Biểu diễn đại số của số phức
Trục hoành của hệ tọa độ bao gồm các điểm có dạng (a,0), trong đó a là số thực bất kỳ Các phép toán trên trục hoành được thể hiện qua công thức (a1,0) + (a2,0) = (a1 + a2,0) cho phép cộng và (a1,0)(a2,0) = (a1a2,0) cho phép nhân Do đó, chúng ta có thể đồng nhất các điểm trên trục hoành với các số thực, nên thay vì viết (a,0), ta chỉ cần viết a Ví dụ, (0,0) tương ứng với 0, (1,0) tương ứng với 1, và tiếp tục như vậy.
Ta xét một số phức đặc biệt dạng(0,1).
Tính(0,1)(0,1) = (−1,0) =−1 Như vậy tồn tại một số phức bình phương bằng một số thực Theo truyền thống ta ký hiệui= (0,1).
1.2 BIỂU DIỄN ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
Sự đồng nhất giữa số thực và tập hợp con số phức dạng (a, 0) cho thấy rằng a là một số thực Số phức đặc biệt i = (0, 1) được gọi là đơn vị ảo trong toán học.
Số thực b có thể được biểu diễn dưới dạng điểm (b,0) trên trục hoành, trong khi đơn vị ảo bi = (b,0)(0,1) = (0, b) nằm trên trục tung với tung độ b Đối với một điểm bất kỳ z, theo định nghĩa phép cộng, ta có thể viết z = (a,0) + (0, b), từ đó suy ra z = a + ib Dạng z = a + ib được gọi là dạng đại số của số phức, trong đó a là phần thực của z, ký hiệu là Re(z), và b là phần ảo của z, ký hiệu là Im(z) Tất cả các số phức được biểu diễn trên mặt phẳng gọi là mặt phẳng phức.
Trong mặt phẳng phức, trục hoành được gọi là trục thực, nơi chứa toàn bộ các số thực Ngược lại, trục tung được gọi là trục ảo, nơi chứa toàn bộ các số ảo.
Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia những số phức viết dưới dạng biểu diễn đại số như sau:
(a+ib)−(c+id) = (a−c) +i(b−d), (a+ib)(c+id) = (ac−bd) +i(ad+bc),
(a+ib) (c+id) = ac+bd c 2 +d 2 +ibc−ad c 2 +d 2
Ba công thức đầu tiên có thể được chứng minh một cách dễ dàng thông qua sự biểu diễn đại số của số phức Công thức cuối cùng có phần phức tạp hơn, nhưng có thể được thực hiện dựa vào ba công thức đã nêu trước đó.
Trong quá trình chứng minh, ta sử dụng số phức (c−id) để biến đổi và nhận thấy mối liên hệ chặt chẽ với số phức (c+id) Để thuận tiện cho việc tính toán và biến đổi số phức, người ta định nghĩa ký hiệu z̅ = a−ib, gọi là số liên hợp của z = a + ib.
Những tính chất sau đây thường được dùng đối với số phức liên hợp:
Tóm lại,f(x 1 , , x n )là một hàm hữu tỷ với hệ số thực,z 1 , , z n là những số phức bất kỳ sao cho f(z 1 , , z n ) có nghĩa, khi đó f(z 1 , , z n ) =f(¯z 1 ,z¯ 2 , ,z¯ n ).
4) Một số phứczlà một số thực khi và chỉ khiz¯=z.
5) Nếuz¯=−z,thìRez= 0 Khi đó sốzlà hoàn toàn ảo.
Dạng lượng giác của số phức
1.3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
Trên mặt phẳng tọa độ vuông góc, số phức được biểu diễn dưới dạng điểm, giúp nghiên cứu các phép toán liên quan đến số phức một cách dễ dàng Cụ thể, hai số phức có dạng đại số z1 = a1 + ib1 và z2 = a2 + ib2 tương ứng với hai điểm Z1 và Z2 trong hệ tọa độ, trong đó O là tọa độ gốc.
Ta nối điểm Z 1 , Z 2 với gốc O và xác định vectơ −−→
OZ2 Sau đó dựng hình bình hànhOZ1ZZ2.
Như vậy đỉnh thứ tư z = (a 1 + a 2 , b 1 +b 2 ) biểu diễn tọa độ của số phứcz 1 +z 2 như tổng của hai số phức đã cho.
Do đó tổng hai số phức có thể biểu diễn hình học như cộng hai vectơ trong mặt phẳng. x y
Bởi vì mỗi điểm trên mặt phẳng tương ứng với một bán kính vectơOZ và ta thấy ngay −−→
OZ,ta có nhận xét là khi xem số phức như là những điểm trên mặt phẳng với hệ tọa độ gốc
Số phức có thể được coi như các vectơ trong mặt phẳng, và nhận xét này cho phép chúng ta áp dụng số phức vào việc giải quyết các bài toán trong hình học phẳng.
Số phức có thể được xác định như một điểm trong mặt phẳng với hệ tọa độ cụ thể Bên cạnh đó, một điểm trong mặt phẳng cũng có thể được xác định bởi hệ tọa độ cực Cụ thể, với z = a + ib (với a và b là các số thực và z khác 0), số phức này tương ứng với một vectơ trong không gian.
OZ, ký hiệu r, đại diện cho độ dài bán kính của vectơ, trong khi ϕ là góc định hướng giữa trục hoành và vectơ xác định số phức Góc dương được xác định là góc quay từ trục hoành đến vectơ theo chiều ngược kim đồng hồ, trong khi góc âm là chiều ngược lại.
Rõ ràng, số thực không âm có thể được định nghĩa thông qua điểm z nằm trên trục hoành, trong đó số r chính là môđun của số thực tương ứng Do đó, số phức z cũng được định nghĩa là môđun và ký hiệu là |z|.
Để tính toán bán kính r của số phức, ta sử dụng công thức r = √(a² + b²) hoặc r² = a² + b² = z̄z Góc ϕ, được gọi là argument của số phức, ký hiệu là argz, có thể có giá trị âm hoặc dương tùy thuộc vào hướng quay của trục hoành Giá trị của ϕ có thể được xác định thông qua tọa độ x và y.
Giá trị của argumen của số phức z = a + bi có thể nhận được nhiều giá trị khác nhau, miễn là a² + b² ≠ 0 Khi một giá trị ϕ được xác định, argumen sẽ được tính theo công thức argz = ϕ + 2kπ, trong đó k là một số nguyên Thông thường, chúng ta chỉ sử dụng giá trị của argumen trong khoảng [0, 2π).
Trong toán học, các số r và ϕ thể hiện tọa độ cực của một số phức z Đối với điểm z = a + ib (với b khác 0), mối quan hệ giữa tọa độ cực và tọa độ vuông góc được mô tả qua các công thức: a = r * cos(ϕ) và b = r * sin(ϕ).
1.3 Dạng lượng giác của số phức 11
Khi đó số phứczcó thể viết z=rcosϕ+irsinϕ=r(cosϕ+isinϕ).
Một số phức viết theo dạng trên người ta gọi là dạng lượng giác của số phức.
Cho hai số phức dưới dạng lượng giácz 1 =r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 ) vàz 2 =r 2 (cosϕ 2 +isinϕ 2 ) Ta có tính chất sau:
1) Nếu z1 trùng vớiz2, thì môđun của chúng bằng nhau và ar- gumen của chúngϕ1, ϕ2 khác nhau một số nguyên lần2π.
2) Tích của hai số phức z=z1z2 =r1(cosϕ1+isinϕ1)r2(cosϕ2+isinϕ2)
Tích của hai số phức dưới dạng lượng giác được biểu diễn là z = r(cosϕ + isinϕ), trong đó r là tích của môđun |z₁| và |z₂| Cụ thể, |z₁z₂| = |z₁| |z₂|, và argumen ϕ là tổng của hai argumen của các thừa số, tức là arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂) Phương pháp qui nạp có thể được sử dụng để chứng minh điều này một cách dễ dàng.
[r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )][r 2 (cosϕ 2 +isinϕ 2 )] [r n (cosϕ n +isinϕ n )]
=r 1 r 2 r n [cos(ϕ 1 +ϕ 2 + +ϕ n ) +isin(ϕ 1 +ϕ 2 + +ϕ n )]. Hoàn toàn tương tự ta có thể làm phép chia các số phức z1 z 2 = r1(cosϕ1+isinϕ1) r 2 (cosϕ 2 +isinϕ 2 )
= r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )(cosϕ 2 −isinϕ 2 ) r2(cosϕ2+isinϕ2)(cosϕ2−isinϕ2)
[cosϕ 1 cosϕ 2 + sinϕ 1 sinϕ 2 +i(sinϕ 1 cosϕ 2 −cosϕ 1 sinϕ 2 )]
Bây giờ, dễ dàng biểu diễn hình học tích của hai số phức:
Số phứcz=z 1 z 2 với z 1 =r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 ), z 2 =r 2 (cosϕ 2 +isinϕ 2 )là một x y
Hình 1.3. điểm với bán kính vectơ r 1 r 2 và argumenϕ 1 +ϕ 2 (Hình1.3).
Công thức Moa vrơ
Cho một số phức dưới dạng lượng giác z = r(cosϕ + isinϕ), theo công thức nhân, ta có z^n = r^n (cos(nϕ) + isin(nϕ)), với n là một số nguyên bất kỳ Công thức này được gọi là công thức Moivre.
Công thức Moa-vrơ còn đúng với các số mũ nguyên âm Thật vậy, z − 1 = 1 r(cosϕ+isinϕ) =r − 1 (cosϕ−isinϕ)
1.4 Công thức Moa vrơ 13 và z − n = (z − 1 ) n = [r − 1 (cos(−ϕ) +isin(−ϕ))] n =r − n [cos(−nϕ) +isin(−nϕ)].
Dựa vào công thức Moa-vrơ, căn bậc n của số phức được định nghĩa là z = r(cosϕ + isinϕ) Căn bậc n của số phức z sẽ được biểu diễn dưới dạng lượng giác là z1 = ρ(cosθ + isinθ), sao cho khi nâng lên bậc n, ta có z n 1 = z, tức là [ρ(cosθ + isinθ)] n = r(cosϕ + isinϕ).
Theo công thức Moa-vrơ, ta có ρ n = r, từ đó suy ra ρ = √ n r, tức là căn bậc n của số không âm Ngoài ra, các giá trị argumen nθ và ϕ khác nhau bởi một số nguyên lần 2π, cụ thể là nθ = ϕ + 2kπ, với k là số nguyên.
Ngược lại, khi ta nâng bậc mũnsố z 1 = √ n r cosϕ+ 2kπ n +isinϕ+ 2kπ n
Khi z là một số nguyên bất kỳ, ta có công thức pn r(cosϕ + isinϕ) = √n r cosϕ + 2kπ/n + isinϕ + 2kπ/n với k = 0, 1, 2, , n−1, sẽ cho ra các giá trị khác nhau cho √n z Mỗi giá trị của √n z tạo thành một cấp số cộng với số dư 2π/n và số đầu tiên là ϕ/n.
Do tính chu kỳ của hàm sốsinxvàcosxvớik > n+ 1thì những giá trị của √ n zlại lặp lại một trong n giá trị ban đầu.
Căn bậc n của một số phức sẽ có n giá trị khác nhau, thể hiện như các đỉnh của một đa giác đều Những đỉnh này nằm trên một đường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính là √n r.
Ví dụ: Ta tìm nghiệm của một phương trình đặc biệt dạngx n = 1trong mặt phẳng phức Thật vậy, ký hiệu w k , k = 1,2, n là nghiệm của phương trình trên.
1 = 1chúng ta sẽ có w k cos2kπ n +isin2kπ n
Rõ ràngw n = 1, còn những nghiệm khác nhận được bằng cách quay vectơ đơn vị đi 2π n,22π n , ,(n−1)2π n
Sốw k cos2π n +isin2π n có tính chất đặc biệt là các nghiệm khác bằng chínhw 1 nâng lên lũy thừa số thứ tự nghiệm, vì w k cos2kπ n +isin2kπ n cos2π n +isin2π n k
.Nghiệm của x n = 1 là đỉnh của đa giác đều n đỉnh nằm trên đường tròn đơn vị.
Chương 2 ĐỘ ĐO GÓC CỦA HAI TIA
2.1 Góc định hướng 15 2.2 Ví dụ 18 2.3 Bài tập 22
Mỗi điểm trong hệ tọa độ vuông góc tương ứng với một số phức, tạo nên mối quan hệ một-một giữa tập hợp các số phức và các điểm trong mặt phẳng Cụ thể, điểm Z với tọa độ (a, b) được biểu diễn bằng số phức z = a + ib, trong đó số phức z được gọi là nhãn của điểm Z Từ đây, một điểm trong mặt phẳng sẽ luôn được ký hiệu bằng chữ cái hoa, trong khi nhãn của nó sẽ là chữ cái thường tương ứng.
Trong mặt phẳng hệ tọa độ vuông góc xOy, mỗi điểm Z với nhãn z chúng ta đặt một vectơ
−→OZ Do đó số phức có thể biểu diễn hình học như là những vectơ trong mặt phẳng.
Sự biểu diễn số phức qua vectơ hoàn toàn thích hợp khi ta xem xét nguyên lý cộng và trừ
Hình 2.1. các vectơ tương ứng với cộng và trừ các số phức (xem Hình2.1).
Nếu Z1 và Z2 là hai điểm trên mặt phẳng với nhãn z1 và z 2 , khi đó tổng của chúng z 3 = z 1 +z 2 biểu diễn bởi Z 3 , mà
OZ 2 Còn hiệuz 2 −z 1 là vectơ−−→
OZ 1 Khoảng cách d của điểm Z 1 đếnZ 2 hoặc độ dài −−−→
Z 1 Z 2 làd= |Z 1 Z 2 |= |z 1 −z 2 |, vậy d là môđun của số phứcz 2 −z 1
Từ nguyên tắc cộng vectơ suy ra rằng nếu Z là trung điểm của
OZ 2 ), hoặc nhãn củaZ biểu diễn quaz 1 , z 2 làz= 1
2(z 1 +z 2 ). Để tính góc định hướngαtạo bởi hai tia đi qua điểm gốc của tọa độ O, ta chọn z1 và z2 nằm trên mỗi tia Khi đó α= argz 2 −argz 1 = argz 2 z1
Trong trường hợp hai tia xuất phát từ điểm Z₀, chúng ta có thể áp dụng phương pháp tương tự như trong Hình 2.2 Độ đo góc α giữa hai vectơ được tính bằng công thức: α = arg(z₂₀ - z₀₀) - arg(z₁₀ - z₀₀) = arg(z₂₀ - z₀₀) / (z₁ - z₀₀) Một cách tổng quát, để biểu diễn độ đo góc theo hướng dương của hai vectơ bất kỳ thông qua các số phức, ta cần xác định các vectơ này một cách rõ ràng.
U 1 U 2 với nhãn tại các điểm tương ứngz 1 , z 2 , u 1 , u 2 Ta cần phải quay vectơ đơn vị của −−−→
Z1Z2 đi một góc φ theo chiều dương nghĩa là z 2 −z 1
2.1 Góc định hướng 17 từ đó cosφ+isinφ= u2−u1
Vậy góc phải tìmcosφ= p+p 2 ,sinφ= p − 2i p từ đó có
Từ những đẳng thức trên suy ra vectơ−−−→
U 1 U 2 vuông góc với nhau khi và chỉ khi
(z 2 −z 1 )(u 2 −u 1 ) + (u 2 −u 1 )(z 2 −z 1 ) = 0 (2.2) và chúng song song với nhau khi và chỉ khi
1 Do công thức (1), nếu z 1 trùng vớiu 1 và |z 1 z 2 | =|u 1 u 2 |, thì khi biết nhãn z 2 và góc φ với các giá trị đặc biệt thì u 2 tính được nhãn theoz 2 như sau: a)φ= 90 ◦ , thìu 2 =iz 2 b)φ= 60 ◦ , thìu 2 = 1
Các nhận xét trên rất có ích khi giải các bài toán hình học bằng phương pháp số phức.
2 Ký hiệu V(z2, z1, z0) = z2−z0 z 1 −z 0 gọi là tỷ số đơn của các số phức z 2 , z 1 , z 0 (viết theo thứ tự đã chỉ ra) Do đó, argumen của
V(z 2 , z 1 , z 0 )chính làgóc định hướnggiữa các vectơ−−−→
Z 0 Z 2 Điều kiện cần và đủ để 3 điểm z0, z1, z3 thẳng hàng là góc định hướng giữa hai vectơ−−−→
Z0Z2 bằng 0 hoặc±π.Nghĩa là tỷ số đơnV(z 2 , z 1 , z 0 )là một số thực.
Ví dụ 2.1 Cho hình vuôngABCD Điểm M là trung điểm củaCD, điểmPnằm trên đường chéoACsao cho|P C|= 3|AP| Chứng minh rằngBP M\ = 90 ◦
Lời giải Lấy hệ tọa độ vuông góc sao cho A là điểm gốc và vectơ −−→
AB là vectơ đơn vị theo chiều dương của trục hoành Như vậy, nhãn của những điểm A, B, C, D tương ứng là a= 0, b= 1, c= 1 +i, d=i Điểm M có nhãn m= 1
2,do đóBP M\ = 90 ◦ Hơn nữa, |i| = 1, chúng ta nhận được |BP| = |P M|, nên tam giácBP M là vuông cân J
Ví dụ 2.2 Cho ba hình vuông bằng nhau ABCD, BEF C, EP QF
(hình 2.4) Chứng minh rằngACD\+AF D\+\AQD= π
Lời giải Đưa vào hệ tọa độ vuông góc với A là điểm gốc và −−→
AB là vectơ đơn vị theo chiều dương của trục hoành Suy ra, nhãn của
Vì \ACD = \BAC = arg(1 +i),AF D\ = EAF[ = arg(2 +i) và AQD\=P AQ[ = arg(3 +i), thì
ACD\+AF D\+\AQD= arg(1 +i) + arg(2 +i) + arg(3 +i)
Ví dụ 2.3 Cho tam giác ABC.Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểmC, dựng hình vuôngABDE.
Trong nửa mặt phẳng bờBCchứa điểmA, dựng hình vuôngBCF G.
Lời giải Lấy hệ tọa độ vuông góc có gốc tại B, vectơ −−→
BC là chiều dương của trục hoành Ký hiệu nhãn của các đỉnh của tam giác ABC tương ứng là a, b, c.
Khi đó dễ dàng tính ra được g = ic, d = −ia Góc giữa GA vàCDký hiệu làϕthì ϕ = arg−ia−c a−ic : |−ia−c ia−c | argi= π
Vậy,GAvuông góc vớiCD và
Ví dụ 2.4 Cho tam giác ABC
(\BAC 6= 60 ◦ ), ở miền ngoài của tam giác vẽ các tam giác đềuABD và ACE Dựng hình bình hành
AEF D Chứng minh tam giác
Lời giải Lấy hệ tọa độ vuông góc có gốc tại A, nhãn của các đỉnh
Hình 2.6. của tam giác ABC lần lượt làa0, b, c.Do cách dựng tam giác đều ta có
2 i(c−b)−c|=|c−b|=|BC| do đó tam giácBF Cđều J
Nếu AB và CD là hai đoạn thẳng cắt nhau tại điểm O, với P và Q là trung điểm của AB và CD, thì khi AB là phân giác của góc CPD và P_A^2 = P_B^2 |P_C||P_D|, ta có thể chứng minh rằng CD cũng là phân giác của góc AQB và Q_C^2 = Q_D^2 |QA||QB|.
Lời giải Từ sự bằng nhau của các gócBP DvàCP Bta có thể viết p−d p−b :|p−d p−b|= p−b p−c :|p−b p−c|, từ đó
|p−b| 2 = 1 Suy ra p 2 −(c+d)p+cd=p 2 −2bp+b 2 hoặc làab+cd= 2pq.
Trong đẳng thức cuối cùng, vai trò của các biến c, d và q là tương đương Điều kiện cần và đủ để AB là phân giác của góc CP D là P A 2 = P B 2 = |P C||P D| Tương tự, điều kiện cần và đủ để CD là phân giác của góc AQB là QC 2 = QD 2 = |QA||QB|.
2.6 Cho hình vuông ABCD ĐiểmM và N nằm tương ứng trên các đường chéo BD và cạnh BC sao cho BM = 2
2.7 Cho ngũ giác ABCDE Nối các điểm trung bình của cạnh
Trong hình học, cho hai đoạn thẳng AB và CD, cùng với các điểm trung bình của cạnh BC và DE, ta định nghĩa H và K là các điểm trung bình của các đoạn nối trên Cần chứng minh rằng HK song song với AE và độ dài của HK bằng 1.
Trong tam giác ABC, hãy vẽ các hình vuông ABEF và ACGH bên ngoài tam giác Chứng minh rằng đường trung tuyến AM từ đỉnh A của tam giác ABC chính là đường cao của tam giác AHF.
Trong tam giác ABC, vẽ các hình vuông ABDE và ACFG bên ngoài Gọi H, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn BE, BC, và CG a) Cần chứng minh rằng tam giác HKL là tam giác vuông cân b) Cần đưa ra nhận xét về vị trí của hình vuông có ba đỉnh.
2.10 Cho tam giácABC,M là trung điểm của cạnh BC Trên cạnhAB lấy điểmDsao cho BD= 2AD Các đoạn thẳngAM và
CDcắt nhau tại điểmI Chứng minh rằng a)I là trung điểm của đoạnAM. b)CI = 3DI.
2.11 Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các tam giác cân
M AB, N AC vàP CB theo thứ tự nhận các điểmM, N, P làm đỉnh góc vuông Chứng minh rằng các đoạn thẳngAP vàM N bằng nhau và vuông góc với nhau.
Cho tứ giác lồi ABCD, với M và N là trung điểm của các cạnh AB và CD E và F là giao điểm của các đường thẳng AD và BC với đường thẳng MN Cần chứng minh rằng nếu AD thì AEM = M.
2.13 Về phía ngoài của một tứ giácABCDtrên các cạnhAB, BC,
CD, DAdựng các hình vuông, tâm lần lượt của các hình vuông này làE, F, G, H Chứng minh rằngEG=F H vàEG⊥F H.
Chứng minh rằng đoạn thẳng nối trung điểm của các đường chéo trong một tứ giác và đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện của tứ giác đó có một điểm chung Điều này cho thấy sự liên kết giữa các trung điểm trong hình học tứ giác, khẳng định tính chất đặc biệt của các đoạn thẳng này.
Trong hình vuông ABCD, M và N là trung điểm của các cạnh AB và BC Đoạn thẳng CM và DN cắt nhau tại điểm P Cần chứng minh rằng đoạn AP bằng với độ dài của cạnh hình vuông.
3.1 Đường thẳng qua hai điểm 24 3.2 Phương trình tham số 25 3.3 Ví dụ 26 3.4 Bài tập 32
3.1 ĐƯỜNG THẲNG QUA HAI ĐIỂM
Trong phần trước ta thấy điều kiện cần và đủ để 3 điểm khác nhauz 0 , z 1 , z 2 nằm trên một đường thẳng là góc giữa hai vectơ−−−→
Z0Z2 bằng 0 hoặc±π Nói một cách khác tỷ số đơnV(z0, z1, z2) là một số thực Do tính chất của số phức ta có thể biểu diễn dưới dạng như sau: z 0 −z 2 z 1 −z 2 = z 0 −z 2 z 1 −z 2
Từ đẳng thức trên ta thấy ngay, một đường thẳng đi qua hai điểmz 1 vàz 2 là tập hợp các điểmZ sao cho z−z 2 z 1 −z 2 = z−z 2 z 1 −z 2 hoặc là
Vì nhãn của tất cả các điểm trên đường thẳng thoả mãn chỉ đẳng thức trên, nên ta có thể gọi đó làphương trình đường thẳng.
Bz−Bz+C= 0, B6= 0. vìC = z 1 z 2 −z 1 z 2 = −C,do vậyC hoàn toàn là số ảo Ngược lại, mọi phương trình có dạng trên biểu diễn một đường thẳng trên mặt phẳng.