Dạng toán viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng trong không gian

Bộ tài liệu là các ví dụ và phương pháp để viết phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng trong không gian. Có các dạng cụ thể, mỗi dạng đều trình bày phương pháp giải, các ví dụ và lời giải giúp người học dễ hiểu.

1 Phương trình mặt phẳng   P đi qua điểm M song song với mặt phẳng  cho

trước

PP: Mặt phẳng   P song song với mặt phẳng    nên VTPT của   P chính là VTPT

của mặt phẳng    Từ đó viết phương trình mặt phẳng   P qua M có VTPT là

Từ đó viết phương trình mặt phẳng   P qua M có VTPT n.

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng   P qua  1; 1;2   và vuông góc với 2 mặt phẳng

  Q : x 3z 1 0; R : 2x y z 1 0         

Lời giải

Gọi n,n ,n       1 2

lần lượt là VTPT của mặt phẳng       P , Q , R

vì mặt phẳng   P vuông góc với mặt phẳng   Q và mặt phẳng   P đi

qua AB nên nn ,AB1  1; 7; 3  

PP: Gọi n là VTPT của mặt phẳng   P Vì mp   P đi qua A, B, C nên

Mọi điểm thuộc giao tuyến có tọa độ là nghiệm của hệ

x 2y z 4 02x y z 4 0

Vì   P tạo với   Q góc  cos n,n     1  cos 

Với n,n    1

lần lượt là VTPT của mặtphẳng   P và mặt phẳng   Q .

Từ giả thiết

1 1

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng   P chứa trục Oz tạo với mặt phẳng

PP:

Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng  P  M

là giao điểm củamặt phẳng  P với đường thẳng  qua M và vuông góc với mặt phẳng  P

Viết phương trình tham số

Vì H thuộc mặt phẳng  P thay vào phương trình mặt phẳng  P  t  H

Cách 2: Vận dụng khi a,b,c 0 H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng

Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mp P  H

là giao điểm của mp  P

8 Tìm xứng với M qua mp P điểm M1 đối

PP: Tìm hình chiếu vuông góc của M lên mp P là H (dajng7)

Từ đó viết phương trình mp  P qua M có VTCP là n

- Viết phương trình đường thẳng    qua A, B

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của

  P : 3x y z 5 0, Q : x 2y z 4 0          

Ví dụ: Cho A 1; 2;3    và mp   P : 3x y z 1 0     Viết phương trình đường thẳng

   qua A vả vuông góc với mp   P .

PP: Gọi u,u ,u      1 2

lần lượt là VTCP của   , ,1 2 Vì

1

1 2 2

Chú ý: Cách viết phương trình đường thẳng qua M cắt 1 và vuông góc với một véc tơ

a cho trước cũng tương tự.

15 Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt hai đường thẳng 1 và 2

PP: Cách 1:

Viết phương trình qua M có VTCP u

PP: Cách 2: qua M và cắt  1; 2

  là giao tuyến của hai mặt phẳng     P ; Q Trong đó   P qua M chứa 1, Q   qua

M chứa 2, viết phương trình    là giao tuyến của   P và   Q (dạng 2)

Chú ý: Trong 1 số dạng toán thay vì viết qua M cắt  1; 2 có thể viết là: Viết đườngthẳng qua M cắt  1; 2tại A, B mà MA kMB. 

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng  qua M 1; 1;1    cắt cả hai đường thẳng

+ Đường thẳng  là giao tuyến của  P và  Q

Mọi điểm thuộc  có tọa độ là nghiệm của hệ

Cho

19y

Chú ý: Việc tìm ra  có 2 cách khác nhau về mặt hình thức nhưng bản chất đó là 1

phương trình Bạn đọc tự suy nghĩ tại sao?

16 - Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng 

- Tìm điểm M1 đối xứng với M qua đường thẳng 

PP:

- Gọi H là hình chiếu vuông góc cúa M lên    H   

tọa độ H theo phương trình tham số của   MH                    MH.u0

( u là VTCP của   )

Từ đó giải phương trình tìm giá trị tham số  H

- Gọi M1là điểm đối xứng với M qua    H là trung điểm của MM1

1 1 1

17 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng  lên mp  P

PP: Tìm giao điểm của  1 và mp P Nếu     1 P I ta làm như sau:

- Chọn 1 điểm M trên   (M không trùng với I)1

- Tìm hình chiếu vuông góc của M lên mp P Gọi là điểm H

- cần tìm là đường thẳng đi qua I và H

 Nếu      P   1/ / P  đường thẳng  cần tìm là đường thẳng song song với 1  U   U1

Chọn 1 điểm M bất kì thuộc 1

Tìm hình chiếu vuông góc của M lên  P là H

 cần tìm là đường thẳng đi qua H có VTCP U

 Nếu  1  P thì hình chiếu vuông góc của 1 lên mp  P là giao điểm I

Xét M 1;0; 2      Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên  P  Hlà giao điểm của đường thẳng 1 (qua M 1;0; 2   vuông góc với mp  P ) và mp  P Gọi u ;n 1

là VTCP của đường thẳng 1và VTPT của mp  P

 là hình chiếu vuông góc của 1 lên  P thì

1314

18 Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng 1 quan mp   P

PP: Tìm giao điểm của   1 và   P

 Trường hợp 1:

- Nếu  1   P = I

- Xét 1 điểm M  1 Tìm hình chiếu vuông góc của M lên   P

- Tìm M' đối xứng với M qua mp   P  H là trung điểm của MM'  tọa độM'

- Viết phương trình    đi qua I và M' là đường thẳng cần tìm.

- Xét 1 điểm M  1 Tìm hình chiếu vuông góc của M lên mp   P

- Tìm điểm M' đối xứng với M qua   P

- Viết phương trình đường thẳng  qua M' có VTCP u.

Lời giải

Giải như ví dụ 1 dạng 8  giao điểm của 1 và  là I 3; 3; 1    

Hình chiếu vuông góc của M 1;0; 2     1 lên   P là

11 2

- Giả sử MN là đường vuông góc chung của  1; 2

- Gọi u,u ,u   1 2 lần lượt là VTCP của   ; ;1 2

 giá trị tham số  tọa độ của M và MN 

phương trình đường vuông góc chung 

qua M có u MN 

1 Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Cách 1: gọi I x; y;z   là tọa độ mặt cầu:

Tính độ dài các véc tơ IA, IB, IC, ID theo x, y,z sử dụng điều kiện

được x, y,zsuy ra phương trình mặt cầu.

Cách 2: Viết py mặt phẳng trung trực của cạnh AB, AC, AD tìm giao điểm 3 mặt phẳngsuy ra tâm mặt cầu

Đối với tam giác ABC; Để xác định tâm I của vòng tròn ngoại tiếp tam giác ta có cáccách sau:

1 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì  

phương trình trên ta tìm được tọa độ I

Chú ý: Mặt phẳng trung trực cạnh AB là mặt phẳng đi qua trung điểm cạnh AB và nhận

  từ đó viết phương trình mặt cầu

Chú ý: Trong một số bài tập thay vì cho độ dài dây cung AB giả thiết bài toán là tam

giác ABC vuông cân hoặc đều khi đó học sinh cần dựa vào hệ thức lượng trong tam giác

để tính R (tam giác IAB luôn cân tại I)

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho    S : x 1  2   y 2  2   z 3  2  25 và

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I xuống   d .

Lúc đó IH IM   ABmin    d  IM Gọi N t;0;0    Ox là giao điểm của d vàOx

Viết phương trình mặt cầu   S tiếp xúc với mp   P tại E 0;1;1   và cắt đường thẳng d

tại hai điểm A, B thỏa mãn AB 2 6 

thuộc   d sao cho M, N đối xứng nhau qua   d ' Viết phương trình mặt cầu   S tâm I

thuộc   d' qua M, N sao cho tam giác IMN vuông.

Lời giải

Gọi M a;b;2a b , N 4 c;c; 3c         d

Véc tơ chỉ phương của   d' là u 1;2;2 ,MN a c 4; b c; 2a b 3c               

Gọi P là trung điểm của MN thì

3 Viết phương trình mặt cầu tâm I thuộc đường thẳng  tiếp xúc với mp   P và

đường thẳng 1 cho trước.

PP:

Biểu diễn tọa độ tâm I theo phương trình tham số của , tính khoảng cách từ I đến   P

Dạng đòi hỏi tính toán phức tạp hơn là “Viêt pt mặt cầu   S có tâm thuộc đường

thẳng  tiếp xúc với 2 đường thẳng  1; 2”

Ví dụ: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mp   P : 2x y 2z 4 0     , đường

  và đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng

x 1; y z 4 0    Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với

 và đi qua điểm A cho trước

- Biểu diễn tọa độ tâm I theo phương trình tham số của , tính khoảng cách từ I đếnđường thẳng 1

- Tính độ dài IA theo tham số và sử dụng điều kiện dI/1  IA R 

ta tính được tọa

độ tâm suy ra phương trình mặt cầu

Ví dụ 1 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

Vì mặt cầu qua M tiếp xúc với   d ' nên MI d I / d'   

Chú ý: Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng   P và H đồng

thời cũng là tâm vòng tròn giao tuyến của mặt cầu   S và mặt phẳng   P

Chú ý: Một số bài tập giả thiết là “Mặt cầu   S cắt mặt phẳng   P theo đường tròn   C

có chu vi là C0 hoặc diện tích là S0” khi đó học sinh tính bán kính r của đường tròn giao

tuyến theo công thức C0   2 r;S0  r2

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho các điểm A 0;0;0 ,B 2; 1;2 ,C 1;1;3         và

Vậy phương trình mặt cầu là x2 y2 z 1 2 6

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng:

  P : 2x y 2z 1 0, Q : 2x y z 7 0, R : x y 2z 7 0                

Viết phương trình mặt cầu   S có bán kính bằng 3 và tiếp xúc với   P , đồng thời cắt hai

mặt phẳng   Q và   R theo hai đường tròn có bán kính lớn nhất.

Lời giải

Gọi I a;b;c   là tâm của mặt cầu   S Vì mặt cầu   S cắt hai mặt phẳng   Q và   R

theo hai đường tròn có bán kính lớn nhất nên tâm I nằm trên hai mặt phẳng này

Giải hệ gồm 3 phương trình       1 ; 2 ; 3 ta được I 1; 2;3   

Giải hệ gồm 3 phương trình       1 ; 2 ; 4 ta được I 5; 32; 15     

Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn bài toán

6 Cho mặt cầu   S và mặt phẳng   P không cắt mặt cầu Tìm điểm M thuộc mặt

cầu sao cho khoảng cách từ M đến   P lớn nhất và nhỏ nhất.

Trong trường hợp này, M ở vị trí M0 và N ở vị trí N0

Dễ thấyN0là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng   P và M0 là giao điểm của

đoạn thẳng IN0 với mặt cầu  S .

Gọi  là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với  P , thì N0 là giao điểm của  và

  P

Đường thẳng  có vecto chỉ phương là n  P   2;2; 1  

và qua I nên có phương trình là:

1 Viết phương trình mp   P qua A đồng thời song song với d ,d1 2

2 Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho 3 điểm A, M, N thẳng hàng.

  Gọi I là giao điểm của

  d và   P Viết phương trình của đường thẳng  nằm trong   P , vuông góc với   d

Chứng minh d ;d1 2 cắt nhau tại A Viết phương trình đường thẳng  qua M 2;3;1   tạo

với d ;d1 2một tam giác cân tại A.

Viết phương trình mặt cầu   S có tâm thuộc đường thẳng d, cách mặt phẳng   P một

khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng   P theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

Lời giải

Gọi I là tâm của mặt cầu   S

Vì I thuộc đường thẳng d nên I t; 1 2t;2 t      

AH.u 0   4 t    t  2 1 2t    0 t   1 H 1;2; 1 

 

Vì H là trung điểm của AB nên B 4;3; 2   .

Vậy C    P , để BC nhỏ nhất thì C là hình chiếu của B lên   P .

Khi đó đường thẳng BC đi qua B 4;3; 2   và nhận n 3;2; 3  P  

Ở phương trình của   P ta đặt y t  Từ đó suy ra z 1 t  

Khi đó giao tuyến của   P và   Q có phương trình

Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d3 đồng thời cắt hai đường

thẳng d ;d1 2 lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

Vì D thuộc đường thẳng d nên D 2 t;3 2t;1 2t      

Ta có: AC 1;2;2 ,AD t 3; 2t 3; 2t 1         

Suy ra D 0; 1; 3     Vì ABCD là hình bình hành nên AB AD                               B 3;3;5  

Ví dụ 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

Tìm tọa độ điểm M nằm trên   P , điểm N nằm trên đường thẳng d sao cho M và N đối

xứng với nhau qua đường thẳng 

Lời giải

Vì N nằm trên đường thẳng d nên N 4 t;t; 3t    

Gọi I là trung điểm của MN Khi đó I nằm trên đường thẳng

Ví dụ 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông cân tại B Biết

rằng A 5;3; 1 ,C 2;3; 4       Tìm tọa độ đỉnh B biết đỉnh B thuộc

  P : x y z 6 0    

Thay   2 vào   1 ta được b c 6 a 7 2a     

Từ đó suy ra B a;7 2a;1 a    

Vậy có hai điểm thỏa mãn bài toán B 2;3; 1 ,B 3;1; 2      

Ví dụ 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

Ví dụ 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

  S : x 1 2y 2 2 z 2 2 25 Viết phương trình   P chứa đường thẳng

Vì   P đi qua M nên   P :ax +by+c z 5     0

Từ giả thiết ta có hệ phương trình:

Vì A nằm trên   P nên A a;b;7 a b     Khi đó MA a 3;b 1;6 a b       

Đường thẳng  đi qua I 5; 1;3    và có VTCP là u 2; 1;1  P  

Vì AM   nên

      AM.u   0 2 a 3   b 1   6 a b     0 a 2b 1  

a 1

a 3

và mặt phẳng   P : x 2y z 1    Tìm trên đường thẳng  hai điểm

B và C sao cho tam giác ABC vuông tại A và có trọng tâm C nằm trên mặt phẳng   P .

Ví dụ 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

  S : x2  y2  z2  1, mặt phẳng   P : z 0  và hai điểm A 1;1;0 ,B 0;0;2      Tìm tọa

độ điểm C thuộc mặt phẳng   P sao cho tam giác ABC cân tại C và có trọng tâm G nằm

Tam giác ABC cân tại C nên AC BC   a b 1 1    

Trọng tâm G thuộc mặt cầu   S nên

Vậy C 2;1;0  hoặc C 1; 2;0    

Ví dụ 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 mặt phẳng

  P : x y 2z 8 0, Q : 2x y z 0          và điểm I 1;1;1   Viết phương trình đường

thẳng  qua I vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng     P , Q đồng thời cắt hai mặt

phẳng     P , Q lần lượt tại A, B sao cho I là trung điểm của AB.

  P :5x 3y 4z 25 0     Viết phương trình đường thẳng  song song với mặt phẳng

Do M    1 nên ta gọi M a;a;a 1 , N       2 nên N b;b 2; 2b    

Mặt khác tam giác AMN vuông tại A nên ta có:

Thay vào tọa độ điểm ta được N 2a 1; 2a 1;4a 2       

Ta lại có MN 2 6  nên ta có phương trình sau:

MN 3a 1  3a 1  3a 1 2 6

Ví dụ 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu

  S : x2 y2  z2  8z 20 0   và mặt phẳng   P : 2x 2y z 5 0     Viết phương

trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng   P , đi qua điểm M 1;4;1    và cắt mặtcầu   S tại hai điểm A, B sao cho AB 6 3  .

thỏa mãn điều kiện MA2 MB2 MC2 và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng   P

Suy ra mặt cầu   S không cắt mặt phẳng   P

Xét đường thẳng qua I vuông góc với mặt phẳng   P ta có PTTS

Tính khoảng cách từ điểm M ,M1 2 đến mặt phẳng   P ta chọn điểm M1 là điểm cần

Viết phương trình mặt phẳng   P qua A cắt các trục tọa độ Oy, Oz

tại B, C sao cho   P song song với đường thẳng   d và khoảng cách từ gốc tọa độ O

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng   P là n bc;c;b   

Vì mặt phẳng   P song song với đường thẳng (d) nên n.u 0  với u 1;1;1    Từ đó ta