cac dang bai tap viet phuong trinh mat phang trong khong gian

CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN Qua TĨM TẮT LÝ THUYẾT n A tâm Vectơ pháp tuyến mp (P): n→≠0→ vectơ pháp tuyến (P)⇔n→⊥(P) Đưa Cặp vectơ phương mặt phẳng (P) : hai vectơ không phương a→,b→ vào cặp vectơ phương mặt phẳng (P)⇔a→,b→ có giá song song với (P) sổ tay Quan hệ vectơ pháp tuyến n→ cặp vectơ phương a→,b→ : n→=[a→,b→] Phương trình mặt phẳng (P) qua M0(x0,y0,z0) có vectơ pháp tuyến n→=(A,B,C) : (P):A(x−x0)+b(y−y0)+C(z−z0)=0 Phương trình mặt phẳng dạng tổng quát (P):Ax+By+Cz+D=0 có vectơ pháp tuyến n→=(A,B,C) Phương trình mặt phẳng qua A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) : xa+yb+zc=1 Phương trình mặt phẳng tọa độ: (Oyz):x=0;(Oxz):y=0;(Oxy):z=0 Khoảng cách từ M0(x0,y0,z0) đến (P):Ax+By+Cz+D=0 d(M;(P))=∣∣ Ax0+By0+Cz0+D∣∣ A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√ Góc hai mặt phẳng: (P):Ax+By+Cz+D=0 (Q):A′x+B′y+C′z+D′=0 cos((P),(Q))=∣∣ AA′+BB′+CC′∣∣ A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√.A′2+B′2+C′2−−−−− −−−−−−−−√ Nhận xét : Muốn viết phương trình mặt phẳng có hai phương pháp Phương pháp Xác định điểm mà mặt phẳng qua vectơ pháp tuyến Phương pháp Xác định vectơ pháp tuyến tham số D phương trình dạng tổng quát Ax+By+Cz+D=0 B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng I Viết phương trình mặt phẳng cách xác định vectơ pháp tuyến Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1),B(– 1;1;3) mặt phẳng (P):x–3y+2z–5=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A,B vng góc với mặt phẳng (P) Lời giải : mp(Q) qua A,B nên AB−→−=(−3,−3,2) vec phương (VTCP) mp(Q) Mặt khác mp(Q) vng góc với mp(P) ⇒ vec pháp tuyến (VTPT) nP−→ (P) VTCP (Q) Như vậy, VTPT (Q):nQ−→=[nP−→,AB−→−]=(0;−8;−12) Hiển nhiên thấy (Q) qua A(2;4;1) nQ−→=(0;−8;−12) nên (Q):0(x−2)−8(y−4)−12(z−1)=0 (Q):2y+3z−11=0 Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(2;1;3),B(1;−2;1) song song với đường thẳng d:⎧⎩⎨x=−1+ty=2tz=−3−2t (t∈R) Lời giải : mp(P) qua A,B nên BA−→−=(1,3,2) VTCP mp(P) Mặt khác mp(P) song song với đường thẳng d⇒ VTCP ud−→ (d) VTCP (P) Như vậy, VTPT (Q):nQ−→=[BA−→−,ud−→]=(−10;4;−1) Hiển nhiên thấy (Q) qua B(1;−2;1) nQ−→=(−10;4;−1) nên (P):−10(x−1)+4(y+2)−1(z−1)=0 (P):10x−4y+z−19=0 C Dạng II: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Ví dụ Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O, vng góc với mặt phẳng (Q):x+y+z=0 cách điểm M(1;2;–1) khoảng 2√ Lời giải : Phương trình mp(P) qua O(0,0,0) nên có dạng : Ax+By+Cz=0 (A2+B2+C2≠0) Vì (P)⊥(Q) nên nP−→.nQ−→=0⇔1.A+1.B+1.C=0⇔C=−A−B (1) d(M,(P))=2√⇔|A+2B−C|A2+B2+C2−−−−−−−−−− −√=2√⇔(A+2B−C)2=2(A2+B2+C2) (2) Từ (1) (2) ta được: (2A+3B)2=2(2A2+2B2+2AB)⇔8AB+5B2=0 ⇔[B=0 (3)8A+5B=0 (4) Từ (3):B=0,C=–A Chọn A=1,C=–1⇒(P):x−z=0 Từ (4):8A+5B=0 Chọn A=5,B=–8 ⇒C=3⇒(P):5x−8y+3z=0 Ví dụ (Đại học Khối D−2010) Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x+y+z−3=0 (Q):x−y+z−1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vng góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) 2√ Lời giải : Ta có vectơ pháp tuyến (P) (Q) nP−→=(1;1;1) nQ−→=(1;−1;1), suy ra: [nP−→,nQ−→]=(2;0;−2) vectơ pháp tuyến (R) Mặt phẳng (R) có phương trình dạng x−z+D=0 Ta có d(O,(R))=|D|2√, suy ra: |D|2√= ⇔D=22√ D=−22√ Vậy phương trình mặt phẳng (R):x−z+22√=0 x−z−22√=0 D Dạng III: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:x−32=y−32=z1 mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−2y−4z+2=0 Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S) Lời giải : (S) có tâm I(1;1;2), bán kính R=2 d có VTCP u→=(2;2;1) {(P)∥d(P)∥Ox⇒(P) có VTPT n→=[u→,i→]=(0;1;−2) Trong u→=(1,0,0) VTCP trục Ox Suy PT (P) có dạng: y−2z+D=0 (P) tiếp xúc với (S)⇔ d(I,(P))=R⇔|1−4+D|12+22−−−−−−√=2⇔|D−3| =25√⇔[D=3+25√D=3−25√ Vậy (P):y−2z+3+25√=0 (P):y−2z+3−25√=0 Dạng IV: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng(d):x−11=y−1=z−2 tạo với mặt phẳng (P):2x−2y−z+1=0 góc 60∘ Tìm tọa độ giao điểm M mặt phẳng (Q) với trục Oz Lời giải : (d) qua điểm A(1;0;0) có VTCP u→=(1;−1;−2) (P) có VTPT nP−→=(2;−2;−1) Giao điểm M(0;0;m) cho AM−→−=(−1;0;m) (Q) có VTPT nQ−→=[AM−→−,u→]=(m;m−2;1) (Q) (P):2x−2y−z+1=0 tạo thành góc 60∘ nên : |cos(nQ−→,nP−→)|=12⇔12m2−4m+5−−−−−−−−−− −√=12⇔2m2−4m+1=0⇔[m=2−2√m=2+2√ Kết luận : M(0;0;2−2√) hay M(0;0;2+2√) C CÁC BÀI TOÁN QUA CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC Bài (Đại học Khối B−2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c), b,c dương mặt phẳng (P):y−z+1=0 Xác định b c, biết mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) 13 Hướng dẫn : Mặt phẳng (ABC) có phương trình: x1+yb+zc=1 Mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (P):y−z+1=0, suy ra: 1b−1c=0 Ta có: d(O,(ABC))=13 ⇔11+1b2+1c2−−−−−−−−−−√=13⇔1b2+1c2=8 (1) (2) Từ (1) (2), b,c>0 suy b=c=12 Bài (Đại học Khối B−2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnhA(1;2;1),B(−2;1;3),C(2;−1;1) D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A,B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) Hướng dẫn : Trường hợp 1:(P)∥ CD Ta có : AB−→−=(−3;−1;2),CD−→−=(−2;4;0) ⇒(P) có VTPT n→=(−8;−4;−14) hay n→=(4;2;7) ⇒(P):4(x−1)+2(y−2)+7(z−1)=0⇔4x+2y+7z−15=0 Trường hợp 2: (P) qua I(1;1;1) trung điểm CD Ta có AB−→−=(3;1;2),AI−→=(0;1;0) ⇒(P) có VTPT n→=(2;0;3) (P):2(x−1)+3(z−1)=0⇔2x+3z−5=0 D CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d1) (d2) có phương trình: (d1):x−12=y+13=z−21,(d2):x−46=y−19=z−33 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) (d2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2+2x−4y−4=0 mặt phẳng (P):x+z−3=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M(3;1;−1) vng góc với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;2;3),B(0;−1;2),C(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A gốc tọa độ O cho khoảng cách từ B đến (P) khoảng cách từ C đến (P) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):5x−2y+5z−1=0 (Q):x−4y−8z+12=0 Lập phương trình mặt phẳng (R) qua điểm M trùng với gốc tọa độO, vng góc với mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) góc 45∘ Mặt phẳng Khoảng cách từ điểm Góc hai mặt phẳng Mặt cầu Học Tại Nhà (hoctainha.vn) Thíc h 182.161 người thích Học Tại Nhà (hoctainha.vn) CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN Qua TÓM TẮT LÝ THUYẾT n A tâm Vectơ pháp tuyến mp (P): n→≠0→ vectơ pháp tuyến (P)⇔n→⊥(P) Đưa Cặp vectơ phương mặt phẳng (P) : hai vectơ không phương a→,b→ vào cặp vectơ phương mặt phẳng (P)⇔a→,b→ có giá song song với (P) sổ tay Quan hệ vectơ pháp tuyến n→ cặp vectơ phương a→,b→ : n→=[a→,b→] Phương trình mặt phẳng (P) qua M0(x0,y0,z0) có vectơ pháp tuyến n→=(A,B,C) : (P):A(x−x0)+b(y−y0)+C(z−z0)=0 Phương trình mặt phẳng dạng tổng quát (P):Ax+By+Cz+D=0 có vectơ pháp tuyến n→=(A,B,C) Phương trình mặt phẳng qua A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) : xa+yb+zc=1 Phương trình mặt phẳng tọa độ: (Oyz):x=0;(Oxz):y=0;(Oxy):z=0 Khoảng cách từ M0(x0,y0,z0) đến (P):Ax+By+Cz+D=0 d(M;(P))=∣∣ Ax0+By0+Cz0+D∣∣ A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√ Góc hai mặt phẳng: (P):Ax+By+Cz+D=0 (Q):A′x+B′y+C′z+D′=0 cos((P),(Q))=∣∣ AA′+BB′+CC′∣∣ A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√.A′2+B′2+C′2−−−−− −−−−−−−−√ Nhận xét : Muốn viết phương trình mặt phẳng có hai phương pháp Phương pháp Xác định điểm mà mặt phẳng qua vectơ pháp tuyến Phương pháp Xác định vectơ pháp tuyến tham số D phương trình dạng tổng quát Ax+By+Cz+D=0 B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng I Viết phương trình mặt phẳng cách xác định vectơ pháp tuyến Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1),B(– 1;1;3) mặt phẳng (P):x–3y+2z–5=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A,B vng góc với mặt phẳng (P) Lời giải : mp(Q) qua A,B nên AB−→−=(−3,−3,2) vec phương (VTCP) mp(Q) Mặt khác mp(Q) vng góc với mp(P) ⇒ vec pháp tuyến (VTPT) nP−→ (P) VTCP (Q) Như vậy, VTPT (Q):nQ−→=[nP−→,AB−→−]=(0;−8;−12) Hiển nhiên thấy (Q) qua A(2;4;1) nQ−→=(0;−8;−12) nên (Q):0(x−2)−8(y−4)−12(z−1)=0 (Q):2y+3z−11=0 Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(2;1;3),B(1;−2;1) song song với đường thẳng d:⎧⎩⎨x=−1+ty=2tz=−3−2t (t∈R) Lời giải : mp(P) qua A,B nên BA−→−=(1,3,2) VTCP mp(P) Mặt khác mp(P) song song với đường thẳng d⇒ VTCP ud−→ (d) VTCP (P) Như vậy, VTPT (Q):nQ−→=[BA−→−,ud−→]=(−10;4;−1) Hiển nhiên thấy (Q) qua B(1;−2;1) nQ−→=(−10;4;−1) nên (P):−10(x−1)+4(y+2)−1(z−1)=0 (P):10x−4y+z−19=0 C Dạng II: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Ví dụ Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O, vng góc với mặt phẳng (Q):x+y+z=0 cách điểm M(1;2;–1) khoảng 2√ Lời giải : Phương trình mp(P) qua O(0,0,0) nên có dạng : Ax+By+Cz=0 (A2+B2+C2≠0) Vì (P)⊥(Q) nên nP−→.nQ−→=0⇔1.A+1.B+1.C=0⇔C=−A−B (1) d(M,(P))=2√⇔|A+2B−C|A2+B2+C2−−−−−−−−−− −√=2√⇔(A+2B−C)2=2(A2+B2+C2) (2) Từ (1) (2) ta được: (2A+3B)2=2(2A2+2B2+2AB)⇔8AB+5B2=0 ⇔[B=0 (3)8A+5B=0 (4) Từ (3):B=0,C=–A Chọn A=1,C=–1⇒(P):x−z=0 Từ (4):8A+5B=0 Chọn A=5,B=–8 ⇒C=3⇒(P):5x−8y+3z=0 Ví dụ (Đại học Khối D−2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x+y+z−3=0 (Q):x−y+z−1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vng góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) 2√ Lời giải : Ta có vectơ pháp tuyến (P) (Q) nP−→=(1;1;1) nQ−→=(1;−1;1), suy ra: [nP−→,nQ−→]=(2;0;−2) vectơ pháp tuyến (R) Mặt phẳng (R) có phương trình dạng x−z+D=0 Ta có d(O,(R))=|D|2√, suy ra: |D|2√= ⇔D=22√ D=−22√ Vậy phương trình mặt phẳng (R):x−z+22√=0 x−z−22√=0 D Dạng III: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:x−32=y−32=z1 mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−2y−4z+2=0 Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S) Lời giải : (S) có tâm I(1;1;2), bán kính R=2 d có VTCP u→=(2;2;1) {(P)∥d(P)∥Ox⇒(P) có VTPT n→=[u→,i→]=(0;1;−2) Trong u→=(1,0,0) VTCP trục Ox Suy PT (P) có dạng: y−2z+D=0 (P) tiếp xúc với (S)⇔ d(I,(P))=R⇔|1−4+D|12+22−−−−−−√=2⇔|D−3| =25√⇔[D=3+25√D=3−25√ Vậy (P):y−2z+3+25√=0 (P):y−2z+3−25√=0 Dạng IV: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng(d):x−11=y−1=z−2 tạo với mặt phẳng (P):2x−2y−z+1=0 góc 60∘ Tìm tọa độ giao điểm M mặt phẳng (Q) với trục Oz Lời giải : (d) qua điểm A(1;0;0) có VTCP u→=(1;−1;−2) (P) có VTPT nP−→=(2;−2;−1) Giao điểm M(0;0;m) cho AM−→−=(−1;0;m) (Q) có VTPT nQ−→=[AM−→−,u→]=(m;m−2;1) (Q) (P):2x−2y−z+1=0 tạo thành góc 60∘ nên : |cos(nQ−→,nP−→)|=12⇔12m2−4m+5−−−−−−−−−− −√=12⇔2m2−4m+1=0⇔[m=2−2√m=2+2√ Kết luận : M(0;0;2−2√) hay M(0;0;2+2√) CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN Qua TĨM TẮT LÝ THUYẾT n A tâm Vectơ pháp tuyến mp (P): n→≠0→ vectơ pháp tuyến (P)⇔n→⊥(P) Đưa Cặp vectơ phương mặt phẳng (P) : hai vectơ không phương a→,b→ vào cặp vectơ phương mặt phẳng (P)⇔a→,b→ có giá song song với (P) sổ tay Quan hệ vectơ pháp tuyến n→ cặp vectơ phương a→,b→ : n→=[a→,b→] Phương trình mặt phẳng (P) qua M0(x0,y0,z0) có vectơ pháp tuyến n→=(A,B,C) : (P):A(x−x0)+b(y−y0)+C(z−z0)=0 Phương trình mặt phẳng dạng tổng quát (P):Ax+By+Cz+D=0 có vectơ pháp tuyến n→=(A,B,C) Phương trình mặt phẳng qua A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) : xa+yb+zc=1 Phương trình mặt phẳng tọa độ: (Oyz):x=0;(Oxz):y=0;(Oxy):z=0 Khoảng cách từ M0(x0,y0,z0) đến (P):Ax+By+Cz+D=0 d(M;(P))=∣∣ Ax0+By0+Cz0+D∣∣ A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√ Góc hai mặt phẳng: (P):Ax+By+Cz+D=0 (Q):A′x+B′y+C′z+D′=0 cos((P),(Q))=∣∣ AA′+BB′+CC′∣∣ A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√.A′2+B′2+C′2−−−−− −−−−−−−−√ Nhận xét : Muốn viết phương trình mặt phẳng có hai phương pháp Phương pháp Xác định điểm mà mặt phẳng qua vectơ pháp tuyến Phương pháp Xác định vectơ pháp tuyến tham số D phương trình dạng tổng quát Ax+By+Cz+D=0 B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng I Viết phương trình mặt phẳng cách xác định vectơ pháp tuyến Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1),B(– 1;1;3) mặt phẳng (P):x–3y+2z–5=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A,B vng góc với mặt phẳng (P) Lời giải : mp(Q) qua A,B nên AB−→−=(−3,−3,2) vec phương (VTCP) mp(Q) Mặt khác mp(Q) vng góc với mp(P) ⇒ vec pháp tuyến (VTPT) nP−→ (P) VTCP (Q) Như vậy, VTPT (Q):nQ−→=[nP−→,AB−→−]=(0;−8;−12) Hiển nhiên thấy (Q) qua A(2;4;1) nQ−→=(0;−8;−12) nên (Q):0(x−2)−8(y−4)−12(z−1)=0 (Q):2y+3z−11=0 Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(2;1;3),B(1;−2;1) song song với đường thẳng d:⎧⎩⎨x=−1+ty=2tz=−3−2t (t∈R) Lời giải : mp(P) qua A,B nên BA−→−=(1,3,2) VTCP mp(P) Mặt khác mp(P) song song với đường thẳng d⇒ VTCP ud−→ (d) VTCP (P) Như vậy, VTPT (Q):nQ−→=[BA−→−,ud−→]=(−10;4;−1) Hiển nhiên thấy (Q) qua B(1;−2;1) nQ−→=(−10;4;−1) nên (P):−10(x−1)+4(y+2)−1(z−1)=0 (P):10x−4y+z−19=0 C Dạng II: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Ví dụ Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O, vng góc với mặt phẳng (Q):x+y+z=0 cách điểm M(1;2;–1) khoảng 2√ Lời giải : Phương trình mp(P) qua O(0,0,0) nên có dạng : Ax+By+Cz=0 (A2+B2+C2≠0) Vì (P)⊥(Q) nên nP−→.nQ−→=0⇔1.A+1.B+1.C=0⇔C=−A−B (1) d(M,(P))=2√⇔|A+2B−C|A2+B2+C2−−−−−−−−−− −√=2√⇔(A+2B−C)2=2(A2+B2+C2) (2) Từ (1) (2) ta được: (2A+3B)2=2(2A2+2B2+2AB)⇔8AB+5B2=0 ⇔[B=0 (3)8A+5B=0 (4) Từ (3):B=0,C=–A Chọn A=1,C=–1⇒(P):x−z=0 Từ (4):8A+5B=0 Chọn A=5,B=–8 ⇒C=3⇒(P):5x−8y+3z=0 Ví dụ (Đại học Khối D−2010) Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x+y+z−3=0 (Q):x−y+z−1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vng góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) 2√ Lời giải : Ta có vectơ pháp tuyến (P) (Q) nP−→=(1;1;1) nQ−→=(1;−1;1), suy ra: [nP−→,nQ−→]=(2;0;−2) vectơ pháp tuyến (R) Mặt phẳng (R) có phương trình dạng x−z+D=0 Ta có d(O,(R))=|D|2√, suy ra: |D|2√= ⇔D=22√ D=−22√ Vậy phương trình mặt phẳng (R):x−z+22√=0 x−z−22√=0 D Dạng III: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:x−32=y−32=z1 mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−2y−4z+2=0 Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S) Lời giải : (S) có tâm I(1;1;2), bán kính R=2 d có VTCP u→=(2;2;1) {(P)∥d(P)∥Ox⇒(P) có VTPT n→=[u→,i→]=(0;1;−2) Trong u→=(1,0,0) VTCP trục Ox Suy PT (P) có dạng: y−2z+D=0 (P) tiếp xúc với (S)⇔ d(I,(P))=R⇔|1−4+D|12+22−−−−−−√=2⇔|D−3| =25√⇔[D=3+25√D=3−25√ Vậy (P):y−2z+3+25√=0 (P):y−2z+3−25√=0 Dạng IV: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng(d):x−11=y−1=z−2 tạo với mặt phẳng (P):2x−2y−z+1=0 góc 60∘ Tìm tọa độ giao điểm M mặt phẳng (Q) với trục Oz Lời giải : (d) qua điểm A(1;0;0) có VTCP u→=(1;−1;−2) (P) có VTPT nP−→=(2;−2;−1) Giao điểm M(0;0;m) cho AM−→−=(−1;0;m) (Q) có VTPT nQ−→=[AM−→−,u→]=(m;m−2;1) (Q) (P):2x−2y−z+1=0 tạo thành góc 60∘ nên : |cos(nQ−→,nP−→)|=12⇔12m2−4m+5−−−−−−−−−− −√=12⇔2m2−4m+1=0⇔[m=2−2√m=2+2√ Kết luận : M(0;0;2−2√) hay M(0;0;2+2√) C CÁC BÀI TOÁN QUA CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC Bài (Đại học Khối B−2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c), b,c dương mặt phẳng (P):y−z+1=0 Xác định b c, biết mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) 13 Hướng dẫn : Mặt phẳng (ABC) có phương trình: x1+yb+zc=1 Mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (P):y−z+1=0, suy ra: 1b−1c=0 Ta có: d(O,(ABC))=13 ⇔11+1b2+1c2−−−−−−−−−−√=13⇔1b2+1c2=8 (1) (2) Từ (1) (2), b,c>0 suy b=c=12 Bài (Đại học Khối B−2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnhA(1;2;1),B(−2;1;3),C(2;−1;1) D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A,B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) Hướng dẫn : Trường hợp 1:(P)∥ CD Ta có : AB−→−=(−3;−1;2),CD−→−=(−2;4;0) ⇒(P) có VTPT n→=(−8;−4;−14) hay n→=(4;2;7) ⇒(P):4(x−1)+2(y−2)+7(z−1)=0⇔4x+2y+7z−15=0 Trường hợp 2: (P) qua I(1;1;1) trung điểm CD Ta có AB−→−=(3;1;2),AI−→=(0;1;0) ⇒(P) có VTPT n→=(2;0;3) (P):2(x−1)+3(z−1)=0⇔2x+3z−5=0 D CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d1) (d2) có phương trình: (d1):x−12=y+13=z−21,(d2):x−46=y−19=z−33 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) (d2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2+2x−4y−4=0 mặt phẳng (P):x+z−3=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M(3;1;−1) vng góc với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;2;3),B(0;−1;2),C(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A gốc tọa độ O cho khoảng cách từ B đến (P) khoảng cách từ C đến (P) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):5x−2y+5z−1=0 (Q):x−4y−8z+12=0 Lập phương trình mặt phẳng (R) qua điểm M trùng với gốc tọa độO, vng góc với mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) góc 45∘ Mặt phẳng Khoảng cách từ điểm Góc hai mặt phẳng Mặt cầu Học Tại Nhà (hoctainha.vn) Thíc h 182.161 người thích Học Tại Nhà (hoctainha.vn) CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN Qua TÓM TẮT LÝ THUYẾT n A tâm Vectơ pháp tuyến mp (P): n→≠0→ vectơ pháp tuyến (P)⇔n→⊥(P) Đưa Cặp vectơ phương mặt phẳng (P) : hai vectơ không phương a→,b→ vào cặp vectơ phương mặt phẳng (P)⇔a→,b→ có giá song song với (P) sổ tay Quan hệ vectơ pháp tuyến n→ cặp vectơ phương a→,b→ : n→=[a→,b→] Phương trình mặt phẳng (P) qua M0(x0,y0,z0) có vectơ pháp tuyến n→=(A,B,C) : (P):A(x−x0)+b(y−y0)+C(z−z0)=0 Phương trình mặt phẳng dạng tổng quát (P):Ax+By+Cz+D=0 có vectơ pháp tuyến n→=(A,B,C) Phương trình mặt phẳng qua A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) : xa+yb+zc=1 Phương trình mặt phẳng tọa độ: (Oyz):x=0;(Oxz):y=0;(Oxy):z=0 Khoảng cách từ M0(x0,y0,z0) đến (P):Ax+By+Cz+D=0 d(M;(P))=∣∣ Ax0+By0+Cz0+D∣∣ A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√ Góc hai mặt phẳng: (P):Ax+By+Cz+D=0 (Q):A′x+B′y+C′z+D′=0 cos((P),(Q))=∣∣ AA′+BB′+CC′∣∣ A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√.A′2+B′2+C′2−−−−− −−−−−−−−√ Nhận xét : Muốn viết phương trình mặt phẳng có hai phương pháp Phương pháp Xác định điểm mà mặt phẳng qua vectơ pháp tuyến Phương pháp Xác định vectơ pháp tuyến tham số D phương trình dạng tổng quát Ax+By+Cz+D=0 B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng I Viết phương trình mặt phẳng cách xác định vectơ pháp tuyến Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1),B(– 1;1;3) mặt phẳng (P):x–3y+2z–5=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A,B vng góc với mặt phẳng (P) Lời giải : mp(Q) qua A,B nên AB−→−=(−3,−3,2) vec phương (VTCP) mp(Q) Mặt khác mp(Q) vng góc với mp(P) ⇒ vec pháp tuyến (VTPT) nP−→ (P) VTCP (Q) Như vậy, VTPT (Q):nQ−→=[nP−→,AB−→−]=(0;−8;−12) Hiển nhiên thấy (Q) qua A(2;4;1) nQ−→=(0;−8;−12) nên (Q):0(x−2)−8(y−4)−12(z−1)=0 (Q):2y+3z−11=0 Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(2;1;3),B(1;−2;1) song song với đường thẳng d:⎧⎩⎨x=−1+ty=2tz=−3−2t (t∈R) Lời giải : mp(P) qua A,B nên BA−→−=(1,3,2) VTCP mp(P) Mặt khác mp(P) song song với đường thẳng d⇒ VTCP ud−→ (d) VTCP (P) Như vậy, VTPT (Q):nQ−→=[BA−→−,ud−→]=(−10;4;−1) Hiển nhiên thấy (Q) qua B(1;−2;1) nQ−→=(−10;4;−1) nên (P):−10(x−1)+4(y+2)−1(z−1)=0 (P):10x−4y+z−19=0 C Dạng II: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Ví dụ Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O, vng góc với mặt phẳng (Q):x+y+z=0 cách điểm M(1;2;–1) khoảng 2√ Lời giải : Phương trình mp(P) qua O(0,0,0) nên có dạng : Ax+By+Cz=0 (A2+B2+C2≠0) Vì (P)⊥(Q) nên nP−→.nQ−→=0⇔1.A+1.B+1.C=0⇔C=−A−B (1) d(M,(P))=2√⇔|A+2B−C|A2+B2+C2−−−−−−−−−− −√=2√⇔(A+2B−C)2=2(A2+B2+C2) (2) Từ (1) (2) ta được: (2A+3B)2=2(2A2+2B2+2AB)⇔8AB+5B2=0 ⇔[B=0 (3)8A+5B=0 (4) Từ (3):B=0,C=–A Chọn A=1,C=–1⇒(P):x−z=0 Từ (4):8A+5B=0 Chọn A=5,B=–8 ⇒C=3⇒(P):5x−8y+3z=0 Ví dụ (Đại học Khối D−2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x+y+z−3=0 (Q):x−y+z−1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vng góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) 2√ Lời giải : Ta có vectơ pháp tuyến (P) (Q) nP−→=(1;1;1) nQ−→=(1;−1;1), suy ra: [nP−→,nQ−→]=(2;0;−2) vectơ pháp tuyến (R) Mặt phẳng (R) có phương trình dạng x−z+D=0 Ta có d(O,(R))=|D|2√, suy ra: |D|2√= ⇔D=22√ D=−22√ Vậy phương trình mặt phẳng (R):x−z+22√=0 x−z−22√=0 D Dạng III: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:x−32=y−32=z1 mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−2y−4z+2=0 Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S) Lời giải : (S) có tâm I(1;1;2), bán kính R=2 d có VTCP u→=(2;2;1) {(P)∥d(P)∥Ox⇒(P) có VTPT n→=[u→,i→]=(0;1;−2) Trong u→=(1,0,0) VTCP trục Ox Suy PT (P) có dạng: y−2z+D=0 (P) tiếp xúc với (S)⇔ d(I,(P))=R⇔|1−4+D|12+22−−−−−−√=2⇔|D−3| =25√⇔[D=3+25√D=3−25√ Vậy (P):y−2z+3+25√=0 (P):y−2z+3−25√=0 Dạng IV: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng(d):x−11=y−1=z−2 tạo với mặt phẳng (P):2x−2y−z+1=0 góc 60∘ Tìm tọa độ giao điểm M mặt phẳng (Q) với trục Oz Lời giải : (d) qua điểm A(1;0;0) có VTCP u→=(1;−1;−2) (P) có VTPT nP−→=(2;−2;−1) Giao điểm M(0;0;m) cho AM−→−=(−1;0;m) (Q) có VTPT nQ−→=[AM−→−,u→]=(m;m−2;1) (Q) (P):2x−2y−z+1=0 tạo thành góc 60∘ nên : |cos(nQ−→,nP−→)|=12⇔12m2−4m+5−−−−−−−−−− −√=12⇔2m2−4m+1=0⇔[m=2−2√m=2+2√ Kết luận : M(0;0;2−2√) hay M(0;0;2+2√) C CÁC BÀI TOÁN QUA CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC Bài (Đại học Khối B−2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c), b,c dương mặt phẳng (P):y−z+1=0 Xác định b c, biết mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) 13 Hướng dẫn : Mặt phẳng (ABC) có phương trình: x1+yb+zc=1 Mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (P):y−z+1=0, suy ra: 1b−1c=0 Ta có: d(O,(ABC))=13 ⇔11+1b2+1c2−−−−−−−−−−√=13⇔1b2+1c2=8 (1) (2) Từ (1) (2), b,c>0 suy b=c=12 Bài (Đại học Khối B−2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnhA(1;2;1),B(−2;1;3),C(2;−1;1) D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A,B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) Hướng dẫn : Trường hợp 1:(P)∥ CD Ta có : AB−→−=(−3;−1;2),CD−→−=(−2;4;0) ⇒(P) có VTPT n→=(−8;−4;−14) hay n→=(4;2;7) ⇒(P):4(x−1)+2(y−2)+7(z−1)=0⇔4x+2y+7z−15=0 Trường hợp 2: (P) qua I(1;1;1) trung điểm CD Ta có AB−→−=(3;1;2),AI−→=(0;1;0) ⇒(P) có VTPT n→=(2;0;3) (P):2(x−1)+3(z−1)=0⇔2x+3z−5=0 D CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d1) (d2) có phương trình: (d1):x−12=y+13=z−21,(d2):x−46=y−19=z−33 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) (d2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2+2x−4y−4=0 mặt phẳng (P):x+z−3=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M(3;1;−1) vng góc với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;2;3),B(0;−1;2),C(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A gốc tọa độ O cho khoảng cách từ B đến (P) khoảng cách từ C đến (P) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):5x−2y+5z−1=0 (Q):x−4y−8z+12=0 Lập phương trình mặt phẳng (R) qua điểm M trùng với gốc tọa độO, vng góc với mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) góc 45∘ Mặt phẳng Khoảng cách từ điểm Góc hai mặt phẳng Mặt cầu Học Tại Nhà (hoctainha.vn) Thíc h 182.161 người thích Học Tại Nhà (hoctainha.vn)