Một số giải pháp giúp học sinh trường THPT thường xuân 2 phân loại và giải bài toán lập phương trình mặt phẳng trong không gian oxyz

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THƯỜNG XUÂN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH TRƯỜNG THPTTHƯỜNG XUÂN 2 PHÂN LOẠI VÀ GIẢI BÀI TOÁN LẬP

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNGTRONG KHÔNG GIAN OXYZ

Người thực hiện: Trịnh Thị Nhung Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn:Toán

THANH HÓA NĂM 2020

MỤC LỤC

1 Mở đầu 2

1.1 Lý do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi sử dụng sáng kiến 4

2.3 Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 4

2.3.1 Giải pháp 1: Hệ thống lại kiến thức cơ bản 4

2.3.2 Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh phân loạị bài toán lập PTMP 5

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và pháttriển phẩm chất, năng lực của học sinh; vừa là môn học đặc thùvừa là môn học công cụ để học tốt các môn học khác như Lý,Hóa, Sinh,… Trong thời đại công nghiệp 4.0 môn Toán là mônhọc nền tảng tác động lớn đến các phát minh công nghệ làmthay đổi cuộc sống của nhân loại Luật giáo dục do Quốc hội khóa Xthông qua đã chỉ rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông cần phát huy tính tíchcực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớphọc, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn ruyện kỹ năng vận dụng kiếnthức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.

Tuy nhiên, môn Toán là môn học đòi hỏi sự tích lũy Họcsinh phải hiểu và nắm được một vấn đề trước khi chuyển sangvấn đề khác cao hơn, phức tạp hơn Đây chính là khó khăntrong việc học môn Toán của học sinh đặc biệt là học sinh trungbình, yếu Để khắc phục tình trạng này, khi dạy học giáo viêncần có biện pháp phân hóa nội tại thích hợp, có sự giúp đỡ táchriêng đối với học sinh yếu kém.

Trường THPT Thường Xuân là trường đóng trên địa bànhuyện đặc biệt khó khăn, học sinh đa số là người dân tộc thiểusố, nhiều HS không thích các hoạt động tư duy, tiếp thu chậm,học yếu các môn tự nhiên đặc biệt là môn Toán Các em thường“sợ” môn Toán nhất là phần Hình học HS thường không biếtphân dạng bài tập, thấy bài tập hình là bỏ Vì vậy, giáo viênluôn tìm mọi cách giảng dạy sao cho các em hứng thú học, hìnhthành được sơ đồ tư duy giải toán, từ đó các em không còn ngạihọc hình, góp phần nâng cao chất lượng dạy học.

Trong chương trình hình học lớp 12, bài toán lập phươngtrình mặt phẳng là bài toán thường xuyên gặp trong các đề thiTHPT Quốc gia Khi học phần này học sinh trung bình, yếuthường không biết phân loại bài tập, thấy “rối tinh rối mù” khinhìn vào đề bài Từ những lí do trên, tôi đã chọn đề tài SKKN

“Một số giải pháp giúp học sinh trường THPT ThườngXuân 2 phân loại và giải bài toán lập phương trình mặtphẳng trong không gian Oxyz”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Hướng dẫn học sinh phân loại và giải bài toán lập phươngtrình mặt phẳng để học sinh hình thành sơ đồ tư duy khi gặpdạng toán này Từ đó lấp lỗ hổng kiến thức, tăng hứng thú vớibài học, từng bước nâng cao kĩ năng giải bài tập toán; phát triểnnăng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, làm việc độc lậpcủa HS.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài được tôi tiến hành đối với học sinh lớp 12A4 (38 HS)trường THPT Thường Xuân 2, nghiên cứu cách tổ chức dạy họccác dạng bài tập lập phương trình mặt phẳng, góp phần củng cốlý thuyết, rèn luyện kĩ năng giải bài tập theo hướng phát triểnnăng lực tự học của HS.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, sách tham

khảo về các vấn đề liên quan đến đề tài.

1.4.2 Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng và điều

tra theo các hình thức: Trực tiếp giảng dạy, dự giờ.

1.4.3 Phương pháp thống kê toán học: Xử lí số liệu thu được sau quá trình

giảng dạy, kiểm tra đánh giá nhằm minh chứng cho hiệu quả của việc sử dụngcác giải

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Học sinh trung bình, yếu về môn toán là những là học sinhcó kết quả học tập môn toán thường xuyên đạt điểm trung bìnhhoặc dưới điểm trung bình Đối với các lớp học sinh có lực họctrung bình, yếu giáo viên cần bỏ ra nhiều thời gian, công sức vàsự tỉ mỉ cả trong bài giảng trên lớp lẫn tài liệu để học sinh tựhọc ở nhà

Học sinh yếu về môn Toán có nhiều biểu hiện khác nhaunhưng nhìn chung có 5 đặc điểm:

- Nhiều lỗ hổng kiến thức, kĩ năng.

- Tiếp thu kiến thức, hình thành kĩ năng chậm.- Năng lực tư duy yếu.

- Phương pháp học tập chưa tốt.

- Thờ ơ với việc học trên lớp, không làm bài tập ở nhà.

Do vây, giáo viên cần bồi dưỡng cho học sinh có kiến thứccơ bản nhất của vấn đề, rồi mới tạo cho học sinh khả năng tựhọc và độc lập trong suy nghĩ.

Trong những năm gần đây, đề thi THPT Quốc gia đã có cấutrúc chung, trong đó luôn có bài toán lập phương trình mặtphẳng Đây là bài toán tương đối vừa sức với HS trung bình,yếu Tuy phần kiến thức này là kiến thức cơ bản nhưng nếukhông nắm vững thì cũng dễ nhầm lẫn dẫn đến sai lầm

Để tiếp cận bài toán lập phương trình mặt phẳng ta nên định hướng chohọc sinh vận dụng quy trình giải toán của G Polia.

 Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.

 Bước 2: Xây dựng chương trình giải cho bài toán.

 Bước 3: Thực hiện chương trình giải đã xây dựng ở bước 2. Bước 4: Nghiên cứu sâu về lời giải

Đối với quy trình này, khi áp dụng vào mỗi dạng toán cụ thể học sinh xâydựng được một phương pháp chung để giải bài toán đó Từ đó giúp học sinhchủ động trong quá trình học, dễ hiểu, dễ nhớ kiến thức.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinhnghiệm

Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT tôi nhận thấy bàitoán viết phương trình mặt phẳng là bài toán dễ nhầm lẫn vớihọc sinh trung bình, yếu Chẳng hạn như học sinh không phânbiệt được điểm đi qua và vectơ pháp tuyến; không tìm đượcvectơ pháp tuyến và điểm thuộc mặt phẳng khi có các yếu tốkhác Học sinh thấy lúng túng trước các dữ kiện của đề bài, thấyrối ren, không phân biệt được sẽ dùng yếu tố nào để tìm vectơpháp tuyến, yếu tố nào là điểm thuộc mặt phẳng.

Bài toán lập phương trình mặt phẳng được cho dưới nhiềudạng khác nhau, ít có thời gian luyện tập lại nhiều lần do giớihạn thời lượng chương trình cho phép (2 tiết) Mà học sinh trungbình, yếu là đối tượng cần luyện tập nhiều và thường xuyên

Bài toán lập phương trình mặt phẳng liên quan trực tiếpđến hình học không gian lớp 11, học sinh có thể không biết biểudiễn các yếu tố đã cho (ví dụ đường thẳng vuông góc với mặtphẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng,…) do đó khônghình thành được cách giải.

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sửdụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Giải pháp 1: Hệ thống lại kiến thức cơ bản có liênquan

* Tọa độ của điểm, tọa độ vectơ

Trong không gian Oxyz, cho điểm hai điểm A a a a và 1; ;23 1; ;2 3

B b b b :

+ Tọa độ của vectơ AB

: ABb1 a b1; 2  a b2; 3  a3.

+ Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:

* Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

+ Vectơ n  0 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P khi và chỉ

khi giá của n vuông góc với  P

+ n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P thì kn k ,  0 cũnglà vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P

* Tích có hướng của hai vectơ

Cho 2 vectơ a a a a 1; ;23 và b b b b 1; ;23 Kí hiệu vectơ c a b  

Khi đó:

c ac b

 

  

* Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Mặt phẳng  P đi qua điểm M x y z và có vectơ pháp tuyến 0; ;0 0

Chú ý: Để viết được phương trình mặt phẳng ta cần 2yếu tố: 1 vectơ pháp tuyến và 1 điểm thuộc mặt phẳng.

* Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Mặt phẳng  P đi qua 3 điểm A a ;0;0, B0; ;0b , C0;0;c ( a  ,00

b  ,c  có phương trình: 0) 1xyza  b c 

2.3.2 Giải pháp 2: Phân dạng bài toán lập phương trìnhmặt phẳng

Khi dạy học bài toán lập phương trình mặt phẳng, tôi hướng dẫnhọc sinh phân loại dạng bài cụ thể, tìm phương pháp giải chungvà có ví dụ minh họa cụ thể, đánh giá sai lầm có thể gặp saucác ví dụ minh họa

tuyến và 1 điểm thuộc mặt phẳng

Phương pháp:

đi qua điểm M x y z 0; ;0 0

Mặt phẳng  P

vectơ pháp tuyến n a b c ; ; Phương trình  P : a x x  0b y y  0c z z  0  0

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm M2;1; 1 

và có vectơ pháp tuyến n 1; 2;3.

Lời giải :

Phương trình mặt phẳng  P : 1x 2  2 y 1 3z1 0  x 2y3z  3 0

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và

vuông góc với 1 đường thẳng cho trước.Phương pháp:

- Xác định tọa độ điểm thuộc mặt phẳng.- Xác định vectơ pháp tuyến.

A , B2;0;5  Viết phương trình mặt phẳng  P qua điểm A

và vuông góc với đường thẳng AB

Hướng dẫn giải:

B1: Mặt phẳng  P đi qua điểm A.B2: Vectơ pháp tuyến của  P: n AB 

.B3 Viết phương trình mặt phẳng  P

Lời giải:

Mặt phẳng  P đi qua điểm A1;2;3.

Vectơ pháp tuyến của  P : n AB  1; 2;2 .

Phương trình mặt phẳng  P : 1x 1  2 y 22z 3 0

 x 2y2z 3 0

Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng  P là mặt phẳng trung trực

của đoạn MN biết M1;0; 2  và N  1;2;4.

Hướng dẫn giải:

B1 Xác định tọa độ điểm thuộc mặt phẳng  P : Trung điểm I

của đoạn MN thuộc  P

B2 Xác định vectơ pháp tuyến: n MN 

.B3 Viết phương trình mặt phẳng  P

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của MN Khi đó I0;1;1   P Vectơ pháp tuyến: n MN   2;2;6

 

Phương trình mặt phẳng  P : 2x 0 2y 16z 1 0  2x2y6z 8 0  x y  3z 4 0

Sai lầm thường gặp:

- Không nhớ khái niệm mặt phẳng trung trực nên khôngxác định được điểm thuộc mặt phẳng và vectơ pháptuyến của mặt phẳng.

- Không nhớ cách xác định tọa độ trung điểm của đoạnthẳng

- Nhầm lẫn tọa độ trung điểm và tọa độ của vectơ pháptuyến.

- Để không nhầm lẫn tọa độ điểm và tọa độ vectơ thì khiviết ta luôn kí hiệu tọa độ điểm viết liền (ví dụ M(x; y;z)), tọa độ vectơ có dấu “=” (ví dụ na b c; ; 

Phương trình mặt phẳng  P đi qua M1; 2;3 :

2 x11 y21 z30 2x y z   7 0

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm

 Q : Ax By Cz D0A2B2C20

Phương pháp:

- Tìm mối liên hệ giữa 2 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P và

* Cách 2: Do    P // Q nên phương trình mặt phẳng  P có dạng x3y 2z D 0 D1

Do  P đi qua điểm A  2;4;3 nên ta có:

2 3.4 2.3   D 0 D4.Vậy phương trình  P : x3y 2z 4 0

Dạng 4: Lập phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm

không thẳng hàng A B C, , .Phương pháp:

* Nếu A a ;0;0, B0; ;0b , C0;0;c ( a  ,0 b  ,0 c  ) thì 0  P cóphương trình: 1

xyza b c 

* Trường hợp còn lại, vectơ pháp tuyến n của  P là n AB   AC

Từ đó lập phương trình mặt phẳng  P đi qua A (hoặc B hoặc C

Bài 6: Trong hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P

cắt ba trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại ba điểm

Bài 7: Cho 3 điểm A1; 6; 2 , 5; 1; 3 ,  B C4; 0; 6 Viết phươngtrình mặt phẳng  ABC 

Hướng dẫn giải:

- Vectơ pháp tuyến của ABC :  n AB AC  

- Viết pt mặt phẳng ABC 

Lưu ý: Ta có thể chọn vectơ pháp tuyến của ABC là 1

vectơ cùng phương với vectơ AB AC 

Dạng 5: Lập phương trình mặt phẳng  P biết  P chứahai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau.

Phương pháp:

- Tìm vectơ chỉ phương u 1

của d1, u 2

của d2.- Vectơ pháp tuyến của  P : n u   1  u2

 

  

 và

2 2: 2

 

   

 Lập phương trình mặt phẳng  Pchứa d1 và d2.

Hướng dẫn giải:

- Vectơ chỉ phương của d1 là u  1 1;3; 1 

, của d2 là u   2  2;1;3

.- Vec tơ pháp tuyến của  P : n u   1  u2

3 1 1 1 1 3

; ; 10; 1;71 3 3 2 2 1

- Phương trình mặt phẳng  P là : 10x 1  1 y 2 7z 3 0

10x y 7z 29 0    

Dạng 6: Lập phương trình mặt phẳng  P chứa đườngthẳng d1 và song song với đường thẳng d2.

Phương pháp (tương tự dạng 7):

- Tìm vectơ chỉ phương u 1

của d1, u 2

của d2.- Vectơ pháp tuyến của  P : n u   1  u2

.- Chọn điểm M x y z0 0; ;00d1.

- Viết pt mặt phẳng  P đi qua M x y z0 0; ;00 và có vectơ pháptuyến n.

Bài 9: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

  

Lập phương trìnhmặt phẳng  P chứa d1 và song song với d2.

Hướng dẫn giải:

- Vectơ chỉ phương của d1 là u  1 1;3;2

, của d2 là u  2 1;2; 2 

.- Vec tơ pháp tuyến của  P : n u   1  u2

3 2 2 1 1 3

; ; 10;4; 12 2 2 1 1 2

- Phương trình mặt phẳng  P là : 10x 14 y2  1z 1 0

10x 4y z 19 0    

Bài 10: Trong không gian Oxyz, cho M 7,2, 3 ,   N5,6, 4  Lậpphương trình mặt phẳng  P chứa MN và song song với trục Ox

Bài 11 : Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng

 P đi qua M3,4, 5 , chứa a3,1, 1  và song song với phương1, 2,1

b 

Hướng dẫn giải :

- Vectơ pháp tuyến của  P : n a b  

Lưu ý: Ta có thể chọn vectơ pháp tuyến n  1;4;7.

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua M vàvuông góc với 2 mặt phẳng   và   .

Bài 12: Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng  Pđi qua N2, 1,1  và vuông góc 2 mặt phẳng ( ) : 2 x z   và1 0

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng  P tiếp xúc vớimặt cầu  S tại điểm H

Phương pháp:

- Xác định tọa độ tâm I của  S - Vectơ pháp tuyến của  P là n IH 

.- Viết pt  P đi qua H.

Bài 13: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S có phươngtrình x 12  y 32 z22 14 Lập phương trình mặt phẳng

 P tiếp xúc với mặt cầu  S tại điểm H2;1;1.

Hướng dẫn giải:

- Tọa độ tâm của  S là I1;3; 2 .

- Vectơ pháp tuyến của  P là n IH 1; 2;3 

 

.- Viết pt  P đi qua H2;1;1:

* Sau bài học giáo viên hướng dẫn HS hình thành sơ đồtư duy các dạng bài tập lập phương trình mặt phẳng.

* Ra bài tập tương tự để HS tự học ở nhà:Bài tập trắc nghiệm:

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

 P x:  2y3z2019 0 Vectơ nào dưới đây không phải là mộtvectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P ?

1;3; 3 ,

N  mặt phẳng vuông góc với MN tại điểm M có phươngtrình là

A 4x2y 5z20 0. B 4x2y 5z 20 0.C x3y 3z 6 0. D x3y 3z 6 0.

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm

(3,5, 2)

A  , B1,3,6 Tìm phương trình mặt phẳng trung trực ( )Pcủa đoạn thẳng AB?

A 2x 2y8z  4 0 B 2x 2y8z 4 0

C 2 x 2y8z 4 0. D 2 x 2y8z 4 0.

Câu 6: Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng  P

đi qua điểmM  2;3;1 và song song với mặt phẳng

 Q : 4x 2y3z 5 0 là

A 4x 2y3z11 0 B 4x 2y 3z 11 0 C 4 x2y 3z11 0 D 4x2y3z11 0

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm

Câu 8: Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A 1; 1;5 và B0;0;1.Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua ,A B và song song vớitrục Oy ?

Câu 9: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi

qua điểm A  4;1; 2  và vuông góc với hai mặt phẳng: 2 3

( x y z  , (): x4y 2z  3 0

A 14x9y 11z43 0 B 14x 9y 11z 43 0 C 14x 9y 11z43 0 D 14x9y 11z43 0

Câu 10 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S

Câu 11: Trong không gian Oxyz , lập phương trình mặt phẳng

 P trong các trường hợp sau:

a)  P đi qua 3 điểm A1,2, 5 ,   B3,4,6 ,  C 2,1,5.

b)  P đi qua 2 điểm M2, 3,4 ,   N1,5,6 và song song vớiphương vectơ a   3, 2,4

c)  P đi qua gốc tọa độ O và vuông góc 2 mặt phẳng

( ) : 2 x y 3z  và ( ):1 0  x2y z  0