Phân loại các biểu diễn của một số nhóm ma trận lượng tử

Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi hướng dẫn PGS-TSKH Phùng Hồ Hải, PGS-TS Nguyễn Quốc Thắng Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án chưa công bố công trình khác Tác giả Nguyễn Thị Phương Dung Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tới thầy tơi, PGS-TSKH Phùng Hồ Hải Thầy kiên trì tận tình truyền đạt, giảng giải kiến thức chuyên môn, giúp vượt qua lúc khó khăn, chủ động tự tin suốt trình học tập nghiên cứu Viện Tốn học Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn trân trọng tới thầy Nguyễn Quốc Thắng Thầy bảo tận tình, quan tâm ưu đến nhiều suốt năm qua Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy phòng Đại số phòng Lý thuyết số, thầy Nguyễn Tự Cường, thầy Lê Tuấn Hoa thầy Ngô Việt Trung, tạo điều kiện tốt cho tơi hồn thành việc học tập Tôi xin trân trọng cảm ơn Viện Tốn học, phịng chức năng, Trung tâm Đào tạo sau đại học Viện Toán học tạo điều kiện giúp học tập nghiên cứu, để tơi hồn thành luận án Tơi xin cảm ơn anh chị em bạn học tập nghiên cứu phòng Đại số phịng Lý thuyết số, Viện Tốn học giúp đỡ, chia sẻ khoa học sống Tôi xin bày tỏ biết ơn đến Ban giám đốc Học viện Biên Phòng, Lãnh đạo khoa Khoa học toàn thể giáo viên khoa tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập giảng dạy nhà trường Một lời cảm ơn đặc biệt xin dành cho gia đình thân yêu động viên, tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian học tập, nghiên cứu vừa qua Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 0.1 Đại số Hopf 0.2 Cấu trúc đối tựa tam giác 12 0.3 Phức Koszul K L 12 0.4 0.3.1 Phức Koszul K 12 0.3.2 Phức Koszul L 15 Phân hoạch hàm Schur 15 Biểu diễn nhóm lượng tử loại A ứng dụng 18 1.1 Đối xứng Hecke nhóm ma trận lượng tử 18 1.2 Các đại số toàn phương liên kết với đối xứng Hecke 20 1.3 Đối mô đun ER 21 1.4 1.3.1 Đại số Hecke 21 1.3.2 Thuật toán Littlewood-Richardson 23 Đối mô đun HR 24 1.5 Phức Koszul liên kết với đối xứng Hecke 25 1.6 Chuỗi Poincaré 26 1.6.1 Chuỗi Poincaré chiều ER -đối mô đun 27 1.6.2 Tính thuận nghịch chuỗi Poincaré 28 Biểu diễn bất khả qui GLq (2|1) 32 2.1 Một số tính chất phức Koszul K 32 2.2 Khai triển tích ten xơ ER -đối mô đun đơn 34 2.3 Phân tích tích ten xơ với đối ngẫu ER -đối mô đun đơn 35 2.4 Tích phân đối mô đun chẻ 36 2.5 Đồng điều phức Koszul K1 2.6 Phân loại đối mô đun đơn 43 2.7 Tính đầy đủ 46 39 Phức Koszul kép xây dựng biểu diễn bất khả qui siêu nhóm tuyến tính GL(3|1) 3.1 50 Siêu đại số Lie biểu diễn 51 3.1.1 Đại số bao phổ dụng 52 3.1.2 Biểu diễn cảm sinh 52 3.1.3 Trọng nghiệm 52 3.1.4 Biểu diễn với trọng cao 53 3.1.5 Mô đun Verma 53 3.1.6 Đặc trưng biểu diễn 54 3.2 Phức Koszul kép 55 3.3 Một số tính chất phức Koszul kép 3.4 Đặc trưng biểu diễn bất khả qui GL(3|1) 60 3.5 56 3.4.1 Đặc trưng biểu diễn điển hình 60 3.4.2 Đặc trưng biểu diễn khơng điển hình 61 Xây dựng biểu diễn bất khả qui GL(3|1) 61 3.5.1 Xây dựng biểu diễn phương pháp tổ hợp 62 3.5.2 Xây dựng biểu diễn sử dụng phức Koszul K 63 3.5.3 Xây dựng biểu diễn cách sử dụng phức Koszul kép 64 Biểu diễn bất khả qui GLq (3|1) 66 4.1 Một số tính chất phức Koszul kép 66 4.2 Xây dựng biểu diễn GLq (3|1) 70 4.2.1 Xây dựng biểu diễn sử dụng phân hoạch 70 4.2.2 Xây dựng biểu diễn sử dụng phức Koszul K 70 4.2.3 Xây dựng biểu diễn sử dụng phức Koszul kép 71 Mở đầu Mục đích luận án nghiên cứu biểu diễn số nhóm lượng tử loại A Nhóm lượng tử loại A hiểu đại số Hopf, xây dựng từ nghiệm phương trình Yang-Baxter, thỏa mãn hệ thức Hecke điều kiện đóng Cụ thể phân loại biểu diễn bất khả quy trường hợp số chiều thấp ((2|1) (3|1)) Cố định không gian véc tơ V với chiều d, trường đóng đại số k đặc số Một toán tử khả nghịch R : V ⊗ V −→ V ⊗ V gọi đối xứng Hecke thỏa mãn phương trình Yang - Baxter, hệ thức Hecke tính chất đóng Từ đối xứng Hecke R trên, xây dựng đại số Hopf HR sau Cố định kl sở x1 , x2 , , xd V Theo sở R biểu diễn ma trận, ký hiệu (Rij ) Để cho thuận tiện, ta qui ước: số biểu thức xuất hiểu biểu thức lấy tổng theo số Đại số HR thương đại số tự không giao hoán phần tử sinh (zji , tij )1≤i,j≤d , theo hệ thức sau: i j mn ij p q zm zn Rkl = Rpq zk zl zki tkj = tik zjk = δji HR đại số Hopf, với ánh xạ cấu trúc [12]: ∆(zji ) = zki ⊗ zjk , ∆(tji ) = tki ⊗ tjk , ε(zji ) = ε(tij ) = δji S(zji ) = tij Phép đối xứng thông thường R(x ⊗ y) = y ⊗ x đối xứng Hecke (với q = 1) Đại số HR tương ứng vành hàm quy nhóm GL(V ): k[zji ][det(zji )−1 ] Tương tự, V siêu không gian véc tơ R phép siêu đối xứng, HR siêu đại số hàm quy siêu nhóm ma trận tồn phần Vì biểu diễn nhóm lượng tử đối mơ đun đại số Hopf HR Ví dụ quan trọng đối xứng Hecke nghiệm chuẩn loại A phương trình Yang-Baxter tìm Drinfeld Jimbo Trong trường hợp V có chiều 2, nghiệm cho ma trận sau:  q2  0   0  0   0   q q −1 0  0 q q Khi q = 1, toán tử phép đối xứng thông thường V ⊗ V nhắc tới Các nghiệm chuẩn ứng với siêu đối xứng đưa Manin Trên sở ví dụ trên, người ta nói HR xác định nhóm ma trận lượng tử loại A Với đối xứng Hecke R, xét đại số SR , ΛR sau: kl SR := k x1 , x2 , , xd /(xk xl Rij = qxi xj ), kl ΛR := k x1 , x2 , , xd /(xk xl Rij = −xi xj ), Các đại số SR ΛR coi xác định không gian tuyến tính lượng tử SR gọi đại số đối xứng lượng tử, ΛR gọi đại số phản đối xứng lượng tử ΛR , SR đại số toàn phương, tức sinh phần tử bậc với hệ thức bậc hai, đại số phân bậc Chuỗi Poincaré tương ứng chúng ∞ ∞ n PΛ (t) = dimk (Sn )tn , dimk (Λn )t , PS (t) = n=0 n=0 với Λn Sn thành phần bậc n tương ứng ΛR SR Khi R phép đối xứng thông thường, ta có PΛ (t) = (1 + t)d , PS (t) = (1 − t)d Khi R phép siêu đối xứng siêu không gian véc tơ V, với siêu chiều (m|n), ta có PΛ (t) = (1 + t)m , (1 − t)n PS (t) = (1 + t)n (1 − t)m Các đại số ΛR , SR đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu phạm trù biểu diễn nhóm ma trận lượng tử liên kết với R Lyubashenko [23] chứng minh rằng: q = chuỗi Poincaré ΛR đa thức, có tính chất thuận nghịch Gurevich [9] mở rộng kết với q bất kỳ, không đơn vị Trong [11], P.H.Hai chứng minh chuỗi Poincaré đại số toàn phương ΛR phân thức hữu tỷ, với tử thức đa thức bậc m, có m nghiệm âm, mẫu thức đa thức bậc n, có n nghiệm dương Một câu hỏi đặt với m, n không đồng thời 0, chuỗi Poincaré đại số ΛR SR có cịn có tính chất thuận nghịch hay khơng? Nội dung Chương I đưa câu trả lời khẳng định cho câu hỏi tính thuận nghịch chuỗi Poincaré nhắc tới Cụ thể: tử thức mẫu thức chuỗi Poincaré đa thức có tính chất thuận nghịch đối thuận nghịch, ngồi đa thức có hệ số nguyên Các công cụ sử dụng công thức LittlewoodRichardson, tiêu chuẩn để đối mô đun đơn nội xạ xạ ảnh Các kiến thức sử dụng tham khảo [4], [5], [10], [11], [13], [21], [24] Các kết chương công bố [6] Cặp bậc (m, n) tử thức mẫu thức chuỗi Poincaré ΛR , gọi song hạng đối xứng Hecke R Kết [15] song hạng đối xứng Hecke xác định phạm trù biểu diễn nhóm lượng tử tương ứng Vì chúng tơi cần xét nghiệm chuẩn loại A phương trình Yang-Baxter, ký hiệu nhóm lượng tử liên kết GLq (m|n) Với m = n = phạm trù biểu diễn nhóm lượng tử nửa đơn Khi tốn phân loại biểu diễn nhóm lượng tử giải P.H.Hai [13] Khi m n khác toán phân loại biểu diễn bất khả qui nhóm lượng tử nói chung chưa giải Một khó khăn phạm trù biểu diễn nhóm lượng tử khơng cịn nửa đơn Năm 1986, Palev [27] chứng minh lớp biểu diễn GLq (n|1) bất khả qui, nhiên chưa phải tất biểu diễn bất khả qui Năm 2000, P.H.Hai [13] giải toán phân loại biểu diễn bất khả qui nhóm lượng tử liên kết với đối xứng Hecke có song hạng (1, 1) Trong Chương 2, chúng tơi giải tốn phân loại biểu diễn bất khả qui nhóm lượng tử liên kết với đối xứng Hecke có song hạng (2, 1) Cơng cụ phức Koszul K• Nhờ tính chất thuận nghịch chuỗi Poincaré chứng minh Chương I, chứng tỏ phức K1 có đồng điều với chiều 1, từ tìm dãy hợp thành tất thành phần phức Koszul Ki Tập đối mô đun dãy hợp thành phức Koszul Ki tất đối mô đun đơn HR , chúng đánh số tập số nguyên (m, n, p) thỏa mãn m ≥ n Để chứng minh tính đơn đối mô đun xây dựng được, kỹ thuật dựa tính chất đại số Hopf có tích phân Trên đại số Hopf có tích phân tồn lớp đối mô đun đặc biệt mà người ta gọi đối mô đun "chẻ", trường hợp siêu đại số Lie nửa đơn, lớp Kac gọi biểu diễn điển hình Một đối mô đun đơn gọi đối mô đun chẻ nội xạ xạ ảnh Chúng đưa điều kiện để đối mô đun xây dựng đối mô đun chẻ cơng thức tính chiều cho đối mơ đun đơn HR Các kết trình bày chương công bố [7] Một biểu diễn GL(m|n) bất khả qui bất khả qui biểu diễn gl(m|n), với trọng cao số nguyên [30] Chương đưa phương pháp xây dựng tường minh biểu diễn bất khả qui siêu nhóm GL(3|1) Chương phục vụ cho việc xây dựng biểu diễn bất khả quy của nhóm lượng tử trường hợp song hạng (3, 1) Chương Trong [17], Kac phân loại biểu diễn bất khả qui siêu đại số Lie gl(m|n) Các biểu diễn bất khả qui gl(m|n) chia thành hai loại: điển hình khơng điển hình Trong [19], Kac đưa cơng thức tính đặc trưng cho tất biểu diễn điển hình Nhờ sử dụng mô đun Verma, Kac đưa cách xây dựng chi tiết cho tất biểu diễn điển hình Năm 2007, [35] Su Zhang đưa cơng thức tính đặc trưng cho tất biểu diễn Nhưng việc xây dựng cụ thể cho tất biểu diễn khơng điển hình toán chưa giải Bằng cách kết hợp phức Koszul K L để thu phức Koszul kép, dựa vào kết Su-Zhang, đưa cách xây dựng tường minh biểu diễn bất khả qui GL(3|1) Các kết chương trình bày [8] Mục đích Chương phân loại biểu diễn bất khả qui GLq (3|1) Với phương pháp dùng Chương 3, xây dựng lớp biểu diễn GLq (3|1) Chúng tơi dự đốn tập biểu diễn xây dựng tập tất biểu diễn bất khả qui GLq (3|1) thu số kết ban đầu Chúng tơi hồn thiện chứng minh thời gian tới Các kết luận án công bố cơng trình [6], [7], [8] trình bày seminar phịng Đại số, Hội nghị tốn học Toàn quốc lần thứ VII- Quy Nhơn - 2008 Hội nghị Đa-Hi-To Huế - 2009 62 3.5.1 Xây dựng biểu diễn phương pháp tổ hợp Trong mục này, xác định trọng cao biểu diễn tương ứng với phân hoạch biểu diễn đối ngẫu chúng Vì V biểu diễn bất khả qui G := GL(3|1), phương pháp tổ hợp, ta có V ⊗k = ⊕λ∈Γ Iλ⊕Cλ , với Iλ mô đun đơn, Γ tập tất phân hoạch thỏa mãn λ4 ≤ Theo công thức (3.5) [24], hàm Schur sλ biểu diễn đa thức theo đa thức đối xứng er , nên với λ = (λ1 , λ2 , λ3 , λ4 ) ∈ Γ, ta dễ dàng tính đặc trưng Iλ , Iλ có trọng cao (λ1 , λ2 , λ3 | − λ4 ) Cụ thể: với λ ∈ Γ : λ3 ≥ 1, ta có R(x1 x2 x3 )λ3 −1 a(λ1 − λ3 , λ2 − λ3 , 0) ch(Iλ1 ,λ2 ,λ3 ,1λ4 ) = Πy λ4 ch(Iλ∗1 ,λ2 ,λ3 ,1λ ) = R(x1 x2 x3 )−λ1 a(λ1 − λ3 , λ1 − λ2 , 0), Πy λ4 +3 nên ch(Iλ∗1 ,λ2 ,λ3 ,1λ ) = ch(V (−λ3 + 1, −λ2 + 1, −λ1 + 1|λ4 + 3)) Ta có R xλ2 +1 xλ3 − xλ2 xλ3 +1 xλ3 +1 xλ1 − xλ3 xλ1 +1 + Π x1 + y x2 + y λ1 +1 λ2 λ2 λ1 +1 x x2 − x1 x2 + , x3 + y ch(Iλ1 ,λ2 ,0,0 ) = R x21 +1 −λ1 −λ2 +1 (x−λ x3 − x−λ ) 2 x3 Πy x1 + y x22 x23 −λ2 +1 −λ1 −λ1 −λ2 +1 +1 −λ1 −λ2 +1 + (x3 x1 − x3 x1 )+ (x−λ x2 − x−λ ) , 1 x2 x2 + y x1 + y ch(Iλ∗1 ,λ2 ,0,0 ) = (3.12) suy ch(Iλ∗1 ,λ2 ,0,0 ) = ch(V (0, −λ2 + 1, −λ1 + 1|2)) Tương tự, ta có ch(Iλ1 ,0,0,0 ) = λ1 +1 x (x2 + y)(x3 − x1 ) Π + x3λ1 +1 (x3 + y)(x1 − x2 ) + xλ1 +1 (x1 + y)(x2 − x3 ) , (3.13) 63 ch(Iλ∗1 ,0,0,0 ) = 1 +1 +1 +1 +1 ) x1 + x3 x−λ ) + x22 (−x−λ x3 + x2 x−λ x2 (−x−λ 3 Πy −λ1 1 +1 +1 ) + x21 y(−x−λ x2 + x1 x−λ + x23 (−x−λ x3 + x2 x3 ) −λ1 −λ1 −λ1 + x2 y(−x−λ x1 + x3 x1 ) + x3 y(−x1 x2 + x1 x2 ) Vì ch(Iλ∗1 ,0,0,0 ) = ch(V (0, 0, −λ1 + 1|1)) 3.5.2 Xây dựng biểu diễn sử dụng phức Koszul K Để xây dựng lớp biểu diễn khác GL(3|1), trước hết ta xét phức Ka , với a = dk−1,l−1 Ka : / Λk · Sl∗ dk,l / ∗ Λk+1 · Sl+1 dk+1,l+1 / a := l − k Phức K2 khớp thành phần, ngoại trừ thành phần Λ3 ⊗ S1∗ , có nhóm đồng điều chiều k, nhóm đồng điều ký hiệu I1,1,1,−1 Từ Λ4 I1,1,1,−1 = I2,2,2,0 , suy ch(I1,1,1,−1 ) = x1 x2 x3 y −1 (3.14) Bằng cách dùng tính chất khớp phức Koszul K, ta xây dựng lớp biểu diễn bất khả qui GL(3|1) Trước hết, ta có Λk Sl∗ = Imdk−1,l−1 ⊕ Imdk,l Hệ điều mệnh đề sau (xem [7]) Mệnh đề 3.5.1 Mô đun Imdk+1,l+1 đơn với (k, l) thỏa mãn l, k ≥ 1, l − k = Dùng phương pháp qui nạp, ta có ch(Imdk,l ) = Ry k−3 a(l, l, 0) Π(x1 x2 x3 )l ⊗m−1 Đặt M := Imdm+2,m+p I1,1,1,−1 , ch(M ) = R a(m + p, m + p, 0), Π(x1 x2 x3 )p+1 (3.15) 64 suy ch(M ∗ ) = R(x1 x2 x3 )−m a(m + p, 0, 0), Πy Vì ch(M ) = ch(V (m, m, −p|0)), ch(M ∗ ) = ch(V (p + 1, −m + 1, −m + 1|3)) Tóm lại: ta xây dựng biểu diễn bất khả qui, với trọng cao thuộc tập hợp {(m, n, p| − q), (−p, −n, −m|q) : m ≥ n ≥ p ≥ 0, q ≥ 0} ∪{(m, m, −p|0), (p, −m, −m|0) : m, p ≥ 1} Tiếp theo, xây dựng biểu diễn có đặc trưng với đặc trưng biểu diễn bất khả qui, tương ứng với trọng cao thuộc tập hợp {(n, 0, −p|0) : n, p ≥ 1} ∪ {(m + a, m, −p|0) : m, a, p ≥ 1} 3.5.3 Xây dựng biểu diễn cách sử dụng phức Koszul kép ∗ Theo Mệnh đề 3.3.1, tồn Y cho Sn Sp∗ = Sn−1 Sp−1 ⊕ Y Dễ dàng thấy ch(Y ) = xn3 − xn2 x3−p−1 x−p−1 xn1 − xn3 x1−p−1 x−p−1 xn2 − xn1 x2−p−1 (x1 x2 x3 )R x−p−1 + + với Πy x1 + y x2 + y x3 + y n, p ≥ 1, Y có trọng cao (n, 0, −p + 1|1), nên ch(Y ) = ch(V (n, 0, −p + 1|1)) Tiếp theo, ta xây dựng biểu diễn có đặc trưng với đặc trưng biểu diễn bất khả qui, có trọng cao λ = (m + a, m, −p, 0) : m, p, a ≥ Xét sơ đồ (3.3), ta thu số kết sau đây: ∗ Theo Mệnh đề 3.3.2, ta có S1 · Imd2,n+1 = Λ3 · Sn+1 ⊕ Z1 , suy ch(Z1 ) = R a(n + 2, n + 1, 0) Πy(x1 x2 x3 )n+1 Vì Z1 có trọng cao (2, 1, −n + 1|1), ch(Z1 ) = ch(V (2, 1, −n + 1|1)) 65 Theo Mệnh đề 3.3.2, ta có ∗ ⊕ Zk , Im(IdIk,0,0,0 · dl,m ) = KerPk−1,l+1 · Im,0,0,0 suy ∗ ) ch(Zk ) = ch[Im(IdIk,0,0,0 · dl,m )] − KerPk−1,l+1 · Im,0,0,0 Theo cơng thức (3.8), (3.13) (3.15), ta có chZk = R(x1 x2 x3 )−m y l−3 a(k + m, m − 1, 0) Π ⊗(l−2) Đặt M := Zk · I1,1,1,−1 , ch(M ) = R(x1 x2 x3 )−p a(m + p + a − 1, m + p − 1, 0), Πy với a := l − 1, p := −m − + l Dễ thấy ch(M ∗ ) = R(x1 x2 x3 )−m−a a(m + a + p − 1, a, 0) Πy Do M có trọng cao (m + a, m, −p + 1|1) M ∗ có trọng cao (p + 1, −m + 1, −m − a + 1|3) Vì chM = chV (m + a, m, −p + 1|1), ch(M ∗ ) = chV (p + 1, −m + 1, −m − a + 1|3) Tóm lại, với trọng cao (m, n, p|q) nào, xây dựng biểu diễn có trọng cao λ = (m, n, p|q), với đặc trưng với đặc trưng biểu diễn bất khả qui V (λ) Do tập biểu diễn xây dựng bất khả qui tất biểu diễn siêu nhóm tuyến tính GL(3|1) • Kết luận Trong chương đưa xây dựng tường minh tập tất biểu diễn bất khả qui siêu nhóm tuyến tính GL(3|1), sử dụng phức Koszul K, L phức Koszul kép xây dựng từ phức Koszul K, L Chương Biểu diễn bất khả qui GLq (3|1) Mục đích chương phân loại biểu diễn bất khả qui đại số Hopf liên kết với đối xứng Hecke có song hạng (3, 1) Sử dụng phức Koszul kép giới thiệu Chương 3, ta thu số kết tương tự Chương Từ xây dựng lớp biểu diễn GLq (3|1) Trong Chương 2, dùng phức Koszul K, ta xây dựng tất biểu diễn bất khả qui HR Khi đối xứng Hecke có song hạng (3, 1), sử dụng phức Koszul K, xây dựng lớp biểu diễn bất khả qui HR Dùng phức Koszul kép (với phức Koszul K, L phức trường hợp lượng tử), tính chất phức Koszul kép này, xây dựng lớp biểu diễn khác HR Các biểu diễn đánh số tập số nguyên (m, n, p, q) thỏa mãn điều kiện m ≥ n ≥ p Chúng tơi dự đốn tập biểu diễn xây dựng bất khả qui tất biểu diễn bất khả qui HR 4.1 Một số tính chất phức Koszul kép Chúng thu số kết sau Mệnh đề 4.1.1 Ánh xạ hợp thành g := ∂P Qd : Sk · Sb∗ −→ Sk · Sb∗ sơ đồ (3.4) 66 67 đẳng cấu với k ≥ Khi ta có Sk · Sb∗ đẳng cấu với thành phần trực tiếp ∗ Sk+1 · Sb+1 Chứng minh Bằng qui nạp, ta chứng minh ánh xạ ∂P Qd : Sk · Sb∗ −→ Sk · Sb∗ chéo hóa được, với trị riêng tập hợp Ak , Ak := ([a + k + − j] − [−2])[j] : j := 1, 2, · · · , k + [k + 1][a + k + 1] Các công thức sử dụng (1.8) (1.9) Với k = 0, ánh xạ P Q : Sa∗ −→ Sa∗ = id, suy g = ∂P Qd = ([a]−[−2]) id [a+1] Giả sử mệnh đề với k − Xét ánh xạ [k + 1] − [2][k]QP [2][k] ]d = ∂d − ∂QP d (k + 1) [k + 1] [2][k] [q([a + k − 1] − [−2]) − [a + k]d∂] = ∂d − Q P [k + 1] [2][a + k + 1] [k][a + k] q[k][([a + k − 1] − [−2])] QP + Qd∂P = ∂d − [k + 1][a + k + 1] [k + 1][a + k + 1] [a + k] − [−2] q[k]([a + k − 1] − [−2])) [k][a + k] = − Id + Qd∂P [a + k + 1] [k + 1][a + k + 1] [k + 1][a + k + 1] h := ∂P Qd = ∂[ Theo giả thiết qui nạp công thức (3.4), ánh xạ ∗ ∗ ∂P Qd : Sk−1 · Sb−1 −→ Sk−1 · Sb−1 chéo hóa được, với tập trị riêng Ak−1 , nên Qd∂P : Sk · Sb∗ −→ Sk · Sb∗ chéo hóa được, với tập trị riêng Ak−1 ∪ {0} Vì vậy, dễ thấy ∂P Qd : Sk · Sb∗ −→ Sk · Sb∗ chéo hóa được, với tập giá trị riêng Ak Xét sơ đồ (3.7), ta thu kết sau: Mệnh đề 4.1.2 Ánh xạ hợp thành ∗ ∗ P ∂dQ : KerPi,k+1 · Sa+i+k+1 −→ KerPi,k+1 · Sa+i+k+1 ∗ sơ đồ (3.7) đẳng cấu Khi KerPi,k+1 · Sa+i+k+1 đẳng cấu với thành phần trực tiếp Si+1 · Imdk,a+i+k+1 Chứng minh Bằng phương pháp qui nạp, ta chứng minh ánh xạ ∗ ∗ P ∂dQ : KerPi,k+1 · Sa+i+k+1 −→ KerPi,k+1 · Sa+i+k+1 68 chéo hóa với tập trị riêng Ai , Ai := q k ([a + k + 2i − j + 2] − [−2])[j] : j = 1, 2, · · · , i + 1, i + k + [i + 1][k + 1]2 [a + i + k + 2] Với i = 0, xét sơ đồ sau: o_ _ ∂_ _/ ·Λ ∗ ∗ · · · Λk+1 · Sa+k+1 k+2 · Sa+k+2 · · ·  OO  Q P¯   · · · S · Λk ·  OO  ∗ Sa+k+1 o_ _∂ _/ S d   ∗ ··· · Λk+1 · Sa+k+2 ∗ ∗ Xét ánh xạ hợp thành P ∂DQ : Λk+1 · Sa+k+1 −→ Λk+1 · Sa+k+1 Theo công thức (1.8) (1.9), ta có [q k ([a + 1] − [−2]) − [k][a + k + 1]d∂] Q [k + 1[[a + k + 2] [k][a + k + 1] q k ([a + 1] − [−2]) Id − d∂ = [k + 1][a + k + 2] [k + 1][a + k + 2] P ∂dQ = P Vì d∂ chéo hóa được, với trị riêng [a]−[−2] , [k+1][a+k+1] nên P ∂dQ chéo hóa được, với trị riêng thuộc A0 , A0 := q k [k + 1]([a + 1] − [−2]) q k ([a + k + 1] − [−2]) , [k + 1]2 [a + k + 2] [k + 1]2 [a + k + 2] ∗ ∗ Với i = 1, xét P ∂dQ : KerP1,k+1 · Sa+k+2 −→ KerP1,k+1 · Sa+k+2 , [q k ([a + 2] − [−2]) − q[k][a + k + 2]d∂] Q [k + 1][a + k + 3] q k ([a + 2] − [−2]) q[k][a + k + 2] = PQ − dP Q∂ [k + 1][a + k + 3] [k + 1][a + k + 3] q k ([a + − [−2])[k + 2] q[k][a + k + 2] [k + 1] − [k + 1]QP Id − d[ ]∂ = [2][k + 1] [a + k + 3] [k + 1][a + k + 3] [2][k] q k ([a + 2] − [−2])[k + 2] q[a + k + 2] q[a + k + 2] Id − d∂ + dQP ∂ = [2][k + 1] [a + k + 3] [2][a + k + 3] [2][a + k + 3] P ∂dQ = P ∗ ∗ Ta có d∂ : S1 · Λk+1 · Sa+k+2 −→ S1 · Λk+1 · Sa+k+2 chéo hóa được, với trị riêng q k+1 ([a+1]−[−2]) q[k+1][a+k+2] Mặt khác, dễ thấy d∂ ◦ dQP ∂ = dQP ∂ ◦ d∂, đó, d∂(x) = 0, ∗ ∗ dQP ∂(x) = Vì P ∂dQ : KerP1,k+1 · Sa+k+2 −→ KerP1,k+1 · Sa+k+2 chéo hóa được, với trị riêng thuộc A1 , A1 := q k ([a + 2] − [−2])[k + 2] q k ([a + k + 3] − [−2]) , , [2][k + 1]2 [a + k + 3] [2][k + 1]2 [a + k + 3] q k [2]([a + k + 2] − [−2]) [2][k + 1]2 [a + k + 3] 69 Tổng quát, sơ đồ (3.7), xét ánh xạ hợp thành ∗ ∗ P ∂dQ : KerPi,k+1 · Sa+i+k+1 −→ KerPi,k+1 · Sa+i+k+1 Ta có q k ([a + i + 1] − [−2]) − q[k][a + i + k + 1]d∂ ]Q [k + 1][a + i + k + 2] q k ([a + i + 1] − [−2]) q[k][a + i + k + 1] = PQ − dP Q∂ [k + 1][a + i + k+] [k + 1][a + i + k + 2] q k ([a + i + 1] − [−2])[i + k + 1] = Id [k + 1]2 [i + 1][a + i + k + 2] q[k][a + i + k + 1] [i + k] − [i][k + 1]QP − d[ ]∂ [k + 1][a + i + k + 2] [k][i + 1] q k ([a + i + 1] − [−2])[i + k + 1] q[i + k][a + i + k + 1] = Id − d∂ [k + 1] [i + 1][a + i + k + 2] [k + 1][i + 1][a + i + k + 2] q[i][a + i + k + 1] dQP ∂ + [i + 1][a + i + k + 2] P ∂dQ = P [ Ánh xạ d∂ chéo hóa được, với trị riêng q k ([a+i]−[−2]) ,0 [k+1][a+i+k+1] d∂ ◦ dQP ∂ = dQP ∂ ◦ d∂ Mặt khác, d∂(x) = 0, dễ dàng thấy dQP ∂(x) = Theo ∗ ∗ giả thiết qui nạp, P ∂dQ : KerPi−1,k+1 · Sa+i+k −→ KerPi−1,k+1 · Sa+i+k chéo hóa được, với ∗ ∗ trị riêng thuộc Ai−1 , nên dQP ∂ : KerPi,k+1 ·Sa+i+k+1 −→ KerPi,k+1 ·Sa+i+k+1 chéo hóa ∗ được, với trị riêng thuộc Ai−1 ∪ {0} Vì ánh xạ P ∂dQ : KerPi,k+1 · Sa+i+k+1 −→ ∗ KerPi,k+1 · Sa+i+k+1 sơ đồ chéo hóa được, với tập trị riêng Ai Cho R đối xứng Hecke với song hạng (3, 1) Tập ER đối mô đun đơn đánh số tập phân hoạch λ Vì vậy, với số nguyên (m, n, p, q) thỏa mãn m ≥ n ≥ p ≥ 0, q ≥ 0, p = suy q = 0, ta đặt Im,n,p,q := Iλ , với λ = (m, n, p, 1q ) Theo [16], phức K2 khớp thành phần, ngoại trừ thành phần K3,1 , có đồng điều chiều, ký hiệu đối mơ đun I1,1,1,−1 Để xây dựng biểu diễn bất khả qui GLq (3|1), ứng với số nguyên (m, n, p, q), thỏa mãn điều kiện m ≥ n ≥ p, trước hết ta đặt ⊗q Im,n,p,q := Im+q,n+q,p+q,0 ⊗ I1,1,1,−1 Vì vậy, ta cần xây dựng biểu diễn bất khả qui đánh số Im,n,p,0 , ứng với số nguyên (m, n, p, 0), thỏa mãn điều kiện m ≥ n ≥ p 70 4.2 4.2.1 Xây dựng biểu diễn GLq (3|1) Xây dựng biểu diễn sử dụng phân hoạch Với m ≥ n ≥ p ≥ 0, đặt Im,n,p,0 := Iλ , với λ = (m, n, p) ∗ Với ≥ m ≥ n ≥ p, đặt Im,n,p,0 := I−p,−n,−m,0 Với n = p = 0, đặt Im,0,0,0 := Sm ∗ Với m = n = 0, p < 0, đặt I0,0,p,0 := S−p 4.2.2 Xây dựng biểu diễn sử dụng phức Koszul K Để xây dựng biểu diễn ứng với số nguyên lại, trước hết ta xét phức có Ka , với a = ∗ ∗ Ka=k−l : −→ Λk Sl∗ −→ Λk+1 Sl+1 −→ Λk+2 Sl+2 −→ , ∗ dk,l : Λk Sl∗ −→ Λk+1 Sl+1 Với k ≥ 3, Λk nội xạ xạ ảnh, nên Λk Sl∗ nội xạ xạ ảnh (xem [13]) Ta có Λk Sl∗ = Imdk−1,l−1 ⊕ Imdk,l = I1,1,2−l,k−4 ⊕ I1,1,1−l,k−3 , (4.1) với I1,1,1−l,k−3 := Imdk,l , k ≥ Dễ dàng chứng minh Imdk,l đơn với k ≥ Bằng ⊗k−3 nhân ten xơ với I1,1,1,−1 , ta xây dựng biểu diễn, biểu diễn đánh số số nguyên (m, m, −p, 0) : m ≥ 1, p ≥ Như vậy, ta xây dựng biểu diễn bất khả qui, đánh số số nguyên (m, m, −p, 0) : m, p ≥ 1, ký hiệu Im,m,−p,0 tương ứng Tiếp theo, ta xây dựng biểu diễn đánh số số nguyên (m, 0, −p, 0) với m ≥ 1, p ≥ Với p = 0, đặt Im,0,0,0 := Sm Xét phức d0,m−1 d1,m ∗ ∗ ∗ −→ Sm−1 −→ Λ1 Sm −→ Λ2 Sm+1 −→ Phức khớp, nên ta có ∗ ∗ Λ1 · S m = Imd0,m−1 ⊕ Imd1,m = Sn−1 ⊕ Imd1,m 71 Vì vậy, đặt I1,0,−m,0 := Imd1,m 4.2.3 Xây dựng biểu diễn sử dụng phức Koszul kép Chúng xây dựng biểu diễn đánh số số nguyên (k, 0, −m, 0) : m ≥ 1, ký hiệu tương ứng Ik,0,−m,0 Theo Mệnh đề 4.1.1, tồn Y, cho ∗ ∗ ⊕ Y = Sk−1 · Sm−1 Sk · Sm Đặt Ik,0,−m,0 := Y Vì vậy, ta xây dựng biểu diễn, chúng đánh số số nguyên (k, 0, −m, 0) : k, m ≥ 1, ký hiệu Ik,0,−m,0 Cuối cùng, ta xây dựng biểu diễn đánh số số nguyên (m+t, m, −p, 0) : m, p, t ≥ 1, ký hiệu Im+t,m,−p,0 Theo Mệnh đề 4.1.2, KerPi,k · Sl∗ đẳng cấu với thành phần trực tiếp Si+1 · Imdk−1,l với i, k, l thỏa mãn i + k + a = l, nên tồn đối mô đun Xi+1 , cho ∗ Si+1 · Imdk−1,i+k+a = KerPi,k · Si+k+a ⊕ Xi+1 ⊗k−1 Đặt Ii+1,1,−i−k−a,k−1 := Xi+1 Nhân ten xơ hai vế với I1,1,1,−1 , ta thu Ii+k,k,−a−i−1,0 Đặt m := k, t := i, p := −a − i − 1, xây dựng tập biểu diễn đánh số số nguyên (m + t, m, −p, 0) với m, t, p ≥ • Kết luận Trong chương xây dựng lớp biểu diễn GLq (3|1), biểu diễn đánh số tập số nguyên có dạng (m, n, p, q) : m ≥ n ≥ p Chứng minh lớp biểu diễn xây dựng bất khả qui 72 Kết luận luận án Chuỗi Poincaré đại số toàn phương liên kết với đối xứng Hecke có tử thức đa thức có tính chất thuận nghịch, mẫu thức đa thức có tính chất đối thuận nghịch, đa thức có hệ số nguyên Các biểu diễn bất khả qui nhóm lượng tử liên kết với đối xứng Hecke có song hạng (2, 1) đánh số số nguyên (m, n, p) : m ≥ n Xây dựng tường minh biểu diễn bất khả qui siêu nhóm tuyến tính GL(3|1), nhờ việc sử dụng phức Koszul kép Bước đầu xây dựng lớp biểu diễn bất khả qui siêu nhóm tuyến tính lượng tử GLq (3|1) 73 Các cơng trình liên quan đến luận án N.P Dung and P.H.Hai On the Poincaré Series of Quadratic Algebras Associated to Hecke Symmetries, Int Math Res Noti 2003, No 40, 2193 - 2203 N T P Dung and P.H.Hai Irreducible representations of Quantum Linear Groups of type A1|0 J Alg 2004, No 282, 809-830 3.N T P Dung Double Koszul Complex and Construction of Irreducible Representations of gl(3|1), Proc AMS (to appear) Tài liệu tham khảo [1] A Berele and A Regev Hook Young Diagrams with Applications to Combinatorics and to Representation of Lie Algebras Adv Math 64:118–175, 1987 [2] F.A.Berezin Introduction to superanalysis D Reidel Publishing Company, Volume [3] J.Brundan Kazhdan-Lusztig polynomials and character formulae for the Lie superalgebra gl(m|m) J Amer Math Soc., 16:185-231, 2002 [4] R Dipper and G James Representations of Hecke Algebras of General Linear Groups Proc London Math Soc., 52(3):20–52, 1986 [5] R Dipper and G James Block and Idempotents of Hecke Algebras of General Linear Groups Proc London Math Soc., 54(3):57–82, 1987 [6] N P Dung and P.H.Hai On the Poincaré Series of Quadratic Algbras Associated to Hecke Symmetries Int Math Res Noti., 40, 2193-2203, 2003 [7] N T P Dung and P.H.Hai Irreducible Representation of Quantum Linear Groups of type A1|0 J Alg., 282, 809-830, 2004 [8] N T P Dung Double Koszul Complex and Construction of Irreducible Representations of gl(3|1) Proc AMS (to appear) [9] D.I.Gurevich Algebraic Aspects of the quantum Yang-Baxter equation Leningrad Math.J., 2(4)801-828, 1987 [10] Phung Ho Hai Koszul Property and Poincaré Series of Matrix Bialgebra of Type An J Alg., 192(2):734–748, 1997 [11] Phung Ho Hai Poincaré Series of Quantum Spaces Associated to Hecke Operators Acta Math Vietnam., 24(2):236–246, 1999 74 75 [12] Phung Ho Hai On Matrix Quantum Groups of Type An Int J of Math., 11(9):1115–1146, 2000 [13] Phung Ho Hai Splitting comodules over Hopf algebras and application to representation theory of quantum groups of type A0|0 J of Algebra, 245(1):20–41, 2001 [14] Phung Ho Hai The integral on quantum super groups of type Ar|s Asian J of Math., 5(4):751–770, 2001 [15] Phung Ho Hai On representation theory of matrix quantum groups of type A Vietnam J of Math., 33(3): 357 - 367, 2005 [16] The Homological Determinant of Quantum Groups of type A Proc AMS., 133(7): 1897 - 1905, 2005 [17] V.G.Kac Classification of simple Lie superalgebras Funct Anal Appl., 9:263-265, 1975 [18] V.G.Kac Lie superalgebras Adv Math 26:8-96, 1977 [19] V.G.Kac Character of typical representations of classical Lie superalgebras Comm Alg., 5:889-897, 1977 [20] V.G.Kac Representations of classical Lie superalgebras in Lecture Notes in Math., 676:597626, 1978 [21] Ch Kassel Quantum Groups, volume 155 of Graduate Texts in Mathematics SpringerVerlag, 1995 531p [22] V.V Lyubashenko Hopf Algebras and Vector Symmetries Russion Math Survey, 41(5):153–154, 1986 [23] V.V Lyubashenko and A Sudbery Quantum Super Groups of GL(n|m) Type: Differential Forms, Koszul Complexes and Berezinians Duke Math J., 90:1–62, 1997 [24] I.G Macdonald Symmetric functions and the Hall polynomials Oxford University Press, New York, 1979 (Second edition 1995) [25] Yu.I Manin Quantum Groups and Non-commutative Geometry GRM, Univ de Montreal, 1988 [26] Yu.I Manin Multiparametric Quantum Deformation of the General Linear Supergroups Comm Math Phys., 123:163–175, 1989 76 [27] T.D.Palev, V.N.Tolstoy Finite-Dimension Irreducible Representations of the Quantum Superalgebra Uq [gl(n|1)] Comm Math Phys., 141:549-558, 1991 [28] N.Yu.Reshetikhin, L.A.Takhtadzhyan and L.D.Faddeev Quantization of Lie groups and lis algebras Leningrad Math.J.1,193-225 [29] M.Scheunert The Theory of Lie Superalgebras Lectune notes in Math., Springer- Verlag,1978 [30] M.Scheurt, R.B.Zhang The general linear supergroup and its Hopf superalgebra of regular functions J Alg., 254:44-83, 2002 [31] M.Sweedler Hopf Algebras Benjamin, New York, 1969 [32] A Sudbery Matrix-Element Bialgebras Determined by Quadratic Coordinate Algebras J of Algebra, 158:375–399, 1993 [33] M Takeuchi Matric Bialgebras and Quantum Qroups Israel J of Math., 72:232–251, 1990 [34] M Takeuchi and D Tambara A new one-parameter family of × quantum matrices Hokkaido Math Journal, XXI(3):409–419, 1992 See also Proc Japan Acad., 67, no 8, 267–269 1991 [35] Yucai Su, R.B.Zhang Character and dimension formulae for general linear superalgebra Adv Math., 211:1-33, 2007 ... Khi tốn phân loại biểu diễn nhóm lượng tử giải P.H.Hai [13] Khi m n khác toán phân loại biểu diễn bất khả qui nhóm lượng tử nói chung chưa giải Một khó khăn phạm trù biểu diễn nhóm lượng tử khơng... phân hoạch α, (tương ứng, β) (chi tiết xem [24]) Chương Biểu diễn nhóm lượng tử loại A ứng dụng Nhóm lượng tử loại A hiểu đại số Hopf xây dựng sở đối xứng Hecke Một biểu diễn nhóm lượng tử loại. .. nghiên cứu biểu diễn số nhóm lượng tử loại A Nhóm lượng tử loại A hiểu đại số Hopf, xây dựng từ nghiệm phương trình Yang-Baxter, thỏa mãn hệ thức Hecke điều kiện đóng Cụ thể phân loại biểu diễn bất