SKKN phân dạng bài tập viét phương trình mặt cầu trong không gian tọa độ OXYZ nhằm giúp học sinh ôn thi THPT quốc

Mục lục Nội dung Mục lục 1.Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Trang 2 2-3 3 3 3-4 4-18 18 18 18-19 19 20 1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học môn khoa học môn học khác, đòi hỏi người học, người dạy phải đam mê, tâm huyết, tỉ mĩ kiên nhẫn nắm Nó mơn học khó, trừu tượng với thời lượng nội dung chương trình sâu gây khó khăn cho người học người dạy Thực tế cho thấy nhiều học sinh đam mê, u thích mơn tốn kết thi đại học năm trước thi trung học phổ thông (THPT) quốc gia năm gần không cao so với môn khác Chúng ta biết kì thi trung học phổ thông quốc gia năm gần có tốn liên qua đến mặt cầu Đó dạng tốn vừa dễ mà vừa khó học sinh làm Đặc biệt tập liên quan đến phương trình mặt cầu chứa tham số học sinh thường lúng túng hay mắc sai lầm việc nhận dạng nên chưa có phương pháp giải phù hợp Bên cạnh đó, mặt cầu nội dung quan trọng chương trình tốn THPT Nó vừa đối tượng, vừa cơng cụ hữu hiệu để giải nhiều vấn đề phức tạp toán THPT Về vấn đề này, có nhiều tài liệu, sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) viết Tuy nhiên tài liệu viết chun sâu, hệ thống phân dạng tốn khơng nhiều Vì học sinh thường gặp khó khăn gặp tập liên quan đến viết phương trình mặt cầu Do việc chọn lựa đề tài SKKN nhằm góp phần giải vấn đề việc làm phù hợp với thực tiễn, nâng cao chất lượng giáo dục, thể tình yêu nghề trách nhiệm người cán giáo viên Chính chọn đề tài SKKN là: “Phân dạng tập viết phương trình mặt cầu khơng gian tọa độ Oxyz nhằm giúp học sinh ôn thi trung học phổ thơng quốc gia tốt hơn” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Các vấn đề trình bày đề tài hỗ trợ cho em học sinh trung học phổ thơng có nhìn tồn diện việc giải số dạng toán phương trình mặt cầu - Giúp học sinh nhận dạng tập phương trình mặt cầu để từ có cách giải phù hợp - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo - Nâng cao khả tự học, tự bồi dưỡng khả giải toán kỳ thi THPT quốc gia 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong đời sống hàng ngày, gặp nhiều đồ vật có dạng hình cầu như: Quả bóng, địa cầu…nhưng người biết tính chất phương trình Học sinh học mặt cầu phương trình mặt cầu chương III sách giáo khoa 12 nâng cao giáo dục đào tạo phát hành Trong chương III có ba đối tượng nghiên cứu là: đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Khi dạy phương trình mặt cầu tơi nhận thấy học sinh tiếp thu tốt vận dụng vào tập học sinh khơng làm được, khơng nhận dạng tập để có phương pháp giải thích hợp 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trình bày cho học sinh kiến thức mặt cầu phương trình mặt cầu Thơng qua ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy mạnh việc sử dụng phương pháp Các ví dụ minh họa đề tài lọc từ tài liệu tham khảo đề thi đại học, THPT quốc gia năm gần xếp từ dễ đến khó Trong tiết học lớp tơi cho học sinh giải vi dụ nhiều phương pháp để từ đánh giá tính ưu việt phương pháp Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, trình nghiên cứu sử dụng phương pháp sau: - Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế (công việc dạy - học giáo viên HS) - Phương pháp thu thập thông tin (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn,…) - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu (lấy ý kiến giáo viên HS thông qua trao đổi trực tiếp) 1.5 Những điểm SKKN - Đưa tập tài liệu thống cụ thể giúp học sinh hiểu giải toán liên qua đến mặt cầu phương trình mặt cầu - Hệ thống phân dạng số tập phương trình mặt cầu đưa cách giải cụ thể Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Chương trình giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện lớp học, bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập cho học sinh Đối với sáng kiến kinh nghiệm sử dụng nguồn tài liệu là: - Sách giáo khoa hình học 12 nâng cao ( giáo dục đào tạo) phát hành - Giải tốn hình học 12 ( Bài giảng chun sâu tốn THPT) Lê Hồng Đức nhóm Cự Mơn - Tài liệu chun tốn ( tập hình học 12) Đồn Quỳnh (chủ biên) - Tạp chí tốn học tuổi trẻ, NXB Giáo dục Bộ giáo dục đào tạo- Hội tốn học Việt Nam (1996- 2007) Ngồi sử dụng tài liệu khai thác mạng 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tiễn học tập giảng dạy, thân nhận thấy tốn phương trình mặt cầu thi cấp THPT đa dạng, đặc biệt tốn phương trình mặt cầu chứa tham số Nhưng học sinh thường không mạnh dạn, tự tin giải tốn dạng vì: - Mặt cầu phần kiến thức với học sinh, gắn liền với toán học đại, học sinh bắt đầu làm quen cuối chương trình lớp 12 - Tài liệu viết phân dạng tập phương trình mặt cầu khơng nhiều, học sinh khơng nhận diện dạng toán chưa hướng dẫn cách hệ thống phương pháp để giải toán cách trọn vẹn - Số lượng toán nêu xuất ngày nhiều đề thi THPT quốc gia năm gần 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề a.Phương pháp giải Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh, tác giả giúp học sinh nhận dạng toán phương pháp giải dạng toán theo hệ thống tập xếp theo trình tự logic Trong sáng kiến kinh nghiệm phân loại tập viết phương trình mặt cầu như: Xác định tâm bán kính mặt cầu cho trước, viết phương trình mặt cầu biết số yếu tố cho trước, lập phương trình tiếp diện mặt cầu, xác định tâm bán kính đường tròn giao mặt phẳng mặt cầu, ứng dụng mặt cầu để giải số tốn đại số b Phương trình mặt cầu: Dạng 1: 2 Mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R (1) 2 2 2 Dạng 2: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( a + b + c − d > ) (2) Khi mặt cầu (S) có tâm I(-a; -b; -c), bán kính R = a + b + c − d c Vị trí tương đối mặt cầu với đường thẳng: Cho mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R đường thẳng ∆ Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆ : d ( I , ∆ ) Nếu d ( I , ∆ ) > R ∆ ∩ ( S ) = ∅ ; Nếu d ( I , ∆ ) < R ∆ ∩ ( S ) điểm phân biệt; Nếu d ( I , ∆ ) = R ∆, ( S ) tiếp xúc nhau, ∆ gọi tiếp tuyến mặt cầu d Vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng: Cho mặt cầu (S) tâm ( P ) : Ax + By + Cz + D = I(a; b; c), bán kính R Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P): d ( I , ( P ) ) = Nếu: 1) d ( I , ( P ) ) > R ( P ) ∩ ( S ) = ∅ ; mặt phẳng Aa +Bb +Cc+D A2 + B2 + C ( 2 2) d ( I , ( P ) ) < R ( P ) ∩ ( S ) đường tròn H ; r = R − d ( I ; ( P ) ) ) với H hình chiếu I (P) Vậy đường tròn khơng gian có phương trình: 2 2  ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R    Ax + By + Cz + D = 3) d ( I , ( P ) ) = R mặt cầu (S) mặt phẳng (P) tiếp xúc điểm H hình chiếu I mặt phẳng (P) Khi mặt phẳng (P) gọi tiếp diện mặt cầu (S) e Các dạng tốn: Dạng 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu cho trước (Dạng phương trình (2)): Cách 1: Đưa dạng Cách 2: Kiểm tra điều kiện a + b + c − d > ⇒ tâm bán kính Ví dụ 1: Tìm tâm bán kính mặt cầu sau: a x + y + z − x + y + 1= b x + y + z + x + y − z − 4= Bài giải 2 a Từ x + y + z − x + y + 1= ta có ( x − ) + ( y + 1) + z = 16 Vậy mặt cầu (S) có tâm I ( 4; −1;0 ) bán kính R = b Từ x + y + z + x + y − z − 4= ta có: ( x + ) + ( y + ) + ( z − 1) = 25 Vậy mặt cầu (S) có tâm I ( −2; −4;1) bán kính R = Ví dụ 2: ( Giải tốn hình học 12 Lê Hồng Đức nhóm Cự Mơn) Cho họ ( Sm ) : x + y + z + 4mx − 2my − z + m + 4m = a Tìm điều kiện để ( Sm ) phương trình mặt cầu b Chứng minh tâm ( Sm ) nằm đường thẳng cố định Viết phương trình đường thẳng cố định Bài giải 2 a Phương trình cho ⇔ ( x + 2m ) + ( y − m ) + ( z − 3) = 4m − 4m + 2 2 1  Ta thấy 4m − 4m + =  m − ÷ + > 0, ∀m 2  Vậy ( Sm ) phương trình mặt cầu với m b Mặt cầu ( Sm ) có tâm I m ( −2m; m;3)  x = −2m   y = − x Ta có:  y = m ⇔  z =  z =  Vậy mặt phẳng z = tâm I m ( −2m; m;3) nằm đường thẳng y = − x Ví dụ 3: Cho phương trình: x + y + z − 2m x − 4my +8m − = a Tìm điều kiện để phương trình phương trình mặt cầu b Khi tìm tập hợp tâm họ mặt cầu Bài giải 2 a Phương trình cho ⇔ ( x − m ) + ( y − 2m ) + z = m − 4m2 + phương trình mặt cầu ⇔ m − 4m + = ( m − ) > ⇔ m ≠ ± b Khi tâm I ( m ; 2m; 0) Ta thấy tâm I thuộc mặt phẳng Oxy yI2 xI = y2 Vậy tập hợp tâm I parabol x = nằm mp Oxy bỏ điểm: M (2; 2;0) N (2; −2 2;0) Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu biết số yếu tố cho trước a Biết tâm bán kính Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu (S) trường hợp sau: a Biết tâm I ( −2; −4;1) bán kính R = b Có đường kính AB với A ( 1;3;1) , B ( −2;0;1) Bài giải a Phương trình mặt cầu (S) có tâm I ( −2; −4;1) bán kính R = có dạng: 2 ( x + ) + ( y + ) + ( z − 1) = 16 uuur b Ta có: AB = ( −3; −3;0 ) ⇒ AB =   Gọi I trung điểm AB nên I  − ; ;1÷  2    AB = Mặt cầu tâm I  − ; ;1÷ bán kính R = có phương trình:  2  2 2 1  3   x + ÷ +  y − ÷ + ( z − 1) = 2  2  b Đi xác định tâm bán kính mặt cầu: - Biết tâm: tìm bán kính; - Biết bán kính: tìm tâm; - Chưa biết tâm bán kính: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tiếp xúc với mặt phẳng cho trước thường xác định tâm trước sau tìm bán kính Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 3) tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) với: A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2) Bài giải x y z + + =1⇔ x + y + z − = 2 ⇒ Phương trình mặt cầu: Bán kính mặt cầu: R = d ( I , ( ABC ) ) = 16 2 ( x − 1) + ( x − ) + ( x − 3) = Phương trình mặt phẳng (ABC): Ví dụ 2: : Lập phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A ( 2, 0,1) , B ( 1, 0, ) , C ( 1,1,1) có tâm thuộc mặt phẳng (P): x + y + z − = Bài giải Gọi phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( a + b + c − d > ) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I ( −a, −b, −c ) Theo đề phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A ( 2, 0,1) , B ( 1, 0, ) , C ( 1,1,1) có tâm thuộc mặt phẳng (P) nên ta có hệ:  4a + 2c + d = −5  a = −1  2c + d = −1 b =   ⇔   2a + 2b + 2c + d = −3 c = −1  a + b + c = −2 d = Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm: 2 x + y + z − 2x - 2z +1= hay ( x − 1) + y + ( x − 1) = Ví dụ 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) cho mặt cầu cắt đường 5x − y + 3z + 20 =  3x − y + z − = thẳng d có phương trình:  điểm A, B cho AB = 16 Bài giải r Đường thẳng d qua M(11; 0; -25) có véc tơ phương u = ( 2;1; − ) uuu r r  MI , u    = 15 r Gọi H hình chiếu I d Ta có: IH = d ( I , AB ) = u AB  Khi bán kính mặt cầu: R = IH +  ÷ = 17   Vậy phương trình mặt cầu: ( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 289 Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d có phương trình: 2 x −1 y − z − = = hai mặt phẳng 2 ( P1 ) : x + 2y + 2z − = 0; ( P2 ) : 2x + y + 2z −1= Lập phương trình mặt cầu có tâm I nằm d tiếp xúc với mặt phẳng Bài giải Điểm I ∈ d ⇒ I ( 2t + 1; t + 2; 2t + 3) Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ⇔ d ( I , ( P1 ) ) = d ( I , ( P2 ) ) t = 8t + = 9t + ⇔ 8t + = 9t + ⇔  ⇔  −18 t = t + = − t −  17  Với t = ta có tâm bán kính là: I1 ( 1; 2;3) ; R1 = Nên phương trình mặt cầu ( S1 ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = Với t = − 2 18  19 16 15  ta có tâm bán kính là: I  − ; ; ÷; R2 = 17 17  17 17 17  2 19   16   15   Nên phương trình mặt cầu ( S ) :  x + ÷ +  y − ÷ +  z − ÷ = 17   17   17  289  Ví dụ 5: Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) D(1; -1; 2) Bài giải Cách 1: Gọi I(x; y; z) tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Khi ta có  IA2 = IB  2  IB = IC ⇒ tâm bán kính I ( 1;1;1) , R = IA =  IC = ID  Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu là: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( a + b + c − d > ) Mặt cầu qua điểm A, B, C, D nên: 2a + 2b + d + =  a = −1 6a + 2b + 4c + d + 14 = b = −1   ⇒ ⇔ −2a + 2b + 4c + d + = c = −   2a − 2b + 4c + d + = d = 2 2 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − ) = Dạng 3: Lập phương trình tiếp diện mặt cầu Bài tốn 1: Lập phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S) tâm I, bán kính R điểm A Cách giải: uu r Mặt phẳng (P) qua A nhận véc tơ IA làm véc tơ pháp tuyến Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt cầu (S): x + y + z − 2x - 4y - 6z = điểm M ( 4;3;1) Bài giải Mặt cầu (S) có tâm I ( 1; 2;3) có bán kính R = 14 Gọi (P) mặt phẳng tiếp diện mặt cầu (S) điểm M ( 4;3;1) Khi mặt uuur phẳng (P) qua M nhận IM = (3;1; −2) làm véc tơ pháp tuyến nên mặt phẳng (P) có phương trình: ( x − ) + ( y − ) − ( z − 1) = ⇔ x + y − z − 13 = Bài tốn 2: Lập phương trình tiếp diện r(P) mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết véctơ pháp tuyến (P) n = ( A; B; C ) Cách giải ( P ) : Ax + By + Cz + D = Có: d ( I , ( P ) ) = R ⇔ Aa +Bb +Cc+D A + B +C 2 = R ⇒ tìm D suy phương trình mặt phẳng (P) Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt cầu (S): x + y + z − 4x - 2y - 6z + 5= biết véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (P) r n = ( 1; 2; ) Bài giải Mặt cầu (S) có tâm I ( 2;1;3) có bán kính R = Gọi (P) mặt phẳng tiếp diện mặt cầu (S) có dạng: x + 2y + 2z + D = Khi ta có:  D = −1 = ⇔ 10 + D = ⇔  12 + 22 + 22  D = −19 Với D = -1 mặt phẳng (P) có dạng: x + 2y + 2z -1= Với D = -19 mặt phẳng (P) có dạng: x + 2y + 2z -19 = d ( I, ( P) ) = R ⇔ 2+2+6+ D =3⇔ 10 + D Ví dụ 2: ( Đề thi thức kì thi THPT quốc gia năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 1) + ( z + ) = hai đường thẳng d : 2 x − y z −1 = = , −1 x y z −1 = = Phương trình phương trình mặt phẳng 1 −1 tiếp xúc với mặt cầu (S), song song với d ∆ ? A x + y + = B y + z + = C x + z − = D x + z + = ∆: Bài giải 2 Mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 1) + ( z + ) = có tâm I ( −1;1; − ) bán kính uu r R = Đường thẳng d ∆ có vectơ phương ud = ( 1; 2; − 1) uu r u∆ = ( 1;1; − 1) Gọi (P) mặt phẳng cần tìm Mặt phẳng (P) song song với d ∆ nên véc tơ r ur uu r pháp tuyến n = u1 , u2  = ( −1;0; − 1) Khi mặt phẳng có dạng: − x − z + d = Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d ( I,( P) ) = R ⇔  d = −1 = ⇔ 3+ d = ⇔   d = −5 3+ d Vậy đáp án cần tìm D Chú ý: Trong tốn cho biết véc tơ pháp tuyến dạng: 10 - Biết ( P ) song song với mặt phẳng song song với đường thẳng cho trước - Biết vng góc với đường thẳng cho trước Ví dụ 3: ( Tài liệu chun tốn tập hình học 12 Đoàn Quỳnh): Cho mặt phẳng (P) mặt cầu (S) có phương trình: ( P ) : 2x - 3y + 2z − 3= 2 ( S ) : ( x − ) + ( y + ) + ( z − ) = 68 Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Bài giải Mặt cầu (S) có tâm I ( 8; −8; ) có bán kính R = 17 Gọi (Q) mặt phẳng cần tìm Do ( P ) / / ( Q ) nên mặt phẳng (Q) có dạng: 2x - 3y + 2z + D = Mặt khác mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có: d ( I,( P) ) = R ⇔ 2.8 − ( −8 ) + 2.7 + D 22 + ( −3) + 22  D = −20 = 17 ⇔ 54 + D = 34 ⇔   D = −88 Với D = -20 mặt phẳng (P) có dạng: 2x - 3y + 2z − 20= Với D = -88 mặt phẳng (P) có dạng: 2x - 3y + 2z − 88= Ví dụ 4: Cho đường thẳng d mặt cầu (S) có phương trình:  x = + 2t  2 d :  y = + 2t , t ∈ R ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 18 z = 1+ t  Viết phương trình mặt phẳng vng góc với đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) Bài giải Mặt cầu (S) có tâm I ( 1; 4;3) có bán kính R = r u Đường thẳng d có véctơ phương = ( 2; 2;1) qua điểm M ( 3;3;1) Gọi (P) mặt phẳng cần tìm Do mặt phẳngr (P) vng góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) nhận véctơ phương u = ( 2; 2;1) đường thẳng d làm véctơ pháp tuyến nên mặt phẳng (P) có dạng: 2x + 2y + z + D = Mặt khác mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:  D = −13 − = ⇔ 13 + D = ⇔  22 + 22 + 12  D = −13 + Với D = −13 + mặt phẳng (P) có dạng: 2x + 2y + z − 13 + 2= d ( I , ( P) ) = R ⇔ +8+3+ D Với D = −13 − mặt phẳng (P) có dạng: 2x + 2y + z − 13 − = Bài toán 3: 11 Lập phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) chứa đường thẳng d cho trước Cách giải: - Xét đường thẳng d dạng phương trình tổng quát; - Viết phương trình chùm mặt phẳng qua d; - Sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm mặt phẳng (P) Ví dụ 1: ( Giải tốn hình học 12 Lê Hồng Đức nhóm Cự Mơn) Cho đường thẳng d mặt cầu (S) có phương trình: d: x − y −1 z − 2 = = ( S ) : x + ( y − 1) + ( z − ) = 1 a Chứng minh đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm A Tìm tọa độ tiếp điểm A b Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) Bài giải a Mặt cầu (S) có tâm I ( 0;1; ) có bán kính R = r u Đường thẳng d có véctơ phương = ( 2;1;1) qua điểm M ( 3;1; )  x = + 2t  Chuyển đường thẳng d dạng tham số: d :  y = + t , t ∈ R z = + t  Thay phương trình tham số d vào phương trình mặt cầu (S) ta được: ( + 2t ) + t + t = ⇔ 6t + 12t + = ⇔ t = −1 Khi tiếp điểm A ( 1;0;1) b Gọi (P) mặt phẳng cần tìm Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tiếp xúc với uu r mặt cầu (S) nên mặt phẳng (P) qua A có véctơ phương IA = ( 1; − 1; − 1) nên mặt phẳng (P) có dạng: x − y − z = Ví dụ 2: ( Giải tốn hình học 12 Lê Hồng Đức nhóm Cự Mơn) Cho đường thẳng d mặt cầu (S) có phương trình: d: x − y − z +1 2 = = ( S ) : x + ( y − 1) + ( z − ) = 14 a Chứng minh đường thẳng d khơng cắt mặt cầu (S) b Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) Bài giải a Mặt cầu (S) có tâm I ( 0;1; ) có bán kính R = 14 r u Đường thẳng d có véctơ phương = ( 9;3;5 ) qua điểm M ( 3; 2; −1) 12  x = + 9t  Chuyển đường thẳng d dạng tham số: d :  y = + 3t , t ∈ R  z = −1 + 5t  Thay phương trình tham số d vào phương trình mặt cầu (S) ta được: 2 ( + 9t ) + ( + 3t ) + ( −3 + 5t ) = 14 ⇔ 115t + 30t + = Phương trình vơ nghiệm Vậy đường thẳng d không cắt mặt cầu (S) b Lấy thêm điểm N ( −6; −1; −6 ) ∈ d giả sử mặt phẳng (P) cần tìm có phương trình: ( P ) : Ax + By + Cz + D = với A2 + B + C > Vì M, N thuộc (P) nên: 3 A + B − C + D = 5C = −9 A − 3B ⇔   −6 A − B − 6C + D = 5D = −24 A − 13B (I) Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) d ( I,( P) ) = R ⇔ B + 2C + D A2 + B + C = 14 ⇔ ( B + 2C + D ) = 14 ( A2 + B + C ) (II)  A = −2 B Thay (I) vào (II) ta được: A + AB − B = ⇔  A= B  2 + Với A = -2B chọn A = suy B = 2, C = -3, D = -10 Khi phương trình mặt phẳng (P) cần tìm: x + y − 3z − 10 = B chọn B = -1 suy A = 2, C = -3, D = -7 Khi phương trình mặt phẳng (P) cần tìm: x − y − z − = + Với A = Dạng 4: Đường tròn khơng gian Bài tốn 1: Xác định tâm, tính bán kính đường tròn giao mặt phẳng với mặt cầu cho trước: Cách giải: ( 2 Khi d ( I , ( P ) ) < R ( P ) ∩ ( S ) đường tròn H ; r = R − d ( I ; ( P ) ) ) với H hình chiếu I (P) Vậy đường tròn khơng gian có phương trình: 2 2  ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R    Ax + By + Cz + D = Ví dụ ( Đề thi đại học khối A-2009): Cho mặt phẳng (P): x − y − z − = mặt cầu (S): x + y + z − 2x - 4y - 6z - 11= 13 Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định tâm bán kính đường tròn Bài giải: Mặt cầu (S) có tâm I ( 1; 2;3) bán kính R = Do 2.1 − 2.2 − 1.3 − d ( I , ( P) ) = R ⇔ 22 + ( −2 ) + ( −1) 2 = = < = R nên mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có bán kính r = R − d ( I ; ( P ) ) = có tâm H hình chiếu I (P) Tọa độ H nghiệm hệ phương trình:  x −1 y − z − = =  −2 −1 ⇒ H ( 3;0; )    2x -2y -z -4 = Ví dụ ( Đề minh họa kì thi THPT quốc gia 2017): Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;1;1) mặt phẳng ( P ) : 2x + y + 2z + = Biết mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường tròn có bán kính Viết phương trình mặt cầu ( S ) A ( S ) : ( x + 2) + ( y + 1) + ( z + 1) = B ( S ) : ( x + 2) + ( y + 1) + ( z + 1) = 10 C ( S ) : ( x − 2) + ( y − 1) + ( z − 1) = D ( S ) : ( x − 2) + ( y − 1) + ( z − 1) = 10 2 2 2 2 2 2 Bài giải Gọi R, r bán kính mặt cầu ( S ) đường tròn giao tuyến ( Ta có R = r + d ( I , ( P ) ) ) 2  2.2 + 1.1 + 2.1 +  ÷ = 10 = 1+  2  ÷ + 1+   Mặt cầu ( S ) tâm I ( 2;1;1) bán kính R = 10 ( x − 2) + ( y − 1) + ( z − 1) = 10 Đáp án D Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu qua điểm M (x0, y0, z0) chứa 2 2 2  ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R đường tròn:    Ax + By + Cz + D = Cách giải: Tìm dạng phương trình mặt cầu (S): ( x − a) + ( y − b ) + ( z − c ) − R + k ( Ax + By + Cz + D ) = 2 Thay tọa độ điểm M (x0,y0, z0) vào mặt cầu để tìm k Ví dụ ( Tài liệu chun tốn tập hình học 12 Đồn Quỳnh): 14 Viết phương trình mặt cầu ( S ) qua điểm M (7, −3,1) chứa đường tròn 2  ( x − 3) + ( y − ) + z = 36 (C ) :    4x + y - z - = Bài giải 2  ( x − 3) + ( y − ) + z = 36 Mặt cầu ( S ) chứa đường tròn ( C ) :    4x + y - z - = nên có dạng : ( x − 3) + ( y − ) + z − 36 + k ( 4x + y - z - ) = 2 Do M (7, −3,1) ∈ ( S ) nên ( − 3) + ( −3 − ) + 12 − 36 + k ( 4.7 - 3- 1- ) = ⇔ k = −2 2 Vậy phương trình mặt cầu ( S ) : ( x − 3) + ( y − ) + z − 36 − ( 4x + y - z - ) = ⇔ x + y + z − 14 x − 10 y + z + = Dạng 5: Ứng dụng mặt cầu giải số tốn đại số Ví dụ 1:  x + y + z =1 Cho hệ phương trình:  2 x − y + z = m (1) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm tìm nghiệm Bài giải Nghiệm hệ phương trình (nếu có) tọa độ điểm chung của: mặt cầu (S): x + y + z =1 mặt phẳng ( α ) :2 x − y + z − m = Mặt cầu (S) có tâm O(0; 0; 0) bán kính R = Do hệ (1) có nghiệm (S) (α) tiếp xúc ⇔ d ( O, (α ) ) = −m 22 + (−1) + 22 =1 ⇔ −m =1⇔ m = m = −  Trường hợp 1: Với m = nghiệm hệ hình chiếu vng góc H O ( α1 ) : x − y + z − = đường thẳng ∆ qua O vng góc với (α1) có phương  x = 2t  trình:  y = − t ( t ∈ R )  z = 2t  Giá trị tham số t tương ứng với điểm chung (α1) ∆là t= 2 2 ⇒ H  ,− , ÷ 3 3 Trường hợp 2: Với m = -3 Gọi H’ hình chiếu vng góc O 15 ( α ) : x − y + z + = đường thẳng ∆ qua O vng góc với (α2) có phương  x = 2t  trình:  y = − t ( t ∈ R )  z = 2t  Giá trị tham số t tương ứng với điểm chung (α2) ∆là  2 t = − ⇒ H '  − ; ; − ÷  3 3 2  Vậy m = hệ có mghiệm  x = ; y = − ; z = ÷ 3 3  2  m = - hệ có mghiệm  x = − ; y = ; z = − ÷ 3 3  Ví dụ 2: Cho ba số thực x, y, z thỏa: x + y + z =1 Tìm GTLN GTNN của: F = 2x + y − z − Bài giải: Xét mặt cầu (S): x + y + z =1 tâm O, bán kính R = mặt phẳng (α): x + y − z − =  x = 2t  Đường thẳng ∆qua O vng góc với (α) có phương trình  y = 2t ( t ∈ R ) , z = − t  2 2     ⇒ ∆ (S) cắt điểm: A  ; ; − ÷ B  − ; − ; ÷  3 3  3 3 4 4 + + −9 − − − −9 3 3 3 Khi d ( A, (α ) ) = =2 d ( B, (α ) ) = =4 2 2 2 + + ( −1) + + ( −1) giá trị tham số t tương ứng với giao điểm ∆ (S) t = ± Lấy M(x; y; z) ∈(S), d ( M , (α ) ) = 2x + y − z − + + ( −1) 2 = F Luôn có ≤ F ≤ 12 F ≤ 4⇔ 2 Vậy Fmin = đạt x = y = ; z = − Fmax = 12 đạt x = y = − ; z = 3 3 d ( A, (α ) ) ≤ d ( M , (α ) ) ≤ d ( B, (α ) ) ⇔ 2≤ f Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( S ) : ( x − 3) + ( y + ) + ( z − 1) = 25 2 16 song song với mặt phẳng (P): 4x + 3z - 17 = Bài tập 2: Viết phương trình mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2  ( x − 3) + ( y − ) + z = 36 2x + 2y + z - = chứa đường tròn ( C ) :    4x + y - z - = Bài tập 3: 2x − y − z + 1= mặt  x + y − z − 4= Trong hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d):  cầu (S) có phương trình: x + y + z + 4x − 6y + m = Tìm m để d cắt mặt cầu (S) điểm M, N cho MN = Bài tập 4: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + = I(1; 2; -2): a) Lập phương trình mặt cầu (C), tâm I cho giao tuyến mặt cầu (C) mặt phẳng (P) đường tròn có chu vi 8π b) Chứng minh mặt cầu (C) nói tiếp xúc với (d): 2x - = y + = z c) Lập phương trình mặt phẳng qua (d) mà tiếp xúc với mặt cầu (C) Bài tập 5:  x + ( y + ) + ( z − 1) = ( S )  Cho điểm M(0; 2; 0) đường tròn (C):    x+y+z =2 a) Chứng minh M nằm ngồi (C) Lập phương trình tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) b) Từ M kẻ tiếp tuyến tới mặt cầu (S) Tìm tập hợp tiếp điểm Bài tập 6: 2 Cho mặt cầu (S): ( x − ) + ( y + 3) + ( z + 3) = mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + = a) Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn Lập phương trình đường tròn (C) giao tuyến tìm tâm, tính bán kính đường tròn b) Lập phương trình mặt cầu chứa (C) tâm nằm mặt phẳng (Q): x + y + z + 3=0 Bài tập 7: Cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình : ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 3) = ( P ) : x - 4y - 3z + = Lập phương trình tiếp diện (S) qua A(0; 1; 0) vng góc với mặt phẳng (P) 17 x + y + z =  Bài tập 8: Giải hệ phương trình:  x + y + z =  x + y3 + z =  2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Khi dạy trước hết đưa tốn để học sinh tìm lời giải, sau tổng hợp cách làm dạng để học sinh nắm phương pháp, có nhìn tổng qt giải toán Các toán thực hành lớp kiểm tra , đa số học sinh tiếp thu vận dụng tốt đảm bảo yêu cầu xác, tiết kiệm thời gian làm Mặt khác tài liệu mà thành viên tổ, nhóm chun mơn học hỏi, bổ sung kiến thức cho thân nhằm nâng cao chất lượng dạy học nhà trường Bảng thống kê số phần trăm học sinh hiểu vận dụng được: Lớp Sĩ số Năm học Kết 2012 - 2013 12C8 42 50% học sinh hiểu vận dụng 2014 - 2015 12C3 43 65% học sinh hiểu vận dụng 2016 - 2017 12C4 45 80% học sinh hiểu vận dụng Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Qua thời gian viết SKKN vận dụng chuyên đề vào giảng dạy, nhận thấy việc làm thu kết đáng kể từ phía em học sinh Đây thực công cụ hữu hiệu, giúp học sinh giải tốn nhanh, gọn xác Đồng thời em có nhìn tổng thể cách giải toán Điều phần tạo cho em học sinh có tâm tốt bước vào kỳ thi quan trọng Khi ứng dụng đề tài vào giảng dạy cho học sinh, tơi nhận thấy chun đề tiếp tục áp dụng cho năm tiếp theo, đặc biệt phù hợp với đối tượng học sinh Tất nhiên phải tiếp tục hoàn thiện đề tài Bài học kinh nghiệm rút từ q trình áp dụng SKKN tơi là: Phải thường xuyên học hỏi trau chuyên môn để tìm phương pháp dạy học phù hợp Người Thầy phải nhiệt tình, gương mẫu, làm cho em thấy tinh thần nghiêm túc hăng say nghiên cứu khoa học mình, có học sinh noi gương Thầy tâm ham mê học tập, từ để em khơng cảm thấy áp lực học tập 18 Tiếp theo là, thường xuyên tạo tình có vấn đề, kích thích tìm tòi học tập học sinh 3.2 Kiến nghị Theo việc bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên phải thường xuyên liên tục Bản thân giáo viên phải tự bồi dưỡng, học hỏi, trau dồi kiến thức khơng ngừng nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ Vì nhà trường, tổ, nhóm chun mơn nên phân công cụ thể người viết báo cáo, sáng kiến kinh nghiệm, nghiên cứu khoa học phù hợp với thực giảng dạy môn học Đồng thời tạo điều kiện cho họ có thời gian trình bày hàng tháng, hàng quý sau kì để thành viên tổ, nhóm chun mơn góp ý chỉnh sữa vấn đề chưa vấn đề làm tốt cần phát huy Có thành viên nhà trường, tổ, nhóm chun mơn học hỏi hoàn thiện tài liệu giảng dạy chung cần Mặt khác tài liệu có chất lượng hỗ trợ kinh phí thưởng đánh giá thi đua cho người viết Đó phần khích lệ, động viên cho giáo viên Các báo cáo mang tính đặc thù mơn nên trình bày tổ, nhóm; báo cáo phương pháp trình bày trước hội đồng giáo dục nhà trường Trong trình thực đề tài, tơi nhận góp ý quý báu đồng nghiệp, song thời gian nghiên cứu ứng dụng chưa dài, nên đề tài tơi khơng tránh khỏi nhiều hạn chế Rất mong tiếp tục nhận đóng góp khác từ phía đồng nghiệp để tơi hồn thiện đề tài Xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 22 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Lan 19 Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa, sách tập hình học 12 (Chuẩn Nâng cao) giáo dục đào tạo phát hành Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học, từ năm học 1997-1998 đến năm học 2004-2005 NXB Đại học Quốc gia HN tác giả Doãn Minh Cường Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học – cao đẳng toàn quốc, từ năm học 2002-2003 đến năm học 2009-2010 NXB Hà Nội nhóm tác giả Trần Tuấn Điệp, Ngơ Long Hậu, Nguyễn Phú Trường Các tốn giá trị lớn nhỏ Tác giả: Nguyến Thái Hòe - XB năm 2006 Tạp chí toán học tuổi trẻ , NXB Giáo dục Bộ giáo dục đào tạo- Hội toán học Việt Nam (1996- 2007) Tài liệu khai thác mạng Giải tốn hình học 12 ( Bài giảng chun sâu tốn THPT) Lê Hồng Đức nhóm Cự Mơn Tài liệu chun tốn ( tập hình học 12) Đoàn Quỳnh (chủ biên) 20 ... phương trình mặt cầu khơng gian tọa độ Oxyz nhằm giúp học sinh ôn thi trung học phổ thơng quốc gia tốt hơn” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Các vấn đề trình bày đề tài hỗ trợ cho em học sinh trung học. .. việc giải số dạng toán phương trình mặt cầu - Giúp học sinh nhận dạng tập phương trình mặt cầu để từ có cách giải phù hợp - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán Qua học sinh nâng cao... giải dạng toán theo hệ thống tập xếp theo trình tự logic Trong sáng kiến kinh nghiệm phân loại tập viết phương trình mặt cầu như: Xác định tâm bán kính mặt cầu cho trước, viết phương trình mặt cầu