CHUYEN DE HINH KHONG GIAN

Gv: Trần Quốc Nghĩa Bài Quan hệ vuông góc - Khoảng cách Cho hình vuông ABCD cạnh a mặt phẳng (P) Hai điểm M, N di động hai cạnh CB CD Đặt CM = x, CN = y Trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S Tìm hệ thức x, y để: a) Các mặt phẳng (SAM) (SAN) tạo thành góc 450 b) Các mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với ĐH Kiến trúc TpHCM - 94 ĐS: a) xy  2a( x  y )  2a  b) x2  a( x  y ) Trên cạnh Ox, Oy, Oz tam diện vuông Oxyz, lấy ba điểm A, B, C với OA = a, OB = b, OC = c Gọi H trực tâm ABC a) Tính độ dài OH diện tích tam giác ABC b) Khi a, b, c thay đổi cho a2  b2  c2  k với k số dương, tìm giá trị lớn độ dài OH, diện tích tam giác ABC c) Chứng minh a2 tan A  b2 tan B  c2 tan C ĐH NL TpHCM - 95 ĐS: b) OH max  a) OH  k k2 k ;S ABC(max)  a  b  c  abc b c c a a b 2 2 2 ; S ABC  2 b c  c2 a  a 2b2 Cho tam diện vuông đỉnh O Trên ba cạnh tam diện lấy ba điểm A, B, C cho AC = 2OB, BC = 2OA a) M, N chân đường vuông góc kẻ từ O xuống AC BC Chứng minh MN vuông góc với OC b) Tính cos MON c) Gọi D trung điểm AB Chứng minh: tan OCD tan OCA ĐH Kinh tế TpHCM - 95  MN 1 AB ĐS: b) cos MON  / Cho tứ diện ABCD cho AB = 2x, CD = 2y cạnh lại có độ dài a) Tính diện tích toàn phần tứ diện theo x y b) Xác định x y để diện tích toàn phần đạt giá trị lớn ĐH DL Ngoại ngữ - Tin học - 97  ĐS: a) Stp  x  x  y 1 y  b) Smax   x  y  / Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN Cho hình chóp O.ABC với OA, OB, OC vuông góc với đôi OA = a, OB = b, OC = c a) Kẻ OH  (ABC) Chứng minh H trực tâm ABC b) Chứng minh H trực tâm ABC OH  (ABC) c) Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c d) Chứng minh a2 tan A  b2 tan B  c2 tan C ĐH Ngoại ngữ HN - 97 ĐS: c) S ABC  2 b c  c2 a  a 2b2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đặt SA = h a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a h b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC H trực tâm SBC Chứng minh OH  (SBC) ĐH QG TpHCM khối A - 97 ĐS: a) 3a  4h Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a, AB = 2m, CD = 2n a) Xác định vị trí tính độ dài đường vuông góc chung IJ hai cạnh đối AB CD (I  AB, J  CD) b) Một mặt phẳng () vuông góc với IJ O cho JO = x Vẽ thiết diện MNPQ mặt phẳng () cắt tứ diện Tính diện tích thiết diện Xác định vị trí điểm O để thiết diện có diện tích lớn tính giá trị lớn ĐS: a) d  IJ  a  n2  m2 ĐH Văn Lang khối A - 97 b) S  ah 4mnx( d  x ) d ; Smax  mn x  a  n  m2 Cho ABC vuông A với BC = a AC = b S điểm di động đường thẳng d vuông góc với (ABC) C Mặt phẳng (P) qua C vuông góc với SB cắt SA SB H K a) Chứng minh CH  (SAB) tìm quỹ tích H S di động d b) Đặt SC = x Tính độ dài HK theo a, b x ĐH QG TpHCM đợt - 98 ĐS:a) Đường tròn đkính CA mp(A; d) b) HK  x2 a  b2 ( x  a )( x  b ) Gv: Trần Quốc Nghĩa Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân đỉnh A Các cạnh bên hình chóp tạo với đáy góc  a) Chứng minh hình chóp có cạnh bên b) Gọi I trung điểm BC Chứng minh mặt phẳng (SAI) vuông góc với mặt phẳng (ABC) c) Gọi K hình chiếu vuông góc A lên SI Chứng minh AK vuông góc với mặt phẳng (SBC) d) Cho biết BAC   , khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) d Tính diện tích tam giác ABC theo d, ,  ĐH Ngoại ngữ HN - 98 ĐS: d) S  2d cot  sin  cos ( α/2 ) 10 Cho tứ diện ABCD, có cạnh CD = 2a, cạnh lại a a) Chứng minh góc CAD CBD vuông b) Tính diện tích toàn phần tứ diện ABCD c) Chứng minh: (ACD)  (BCD) ĐS: b) S  (  )a ĐH Văn hóa - 98 11 Xét hình chóp S.ABC, SA  (ABC), SA = h, AB = AC = b, BC = a AD a) D điểm cạnh A, xác định tỉ số x  (0 < x < 1) AB cho mặt phẳng qua D, song song với SA BC cắt hình chóp theo thiết diện hình vuông b) Tìm mối liên hệ a, b, h để tam giác SBC tam giác vuông HV Ngân hàng khối D ban C - 98 12 ĐS: a) x  h ; b) a2  2( b2  h2 ) ah Cho hình chóp S.ABC có SA đường cao đáy tam giác ABC vuông B Cho BSC  450 Gọi ASB   , tìm  để góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) 600 ĐH Y khoa HN - 99 13 ĐS: cos   / Cho tứ diện ABCD Một mặt phẳng () song song với AD BC cắt cạnh AB, AC, CD, DB M, N, P, Q a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b) Xác định vị trí () diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn ĐH SP Vinh khối D - 99 ĐS: () qua trung điểm cạnh AB, AC, CD, DB Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN 14 Cho ABC cân A có AB = AC = a góc BAC  2 Trên đường thẳng d qua A vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S cho SA = 2a Gọi I trung điểm BC Hạ AH  SI a) Chứng minh AH  (SBC) Tính độ dài AH theo a  AK b) Gọi K điểm thay đổi đoạn AI, đặt  x Mặt phẳng (R) AI qua K vuông góc với AI cắt cạnh AB, AC, SC, SB M, N, P, Q Tứ giác MNPQ hình ? Tính diện tích tứ giác ĐH Quốc gia TpHCM Khối D - 99 ĐS: MNPQ hcn, S = 4a2x(1 - x)sin 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = AB = a a) Tính diện tích tam giác SBD theo a b) Chứng minh BD  SC c) Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (SBD) ĐH SP Vinh - 99 16 2 a2 c) arccos Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đặt SA = h a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a h b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC H trực tâm SBC Chứng minh: OH  (SBC) HV Chính trị QG TpHCM - 01 17 ĐS: a) ĐS: a) ah 3a  4h Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = a , SC  (ABC), ABC vuông A, điểm M thuộc SA N thuộc BC cho AM = CN = t (0 < t < 2a) a) Tính độ dài đoạn thẳng MN theo a t b) Tìm giá trị t để đoạn MN ngắn c) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vuông góc chung BC SA ĐH Đà Nẵng khối A - 01 ĐS: a) MN  3t  4at  2a b) t = 2a/3 Gv: Trần Quốc Nghĩa 18 Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc với OA = OB = OC = a Kí hiệu K, M, N trung điểm cạnh AB, BC, CA Gọi E điểm đối xứng O qua K I giao điểm CE với mặt phẳng (OMN) a) Chứng minh CE vuông góc với mặt phẳng (OMN) b) Tính diện tích tứ giác OMIN theo a ĐH Huế khối A - 01 19 ĐS: a /6 Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N trung điểm cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) ĐH Khối A - 02 20 ĐS: a 10 /16 (đvdt) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SA = a Gọi E trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE Dự bị ĐH Khối B - 02 21 ĐS: 3a /5 Cho tứ diện OABC có ba cạnh đôi vuông góc với Gọi , ,  góc mặt phẳng (ABC) với mặt (OBC), (OCA), (OAB) Chứng minh: cos  cos   cos   Dự bị ĐH Khối B - 02 22 Cho hình tứ diện ABCD, cạnh a = cm Hãy xác định độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng AD BC Dự bị ĐH Khối D - 02 23 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết SA  Dự bị ĐH Khối D - 02 24 ĐS: cm a ĐS: a / Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = cm; AB = cm; BC = cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) ĐH Khối D - 02 ĐS: 34 /17 (cm) Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN 25 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Chứng minh rằng, tam giác AMB cân M tính diện tích tam giác AMB theo a Dự bị ĐH Khối D - 03 26 ĐS: a 2 /2 (đvdt) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vuông A, AD = a, AC = b, AB = c Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c chứng minh 2S  abc(a  b  c) Dự bị ĐH Khối D - 03 27 ĐS: S  a 2b2  b2 c2  c2 a /2 (đvdt) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC ĐH Khối B - 07 28 ĐS: a /4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ABC  BAD  900 , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vuông góc A SB Chứng minh SCD vuông tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) ĐH Khối D - 07 29 ĐS: a/3 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Hệ CĐ ĐH Sài Gòn Khối D - 07 ĐS: a 11/4 Gv: Trần Quốc Nghĩa Bài Hình chóp - Khối đa diện 30 Trong mp(P) cho đường tròn (C) tâm O đường kính AB = 2R Lấy điểm S thuộc đường thẳng vuông góc với (P) O cho OS = R Gọi I điểm thuộc đoạn SO với SI = 2R , M điểm thuộc (C) SH với H hình chiếu I lên SM Từ suy quỹ tích SM H M di động (C) b) Xác định vị trí M (C) để hình chóp H.AMB tích lớn Tính giá trị lớn a) Tính tỉ số c) Tính góc tạo hai mặt phẳng (SAB) (SMB) BAM   ĐS: a) SH/SM=1/2 ĐH Bách khoa TpHCM - 94 b) Vmax  R3 /8 M trung điểm AB c) arctan2 31 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông A, AB = c, AC = b Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) A, lấy điểm S cho SA = h (h > 0) M điểm di động cạnh SB Gọi I, J trung điểm BC AB a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng SI AB b) Tính tỉ số thể tích hình chóp BMIJ BSCA độ dài đoạn vuông góc chung hai đường AC MJ đạt giá trị lớn ĐH Bách khoa TpHCM - 95 32 ĐS: a) bh b  4h 2 b) V BMIJ  VBSCA Cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với đôi Xét tam diện Oxyz Điểm M cố định nằm tam diện Một mặt phẳng qua M cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C Gọi khoảng cách từ M đến mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) a, b, c a) Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông a b c b) Chứng minh:    OA OB OC c) Tính OA, OB, OC theo a, b, c để tứ diện OABC tích nhỏ ĐH Y Dược TpHCM - 95 ĐS: c) Vmin  abc  OA  3a;OB  3b;OC  3c Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN 33 Cho tứ diện SABC có góc phẳng đỉnh S vuông a) Chứng minh 3S ABC  SSAB  SSBC  SSAC b) Biết SA = a, SB + SC = k Đặt SB = x Tính VSABC theo a, k, x xác định SB, SC để VSABC lớn ĐH Quốc gia TpHCM khối A - 96 34 ĐS: b) V  Cho tam giác ABC, AB = AC Một điểm M thay đổi đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) A (M  A) a) Tìm quỹ tích trọng tâm G trực tâm H tam giác ABC b) Gọi O trực tâm tam giác ABC, xác định vị trí điểm M để thể tích tứ diện OHBC đạt giá trị lớn ĐS: AM  AM  AD ĐH Quốc gia HN Khối B - 97 35 Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi H hình chiếu vuông góc A xuống mặt phẳng (BCD) O trung điểm AH a) Tính thể tích tứ diện ABCD b) Chứng minh: AB  CD Tính khoảng cách AB, CD theo a c) Chứng minh: OB, OC, OD đôi vuông góc với d) Xác định điểm M không gian cho: MA2  MB2  MC  MD2 đạt giá trị nhỏ ĐH QG TpHCM khối D - 97 36 k ax( k  x ) ; SB  SC  ĐS: a) V  a3 a b) c)M  G (trọng tâm) 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với đáy có độ dài a Mặt phẳng qua CD cắt cạnh SA, SB M N Đặt AM = x a) Tứ giác MNCD hình ? Tính diện tích MNCD theo a x b) Xác định giá trị x để tỉ số thể tích hai khối chóp S.MNCD S.ABCD ĐH QG TpHCM khối A - 97 ĐS: a) S  ( 2a  x ) a  x /2 (đvdt) b) x  2a/3 37 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, tất cạnh a a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD b) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy ABCD đến mặt bên hình chóp ĐH Đà Nẵng khối D - 97 ĐS: a3 /6 (đvtt); a /6 Gv: Trần Quốc Nghĩa 38 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I (A đối diện với C) Các nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) phía mặt phẳng Cho điểm M không trùng với A Ax, cho điểm N không trùng với C Cy Đặt AM = m, CN = n a) Tính thể tích hình chóp B.AMNC b) Tính MN theo a, m, n tìm điều kiện a, m, n để MIN  900 ĐH Quốc gia HN khối D - 97 ĐS: a) V  ( m  n )a /6 (đvtt); b) MN  2a  ( m  n )2 ; MIN  900  a2  2mn  39 AB đường vuông góc chung hai đường thẳng x, y chéo nhau, A thuộc x, B thuộc y Đặt độ dài AB = d M điểm thay đổi thuộc x, N điểm thay đổi thuộc y Đặt AM = m, BN = n (m, n ≥ 0) Giả sử ta có m2 + n2 = k > 0, k không đổi a) Xác định m, n để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ b) Trong trường hợp hai đường thẳng x, y vuông góc với mn  0, xác định m, n (theo k d) để thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị lớn tính giá trị ĐH Quốc gia HN khối A - 97   ĐS: a) MNmax  d  k  k cos  m  n  k/2 AM ,BN       MNmin  d  k  k cos  m  n  k/2 AM ,BN   (với  góc hai đường thẳng x y) b) VABMN(max)  kd/12 m  n  k/2 40 Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (S) đường kính AB = 2R Trên đường thẳng vuông góc với (P) A, lấy điểm C cho AC = AB M điểm thuộc (S), H hình chiếu A xuống CM a) C/m M di động (S) H di động đường tròn cố định b) Xác định vị trí M (S) (tính độ dài AM theo R) cho hình chóp H.ABC tích lớn Tính giá trị lớn ĐH Văn Lang khối B, D - 97 41 ĐS: a) Vmax  R3 /3 AM  2R /3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Lấy M, N SM SN cạnh SB, SD cho:   BM DN SP a) Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC P Tính tỉ số CP b) Tính VS.AMPN theo VS.ABCD ĐH Cần Thơ khối A - 98 ĐS: a) SP/CP=1 b) VS.AMPN =VS.ABCD /3 Gv: Trần Quốc Nghĩa 21 104 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳmg (ABCD), góc đường thẳng SC mặt phẳng (ACBD) 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB, AC THPT Quốc gia - 2015 ĐS: V = a3 /3 (đvtt); d( AC,SB )  a 10 / 105 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân B, ABC  1200 , AB = a, SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc hai mặt phẳng (SAC) (ABC) 450 Gọi M trung điểm AC, N trung điểm SM Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABN) THPT Quốc gia (đề dự bị) - 2015 ĐS: V = a3 /24 ; d( C,( ABN ))  a 21 / 106 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AC  2a , ACB  300 Hình chiếu vuông góc H đỉnh S mặt đáy trung điểm cạnh AC SH  a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) THPTQG (đề minh họa) - 2015 ĐS: V = a3 /6 ; d( C,( SAB ))  2a 66 / 11 Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN 22 Bài Hình lăng trụ - Hình hộp 107 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD với AA = a, AB = b, AD = c Tính thể tích tứ diện ACBD theo a, b, c HV Quan hệ QT - 97 ĐS: V = abc/3 (đvtt) 108 Cho hình lập phương ABCD.ABCD với cạnh a a) Hãy tính khoảng cách hai đường thẳng AA BD b) Chứng minh đường chéo BD vuông góc với mặt phẳng (DAC) HV Quan hệ QT - 98 109 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có cạnh đáy 2a chiều cao a a) Dựng thiết diện lăng trụ tạo mặt phẳng qua B vuông góc với cạnh AC b) Tính diện tích thiết diện nói ĐH Huế khối B - 98 ĐS: b) S  3a 15 /8 110 Cho hình lập phương ABCD.ABCD với cạnh a điểm M cạnh AB, AM = x, < x < a Xét mặt phẳng (P) qua điểm M chứa đường chéo AC hình vuông ABCD a) Tính diện tích thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (P) b) Mặt phẳng (P) chia hình lập phương thành hai khối đa diện, tìm x để thể tích hai khối đa diện gấp đôi thể tích khối đa diện HV Ngân hàng khối D - 99 ĐS:a) S  3  x2 b) x  a  ( 2a  x ) a   2   111 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD điểm M cạnh AD Mặt phẳng (ABM) cắt đường chéo AC hình hộp điểm H a) Chứng minh M thay đổi cạnh AD đường thẳng MH cắt đường thẳng AB điểm cố định b) Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện tạo mặt phẳng (ABM) cắt hình hộp trường hợp M trung điểm cạnh AD c) Giả sử AA = AB MB vuông góc với AC Chứng minh mặt phẳng (ABM) vuông góc với AC điểm H trực tâm ABM ĐH Ngoại ngữ HN - 99 ĐS: b) 1/11 Gv: Trần Quốc Nghĩa 23 112 Cho hình lập phương ABCD.ABCD với cạnh a Giả sử M N trung điểm BC DD a) Chứng minh MN song song với mặt phẳng (ABD) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng BD MN theo a ĐH Ngoại thương TpHCM - 01 ĐS: a /6 113 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = a, AD = 2a, AA = a a) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD BC b) Gọi M điểm chia đoạn AD theo tỉ số AM = 3MD Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC) c) Tính thể tích tứ diện ABDC ĐS: a) a; b) a/2 c) 2a3/3 Học viện CN BCVT - 01 114 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD (AA, BB, CC, DD) song song AC đường chéo hình chữ nhật ABCD) có AB = a, AD = 2a, AA = a ; M điểm thuộc đoạn AD, K trung điểm BM a) Đặt AM = m (0  m < 2a) Tính thể tích khối tứ diện AKID theo a m, I tâm hình hộp Tìm vị trí điểm M để thể tích đạt giá trị lớn b) Khi M trung điểm AD: i) Hỏi thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng (BCK) hình ? Tính diện tích thiết diện theo a ii) Chứng minh BM tiếp xúc với mặt cầu đường kính AA ĐH SP Hà Nội khối B - 01 ĐS: a) V  a 2( 2a  m ) a3 , Vmax  M  A 24 12 b) Hình thang, S  3a 2 /2 115 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = a, BC = b, AA = c a) Tính diện tích tam giác ACD theo a, b, c b) Giả sử M N trung điểm AB, BC Hãy tính thể tích tứ diện DDMN theo a, b, c HV QHQT khối D - 01 ĐS: a) S ACD'  2 abc a b  b2 c  c a ; b) V  Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN 24 116 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D b) Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB1, CD, A1D1 Tính góc hai đường thẳng MP C1N ĐH Khối B - 02 ĐS: a /6 ; 900 117 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a Giả sử M, N trung điểm BC, DD1 Tính khoảng cách hai đường thẳng BD MN theo a CĐ KTKT Hải Dương - 02 ĐS: a /6 118 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD  600 Gọi M trung điểm cạnh AA N trung điểm cạnh CC Chứng minh bốn điểm B, M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA theo a để tứ giác BMDN hình vuông ĐH Khối B - 03 ĐS: AA'  a 119 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy tam giác cân với AB = AC = a góc BAC  1200 , cạnh bên BB' = a Gọi I trung điểm CC' Chứng minh rằng, tam giác AB'I vuông A Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB'I) Dự bị ĐH Khối A - 03 ĐS: cos   30 /10 120 Cho hình lập phương ABCD.ABCD Tìm điểm M thuộc cạnh AA cho mặt phẳng (BDM) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ Dự bị ĐH Khối B - 03 ĐS: M trung điểm AA 121 Cho hình hộp đứng ABCD.ABCD có cạnh AB = AD = a, a BAD  600 Gọi M N trung điểm cạnh AD AB Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN AA = Dự bị ĐH Khối A - 06 ĐS: 3a3 /16 (đvtt) Gv: Trần Quốc Nghĩa 25 122 Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a điểm K thuộc cạnh CC cho: CK = a Mặt phẳng () qua A, K song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính thể tích hai khối đa diện Dự bị ĐH Khối D - 06 ĐS: a3 /3; 2a3 /3 (đvtt) 123 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a Gọi O1 tâm hình vuông A1B1C1D1 Tính thể tích khối tứ diện A1O1BD CĐ Điện lực TpHCM - 06 ĐS: a /6 (đvtt) 124 Cho khối lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AC = b, ACB  600 Đường chéo BC mặt bên BBCC tạo với mặt phẳng (AACC) góc 300 a) Tính độ dài đoạn AC b) Tính thể tích khối lăng trụ CĐ Kỹ thuật Cao Thắng - 06 ĐS: 3b ; b3 (đvtt) 125 Cho hình lăng trụ ABC.ABC có A.ABC hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA = b Gọi  góc mp (ABC) (ABC) Tính tan thể tích khối chóp A.BBCC Dự bị ĐH Khối B - 06 ĐS: tan   3b  a a 3b  a ; (đvtt) a 126 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1  2a BAC  1200 Gọi M trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB  MA1 tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM) Dự bị ĐH Khối A - 07 ĐS: a /3 127 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC tam giác vuông AB = AC = a, AA1  a Gọi M, N trung điểm đoạn AA1 BC1 Chứng minh MN đường vuông góc chung đường thẳng AA1 BC1 Tính VMA 1BC Dự bị ĐH Khối D - 07 ĐS: a3 /12 (đvtt) 128 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cạnh a M trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM  B1C tính d(BM, B1C) Dự bị ĐH Khối D - 07 ĐS: a 30 /10 Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN 26 129 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vuông góc đỉnh A' mp(ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA', B'C' ĐH Khối A - 08 130 Cho lăng ĐS: V = a3 /2 (đvtt) , cosφ=1/4 trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C ĐH Khối D - 08 ĐS: V = a3 /2 (đvtt) , a /7 131 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có BB = a, góc đường thẳng BB mặt phẳng (ABC) 600; tam giác ABC vuông C BAC  600 Hình chiếu vuông góc điểm B lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính VAABC theo a ĐH Khối B - 09 ĐS: V = 9a3 /208 (đvtt) 132 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA = 2a, AC = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng AC, I giao điểm AM AC Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) ĐH Khối D - 09 ĐS: V = 4a3 /9 (đvtt) , 2a /5 133 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD  a Hình chiếu vuông góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a ĐH Khối B - 11 ĐS: V = 3a3 /2 (đvtt); a /2 134 Cho hình hộp đứng ABCD.ABCD có đáy hình vuông, tam giác AAC vuông cân, AC = a Tính thể tích khối tứ diện ABBC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) theo a ĐH Khối D - 12 ĐS: V = a3 /48 (đvtt); d( A,( BCD'))  a /6 Gv: Trần Quốc Nghĩa 27 135 Cho lăng trụ ABC.ABC có AB = a đường thẳng AB tạo với đáy góc 60 Gọi M N trung điểm cạnh AC BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.ABC độ dài đoạn thẳng MN CĐ Khối A, A1, B, D - 13 ĐS: V = 3a3 /4 (đvtt); MN  a 13 /2 136 Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng AC mặt đáy 60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACCA) ĐH Khối B - 14 ĐS: V = 3a3 /8 (đvtt); d( B,( ACC' A'))  3a 13 /13 137 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B, AC  2a Hình chiếu vuông góc A' mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AC, đường thẳng A'B tạo với mặt phẳng (ABC) góc 450 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' chứng minh A'B vuông góc với B'C THPT Quốc gia - 2016 ĐS: V = a3 (đvtt) Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN 28 Bài Mặt trụ - Mặt nón - Mặt cầu 138 Cho tứ diện SABC có SA  (ABC), góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) 900 Biết SB  a , BSC  450 , ASB   (00 <  < 900) a) Chứng minh BC  SB Xác định tâm bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC b) Tính VSABC Với giá trị  thể tích lớn c) Xác định  để góc hai mặt phẳng (SBC) (SAC) 600 ĐH Sư phạm TpHCM - 94 ĐS: a) R  a ; a3    450 c)   arctan b) V  a s in2 ; Vmax  3 139 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cân, AB = AC = a, mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) SA = SB = a a) Chứng tỏ SBC tam giác vuông S b) Xác định tâm tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, biết SC = x ĐH Tổng hợp TpHCM - 94 ĐS: b) R  a / 3a -x2 140 Trong mặt phẳng (P) cho đường thẳng d điểm A d Một góc xAy di động quay quanh A, cắt d B C Trên đường thẳng qua A vuông góc với (P) lấy điểm S Gọi H K hình chiếu vuông góc A lên SB SC a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc mặt cầu b) Tính bán kính mặt cầu biết AB = 2, AC = 3, BAC  600 c) Giả sử ABC vuông A Chứng minh mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK luôn qua đường tròn cố định S thay đổi ĐH Y Dược TpHCM - 94 ĐS: b) R  21/3 141 Cho góc tam diện Sxyz với xSy  1200 , ySz  600 , zSx  900 Trên tia Sx, Sy, Sz lấy điểm A, B, C cho: SA = SB = SC = a a) Chứng tỏ tam giác ABC vuông Xác định hình chiếu vuông góc H S lên mặt phẳng (ABC) b) Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC theo a c) Tính góc hai mặt phẳng (SAC) (BAC) ĐH Sư phạm TpHCM - 95 ĐS: b) r  a /2(1+ 2+ ) ; c) 450 Gv: Trần Quốc Nghĩa 29 142 Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a CD = 2a a) Chứng minh AB vuông góc với CD Hãy xác định đường vuông góc chung AB CD b) Tính thể tích tứ diện ABCD c) Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD d) Gọi điểm H hình chiếu vuông góc điểm I mặt phẳng (ABC) Chứng minh H trực tâm tam giác ABC ĐH Qui Nhơn - 97 ĐS: b) V  a /3 ; c) I trung điểm CD 143 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đường cao SO = đáy ABC có cạnh Điểm M, N trung điểm cạnh AC, AB Tính VS.AMN bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp ĐH Kinh tế QD HN - 97 ĐS: V  /2 ; r  /(1+2 2+ ) 144 Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a Trên đường thẳng d qua A vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm S khác A a) Chứng minh tứ diện SABC có cặp cạnh đối diện vuông góc với b) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Tính bán kính mặt cầu mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 300 c) Tìm quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiêp tứ diện SABC S chạy d (S khác A) d) Lấy S đối xứng với S qua A, gọi M trung điểm SC Xác định thiết diện tạo mặt phẳng qua S, M song song với BC cắt tứ diện SABC Tính diện tích thiết diện SA = a ĐS: b) R  a 42 /6 ; d) S  5a 10 /36 ĐH Vinh - 97 145 Cho góc tam diện ba mặt vuông Oxyz Trên Ox, Oy, Oz lấy ba điểm A, B, C a) Tính d[O, (ABC)] theo OA = a, OB = b, OC = c b) Giả sử A cố định B C thay đổi thỏa mãn: OB + OC = OA Hãy xác định vị trí B C cho thể tích tứ diện OABC lớn Chứng minh bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC lại nhỏ ĐH Ngoại thương CSII khối A - 98 ĐS: a) abc/ a 2b2 +b2 c +c a b) Vmax  a /24 a b a/2 Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN 30 146 Cho đường tròn tâm O bán kính R Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy (S A cố định), SA = h cho trước, đáy ABCD tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn cho mà đường chéo AC BD vuông góc với a) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD b) Hỏi đáy ABCD hình để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn ? ĐS: a) R'  h2 +4R2 /2 ; b) Hình vuông ĐH Quốc gia HN khối B - 98 147 Cho hình nón đỉnh S, đáy đường tròn (C) bán kính a, chiều cao h = 3a/4 cho hình chóp đỉnh S, đáy đa giác lồi ngoại tiếp (C) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp (mặt cầu bên hình chóp, tiếp xúc với đáy với mặt bên hình chóp) Biết thể tích khối chóp lần thể tích khối nón, tính diện tích toàn phần hình chóp HV CNBCVT - 98 ĐS: r  a/3; Stp  9 a 148 Bên hình trụ tròn xoay có hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A, B nằm đường tròn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh lại nằm đường tròn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ góc 450 Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ ĐS: Ssx  3πa /2 ; V  3πa2 /16 ĐH Ngoại ngữ HN - 99 149 Cho tứ diện SABC có cạnh bên SA = SB = SC = d ASB  1200 , BSC  600 , ASC  900 a) Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông b) Tính thể tích tứ diện SABC c) Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC HV Chính trị QG - 99 ĐS: b) V  d /12 ; c) r  d /[2( 3+ 2+1)] 150 Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC vuông góc với đôi SA = a, SB = b, SC = c a) Tính thể tích hình chóp S.ABC Chứng minh hình chiếu vuông góc S (ABC) trực tâm tam giác ABC b) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC ĐH Bách khoa HN - 00 ĐS: a) V  abc/6 ; b) R  a +b2 +c /2 Gv: Trần Quốc Nghĩa 31 151 Cho hai hình chữ nhật ABCD (AC đường chéo) ABEF (AE đường chéo) không nằm mặt phẳng thỏa mãn điều kiện: AB = a, AD = AF = a ; đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng BF Gọi HK đường vuông góc chung AC BF (H thuộc AC, K thuộc BF) a) Gọi I giao điểm DF với mặt phẳng chứa AC song song với DI BF Tính tỉ số DF b) Tính độ dài đoạn KH c) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABHK ĐH Sư phạm HN Khối A - 01 ĐS: a) DI a a 3(  1)  ; b) ; c) r  DF 152 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC cạnh có độ dài a Trên đường thẳng vuông góc với (P) B C lấy điểm D E nằm phía (P) cho BD  a / 2, CE  a a) Tính độ dài cạnh AD, AE, DE tam giác ADE b) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE c) Gọi M giao điểm đường ED BC Chứng minh đường thẳng AM vuông góc với mặt phẳng (ACE) Tính số đo góc hai mặt phẳng (ADE) (ABC) ĐH BK HN Khối D - 01 ĐS: a) AD  a /2, AE  2a, DE  a /2 ; b) R  a 39 /6 ; c) 600 153 Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD có cạnh a S điểm nằm đường thẳng At vuông góc với (P) A a) Tính theo a thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD SA = 2a b) M, N hai điểm di động cạnh CB, CD (M thuộc CB, N thuộc CD) đặt CM = m, CN = n Tìm biểu thức liên hệ m n để mặt phẳng (SAM) (SAN) tạo với góc 450 ĐH Luật, Dược HN - 01 ĐS: a) VC   a3 ; b) 2a2  2a( m  n )  mn  154 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bên AA1, BB1, CC1, DD1 độ dài cạnh AB = a Cho điểm M, N cạnh CC1 cho CM = MN = NC1 Xét mặt cầu (K) qua điểm A, B1, M N a) Chứng minh đỉnh A1 B thuộc mặt cầu (K) b) Hãy tính độ dài bán kính mặt cầu (K) theo a ĐH An Giang khối A, B - 01 ĐS: a 211/18 ; Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN 32 155 Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a Trên AB lấy điểm M, CC lấy điểm N, DA lấy điểm P cho AM = CN = DP = x (0  x  a) a) Chứng minh tam giác MNP tam giác Tính diện tích tam giác MNP theo a x Tìm x để diện tích nhỏ a b) Khi x  , tính thể tích khối tứ diện BMNP tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ĐS: a) SMNP  3( a2  x2  ax ) / ; ĐH Hàng hải - 01 Smin  3a /8 x  a/2 b) V  3a3 /16 ; R  5a /12 156 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên a mặt chéo (SAC) tam giác a) Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD b) Qua A dựng mặt phẳng () vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo () hình chóp CĐ Sư phạm Khối A - 02 ĐS: R  a /3 ; S  a /6 (đvdt) 157 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài tất cạnh a Chứng minh rằng: a) Đáy ABCD hình vuông b) Năm điểm S, A, B, C, D nằm mặt cầu Tìm tâm bán kính mặt cầu CĐ Sư phạm Hà Tĩnh - 02 ĐS: R  a /2 158 Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng  Trên  lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vuông góc với  AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a ĐH Khối D - 03 ĐS: a /2; a /2 159 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a, BC = b Hai mặt phẳng (BCD) (ABC) vuông góc với góc BDC  900 Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a b Dự bị ĐH Khối A - 03 ĐS: R  a / 4a -b2 Gv: Trần Quốc Nghĩa 33 160 Cho hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O O', bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO'AB ĐH Khối A - 06 ĐS: a3 /12 (đvtt) 161 Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD Trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S bất kỳ, dựng mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với SC Mặt phẳng (Q) cắt SB, SC, SD B, C, D Chứng minh điểm A, B, C, D, B, C, D nằm mặt cầu cố định CĐ KTKT CN2 - 06 ĐS: Mặt cầu đường kính AC 162 Cho hình nón có đường cao h Một mặt phẳng () qua đỉnh S hình nón tạo với mặt đáy hình góc 600, qua hai đường sinh SA, SB hình nón cắt mặtt đáy hình nón theo dây cung AB, cung AB có số đo 600 Tính diện tích thiết diện SAB CĐ KTKT CN1 - 06 ĐS: 2h2 /3 (đvdt) 163 Cho hình chóp S.ABC Đáy ABC tam giác vuông B, cạnh SA vuông góc với đáy, ACB  600 , BC = a, SA  a Gọi M trung điểm cạnh SB Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Tính thể tích khối tứ diện MABC CĐ KT Y tế I - 06 ĐS: V = a3 /4 (đvtt) 164 Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a CD = 2a a) Chứng minh AB vuông góc với CD Hãy xác định đường vuông góc chung AB CD b) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD CĐ Kinh tế Kỹ thuật CN2 - 07 165 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AB = a, góc hai mặt phẳng (A'BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A'BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a ĐH Khối B - 10 ĐS: V = 3a3 /8 (đvtt) , 7a/12 166 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB = a ; SA = SB = SC Góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tính khối chóp S.ABC bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a CĐ Khối A, A1, B, D - 12 ĐS: V = a3 /3 (đvtt) , R  2a /3 Chuyên đề - HÌNH KHÔNG GIAN MỤC LỤC Bài Quan hệ vuông góc - Khoảng cách Bài Hình chóp - Khối đa diện Bài Hình lăng trụ - Hình hộp 22 Bài Mặt trụ - Mặt nón - Mặt cầu 28 34