌNH DƯƠNG NHĨM ĐẲNG CỰ TRÊN NỬA PHẲNG POINCARÉ VÀ HÌNH HỌC LOBACHEVSKY CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: HÌNH HỌC VÀ TƠPƠ Mã số: 8.46.01.15 Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN DUY BÌNH Nghệ An – 2019 MỤC LỤC MỤC LỤC……………………………………………………….………………….1 LỜI CẢM ƠN…………………….……………………………….……………… MỞ ĐẦU ………………………………………………………………………… CHƯƠNG I: CÁC PHÉP ĐẲNG CỰ TRÊN NỬA PHẲNG POINCARÉ 1.1 Nửa phẳng Poincaré…………….… …………………………………………………5 1.2 Phép nghịch đảo……………………………….……………….…………………… 1.3 Nhóm phép đẳng cự nửa phẳng Poincaré……………….……………….14 CHƯƠNG 2: NỬA PHẲNG POINCARÉ – MÔ HÌNH CỦA HÌNH HỌC LOBACHEVSKY 2- CHIỀU 2.1 Một số vấn đề mở đầu hình học Lobachevsky……………………………… 22 2.2 Kiểm nghiệm tiên đề hình học Lobachevsky mơ hình nửa phẳng Poincaré ….……………………………………… ………… …….…………………… 32 KẾT LUẬN………………………………… ……………………………………43 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………………… …44 LỜI CẢM ƠN Tác giả trân trọng cảm ơn quý thầy giáo chun ngành Hình học, q thầy khoa Toán – Trường Đại học Vinh dành nhiều tâm huyết truyền đạt kiến thức giúp đỡ tác giả hồn thành khóa học Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình, người đặt tốn tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn bạn học viên lớp Hình học Tơpơ khóa 25 - trường Đại học Vinh Ban Giám hiệu giáo viên trường THCS&THPT Hóa Tiến, gia đình người thân nhiệt tình ủng hộ, tạo điều kiện cho tơi hồn thành chương trình Cao học Đại học Vinh Vinh, tháng năm 2019 Tác giả luận văn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học phi Euclide mơn hình học dựa sở phủ nhận số tiên đề Euclide Hình học phi Euclide bắt đầu cơng trình nghiên cứu Lobachevsky phát triển Bolyai, Gauss, Riemann… Hình học Lobachevsky hình học phi Euclide Trong đó, định đề song song hình học Euclide thay tiên đề “Trong mặt phẳng xác định đường thẳng a điểm 𝐴 không thuộc đường thẳng có hai đường thẳng qua 𝐴 không cắt đường thẳng a” Hình học Riemann đời từ nửa kỉ XIX, xem mở rộng tự nhiên hình học Lobachevsky có nhiều ứng dụng học, vật lý học ngành khác kỹ thuật Nửa phẳng Poincaré ví dụ đáng ý đa tạp Riemann chiều, nửa phẳng Poincaré trình bày số tài liệu, giáo trình hình học như: “Hình học vi phân’’ Đồn Quỳnh (2003), “Mở đầu hình học Riemann’’ Nguyễn Hữu Quang nhiều tài liệu khác hình học Riemann hay hình học Lobachevsky Các ánh xạ đẳng cự không gian Euclide nghiên cứu kĩ tập bất biến chúng làm thành Hình học Euclide Với mong muốn tìm hiểu sâu bất biến ánh xạ đẳng cự đa tạp Riemann, đặc biệt mơ hình nửa phẳng Poincaré, hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu “Nhóm đẳng cự nửa phẳng Poincaré hình học Lobachevsky chiều” Mục đích nghiên cứu Hình học nhóm tác động tập tập hợp bất biến nhóm Mục đích luận văn nghiên cứu mơ hình hình học Lobachevsky 2chiều, Hình học nhóm phép biến đổi đẳng cự nửa phẳng Poincaré Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn phép đẳng cự nửa phẳng Poincaré Hình học Lobachevsky 2- chiều mơ hình nửa phẳng Poincaré Những đóng góp đề tài Luận văn kiểm nghiệm cách chi tiết cụ thể hệ tiên đề hình học Lobachevsky mơ hình nửa phẳng Poincaré, từ khơng mâu thuẫn hình học Lobachevsky Nhiệm vụ nghiên cứu Đọc hiểu số tài liệu liên quan đến đa tạp Riemann chiều, nửa phẳng Poincaré Trình bày cách hệ thống vấn đề nói trên, trọng định lý phép biến đổi đẳng cự nửa phẳng Poincaré Kiểm ngiệm hệ tiên đề hình học Lobachevsky mơ hình nửa phẳng Poincaré Phương pháp nghiên cứu Dựa vào số kết có phép đẳng cự dùng phương pháp tương tự hóa, so sánh, đối chiếu với hình học Euclide để đưa kết nửa phẳng Poincaré Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm có hai chương: Chương 1: CÁC PHÉP ĐẲNG CỰ TRÊN NỬA PHẲNG POINCARÉ Chương trình bày định nghĩa khái niệm đa tạp Riemann 2- chiều, xây dựng nửa phẳng nêu tính chất nửa phẳng Poincaré; định nghĩa tính chất phép nghịch đảo; trình bày nhóm phép đẳng cự nửa phẳng Poincaré tính chất Là chương xây dựng kiến thức sở cho chương Chương 2: NỬA PHẲNG POINCARÉ – MƠ HÌNH CỦA HÌNH HỌC LOBACHEVSKY CHIỀU Nội dung chương kiểm chứng hệ tiên đề hình học Lobachevsky chiều mơ hình nửa phẳng Poincaré Hệ tiên đề xây dựng sở hệ tiên đề Euclide bổ sung tiên đề Lobachevsky Luận văn hoàn thành vào tháng năm 2019 trường Đại học Vinh CHƯƠNG I: CÁC PHÉP ĐẲNG CỰ TRÊN NỬA PHẲNG POINCARÉ 1.1 Nửa phẳng Poincaré 1.1.1 Đa tạp Riemann a Một tích vơ hướng khơng gian vector 𝑋 ánh xạ: 𝑔: 𝑋 ∗ 𝑋 → ℝ, 𝑎, 𝑏 ↦ 𝑔(𝑎, 𝑏) thỏa: 1) 𝑔(𝑎, 𝑏) = 𝑔(𝑏, 𝑎) 2) 𝑔(𝑘𝑎, 𝑏) = 𝑘𝑔(𝑎, 𝑏) 3) 𝑔(𝑎, 𝑏 + 𝑐) = 𝑔(𝑎, 𝑏) + 𝑔(𝑎, 𝑐) 4) 𝑔(𝑎, 𝑎) ≥ 0; 𝑔(𝑎, 𝑎) = ⇔ 𝑎 = (∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋, 𝑘 ∈ ℝ) b Một cấu trúc Riemann đa tạp khả vi 𝑀 ánh xạ đặt tương ứng điểm 𝑃 thuộc 𝑀 với tích vơ hướng gp Tp(M) phụ thuộc vào 𝑃 cách khả vi Một cách tương đương, cấu trúc Riemann 𝑔 𝑀 phép đặt tương ứng cặp trường vector khả vi 𝑋, 𝑌 𝑀 với hàm khả vi 𝑔(𝑋, 𝑌) 𝑀 thỏa mãn: 1) 𝑔(𝑋1 + 𝑋2 , 𝑌) = 𝑔(𝑋1 , 𝑌) + 𝑔(𝑋2 , 𝑌); 2) 𝑔(𝑓𝑋, 𝑌) = 𝑓𝑔(𝑋, 𝑌); 3) 𝑔(𝑌, 𝑋) = 𝑔(𝑋, 𝑌); 4) 𝑔(𝑋, 𝑋) ≥ 0, 𝑔(𝑋, 𝑋) = 𝑘ℎ𝑖 𝑣à 𝑐ℎỉ 𝑘ℎ𝑖 𝑋 = 0, với trường vector 𝑋, 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑌 hàm khả vi 𝑓 𝑀 Đa tạp khả vi 𝑀 với cấu trúc khả vi gọi đa tạp Riemann 1.1.2 Ví dụ VD1: Với 𝑀 = ℝ2 ; 𝑔𝑝 (𝑎⃗𝑝 , 𝑏⃗⃗𝑝 ) = (𝑥 + 𝑦 + 1)(𝑎⃗𝑝 𝑏⃗⃗𝑝 ); p = p(x;y) 𝑎⃗𝑝 𝑏⃗⃗𝑝 tích vơ hướng thơng thường ℝ2 Ta có (ℝ2 ,g) đa tạp Riemann VD2: Cho hai trường vector 𝑋, 𝑌 ∈ 𝑉(ℝ𝑛 ) , 𝑔(𝑋, 𝑌) = 𝜑(𝑥, 𝑦)𝑋 𝑌 𝜑 hàm khả vi 𝑀, 𝑋 𝑌 tích vơ hướng thơng thường Khi g cấu trúc Riemann ℝ𝑛 Chứng minh: Giả sử X(Xi), Y(Yi) 𝑔(𝑋, 𝑌) = 𝜑(𝑥, 𝑦) ∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 𝑌𝑖 , ta thấy: +𝑔(𝑋, 𝑌) = 𝜑(𝑥, 𝑦) ∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 𝑌𝑖 = 𝜑(𝑥, 𝑦) ∑𝑛𝑖=1 𝑌𝑖 𝑋𝑖 = 𝑔(𝑌, 𝑋) + 𝑔(𝑓𝑋, 𝑌) = 𝜑(𝑥, 𝑦) ∑𝑛𝑖=1 𝑓𝑋𝑖 𝑌𝑖 = 𝑓𝜑(𝑥, 𝑦) ∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 𝑌𝑖 = 𝑓𝑔(𝑋, 𝑌) + Tương tự, ta có 𝑔(𝑋 + 𝑌, 𝑍) = 𝑔(𝑋, 𝑍 ) + 𝑔(𝑌, 𝑍) + 𝑔(𝑋, 𝑋) = 𝜑(𝑥, 𝑦) ∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 𝑋𝑖 = 𝜑(𝑥, 𝑦) ∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 ≥ 0, ∀𝑋 ∈ 𝑉(ℝ𝑛 ); 𝑔(𝑋, 𝑋) = ⇔ 𝑋𝑖 = 0, ∀𝑖 = 1,2 … 𝑛 ⇔ 𝑋 = Vậy g cấu trúc Rieamann ℝ𝑛 1.1.3 Mệnh đề Trong mặt phẳng hai chiều 𝑂𝑥𝑦 cho 𝐻𝑝 = {𝐴(𝑥; 𝑦)| 𝑦 > 0} 𝐻𝑝 đa tạp khả vi chiều với cấu trúc khả vi xác định tập đồ {(𝑈 = 𝐻𝑝 , 𝜑 ≔ 𝑖𝑑)} Ta đặt: ⃗⃗𝑝 ) = 𝑔𝑝 (𝑋⃗𝑝 , 𝑌 𝑦2 𝑋𝑝 𝑌𝑝 , 𝑝(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐻𝑝 , (𝐻𝑝 ,g) đa tạp Rieman chiều Chứng minh Ta có: 1) H đa tạp, ánh xạ 𝑖𝑑: 𝐻 → 𝑈 {(𝑥, 𝑦) ↦ (𝑥, 𝑦)} ánh xạ đồng nên id phép vi phơi, 𝐻 đa tạp khả vi 2) g cấu trúc Riemann, vì, với ∀𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐻; ∀𝛼 ∈ ℝ thì: ⃗⃗𝑝 ) = +)𝑔𝑝 (𝑋⃗𝑝 , 𝑌 𝑦2 𝑋𝑝 𝑌𝑝 = 𝑌𝑋 𝑦2 𝑝 𝑝 ⃗⃗𝑝 , 𝑋⃗𝑝 ) = 𝑔𝑝 (𝑌 ⃗⃗𝑝 ) = +)𝑔𝑝 (𝑋⃗𝑝 , 𝛼𝑌 𝑦2 𝑋𝑝 (𝛼𝑌𝑝 ) = 𝛼 ⃗⃗𝑝 ) = 𝛼𝑔𝑝 (𝑋⃗𝑝 , 𝑌 𝑌𝑋 𝑦2 𝑝 𝑝 ⃗⃗𝑝 + 𝑍⃗𝑝 ) = 𝑔𝑝 (𝑋⃗𝑝 , 𝑌 ⃗⃗𝑝 ) + 𝑔𝑝 (𝑋⃗𝑝 , 𝑍⃗𝑝 ) +) Tương tự ta có 𝑔𝑝 (𝑋⃗𝑝 , 𝑌 +) 𝑔𝑝 (𝑋⃗, 𝑋⃗) = 𝑦2 𝑋 ≥ 0; 𝑔𝑝 (𝑋⃗, 𝑋⃗) = ⇔ 𝑥 = 0, 𝑑𝑜 𝑦 > 1.1.4 Định nghĩa Đa tạp (𝐻𝑝 , g) nói gọi nửa phẳng Poincaré 1.1.5 Chú ý - Như 𝐻𝑝 nửa mặt phẳng phía trục 𝑂𝑥, khơng bao hàm 𝑂𝑥 Để cho gọn, ta gọi đường thẳng 𝑥 thay cho 𝑂𝑥 -Ta biểu diễn 𝐻𝑝 = {𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ∈ ℂ |𝐼𝑚𝑧 > 0} Khi tích vơ hướng g biểu thị dạng 𝑑𝑠 = |𝑑𝑧|2 𝑦2 𝑑𝑥 +𝑑𝑦 = 𝑦2 1.1.6 Độ dài cung đặc biệt nửa phẳng Poincaré a Cung 𝐻𝑝 cho tham số hóa 𝑡 ∈ ℝ+ ↦ 𝜌(𝑡) = [𝑥(𝑡) = 𝑥0 , 𝑦(𝑡) = 𝑡] với 𝑥0 số cho trước Độ dài cung đoạn 𝜌[𝑡1 , 𝑡2 ] nối điểm 𝑃 = 𝜌(𝑡1 ), 𝑄 = 𝜌(𝑡2 ) xác định 𝑡 𝑡 𝑑𝑡 1 công thức 𝐿(𝜌) = ∫𝑡 2|𝜌′ (𝑡)|𝑑𝑡 = ∫𝑡 𝑡 𝑡 = 𝑙𝑛 𝑡2 b Cung 𝐻𝑝 cho tham số hóa (0 < 𝑡 < 𝜋) ↦ 𝜌(𝑡) = [𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑅𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦(𝑡) = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝑡] với 𝑥0 số cho trước 𝑅 > Độ dài cung đoạn 𝜌[𝑡1 , 𝑡2 ] nối điểm 𝑃 = 𝜌(𝑡1 ), 𝑄 = 𝜌(𝑡2 ) xác định công thức 𝐿(𝜌) = 𝑡2 ∫𝑡 |𝜌′ (𝑡)|𝑑𝑡 𝑡 𝑑𝑡 = ∫𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡 = 𝑙𝑛 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡1 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡2 1.2 Phép nghịch đảo Mục trình bày định nghĩa nêu vài tính chất phép nghịch đảo sử dụng nội dung 1.2.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng cho điểm 𝑂 cố định số thực 𝑘 ≠ Phép biến hình biến điểm 𝑀 khác 𝑂 thành điểm cho 𝑀′ thuộc đường thẳng 𝑂𝑀 ̅̅̅̅̅.𝑂𝑀 ̅̅̅̅̅̅′ = 𝑘 gọi phép nghịch đảo cực 𝑂 , phương tích 𝑘 Kí hiệu 𝑓(𝑂, 𝑘), 𝑂𝑀 𝑀′ ∈ đ𝑡 𝑂𝑀 𝑓(𝑂, 𝑘)(𝑀) = 𝑀′ ⇔ {̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅′ 𝑂𝑀 𝑂𝑀 = 𝑘 Khi 𝑀 tiến lại gần cực nghịch đảo 𝑂 𝑀′ tiến xa 𝑂 , nghĩa 𝑀 → 𝑂 𝑓(𝑂, 𝑘)(𝑀) = 𝑀′ → ∞ * Chú ý : Ta có định nghĩa khác phép nghịch đảo sau : Cho đường trịn (𝑂, 𝑅) Phép biến hình mặt phẳng biền điểm 𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ = 𝑅2 gọi phép nghịch đảo qua đường tròn thành điểm 𝑀′ cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 𝑂𝑀 nói 1.2.2 Nhận xét Nhận xét Ta thấy phép nghịch đảo qua đường trịn hình dung việc ta lấy đối xứng điểm qua đường trịn Khi đường trịn bán kính lớn ∞ đường thẳng, định nghĩa trùng với định nghĩa phép đối xứng trục Nhận xét Trong mặt phẳng Euclide, điểm khơng lấy nghịch đảo cực nghịch đảo, phép nghịch đảo xác định điểm mặt phẳng Euclide trừ điểm 𝑂 Tuy nhiên bổ sung điểm ∞ ảnh cực nghịch đảo đường thẳng vơ cực 1.2.3 Tính chất Trong mục này, khơng có gây hiểu nhầm ta kí hiệu f thay cho 𝑓(𝑂, 𝑘) Tính chất Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp, tức 𝑓(𝑀) = 𝑀′ ⇔ 𝑓(𝑀′ ) = 𝑀 Chứng minh: ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅′ 𝑂𝑀 ̅̅̅̅̅ = 𝑘 ⇔ 𝑓(𝑀′ ) = 𝑀 Vậy Ta có: 𝑓(𝑀) = 𝑀′ ⇔ 𝑂𝑀 𝑂𝑀′ = 𝑘 ⇔ 𝑂𝑀 ta có đpcm 31 ̂ = 𝛼 Về hai phía đường 𝐶𝐻 ta vẽ hai tia 𝐶𝑀 𝐶𝑁 tạo với Giả sử 𝐸𝐶𝑏 𝛼 ̂≡𝑁 ̂ 𝐶𝐻 góc bé , cắt a 𝑀 𝑁 Tam giác 𝐶𝑀𝑁 có 𝑀 ̂ > 𝐶𝑀𝑎 ̂ Trong góc 𝐶𝑁𝑎 ̂ từ đỉnh 𝑁 ta dựng tia theo định lý góc ngồi ta có 𝐶𝑁𝑎 ̂ ≡ 𝐶𝑀𝑎 ̂ Vì 𝐶𝑁𝑥 ̂ < 𝐶𝑁𝑎 ̂ nên tia 𝑁𝑥 cắt b 𝐾 Về 𝑁𝑥 tạo với 𝑁𝐶 góc 𝐶𝑁𝑥 ̂≡𝑁 ̂ nên hai phía song song ta đặt 𝑀𝐼 ≡ 𝑁𝐾, ta thấy 𝐶𝑀 ≡ 𝐶𝑁, 𝑀𝐼 ≡ 𝑁𝐾 𝑀 ̂ ≡ 𝐼𝐶𝐾 ̂ Vì 𝑀𝐶𝑁 ̂ ≡ 𝑀𝐶𝐻 ̂ + 𝐻𝐶𝑁 ̂ < tam giác 𝑀𝐶𝐼 𝑁𝐶𝐾 nhau, suy 𝑀𝐶𝑁 ̂ < 𝛼 Do tia 𝐶𝐸 nằm góc 𝐻𝐶𝐼 ̂ nên cắt 𝐻𝐼 Vậy b song song a 𝛼 nên 𝐼𝐶𝐾 theo hướng cho Tính chất Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba theo hướng song song với theo hướng Chứng minh: Giả sử a b song song với c theo hướng Khi a b khơng thể cắt chúng cắt điểm 𝑀 qua 𝑀 ta có hai đường thẳng song song với c theo hướng điều vô lý Để chứng minh a b song song ta xét hai trường hợp: +)TH1: a b nằm phía c giả sử b nằm miền chung mặt phẳng xác định a c Ta lấy điểm 𝐴 a nối với điểm 𝐶 c Nối 𝐴𝐶 cắt b 𝐵 Từ 𝐴 phía song song ta vẽ tia 𝐴𝑥 Vì a song song c nên 𝐴𝑥 cắt c 𝐶1 Hai điểm 𝐴 𝐶1 khác phía b nên cắt b 𝐵1 Vậy a song song với b 32 Hình 12 +) TH2: a b nằm khác phía c Ta lấy điểm 𝐴 a điểm ̂ phía song 𝐵 b Đoạn 𝐴𝐵 cắt c 𝐶 Từ 𝐴 ta vẽ tia 𝐴𝑥 góc 𝐵𝐴𝑎 song với c Vì a song song với c nên 𝐴𝑥 cắt c 𝐶1 Vì c song song với b nên cắt b 𝐵1 Vậy a song song với b Hình 13 2.2 Kiểm nghiệm tiên đề hình học Lobachevsky mơ hình nửa phẳng Poincaré ( xem thêm [2], [5]) Xét nửa phẳng Poincare 𝐻𝑃 Trên nửa phẳng Poincaré ta quy ước: - Điểm Lobachevsky: Mỗi điểm thuộc 𝐻𝑃 điểm Lobachevsky (chú ý điểm Lobachevsky không nằm đường thẳng x) - Đường thẳng, đoạn thẳng Lobachevsky: Đường thẳng Lobachevsky nửa đường trịn thơng thường 𝐻𝑃 trực giao với 𝑥 (có tâm nằm x) tia thơng thường 𝐻𝑃 trực giao với 𝑥 ( ta coi tia nửa đường trịn có bán kính vơ lớn) Mỗi cung đoạn đường thẳng Lobachevsky gọi đoạn thẳng Lobachevsky - Góc Lobachevsky: 33 Cho hai đường thẳng Lobachevsky cắt điểm Góc hai đường thẳng góc hai tia Euclide tiếp xúc với nửa đường trịn trực giao với x điểm - Điểm 𝐴 gọi “thuộc” đường thẳng 𝑎 𝐴 nằm nửa đường tròn a tia vng góc với x - Cho ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 đường thẳng a, ta nói “điểm 𝐵 điểm 𝐴 điểm 𝐶” nửa đường tròn a điểm 𝐵 điểm 𝐴 điểm 𝐶 (xem [6]) Bây ta kiểm tra hệ tiên đề hình học Lobachevsky nghiệm mơ hình nửa phẳng Poincaré 2.2.1 Quan hệ liên thuộc a Tiên đề I1 : Cho hai điểm A, B có đường thẳng a thuộc điểm Tiên đề I1 thỏa mãn qua hai điểm nửa phẳng Poincaré 𝐻𝑃 có nửa đường trịn qua hai điểm trực giao với x (hoặc tia qua hai điểm trực giao với x ) Tức ln có đường thẳng Lobachevsky qua hai điểm nói (Hình 14) Hình 14 34 b Tiên đề I2: Cho hai điểm 𝐴, 𝐵 phân biệt khơng có q đường thẳng thuộc điểm Tiên đề I2 thỏa mãn hai nửa đường tròn phân biệt thuộc 𝐻𝑃 trực giao với x có khơng q điểm chung (Hình 5) Hình 15 c Tiên đề I3: Mỗi đường thẳng thuộc hai điểm Có ba điểm không thuộc đường thẳng Tiên đề I3 thỏa mãn qua hai điểm 𝐴, 𝐵 cho trước, xác định đường thẳng Lobachevsky Khi dễ thấy có điểm 𝐶 khơng thuộc đường thẳng nói (Hình 16) Hình 16 2.2.2 Quan hệ thứ tự a Tiên đề II1; tiên đề II2; tiên đề II3 35 Tiên đề II1: Nếu điểm 𝐵 hai điểm 𝐴 điểm 𝐶 𝐴, 𝐵, 𝐶 ba điểm khác thuộc đường thẳng điểm 𝐵 𝐶 𝐴 Tiên đề II2: Cho hai điểm 𝐴, 𝐶 có điểm 𝐵 đường thẳng 𝐴𝐶 cho 𝐶 nằm 𝐴 𝐵 Tiên đề II3: Trong ba điểm thuộc đường thẳng điểm hai điểm Trường hợp đường thẳng Lobachevsky biểu thị tia dựa vào tiên đề Hình học Euclide, tiên đề II1, II2, II3 thỏa mãn Hình 17 Trường hợp đường thẳng Lobachevsky biểu thị nửa đường trịn tâm O x ta vẽ đường thẳng d song song với x điểm M đường trịn tương ứng với điểm 𝑀’ d cho tâm 𝑂, 𝑀 𝑀’ thẳng hàng Khi quan hệ thứ tự đường tròn xét dựa vào quan hệ thứ thự đường thẳng d (Hình 17) Như vậy, tiên đề II1, II2, II3 thỏa mãn b Tiên đề II4 ( Tiên đề Pasch) Cho ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 không thẳng hàng đường thẳng a thuộc mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) không thuộc điểm ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 Nếu đường thẳng 36 a có điểm chung với đoạn 𝐴𝐵 cịn có chung với đoạn 𝐴𝐶 với đoạn 𝐵𝐶 Hình 18 Cho tam giác cong 𝐴𝐵𝐶, nửa đường tròn (m) cắt cung 𝐴𝐵 𝑀 Nếu nửa đường trịn (𝑚) khơng cắt cung 𝐴𝐵 cắt cung 𝐴𝐶 N Vì (𝑚) khơng cắt cung 𝐴𝐶 xảy hai khả năng: + Nếu (m) kết thúc điểm 𝑄 thuộc miền tam giác cong 𝐴𝐵𝐶 tức I qua miền tam giác ABC, điều vơ lý x bờ nửa phẳng chứa tam giác 𝐴𝐵𝐶 +) Nếu (m) cắt 𝐴𝐵 điểm thứ hai nửa đường trịn (𝑚) cung trịn qua 𝐴, 𝐵 có hai điểm chung, điều trái với tiên đề I2 ( Hình 18 ) Vậy tiên đề Pasch thỏa mãn 2.2.3 Quan hệ toàn đẳng (bằng nhau) a Lưu ý chung Để xét khái niệm “bằng nhau” ta phải dùng đến phép nghịch đảo ta quy ước xét phép nghịch đảo đường tròn trực giao với x Với phép nghịch đảo điểm nằm nửa phẳng Poincaré biến thành điểm Ta nói “ đoạn 𝐴𝐵 đoạn 𝐴’𝐵’ ” có dãy phép nghịch đảo cho tích chúng biến cung 𝐴𝐵 thành cung 𝐴’𝐵’ với 𝐴 thành 𝐴’ 𝐵 thành 𝐵’ 37 ̂ ̂ Tương tự, ta nói “góc (ℎ, 𝑘) góc (ℎ′, 𝑘′)” có dãy phép nghịch đảo cho tích chúng biến cạnh góc thứ thành cạnh góc thứ hai Chú ý Các cung trịn biểu diễn đoạn thẳng Lobachevsky khơng hồn tồn theo nghĩa Euclide phép nghịch đảo giữ ngun góc khơng giữ ngun kích thước hình Định lý Phép nghịch đảo đường tròn (𝐶) theo nghĩa Euclide phép đối xứng qua đường thẳng theo nghĩa Lobachevsky Chứng minh: Giả sử 𝐴𝐵 cung tròn biểu diễn đoạn thẳng Lobachevsky Hai điểm 𝐴, 𝐵 tương ứng qua phép nghịch đảo nửa đường tròn (𝐶 ) tâm 𝑂 nằm x ̅̅̅̅ = 𝑂𝐼 nên phép nghịch Ta dựng tiếp tuyến 𝑂𝐼 cung 𝐴𝐵 Khi ̅̅̅̅ 𝑂𝐴 𝑂𝐵 đảo nửa đường tròn tâm 𝑂, bán kính 𝑂𝐼 biến 𝐴 thành 𝐵, biến 𝐵 thành 𝐴 điểm 𝐼 bất biến Như vậy, cung 𝐴𝐼 biến thành cung 𝐵𝐼 cung 𝐵𝐼 biến thành cung 𝐴𝐼 ( Hình 19) Hình 19 38 Vì hai cung 𝐵𝐼 𝐴𝐼 nghịch đảo nên chúng biểu diễn hai đoạn thẳng Lobachevsky hay 𝐼 trung điểm đoạn 𝐴𝐵 Mặt khác, nửa đường tròn (𝐶 ) trực giao với nửa đường tròn qua 𝐴, 𝐼, 𝐵 Vậy 𝐴 𝐵 đối xứng qua “đường thẳng” (𝐶) Hay nói cách khác (𝐶) đường trung trực đoạn 𝐴𝐵 Bây ta kiểm nghiệm tiên đề nhóm b Tiên đề III1: Nếu cho đoạn thẳng 𝐴𝐵 nửa đường thẳng có gốc 𝐴′ có điểm 𝐵′ cho đoạn thẳng 𝐴’𝐵’ “ ” đoạn thẳng 𝐴𝐵 kí hiệu 𝐴′𝐵′ ≡ 𝐴𝐵 Đối với đoạn thẳng 𝐴𝐵 ta có 𝐴𝐵 ≡ 𝐵𝐴 ̂ Cho góc (ℎ, 𝑘) nửa mặt phẳng xác định đường thẳng chứa tia ℎ′ Khi nửa mặt phẳng nói có tia 𝑘′ ̂ ̂ gốc với tia ℎ′ cho góc (ℎ, 𝑘) “bằng” góc (ℎ′, 𝑘′) kí hiệu góc ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (ℎ′, 𝑘′) ≡ (ℎ, 𝑘) Đối với góc (ℎ, 𝑘) ta có (ℎ, 𝑘) ≡ (ℎ, 𝑘) (ℎ, 𝑘) ≡ (𝑘, ℎ) Giả sử có đoạn 𝐴𝐵 tia 𝐴′𝑥’, ta dựng đường trung trực d đoạn 𝐴𝐴′ (d nửa đường tròn trực giao với x qua trung điểm 𝐴𝐴′) Phép đối xứng qua đường trung trực d biến điểm 𝐴 thành 𝐴′ biến đoạn 𝐴𝐵 thành đoạn 𝐴′𝐵1 Hai tia Lobachevsky 𝐴′ 𝐴′𝑥’ tạo nên góc Lobachevsky Ta dựng phân giác Lobachevsky 𝑑′ (cũng nửa đường trịn) góc 𝐵̂ 𝐴′𝑥′ Phép đối xứng qua đường thẳng 𝑑′ biến 𝐵1 thành 𝐵′ nằm tia 𝐴′𝑥’ đoạn 𝐴′𝐵1 ( Hình 20) 39 Hình 20 Ta có hai phép đối xứng qua đường thẳng 𝑑 𝑑′ mà tích chúng biến 𝐴 thành 𝐴′ 𝐵 thành 𝐵′ nên biến đoạn 𝐴𝐵 thành 𝐴′𝐵′ Như tia 𝐴′𝑥′ có điểm 𝐵′ cho 𝐴𝐵 ≡ 𝐴′𝐵′ Xét phép đối xứng qua đường trung trực 𝐴𝐵 biến 𝐴 thành 𝐵 biến 𝐵 thành 𝐴 tức biến đoạn 𝐴𝐵 thành đoạn 𝐵𝐴 nên 𝐴𝐵 ≡ 𝐵𝐴 Vậy tiên đề III1 thỏa mãn c Tiên đề III2: Nếu 𝐴′𝐵′ ≡ 𝐴𝐵 𝐴′′𝐵′′ ≡ 𝐴𝐵 𝐴′𝐵′ ≡ 𝐴′′𝐵′′ Với đoạn 𝐴𝐵, 𝐴′ 𝐵′ , 𝐴′′ 𝐵′′ giả sử ta có 𝐴′𝐵′ ≡ 𝐴𝐵 𝐴′′𝐵′′ ≡ 𝐴𝐵, theo tiên đề III1 𝐴𝐵 ≡ 𝐴′′𝐵′′ Gọi dãy phép nghịch đảo f biến cung 𝐴𝐵 thành cung 𝐴′𝐵′ dãy phép nghịch đảo g biến cung 𝐴𝐵 thành cung 𝐴′′𝐵′′ Như dãy phép nghịch đảo 𝑔 ⃘ℎ biến cung 𝐴′𝐵′ thành cung 𝐴′′𝐵′′ hay hai cung 𝐴′𝐵′ biểu diễn hai đoạn thẳng Lobachevsky Vậy 𝐴′ 𝐵′ ≡ 𝐴′′ 𝐵′′ tức tiên đề III2 thỏa mãn d Tiên đề III3: Cho ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 thẳng hàng với 𝐵 𝐴 𝐶 ba điểm 𝐴′ , 𝐵′ , 𝐶′ thẳng hàng với 𝐵′ 𝐴′ 𝐶′ Nếu 𝐴𝐵 ≡ 𝐴′𝐵′, 𝐵𝐶 ≡ 𝐵′𝐶′ 𝐴𝐶 ≡ 𝐴′𝐶 Vì 𝐴𝐵 ≡ 𝐴′𝐵′ nên tồn dãy phép nghịch đảo f biến cung 𝐴𝐵 thành cung 𝐴′𝐵′ với 𝐴 thành 𝐴′ 𝐵 thành 𝐵′ 40 Vì 𝐵𝐶 ≡ 𝐵′𝐶′ nên tồn dãy phép nghịch đảo g biến cung 𝐵𝐶 thành cung 𝐵′𝐶′ với 𝐵 thành 𝐵′ 𝐶 thành 𝐶′ Vì có hai phép nghịch đảo f g biến 𝐵 thành 𝐵′ nên 𝑓 ≡ 𝑔 Như dãy phép nghịch đảo f biến 𝐴 thành 𝐴′ 𝐶 thành 𝐶′ nên f biến cung 𝐴𝐶 thành cung 𝐴′𝐶′ hay hai cung 𝐴𝐶 𝐵′𝐶′ biểu diễn hai đoạn thẳng Lobachevsky Vậy 𝐴𝐶 ≡ 𝐴′𝐶′, hay tiên đề III3 thỏa mãn e Tiên đề III4: Cho ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 thẳng hàng với 𝐵 𝐴 𝐶 ba điểm 𝐴′, 𝐵′, 𝐶′ thẳng hàng với 𝐵′ 𝐴′ 𝐶′ Nếu 𝐴𝐵 ≡ 𝐴′𝐵′, 𝐵𝐶 ≡ 𝐵′𝐶′ 𝐴𝐶 ≡ 𝐴′𝐶′ Hình 21 ̂ Cho góc Lobachevsky 𝑂ℎ, 𝑂𝑘 tia 𝑂′ℎ′ Ta dựng đường trung trực d đoạn 𝑂𝑂′ Phép đối xứng qua đường trung trực biến tia 𝑂ℎ thành tia 𝑂′ℎ1 Hai tia 𝑂′ ℎ′ 𝑂′ℎ1 tạo thành góc Lobachevsky Dựng tia phân giác d’ góc ′ , 𝑂′ℎ Phép đối xứng qua d’ biến tia 𝑂′ℎ thành tia 𝑂′ℎ′ 𝑂′ ℎ̂ 1 Ta có tích hai phép đối xứng qua đường thẳng d d’ biến tia 𝑂ℎ thành tia 𝑂ℎ′ Gọi f tích hai phép đối xứng này, ta tìm ảnh tia 𝑂𝑘 qua f tia 𝑂′𝑘′ tia 𝑂′𝑘′ Ta thấy f biến tia 𝑂ℎ thành tia 𝑂′ℎ′, biến ′ , 𝑂 ′ 𝑘′ Như ta có ̂ tia 𝑂𝑘 thành tia 𝑂′𝑘′ nên f biến 𝑂ℎ, 𝑂𝑘 thành 𝑂′ ℎ̂ ′ , 𝑂 ′ 𝑘′ ̂ tia 𝑂′𝑘′ cho 𝑂𝑘, 𝑂𝑘 ≡ 𝑂′ ℎ̂ 41 ̂ Xét phép đối xứng qua đường phân giác góc Lobachevsky 𝑂ℎ, 𝑂𝑘 biến tia Oh ̂ ̂ thành tia Ok ngược lại nên biến góc 𝑂ℎ, 𝑂𝑘 thành góc 𝑂𝑘, 𝑂ℎ , tức ta có ̂ ̂ 𝑂ℎ, 𝑂𝑘 ≡ 𝑂𝑘, 𝑂ℎ ( Hình 21) Vậy tiên đề III4 thỏa mãn f Tiên đề III5: Cho hai tam giác 𝐴𝐵𝐶 𝐴′𝐵′𝐶′ Nếu 𝐴𝐵 ≡ 𝐴′𝐵′, 𝐴𝐶 ≡ 𝐴′𝐶′ ̂ ta có 𝐴𝐵𝐶 ̂ 𝐴𝐶𝐵 ̂ ̂ = 𝐵′𝐴′𝐶′ ̂ ≡ 𝐴′𝐵′𝐶′ ̂ ≡ 𝐴′𝐶′𝐵′ 𝐵𝐴𝐶 Ta có 𝐴𝐵 ≡ 𝐴′𝐵′ 𝐴𝐶 ≡ 𝐴′𝐶′, từ chứng minh tiên đề III2 tồn dãy ̂ phép nghịch đảo f biến 𝐴 thành 𝐴′, 𝐵 thành 𝐵′ 𝐶 thành 𝐶′ nên f biến góc 𝐴𝐵𝐶 ̂ , suy 𝐴𝐵𝐶 ̂ Tương tự, ta có 𝐴𝐶𝐵 ̂ ̂ ≡ 𝐴′𝐵′𝐶′ ̂ ≡ 𝐴′𝐶′𝐵′ thành góc 𝐴′𝐵′𝐶′ Vậy tiên đề III5 thỏa mãn 2.2.4 Quan hệ liên tục: Tiên đề Dedekind Nếu tất điểm đường thẳng chia thành hai lớp không rỗng cho: - Mỗi điểm đường thẳng thuộc lớp mà thôi; - Mỗi điểm lớp thứ trước điểm lớp thứ hai Trường hợp đường thẳng Lobachevsky biểu thị tia ta thấy tiên đề Dedekind thỏa mãn Trường hợp đường thẳng Lobachevsky biểu thị nửa đường trịn tâm 𝑂 x ta vẽ đường thẳng d song song với x điểm M đường trịn tương ứng với điểm 𝑀′ d cho tâm 𝑂, 𝑀 𝑀′ thẳng hàng Khi quan hệ liên tục đường tròn xét dựa vào quan hệ liên tục đường thẳng d (Hình 22) Vậy tiên đề Dedekind thỏa mãn 42 Hình 22 2.2.5 Quan hệ song song ( tiên đề Lobachevsky): Trong mặt phẳng xác định đường thẳng a điểm 𝐴 khơng thuộc đường thẳng có hai đường thẳng qua 𝐴 không cắt đường thẳng a Cho đường thẳng a ( dạng nửa đường trịn) gọi 𝐴 điểm khơng thuộc a Khi hai đường thẳng qua 𝐴 song song a hai nửa vịng trịn qua 𝐴, trực giao x tiếp xúc a 𝑈 𝑉 (Hình 23) Hình 23 Kí hiệu hai đường song song 𝐴𝑢 𝐴𝑣, ta nhận thấy 𝐴𝑢 𝐴𝑣 khơng cắt a 𝑈 𝑉 điểm Lobachevsky ( 𝑈, 𝑉 nằm x) Đường thẳng 𝐴𝐻 vng góc với a nửa đường trịn qua 𝐴 trực giao với a Vậy tiên đề Lobachevsky thỏa mãn mơ hình 43 Như vậy, dùng “vật liệu” hình học Euclide người ta xây dựng nên mơ hình Poincaré nghiệm hồn tồn hệ tiên đề hình học Lobachevsky Nếu ta giả thiết hình học Euclide khơng mâu thuẫn việc xây dựng thành cơng mơ hình nửa phẳng Poincaré chứng tỏ hình học Lobachevsky khơng mâu thuẫn Cho nên ta có nói “Hình học Lobachevsky khơng mâu thuẫn hình học Euclide không mâu thuẫn” 44 KẾT LUẬN Trong luận văn thu kết sau: Nêu định nghĩa khái niệm đa tạp Riemann chiều; Tìm hiểu mơ hình nửa phẳng Poincaré Nêu định nghĩa chứng minh số tính chất phép nghịch đảo Nêu định nghĩa chứng minh tính chất ánh xạ đẳng cự, tìm hiểu cấu trúc nhóm tập ánh xạ đẳng cự thể cụ thể nửa phẳng Poincaré Kiểm nghiệm chi tiết hệ tiên đề hình học Lobachevsky mơ hình nửa phẳng Poincaré Do thời hạn nghiên cứu lực thân cịn hạn chế nên tơi chưa nghiên cứu đầy đủ tính chất đa tạp Riemann tổng quát tính chất nửa phẳng Poincaré Luận văn chưa tìm hiểu mối quan hệ tương ứng tính chất hình học elipptic hình học hyperbolic mơ hình nửa phẳng Poincaré, có điều kiện tơi tiếp tục nghiên cứu vấn đề 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.V Ephimop ( Trần Lưu Cương dịch) (2003), Hình học cao cấp: Cơ sở hình học, Nhà xuất Khoa học kĩ thuật [2] Nguyễn Mộng Hy (1993), Xây dựng hình học phương pháp tiên đề, Nhà xuất Giáo dục [3] Nguyễn Thị Hồng Nhung (2013), Phép đẳng cự số đa tạp Riemann, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Khoa Toán, Đại học Vinh [4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu hình học Riemann, Đại học Vinh [5] Đồn Quỳnh (2003), Hình học vi phân, Nhà xuất Giáo dục [6] Nguyễn Huy Tĩnh (2013), Hình học phi Euclide: mơ hình nửa phẳng Poincaré, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Khoa Toán, Đại học Vinh ... PHẲNG POINCARÉ – MƠ HÌNH CỦA HÌNH HỌC LOBACHEVSKY 2- CHIỀU 2. 1 Một số vấn đề mở đầu hình học Lobachevsky? ??…………………………… 22 2. 2 Kiểm nghiệm tiên đề hình học Lobachevsky mơ hình nửa phẳng Poincaré ….………………………………………... ? ?Nhóm đẳng cự nửa phẳng Poincaré hình học Lobachevsky chiều? ?? Mục đích nghiên cứu Hình học nhóm tác động tập tập hợp bất biến nhóm Mục đích luận văn nghiên cứu mơ hình hình học Lobachevsky 2chiều, ... 2chiều, Hình học nhóm phép biến đổi đẳng cự nửa phẳng Poincaré Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn phép đẳng cự nửa phẳng Poincaré Hình học Lobachevsky 2- chiều mơ hình nửa phẳng