Phương trình chứa tham số trong không gian có thứ tự

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sữ PHẠM TP Hồ CHÍ MINH LỜI CÁM ƠN Trinh Văn Bé Ba Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy hướng dẫn, TS TRẦN ĐÌNH THANH, tận tình hướng dẫn trình làm luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy NGUYỄN BÍCH HUY tận tình giúp đỡ, động viên dìu dắt LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC MỞ ĐÀU Lý chọn đề tài Lý thuyết phương trình toán tử không gian có thứ tự đời từ năm 1950 hoàn thiện Chúng tìm ứng dụng hữu ích việc giải toán xuất phát từ vật lý, sinh học, kinh tế, Trong lý thuyết này, lóp phương trình chứa tham số chiếm vị trí quan trọng phần lớn toán xuất phát từ thực tế phụ thuộc vào nhiều tham số đưa đến việc cần thiết phải nghiên cứu tính liên tục tập nghiệm, phụ thuộc nghiệm theo tham số Đó lý chọn đề tài “ phương trình chứa tham số không gian có thứ tự” Mục đích nghiên cứu Phần mở đầu nêu lý chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, đối tuợng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu, ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu đồng thời nêu bố cục luận văn Chương 1: trình bày kiến thức chuẩn bị không gian Banach với thứ Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ • 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh nón Các kiến thức mục xem [3] 1.1.1 Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian Banach thực X • Tập K cz X gọi nón nếu: i) hội tụ K tập đóng, K ^ jớỊ • K nón sinh X = K - K hay Vxe J 3u,v e K :x = u - V • Kí hiệu K* nón liên hợp K định bởi: K' = {feX':f(x)> VJC6Ẩ’} 1.1.4 Mệnh đề 1.1.4 Giả sử " Xn) Định lí 3.1.5 3.1.5 < *„(») < M u(ì-u) c(\-d) với t,s,u e[c,d] Giả sử điều kiện (Hl) thỏa mãn Khi tập s nghiệm dương phương trình (3.8) nhánh liên tục không bị chặn xuất phát từ Như dãy đồng liên tục [c,d] Sử dụng dịnh lí Ascoli kỹ thuật dãy minh đường chéo, ta kết luận tồn tạy dãy |JC j hàm X liên tục Chứng (**(■*)),ỳ- Ị g2(xO)) + C 1 g2 (x(^)) + c—x — 2V J Ảqsq(\-s)q cMq Ằqsq{\-s)q xnt(0-ýr ằ G(t,s)f (x„t(í)),y-x% (s) (s))ds q =sup{ơ2(ỉ/):0 rt( -1) Khi qua giới hạn bất đẳng thức sau suy từ (HI) mệnh đề (3.1.5) B toán tử tuyến tính, B có giá trị riẽng lớn = —Y, giá trị riẽng 0,1),X*0 Từ bất đẳng thức cuối áp dụng định lí 1.3.1 cho toán tử B ta đuợc JC X—>00 ỵ gỉ(x)>m2x, Vxe[0,r] g2(x) r' lim^2^ =ax(mf Với X E s,\\xị — Từ ta có Nh° m Cho m — t a có (3.15) Bây chứng minh (3.16) Xét số £ > đủ nhỏ số k < *Jã~ Để chứng minh (3.15) ta xét số m > *ỊÕQ Ta có Ta chọn r đủ lớn cho lim^2^ < m2Vx>r ơ](x)>Ả:2x Ví e [0,1] BÁX) = J G(t,s)a£ > Ả2(x)k2 J G(t,s)at(s)x(s)ds =Ả2 (x)k2 Bí:(x) Ả2(x)k7 k^r{Be) Do Cho —» 0, k —> -yỊã^ ý lim r(Bt:) = r(B) = \, X^>00 ta có (3.16) chứng minh (2*)' qa + 2N N-2 (s)x(s)ds Phương trình (3.17 ) gọi phương trình logistic, mô tả số tượng y học sinh học Ta sử dụng kí hiệu thông thường cho không gian Sobolev: H0 = WQ2, H~] = (H0)*, chuẩn Hữ Lp kí hiệu tương ứng là: III// ’|j|p ỉi) Vói số t> tồn hàm (Ọt E ũ (íl) cho swp\g(x,u)\[...]... nên XA có bất động của ánh xạ tăng ( xem phần phụ lục) nẽn ẢA có điểm bất động trong đoạn Chương 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG 3.1 Nghiệm tuần hoàn của một lóp phương trình vi phân ô tô nôm cấp hai Xét bài toán biên phụ thuộc tham số sau: x"+Ẳ2f[x,ì-x'] = 0, trong( 0,1) Ả x(0) = x(l) = 0 (t\ Khi đó hàm y(t) = X — sẻ là nghiệm của (3.2) với chu kỳ 2Ẳ x(í) = JG{t,s) f[Ằ2x{s),Ằx\s)'\ds := A o F(co,x) 0 Trong. .. nhánh của phương trình X = fụl,x)} Từ định lỉ 2.3.4 ta thấy x+ chứa trong họp của Xn(M + x K) và tập họp e M+ X {0}\Ả 1 là giá trị riêng dương của T0 ứng với một véc tơ riêng Trong đó 2.3.5 K := K \ , R+ := M \ |0j Định lí 2.3.5 và // 1 không phải là một giá trị riêng dương của T Q ứng với một vec tơ riêng dương Đật C1:=Cu([0,íu]x{ aL(x), L(ax) > ứII.4*1 với xe Ky, (b) L(F(Ẳ,x)) > bĂL(x) - c với xeK, (c) Mỗi nghiệm (t,Ẫ,x) e [ 0, l ] x [ 0,oo) X K củaphưong trình x = tA° F(Ả,x) + (\-t)bẢA(x) (2- 11) thỏa mãn bất đẳng thức sau: ||x|| < /r(Ắ,|jc|| ) (2- 12) trong đó hàm h(x,t) tăng theo biến thứ hai và lim h(Ẳ, -— -) = 0 13) (2- ab/1 -1 liên tục không bị... chặn trong X, xuất phát từ 6 Chứng minh (2.16) c Từ bất đẳng thức cuối và (2.13) và inf Ị||x||: X e K n ổơ| > 0 suy ra rằng phuơng trình (2.11) không có nghiệm trên K n ỔG với t E [0,1] và Ả đủ lớn Do đó ánh x = bẢAx + su,xeKr\dG xạ (2.17) s < 0 Thật vậy, từ (2.11) không có nghiệm trên K n ỔG với t = 0 thì từ (2.17) dẫn đến: s ^ 0 Bằng cách tác động L lên cả hai vế của (2.17) và và lý luận nhu trong. .. một số Ẫ£ e (0,PE] và một phần tử XE E õư thỏa mãn xs=/(^,xs) + £Ẳc\\xcfe Suy ra tồn tại một số dương P(U) thỏa mãn PE < P(U) với mọi £ > 0 Do đó khi cho £ —^ 0, do f hoàn toàn liên tục nên suy ra rằng 3) Giả sử A có ỉt nhất hai giả trị riêng, thì tập các giả trị riêng của A là một khoảng trong các trường họp sau: a) K là nón chính qui b) K là nón chuẩn, A compact Chứng minh 1 A có trong K \ ịỡ j không. .. thiết (H 0) như sau: Cho (X,K) là không gian Banach có thứ tự và /: M+ X X —» X là ánh xạ hoàn toàn liên tục thỏa : /(.,£) = và m.) = 6 Tồn tại một toán tử tuyến tính T0 E L(K — K , X ) và một ánh g0:R+x (Hữ) xạ K ^ K với D*gữ{.,6) = 6 thỏa f ( A , x ) = ẲT0x + g ồ ( Ấ , x ) , ( Ấ , x ) Sau đây chủng ta đặt: I+ :=c/(ZfXẺ+xẨ')) và gọi tập này là tập nghiệm dưong của phương trình X = f ( Ẫ , x ) Nói cách... là ánh xạ tăng nên Với mỗi n thỏa Ầ tn>b, từ điều kiện 2(a) và (2.10) ta có có: xn > g(bu) > abu ta g(Ảnxn)> Từ bất đẳng thức này và kết hợp^ với bất đẳng thức thứ nhất trong (2.10) cho ta g(Àntnu) (2.10) ằ g(Ầnabu) với số nguyên n thỏa mãn Ăntn < b, từ điều kiện 2(a) và (2.10) ta có mỗi tập bị chặn thành một tập bị chặn và toán tử Ả : Y — » X tuyến tính compact thỏa Ả(Ky) c= K 2.2.3 Định lí 2.2.3... (/(//,.),Ka^j = 1 nếu D^f{ju,6) không có vec tơ riêng tương ứng với giá trị riêng lớn hơn 1.(với Kơ := ơB n K, B là quả cầu mở đơn vị) ứng với một véc tơ riêng dương Khi đó jU0 1 là điểm phân nhánh duy nhất Hon nữa, tập nghiệm dưong x+ chứa một tập con c không bị chặn thỏa : cn(Jí.x{ỡ})=(Aĩ\ớ) 2.3.7 Hệ quả 2.3.7 Cho giả thiết ( H ữ ) được thỏa mãn và giả sử rằng K có phần trong khác rong và Tữ dưong mạnh... phân nhảnh duy nhất Hon nữa, tâp nghiêm dưong chứa rỢ0) mỏt tâp con liên thông không bi chẵn xuất phát từ (—-—, 6) '•(To) 2.3.8 Định lí 2.3.8 Giả sử có các giả thiết của định lỉ 2.3.5 và ton tại ánh xạ tăng g:K —> K Khi đó fE thỏa mãn giả thiết (H0) với Tt =T và g£(Ả,x) := g(Ẫ,x) + PE, hơn nữa nếu... Ã0 E M+ là điểm phân nhánh Từ đây về sau ta kí hiệu Z)2+/ là đạo hàm riêng bên phải ứng với biến thứ hai 2.3.3 Mệnh đề 2.3.3 Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón Kvà f: M + X K —» K là ánh xạ hoàn toàn liên tục thỏa mãn f (.,9) = 6 Giả sử Ã0 E M+ là một điêm y, := X,với -1eST S+:=ôB(B,l)nK Ta có y,-D*f{ị,,8)yj =[/('Vx,)-/0Vx,)]||xJ 1 +[/W).*;)-£ìf(\’0)xj [ i d E - D ỉ f ( Ă 0> ... compact tương đối, K nón chuẩn Chương PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ 2.1 Phương trình tuyến tính chứa tham số 2.1.1 Định nghĩa 2.1.1 Cho không gian Banach X có thứ tự sinh nón K Một ánh xạ tuyến tính... 1: trình bày kiến thức chuẩn bị không gian Banach với thứ Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ • 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh nón Các kiến thức mục xem [3] 1.1.1 Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian. .. thuyết phương trình toán tử không gian có thứ tự đời từ năm 1950 hoàn thiện Chúng tìm ứng dụng hữu ích việc giải toán xuất phát từ vật lý, sinh học, kinh tế, Trong lý thuyết này, lóp phương trình chứa