MATHVN.COM - www.mathvn.com PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2009 I Đường thẳng Phương trình đường thẳng a) Các định nghĩa G G • Vectơ n ( A; B ) khác vectơ có giá vuông góc với đường thẳng ( d ) gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng ( d ) G G • Vectơ u ( a; b ) khác vectơ có giá song song trùng với ( d ) gọi vectơ phương đường thẳng ( d ) Nếu a ≠ k = b gọi hệ số góc đường thẳng ( d ) a • Chú ý: - Các vectơ pháp tuyến (vectơ phương) đường thẳng phương Nếu G G n ( A; B ) vectơ pháp tuyến ( d ) k n = ( kA; kB ) vectơ pháp tuyến ( d ) - Vectơ pháp tuyến vectơ phương đường thẳng vuông góc Nếu G G n ( A; B ) vectơ pháp tuyến u ( B; − A ) vectơ phương b) Các dạng phương trình • Phương trình tổng quát đường thẳng ( d ) qua điểm M ( x0 ; y0 ) có vectơ pháp tuyến G n ( A; B ) là: (d ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = ⇔ Ax + By + C = ( C = − Ax0 − By0 ) Nhận xét: Phương trình đường thẳng ( d1 ) song song với ( d ) có dạng: ( d1 ) : Ax + By + C ′ = Phương trình đường thẳng ( d ) vuông góc với ( d ) có dạng ( d ) : Bx − Ay + C ′′ = Phương trình đường thẳng có hệ số góc k qua điểm A ( x0 ; y ) là: y = k ( x − x0 ) + y0 x a y = (phương trình đoạn chắn) b G Phương trình tham số đường thẳng ( d ) qua N ( x0 ; y0 ) có vectơ phương u ( a; b ) Phương trình đường thẳng qua A ( a;0 ) , B ( 0; b ) là: ( AB ) : + • là: ⎧ x = x0 + at ⎩ y = y0 + bt (d ) : ⎨ ( t tham số) MATHVN.COM - www.mathvn.com G • Phương trình tắc đường thẳng ( d ) qua N ( x0 ; y0 ) có vectơ phương u ( a; b ) ( a, b ≠ ) là: x − x0 y − y0 = a b c) Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ( d1 ) : A1 x + B1 y + C1 = ( d ) : A2 x + B2 y + C2 = Khi số giao điểm ⎧ A1 x + B1 y + C1 = ⎩ A2 x + B2 y + C2 = ( d1 ) ( d ) số nghiệm hệ phương trình: ( I ) : ⎨ Trong trường hợp ( d1 ) ( d ) cắt nghiệm ( I ) tọa độ giao điểm Khoảng cách góc a) Khoảng cách • Cho đường thẳng ( Δ ) : Ax + By + C = điểm A ( x0 ; y0 ) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ( d ) là: d A/ ( Δ ) = • Ax0 + By0 + C A2 + B Cho hai đường thẳng ( Δ1 ) : A1 x + B1 y + C = ( Δ ) : A2 x + B2 y + C2 = cắt A Khi phương trình hai đường phân giác góc A là: ( d1 ) : A1 x + B1 y + C1 A12 + B12 + A2 x + B2 y + C2 A22 + B22 = ( d ) : A1 x + B1 y + C1 A12 + B12 − A2 x + B2 y + C2 A22 + B22 =0 b) Góc Hai đường thẳng ( d1 ) ( d ) cắt A tạo góc, góc nhỏ góc gọi góc hai đường thẳng ( d1 ) ( d ) Nếu d1 // d góc hai thẳng 0o JG JJG Gọi α góc ( d1 ) ( d ) , β góc hai vectơ phương u1 ( a1 ; b1 ) u2 ( a2 ; b2 ) Khi đó: Nếu 0o ≤ β ≤ 90o α = β Nếu 90o < β ≤ 180o α = 180o − β JG JJG u1.u2 a a +bb Trong β tính sau: cos β = JG JJG = 22 22 u1 u2 a1 + b1 a2 + b2 Khi cos α = cos β = a1a2 + b1b2 a12 + b12 a22 + b22 Các kết thay vectơ phương vectơ pháp tuyến Trường hợp đặc biệt: Phương trình đường thẳng qua điểm A ( x0 ; y0 ) hợp với Ox góc α có hệ số góc k = tan α có phương trình là: y = k ( x − x0 ) + y0 Bài tập đường thẳng MATHVN.COM - www.mathvn.com a) Bài tập Bài (Phương trình đường thẳng tam giác) Cho tam giác ABC có A(1;2), B(-3; 4) C(2;0) a) Viết phương trình đường trung tuyến AM b) Viết phương trình đường cao BK c) Viết phương trình đường trung trực AB Bài (Tìm tọa độ điểm đặc biệt tam giác) Cho tam giác ABC có A(0;1), B(-2; 3) C(2;0) a) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC b) Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c) Viết phương trình đường thẳng qua IH chứng minh IH qua trọng tâm G tam giác ABC Bài (Tìm điểm đối xứng điểm qua đường thẳng) Cho điểm A(1;2) B(-3; 3) đường thẳng ( d ) : x − y = a) Tìm tọa độ hình chiếu A ( d ) b) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua d c) Tìm giao điểm ( BD ) ( d ) Bài (Tìm điểm đường thẳng cách điểm khác khoảng cho trước) ⎧ x = −2 − 2t điểm M(3;1) ⎩ y = + 2t Cho đường thẳng Δ : ⎨ a) Tìm Δ điểm A cho AM = 13 b) Tìm Δ điểm B cho MB ngắn Bài (Viết phương trình đường thẳng qua điểm cách điểm khoảng cho trước) Cho điểm A (1;1) điểm B ( −2; ) Viết phương trình đường thẳng ( d ) qua A cách B khoảng Bài (Viết phương trình đường thẳng hợp với đường thẳng cho trước góc) Cho đường thẳng ( Δ ) x + y − = Viết phương trình đường thẳng ( d ) hợp với ( Δ ) góc b) 450 c) 600 d) 300 a) 900 b) Bài tập nâng cao Bài (B – 2004) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A (1;1) B ( 4; −3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x − y − = cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB Bài (A – 2006) Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng: ( d1 ) : x + y + = ( d2 ) : x − y − = ( d3 ) : x − y = MATHVN.COM - www.mathvn.com Tìm tọa độ điểm M ( d3 ) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ( d1 ) hai lần khoảng cách từ M đến ( d ) Bài (D – 2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A ( −1;0 ) ; B ( 4;0 ) ; C ( 0; m ) với m ≠ Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông G ⎛1 ⎝2 ⎞ ⎠ Bài Trong mặt phẳng tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ⎜ ;0 ⎟ , phương trình đường thẳng AB x − y + = AB = 2AD Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hoành độ âm Bài Cho đường thẳng ( d ) : x − y + = điểm A ( −2;0 ) Tìm điểm B trục hoành điểm C đường thẳng d cho tam giác ABC vuông cân C Bài (A – 2002) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc cho tam giác ABC vuông A, phương trình đường thẳng BC x − y − = , đỉnh A B thuộc trục hoành bán kính đường tròn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Bài (B – 2003) Trong mặt phẳng tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có n = 90o Biết M (1; −1) trung điểm cạnh BC G ⎛ ;0 ⎞ trọng tâm tam giác AB = AC , BAC ⎜ ⎟ ⎝3 ⎠ ABC Tìm tọa độ đỉnh A, B, C ( ) Bài (A – 2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A ( 2;0 ) B − 3; −1 Tìm tọa độ trực tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Bài ( A – 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ( d1 ) : x − y = ( d2 ) : x + y − = Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc d1 , đỉnh C thuộc d đỉnh B, D thuộc trục hoành Bài 11 (B – 2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xác định tọa độ điểm C tam giác ABC biết hình chiếu vuông góc điểm C đường thẳng AB H ( −1; −1) Đường phân giác góc A có phương trình x − y + = đường cao kẻ từ B có phương trình x + y − = Bài 10 ( B – 2007) Trong mặt phẳng tọa độ với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A ( 2; ) đường thẳng: ( d1 ) : x + y − = ( d2 ) : x + y − = MATHVN.COM - www.mathvn.com Tìm tọa độ điểm B C thuộc đường thẳng ( d1 ) ( d ) cho tam giác ABC vuông cân A Bài 12 Cho hai đường thẳng d1 : ⎧x = + t x −3 y = d : ⎨ điểm M(1,2) −1 ⎩ y = −2t Tìm d1 điểm A d điểm B cho A, B đối xứng qua M Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông C Khoảng cách từ trọng tâm G đến trục hoành tọa độ hai đỉnh A ( −2;0 ) , B ( 2;0 ) Tìm tọa độ đỉnh C Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A ( 0; ) , B ( 5;0 ) đường thẳng ( d ) : x − y + = Lập phương trình hai đường thẳng qua A, B nhận đường thẳng ( d ) làm đường phân giác Bài 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( d ) : x − y + = điểm A ( 0; ) Tìm ( d ) hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông B AB = BC Bài 16 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ( d1 ) : x − y − = ( d ) : x + 12 y + = cắt điểm M Lập phương trình đường thẳng qua K (1;1) cắt ( d1 ) , ( d ) tai hai điểm A, B cho tam giác MAB cân M Bài 17 Cho đường thẳng ( d1 ) : x + y = 0, ( d ) : x + y = 0, ( d3 ) : x − y + = Viết phương trình cạnh tam giác ABC ; biết A giao điểm ( d1 ) ( d ) ; B, C ∈ ( d3 ) tam giác BAC vuông cân A Bài 18 – 20 Các cực trị Bài 18 Cho đường thẳng ( d ) : x + y + = hai điểm A ( 2;3) , B ( 2;0 ) Tìm điểm M đường thẳng ( d ) cho: a) MA + MB nhỏ b) MA − MB lớn Bài 19 Cho đường thẳng ( d ) : x + y − = hai điểm A ( 2;0 ) , B ( −2;6 ) Tìm điểm N đường thẳng ( d ) cho: a) NA + NB nhỏ b) NA − NB lớn Bài 20 Bài Cho đường thẳng ( d ) : x + y + = hai điểm A ( 2;3) , B ( −4;1) Tìm điểm M JJJG JJJG đường thẳng ( d ) cho: a) MA + MB nhỏ b) MA2 + 3MB nhỏ b) Chuyên đề - Xác định yếu tố tam giác biết số yếu tố cho trước Dạng 1: Biết tọa độ đỉnh phương trình đường tính chất Cho tam giác ABC có điểm A(2;2), hai đường thẳng d1 : x − y − = , d : x + y − = Sử dụng giả thiết để giải toán sau MATHVN.COM - www.mathvn.com Biết tọa đỉnh phương trình hai đường cao Cho d1, d2 đường cao BH CK a) Viết phương trình cạnh AB, AC b) Viết phương trình cạnh BC, đường cao lại Biết tọa độ đỉnh phương trình hai đường trung tuyến Cho d1, d2 đường trung tuyến BM CN a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC, tìm điểm D đối xứng A qua G b) Viết phương trình đường thẳng qua D song song với BM c) Viết phương trình đường thẳng qua D song song với CN d) Tìm tọa độ B, C Biết tọa độ đỉnh phương trình hai đường phân giác Cho d1, d2 đường phân giác góc B C a) Tìm tọa độ hình chiếu A d1, d2 b) Tìm tọa độ điểm A’, A’’ đối xứng A qua d1, d2 c) Viết phương trình đường thẳng BC d) Xác định tọa độ điểm B, C Dạng 2: Biết tọa độ đỉnh phương trình hai đường khác tính chất Cho tam giác ABC đình A(2;-1), hai đường thẳng d1 : x − y + = 0, d : x + y + = Sử dụng giả thiết để giải toán sau: Biết tọa độ đỉnh A, phương trình đường cao BH phân giác CE Cho d1, d2 đường cao BH phân giác CE a) Viết phương trình đường thẳng AC b) Xác định tọa độ C giao điểm đt CD đt AC c) Tìm điểm A’ đối xứng A qua CD d) Viết phương trình đường thẳng BC qua A’ C Biết tọa độ đỉnh A, đường cao BH trung tuyến CM Cho d1, d2 đường cao BH trung tuyến CM a) Viết phương trình đường thẳng AC b) Gọi B(xB, yB) tìm tọa độ M theo tọa độ B c) Tìm tọa độ B MATHVN.COM - www.mathvn.com II Đường tròn Phương trình đường tròn a) Phương trình đường tròn Phương trình đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b ) có bán kính R là: ( C ) :( x − a ) + ( y − b ) 2 = R2 (1) Phương trình đường tròn có dạng: x + y + 2ax + 2by + c = ( ) với điều kiện a + b − c > Khi tâm I ( −a, −b ) bán kính R = a + b2 − c b) Cách viết phương trình tiếp tuyến Cho đường tròn ( C ) :( x − a ) + ( y − b ) = R 2 • Tiếp tuyến điểm A ( x0 ; y0 ) phương trình đường thẳng qua A có vectơ pháp JJG tuyến là: IA = ( x0 − a; y0 − b ) nên có phương trình: ( x0 − a )( x − x0 ) + ( y0 − b )( y − y0 ) = • Tiếp tuyến đường tròn qua điểm P ( x0 ; y0 ) nằm đường tròn đường thẳng qua P cách I ( a; b ) khoảng bán kính R (đã biết cách viết) c) Một vài tính chất đường tròn Điều kiện tiếp xúc Điều kiện tiếp xúc đường tròn ( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = R với đường thẳng 2 ( Δ ) : Ax + By + C = : dI /Δ = R ⇔ aA + bB + C A2 + B =R Đặt biệt: + Khi Δ ≡ Ox b = R + Khi Δ ≡ Oy a = R Điều kiện để đường tròn ( I1 ; R1 ) đường tròn ( I ; R2 ) tiếp xúc I1 I = R1 + R2 Điều kiện để đường tròn ( I1 ; R1 ) đường tròn ( I ; R2 ) tiếp xúc I1 I = R1 − R2 Tính chất tiếp tuyến, cát tuyến Nếu PA, PB hai tiếp tuyến đường tròn tâm I bán kính R (A, B hai tiếp điểm) + PA = PB + IP đường trung trực AB Cho AB dây cung đường tròn M trung điểm AB IM ⊥ AB AB IM = R − MATHVN.COM - www.mathvn.com Bài tập đường tròn a) Viết phương trình đường tròn biết số yếu tố Trong phần để viết phương trình đường tròn ta cần xác định tọa độ tâm độ dài bán kính đường tròn Ta thường gọi I ( a, b ) tâm, bán kính R Từ điều kiện cho thiết lập phương trình, hệ phương trình có ẩn a, b, R Chú ý đến điều kiện tiếp xúc Bài a) Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A(0;1), B(2;-2) có tâm nằm đường thẳng (d ) : x − y − = b) Viết phương trình đường tròn qua A(0;1) B(2;-3) có bán kính R = c) Viết phương trình đường tròn qua gốc tọa độ, có bán kính R = có tâm nằm đường thẳng ( d ) : x + y − = Bài a) Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng ( d1 ) : 3x − y + = , ( d ) : x + y + = qua điểm A(2;3) b) Viết phương trình đường tròn bán kính R = , qua gốc tọa độ tiếp xúc với đường thẳng ( d ) : 2x − y + = c) Viết phương trình đường tròn qua A(3;2), B(1;4) tiếp xúc với trục Ox Bài Trong mặt với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho đường tròn: ( C ) : ( x − 1) + ( y − ) 2 = đường thẳng ( d ) : x − y − = Viết phương trình đường tròn ( C ′ ) đối xứng với ( C ) qua đường thẳng ( d ) Tìm tọa độ giao điểm hai đường tròn Bài (B – 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A ( 2;0 ) B ( 6; ) Viết phương trình đường tròn ( C ) tiếp xúc với trục hoành điểm A khoảng cách từ tâm ( C ) đến điểm B Bài (A – 2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( 0; ) , B ( −2; −2 ) C ( 4; −2 ) Gọi H chân đường cao kẻ từ B; M, N trung điểm cạnh AB AC Viết phương trình đường tròn qua điểm H, M, N Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ( d1 ) : x − y + = ( d2 ) : x + y − = Lập phương trình đường tròn có tâm I ( d1 ) tiếp xúc với ( d ) có bán kính R=2 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn: ( C1 ) : x + y = 16 ( C2 ) : x + y − x = Lập phương trình đường tròn ( C ) có tâm I ( 2, a ) tiếp xúc với ( C1 ) tiếp xúc với ( C2 ) MATHVN.COM - www.mathvn.com Bài Cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − ) = 2 a) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn biết tiếp tuyến qua điểm B ( −2;1) b) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc trục tung có bán kính hai lần bán kính ( C ) tiếp xúc với ( C ) Bài Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ qua điểm A ( 4; ) Bài 10 Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc trục tung tiếp xúc với hai đường thăng ( d1 ) : x − y + = ( d ) : x − y − = b) Viết phương trình tiếp tuyến, cát tuyến Bài Cho đường tròn có phương trình ( x − ) + ( y − 3) = a) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn điểm thuộc đường tròn có hoành độ x = b) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn qua gốc tọa độ Tìm phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm c) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn vuông góc với đường thẳng ( d ) : x + y − = 2 Bài Cho đường tròn ( x − 1) + ( y + 3) = 25 ( C) a) Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ cắt đường tròn theo dây có độ dài b) Viết phương trình đường thẳng qua qua điểm A(-4;0) cắt đường tròn hai điểm A, B cho tam giác IAB có diện tích 25 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + ) = đường 2 thẳng ( d ) : 3x − y + = Tìm điểm P đường thẳng ( d ) cho vẽ hai tiếp tuyến đến đường tròn PA, PB (A, B hai tiếp điểm) mà tam giác PAB : Tam giác Tam giác vuông P Bài Trong mặt phẳng tọa Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 3) + y = hai điểm ⎛ − 5⎞ A (1;1) , M ⎜⎜ −2; ⎟⎟ ⎝ ⎠ a) Tìm đường tròn hai điểm B, C cho tam giác ABC b) Viết phương trình đường thẳng ( Δ ) qua M cho cắt đường tròn hai điểm n = 60o E , F mà EAF Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x + y − y + y − 10 = điểm M (1;1) Lập phương trình đường thẳng qua M cắt ( C ) A, B cho MA = 2MB MATHVN.COM - www.mathvn.com Bài (D – 2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + ) = 2 đường thẳng ( d ) : 3x − y + m = Tìm m để ( d ) có điểm P mà từ vẽ hai tiếp tuyến PA, PB tới ( C ) (A, B tiếp điểm) cho tam giác PAB Bài (B – 2006) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x + y − x − y + = điểm M ( −3;1) Gọi T1 , T2 tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến ( C ) Viết phương trình đường thẳng T1T2 c) Các toán khác Bài Cho đường tròn có phương trình ( x − ) + ( y − 1) = 52 đường thẳng 2 ( d ) : y = k ( x + 4) + a) Chứng minh đường thẳng ( d ) qua điểm cố định b) Tìm k để đường thẳng cắt đường tròn hai điểm phân biệt A, B c) Khi đường thẳng cắt đường tròn A, B Chứng minh trung điểm I AB thuộc đường cố định, viết phương trình đường cố định Bài Cho đường tròn ( C ) có phương trình ( x − ) + ( y − ) = 25 P ( m;0 ) điểm thay đổi 2 trục hoành a) Tìm m để từ P kẻ hai tiếp tuyến đến đường tròn ( C ) b) Với điều kiện câu a, giả sử hai tiếp tuyến PA, PB (A,B hai tiếp điểm) Chứng minh AB qua điểm cố định P di chuyển trục hoành, tìm tọa độ điểm cố định Bài Cho ba điểm A ( −2; −4 ) , B (1;5 ) , C ( −6; ) a) Viết phương trình đường tròn (C) qua ba điểm A, B, C Tìm tọa độ tâm I bán kính R đường tròn vừa tìm b) Viết phương trình đường tròn qua I O cắt ( C) hai điểm D, E cho tam giác IDE có diện tích lớn 10