Đường thẳng trong tọa độ mặt phẳng

“Đường thẳng” là một thuật ngữ được nói tới thường xuyên trong Toán học, có rất nhiều bài toán đa dạng và phong phú liên quan đến đường thẳng và có nhiều cách giải khác nhau như: phương

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận, em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Bùi Văn Bình đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong khoa Giáo dục Tiểu học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp em hoàn thành khóa luận này

Qua đây em cũng xin cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã ở bên động viên, giúp đỡ trong quá trình thực hiện khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Lê Thị Hồng Phấn

LỜI CAM ĐOAN

Sau một thời gian nghiên cứu và thực hiện, khóa luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Bùi Văn Bình Trong khi thực hiện khóa luận tôi đã sử dụng và tham khảo các kết quả của các nhà khoa học với lòng

biết ơn và trân trọng Tôi xin cam đoan khóa luận “Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ” là kết quả nghiên cứu của riêng tôi

Các kết quả trong khóa luận này không trùng lặp với bất kì kết quả nào khác và chưa từng được ai công bố trước đây

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Lê Thị Hồng Phấn

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT CHUNG 3

§1 Khái quát chung về hệ trục tọa độ trong mặt phẳng 3

§2 Phương trình tổng quát của đường thẳng 4

1 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 4

2 Phương trình tổng quát của đường thẳng 4

3 Phương trình đường thẳng theo hệ số góc 5

4 Vị trí tương đối của hai đường thẳng 6

5 Sự đối xứng 7

§3 Phương trình tham số của đường thẳng 9

1 Phương trình tham số của đường thẳng 9

2 Vectơ chỉ phương của đường thẳng 9

§4 Khoảng cách và góc 10

1 Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng 10

2 Góc giữa hai đường thẳng 12

CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO 14

§1 Một số dạng bài tập cơ bản về phương trình đường thẳng 14

§2 Một số dạng bài tập cơ bản về vị trí tương đối của hai đường thẳng 19

§3 Một số dạng bài tập cơ bản về khoảng cách và góc 22

§4 Một số bài tập tổng hợp và nâng cao 28

KẾT LUẬN 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là phân môn có tính hệ thống chặt chẽ, tính logic và trừu tượng hóa cao hơn so với các phân môn khác của Toán học Có thể nói Hình học là phân môn thú vị nhưng tương đối khó với nhiều học sinh

“Đường thẳng” là một thuật ngữ được nói tới thường xuyên trong Toán học, có rất nhiều bài toán đa dạng và phong phú liên quan đến đường thẳng và

có nhiều cách giải khác nhau như: phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ, Tuy nhiên khi giải bài toán về đường thẳng bằng phương pháp tọa độ thì học sinh sẽ thấy được quan hệ giữa đại số và hình học, học sinh có thể viết được phương trình đường thẳng từ đó dễ dàng thấy được các tính chất và quan hệ giữa các đường thẳng Ngoài ra học sinh

có thể vận dụng các biểu thức tọa độ vào việc tính khoảng cách và tính góc cũng rất đơn giản Từ đó phát triển tư duy toàn diện cho học sinh khi đứng trước một bài toán, hình thành cho các em tư duy đúng đắn và phù hợp

Chính vì vậy bắt nguồn từ lòng say mê của bản thân và được sự giúp đỡ

tận tình của thầy giáo Bùi Văn Bình em đã chọn đề tài “Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ” làm khóa luận đại học của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Qua việc tổng kết lí thuyết, các dạng toán và các ví dụ tham khảo mẫu, sẽ giúp các em hiểu rõ và nắm chắc hơn về các kiến thức liên quan đến đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ và có thể giải tốt tất cả các bài toán ở các dạng khác nhau

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu đề tài

- Nghiên cứu cơ sở lí thuyết về đường trong mặt phẳng tọa độ

- Hệ thống các dạng bài tập về đường thẳng trong măt phẳng tọa độ

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tóm tắt một số kiến thức cơ bản có liên quan đến phương trình đường thẳng mà học sinh đã học

- Thông qua các bài tập ở một số dạng toán cơ bản để thấy được tầm quan trọng của việc giải các bài toán liên quan đến đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ ở phổ thông

- Hệ thống các bài tập tổng hợp và nâng cao liên quan đến đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ để các em có cái nhìn tổng quát hơn từ đó giúp các em có thể giải được nhiều dạng bài tập khác nhau

5 Các phương pháp chính

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu lý luận

- Phương pháp quan sát

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

6 Cấu trúc khóa luận

Phần 1: Lời nói đầu

Phần 2: Nội dung

Chương 1: Lý thuyết chung

Chương 2: Các dạng bài tập cơ bản và nâng cao

Phần 3: Kết luận

NỘI DUNG CHƯƠNG 1

Hệ hai trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac

vuông góc Oxy hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxy

- Trục x’Ox gọi là trục hoành

- Trục y’Oy gọi là trục tung

- Điểm O gọi là gốc của hệ tọa độ

Tọa độ của vectơ đối với hệ tọa độ

Định nghĩa: Cho hệ tọa độ Oxy và một vectơ tùy ý v

(x; y) Số x được gọi là hoành độ, số y được

gọi là tung độ của vectơ v

Các tính chất:

Cho hệ tọa độ Oxy , nếu có hai vectơ 1( ;1 1)

2 Tọa độ của điểm đối với hệ tọa độ

OM xi y j thì cặp (x; y) được gọi là tọa độ của

điểm M, kí hiệu là M(x; y)

Số x được gọi là hoành độ, số y được gọi là tung độ của điểm M

Tính chất: Cho hệ tọa độ Oxy, với hai điểm M1(x1; y1), M2(x2; y2) thì:

§2 Phương trình tổng quát của đường thẳng

1 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Định nghĩa: Vectơ n0, có giá vuông góc với đường thẳng ∆ gọi là

vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆

- Hai đường thẳng song song với nhau cùng chung vectơ pháp tuyến

2 Phương trình tổng quát của đường thẳng

- Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: ax + by + c = 0, )

 Đặc biệt:

Khi b = 0 thì đường thẳng ax + c = 0 song song hoặc trùng với Oy Khi a = 0 thì đường thẳng by + c = 0 song song hoặc trùng với Ox Khi c = 0 thì đường thẳng ax + by = 0 đi qua gốc tọa độ O(0; 0)

Chú ý

- Phương trình đường thẳng đi qua một điểm Mx0; y0 và vectơ pháp

tuyến n = (a; b) là a(x - x0) + b(y - y0 ) = 0

- Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A(a; 0), B(0;b)

có dạng x y 1

a b là phương trình theo đoạn chắn

3 Phương trình đường thẳng theo hệ số góc

Định nghĩa:

Gọi  là góc tạo bởi chiều dương của trục Ox và đường thẳng ∆ (góc xuất phát từ chiều dương trục Ox quay theo một chiều nhất định đến gặp đường thẳng ∆ lần đầu tiên), ta định nghĩa k tan là hệ số góc của đường thẳng ∆

Theo định nghĩa nêu trên nếu ∆ song song hoặc trùng với Ox thì không tồn tại hệ số góc của đường thẳng ∆

Phương trình đường thẳng qua một điểm và có hệ số góc:

Phương trình đường thẳng đi qua M x y 0; 0và có hệ số góc k có dạng:

 , với 0

a 

Ngược lại, nếu d có hệ số góc k thì d có một vectơ chỉ phương là

- Khi sử dụng hệ số góc để viết phương trình một đường thẳng ta cần

phải xét hai trường hợp: đường thẳng đó vuông góc với Ox và đường thẳng

đó không vuông góc với Ox

- Nếu phương trình đường thẳng d: xx0 yy0 với 0

4 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1: a1xb1yc1 0 và d2: a2xb2yc2 0

c a

a b

  Khi đó toạ độ giao điểm là:

x

y

D x D D y D

- Điểm M’ đối xứng của M qua đường thẳng d

 Cách 1: Viết phương trình đường thẳng d’ qua M và vuông góc với d,

tìm giao điểm H của d và d’, do H là trung điểm của MM’, từ đó suy ra toạ độ

của M’

 Cách 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d’ qua M và

vuông góc với d, xác định tham số tH của giao điểm H giữa d và d’, do ' 2

MM  MH

 

nên tM = 2tH, từ đó suy ra toạ độ M’

 Cách 3: Lấy một điểm H có toạ độ phụ thuộc tham số trên đường

d, diễn tả điều kiện MH a   d 0

, suy ra toạ độ điểm H, từ đó tính toạ độ của điểm M’

- Đường thẳng d’ đối xứng của đường thẳng d qua điểm M

 Cách 1: Lấy hai điểm N, K có toạ độ tùy ý trên đường thẳng d, tìm

toạ độ hai điểm đối xứng N’ và K’ của chúng qua M, đường thẳng d’ chính là đường thẳng đi qua hai điểm N’ và K’

 Cách 2: Lấy điểm N có toạ độ tùy ý trên đường thẳng d, tìm toạ độ

điểm đối xứng của N qua M, đường thẳng d’ chính là đường thẳng qua N’ và song song với d

 Cách 3: Viết dạng phương trình đường thẳng d’: ax + by + m = 0

song song với d: ax + by + c = 0, sau đó diễn tả điều kiện

d M d d M d để tính m, suy ra kết quả

- Đường thẳng d’ đối xứng của đường thẳng d qua đường thẳng 

 Cách giải: Tìm giao điểm I của d và  , lấy M có toạ độ tùy ý trên d với M I, tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua  , đường thẳng d’ chính

là đường thẳng qua hai điểm I và M’

Đặc biệt: Khi d và  song song nhau, thì đường thẳng d’ là đường

thẳng qua M’ và song song với d

§3 Phương trình tham số của đường thẳng

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ n0có giá song song hoặc trùng với đường thẳng ∆ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆

2 Phương trình tham số của đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng đi qua điểm M(x0; y0) và nhận vec tơ (a; b) làm vectơ chỉ

phương có phương trình tham số

at x x

0

0

- Phương trình chính tắc của đường thẳng: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng đi qua điểm M(x0 ; y0) và nhận vectơ u (a; b ) (a và b ≠0)

làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc: x x0 y y0

Chú ý

- Từ phương trình tham số nếu ta sử dụng phương pháp cộng đại số để khử mất tham số t thì ta được phương trình tổng quát

- Ngược lại, từ phương trình tổng quát, ta chọn một điểm trên đường thẳng và chỉ ra vectơ chỉ phương thì có thể lập được phương trình tham số của đường thẳng đó

- Từ phương trình chính tắc, ta nhân chéo hai vế và rút gọn thì được phương trình tổng quát

mà hai đường thẳng này song song nhau hay cắt nhau hay trùng nhau

- - Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt Ax1; y1,

1 Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm M(x0; y0) tới đường thẳng ∆ : ax + by+c =0 được tính theo công thức:

- Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng

Cho hai điểm M(xM; yM) và N(xN; yN) và đường thẳng ∆: ax + by+c =0

Khi đó: Đặt f=(axM + byM+c )( axN+ byN+c) thì:

 M và N nằm cùng phía với ∆  f>0

 M và N nằm khác phía với ∆  f<0

- Phương trình đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng

Cho hai đường thẳng cắt nhau: d1: a1x +b1y + c1 =0; d2: a2x +b2y + c2

=0 Gọi ∆ là phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi 2 đường thẳng này, ta có:

+ Để phân biệt được phương trình phân giác của góc nhọn và góc tù ta

có nhiều cách thực hiện như sau:

 Xác định dấu của từng vùng mà hai đường thẳng chia mặt phẳng toạ

độ, từ đó biết dấu của các vùng chứa phân giác góc nhọn và góc tù, suy ra phương trình của chúng

nhọn (hay tù) của góc tạo bởi d1 và d2

 Lấy một điểm N có toạ độ đặc biệt trên d1, tính d1d N ,1 và

 Lập phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh AB và AC

 Tìm phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này

 Xét một trong hai kết quả, ví dụ như  : f(x; y) = A’x + B’y + C’ =

 Tính toạ độ hai vectơ  AB AC, ,

từ đó tính tọa độ hai vectơ đơn vị của

 Tương tự ba AB a AC

  

là vectơ chỉ phương của đường phân giác ngoài của góc A

2 Góc giữa hai đường thẳng

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng là góc nhỏ nhất trong 4 góc tạo nên bởi 2 đường thẳng đấy

Giả sử đường thẳng d: a1x + b1y + c1 = 0, đường thẳng d’: a2x + b2y + c2 = 0 Gọi là góc giữa 2 đường thẳng d và d’, khi đó ta có công thức:

CHƯƠNG 2 CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

§1 Một số dạng bài tập cơ bản về phương trình đường thẳng

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng  đi qua M x y và có một ( ;0 0)vectơ chỉ phương u( ;u u1 2)

Phương pháp chung

- Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Kết hợp giả thiết  đi qua M(x0; y0)

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng  trong các trường hợp sau:

a Đi qua M(1; 2) và có một vectơ chỉ phương u  (2; 1)

t x

d : 1 2

d Đi qua M(2; 3) và d : 2x5y 30

Giải

a) Đi qua M (1 ; -2) và có một vectơ chỉ phương là u  (2; 1)

Vì đường thẳng  đi qua M (1; -2) và có vectơ chỉ phương là (2; 1)

t x

2

21

b) Đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; 4)

Vì  đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; 4) nên  có vectơ chỉ phương )

t x

22

21

t x

d : 1 2//

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là : u d (2; 1)

Vì  song song với d nên  nhận vectơ ud (2;1)

làm vectơ chỉ phương Hay u (2;1)

t x

2

23

Vì  vuông góc với đường thẳng d nên  nhận vectơ pháp tuyến của d

là vectơ chỉ phương Vì vậy vectơ chỉ phương của  là u (2;5)

 đi qua M(2 ; -3) nên phương trình đường thẳng  là:



Phương pháp chung

- Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng

- Kết hợp giả thiết  đi qua M(x0; y0)

Ví dụ: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  trong các trường hợp sau:

a Đi qua M(1; 2) và có vectơ pháp tuyến n  (2; 3)

a) Đi qua M(1; 2) và có một vectơ pháp tuyến là n  (2; 3)

Vì đường thẳng  đi qua M (1; 2) và có vectơ pháp tuyến là (2; 3)

n  

nên phương trình tổng quát của đường thẳng là:

2(x – 1) – 3(y – 2) = 0  2x – 3y + 4 = 0 b) Đi qua A(3; 2) và // d : 2x – y – 1 = 0

Đường thẳng d : 2x – y – 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là nd ( 2; 1)

Đường thẳng  song song với đường thẳng d nên  nhận nd ( 2; 1)làm vectơ pháp tuyến Vì  đi qua A(3; 2) và có vectơ pháp tuyến là

- Kết hợp giả thiết  đi qua M(x0; y0)

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng  trong các trường hợp sau:

a Đi qua M ( 1; 2)và có hệ số góc k 3

b Đi qua A(3; 2) và tạo với chiều dương trục Oxgóc 0

45 Giải

3x – y + 5=0 b) Đi qua A(3; 2) và tạo với chiều dương trục Ox góc 450

Giả sử đường thẳng  có hệ số góc k, như vậy k được cho bởi công thức k = tan  với 0

45



  k = tan 450  k = 1 Đường thẳng  hệ số góc k = 1 vậy thì vectơ pháp tuyến của  là )

Ví dụ: Cho đường thẳng d có phương trình x – y = 0 và điểm M(2; 1) a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm M

b) Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d

1 4

1 2

x y

Phương trình đường thẳng d có dạng:

1(x - 3) – 1(y – 1) = 0 hay x – y – 2 = 0 b) Xét đường thẳng ∆ có phương trình: x + y + m = 0 Dễ thấy ∆  d

M ∆ 2 +1 + m = 0 m = -3 Vậy phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d là x + y -3 = 0 Gọi M’ là hình chiếu của M trên d Tọa độ của M’ là nghiệm của hệ:

trong các trường hợp sau:

Đi qua A(2; 3) và n

(-1; 2), đi qua B(-1; 4) và n

(0; 1)

a) Đi qua A và song song với 

b) Đi qua A và vuông góc với 

Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A, B trong các trường hợp sau:

b) Tìm hình chiếu của M trên đường thẳng d

Lập hệ phương trình tạo bởi d1 và d2 theo hai ẩn x, y ta được:

2

1 1

1

a

c y b x a

c y b x

(I)

- Nếu hệ (I) vô nghiệm thì d1 // d2

- Nếu hệ (I) có vô số nghiệm thì d1 d2

- Nếu hệ (I) có nghiệm duy nhất thì d1 d2

Cách 2

- Nếu

2 1 2

1

b

b a

a

 thì hai đường thẳng cắt nhau

- Nếu

2 1 2 1 2

1

c

c b

b a

1

c

c b

b a

a



 thì hai đường thẳng trùng nhau

Ví dụ: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau và tìm tọa độ giao điểm trong các trường hợp cắt nhau:

02

y x

y x

1

x y

Vậy hai đường thẳng này cắt nhau tại 1 điểm, tọa độ giao điểm là (x; y) = (1 ; 1)

t x

y x

22

41:

01042

1

Từ phương trình đường thẳng 2 ta có x = (1 – 4t) và y = (2 + 2t) thay vào 1, ta được : 2(1 – 4t) + 4(2 + 2t) = 0 10 – 8t + 8t = 0 10 = 0 (vô lí)

 hai đường thẳng này không có điểm chung

Vậy hai đường thẳng  và1 2 song song với nhau

t x

y x

46

56:

012108

1

Đường thẳng 2 có vectơ chỉ phương là u  ( 5; 4)

nên 2có vectơ pháp tuyến là n (4;5)

.2 đi qua điểm có tọa độ (-6 ; 6) nên 2 có phương trình tổng quát là: 4(x + 6) + 5(y – 6) = 0  4x + 5y – 6 = 0

Số giao điểm của  và1 2 chính là số nghiệm của hệ phương trình:

c) hai đường thẳng trùng nhau

Bài 2: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp tọa độ sau

Đáp số: a) hai đường thẳng trùng nhau,

b) hai đường thẳng cắt nhau tại (0 ; -13) c) hai đường thẳng song song nhau

§3 Một số dạng bài tập cơ bản về khoảng cách và góc

Dạng 1 : Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng