skkn phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ . thpt vĩnh lộc

Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC *** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN LOẠI BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Người thực hiện: Ths.PHẠM THỊ NGA Chức vụ: Giáo viên Sáng kiến kinh nghiệm thuộc môn: Toán THANH HÓA : 2013 Ths. Phạm Thị Nga Trang 1 Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. XUẤT PHÁT ĐIỂM VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình là một phần kiến thức trọng tâm và then chốt trong chương trình đại số lớp 10 ở bậc THPT . Ở đây, các em học sinh được trang bị một cách đầy đủ, hoàn chỉnh và chi tiết về khái niệm phương trình , bất phương trình và hình thành các kỹ năng giải các phương trình, bất phương trình đại số,vô tỷ. Việc giải phương trình và bất phương trình vô tỷ giúp phát triển tư duy của học sinh đặc biệt là tư duy lý luận và tư duy giải quyết vấn đề của học sinh. Đây là một lớp các bài toán hay, khó và đem lai nhiều hứng thú cho học sinh nhưng cũng đồng thời đem lại nhiều khó khăn bỡ ngỡ như: phức tạp và không có các bước giải mẫu mực sẵn có; tìm được nghiệm mà không biết các trình bầy, giải sai, giải thiếu nghiệm hoặc không tìm được lời giải. II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Thực tế cho thấy, trong nhiều năm qua để đánh giá khả năng tư duy và phẩm chất trí tuệ của học sinh thông qua các kỳ thi chọn học sinh giỏi, tuyển sinh đại học, cao đẳng người ra đề đã chọn phương trình, hệ phương trình và bất phương trình vô tỷ như một phần chung, bắt buộc cho tất cả các thí sinh. Đây là một trong những đề tài mà nhiều người quan tâm xong chưa có một hệ thống đầy đủ và đa dạng bài tập cũng như các phương pháp giải khiến cho học sinh không khỏi khó khăn vướng mắc khi đứng trước dạng bài tập này. Kiến thức này được giảng dạy cho các em học sinh ở khối lớp 10 lần đầu tiên được tiếp cận với phương pháp học mới với những yêu cầu và đòi hỏi cao hơn học sinh THCS về khả năng tự học, tự nghiên cứu mà hệ thống bài tập này trong sách giáo khoa lại không nhiều. III. GIẢ THIẾT KHOA HỌC Nếu xây dựng được hệ thống bài tập một cách hợp lý, lồng ghép vào đó những câu hỏi, tình huống gợi vấn đề trong quá trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành các hoạt động tư duy như tương tự hóa, tổng quát hóa … các bài toán với sự trợ giúp thích hợp sẽ giúp các em phân loại, nhận dạng và giải được các phương trình bất phương trình vô tỷ và hệ phương trình vô tỷ đồng thời góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ PHẦN 1:MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU I. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 1. Mục đích nghiên cứu Trước những thực tế đặt ra trên, ta cần hướng dẫn cho các em học sinh lớp 10 biết cách phân loại và nhận dạng các phương trình và bất phương trình vô tỷ nhằm vào các mục đích sau: 1.1 Thứ nhất: giúp các em giải quyết tốt bài toán giải phương trình, bất phương trình vô tỷ, hệ phương trình vô tỷ và các bài toán có liên quan. Hình thành được một hệ thống kiến thức tổng hợp và vững chắc về lĩnh vực này. Ths. Phạm Thị Nga Trang 2 Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ 1.2 Thứ hai: củng cố và khắc sâu các kiến thức đại số có liên quan như phương trình và bất phương trình bậc nhất, bậc hai, phương trình và bất phương trình quy về bậc hai. Rèn luyện kỹ năng biến đổi, tính toán. 1.3 Thứ ba: rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo; tư duy giải quyết vấn đề tư duy biện chứng; xây dựng và phát triển lòng say mê và yêu thích toán học nói riêng và khoa học nói chung . 2. Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt được các mục đích đặt ra như trên, đề tài xác định giải quyết các nhiệm vụ sau: 2.1 Nhiệm vụ 1: Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của việc giải bài toán giải phương trình hệ phương trình và bất phương trình vô tỷ 2.2 Nhiệm vụ 2: Xây dựng hệ thống bài tập và phân dạng bài tập giải phương trình hệ và bất phương trình vô tỷ. II. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Với mục đích nhiệm vụ đặt ra như trên, sau nhiều năm nghiên cứu và thực nghiệm tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với tiêu đề “ Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ” bằng việc phối hợp các phương pháp nghiên cứu sau: 1. Nghiên cứu lí luận: Hình thức chủ yếu tôi dùng là nghiên cứu tài liệu lí luận và phân tích tiên nghiệm. Sử dụng các kiến thức có trong sách giáo khoa theo chương trình mới của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, các kết quả đã có trong một số tài liệu có liên quan trên cơ sở kế thừa những cái hay, phê phán những cái dở, bổ sung và hoàn chỉnh những tri thức đã đạt được. Đồng thời dựa vào những yếu tố lịch sử, những cách tiếp cận khác nhau của lí thuyết về nghiệm của phương trình bất phương bậc nhất, bậc hai và các phương trình bất phương trình quy về bậc hai để dự kiến những quan niệm có thể có của học sinh về bài toán giải phương trình và bất phương trình vô tỷ cũng như hệ phương trình và các bài toán có liên quan. 2. Quan sát điều tra: Tiến hành theo dõi quá trình phát hiện và lĩnh hội kiến thức để giải quyết các bài toán có liên quan đến việc giải các phương trình và bất phương trình vô tỷ theo trình tự thời gian trên một lớp các đối tượng là các em học sinh lớp 10 lớp 11 và lớp 12 của trường THPT Vĩnh Lộc. 3. Tổng kết kinh nghiệm: Đánh giá và khái quát kinh nghiệm trong quá trình thực hiện. Từ đó khám phá ra những mối liên hệ có tính quy luật của vấn đề đặt ra. 4. Thực nghiệm giáo dục: Từ việc tạo nên một loạt những tác động sư phạm lên một lớp đối tượng gồm các em học sinh lớp10 THPT nhằm xác định và đánh giá kết quả của những tác động đó. Lấy học sinh lớp 11 và 12 để so sánh hiệu quả của tác động giáo dục này lên tư phẩm chất trí tuệ và năng lực tư duy của các em khi giải quyết các vấn đề khác và các vấn đề có liên quan. III. tæ chøc nghiªn cøu 1. Thời gian nghiên cứu: Đề tài được nghiên cứu từ tháng 8 năm 2011 đến tháng 5 năm 2013 theo các giai đoạn sau: Ths. Phạm Thị Nga Trang 3 Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ * Giai đoạn 1: Từ tháng 8 năm 2011 đến tháng 10 năm 2011. Đây là giai đoạn thu thập tài liệu, xác định phương pháp, các nhiệm vụ và các vấn đề cần thiết trong quá trình nghiên cứu của đề tài. Lập đề cương nghiên cứu. * Giai đoạn 2: Từ tháng 10 năm 2011 đến tháng 02 năm 2012 tôi thu thập các tài liệu chuyên môn, tìm hiểu cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài. Tiến hành phân dạng các bài tập cơ bản. Sau khi giải quyết các nhiệm vụ mang tính chất lí luận tôi xây dựng hệ thống các bài tập mẫu có tính chất khái quát của vấn đề đặt ra. Và ứng dụng trong thực tiễn giảng dạy, kết hợp đồng thời với việc quan sát và theo dõi quá trình phát hiện, lĩnh hội kiến thức của học sinh. * Giai đoạn 3: Từ tháng 3 năm 2012 đến tháng 5 năm 2012. Tiến hành thu thập các kết quả của quá trình thực nghiệm giáo dục lần 1. * Giai đoạn 4: Từ tháng 5 năm 2012 đến tháng 5 năm 2013. Dựa trên các kết quả thu thập được của quá trình thực nghiệm giáo dục lần 1, tôi điều chỉnh và tiến hành thực nghiệm lần 2, kiểm nghiệm và so sánh kết quả trên lớp các đối tượng học sinh được thực nghiệm và không được thực nghiêm. Sau đó tổng kết đánh giá và khái quát kinh nghiệm trong quá trình thực hiện nhằm đúc kết mối liên hệ có tính quy luật của vấn đề. Cuối cùng là bổ sung và hoàn thiện các tri thức đã đạt được và tiến hành viết sáng kiến kinh nghiệm. 2. Đối tượng nghiên cứu: Quá trình nghiên cứu trên được thực nghiệm đồng thời trên hai nhóm các đối tượng học sinh. Nhóm 1: Các em học sinh lớp 10A3,10A7 trường THPT Vĩnh Lộc với nhiệm vụ là xây dựng cho các em cơ sở lí luận và thực tiễn của việc phân loại và giải các phương trình và bất phương trình vô tỷ Nhóm 2: Các em học sinh lớp 12A1, 12A4 trường THPT Vĩnh Lộc với nhiệm vụ là ứng dụng việc giải phân loại và giải các phương trình và bất phương trình vô tỷ vào việc giải quyết các bài toán đại số và giải tích có liên quan như: giải phương trình lượng giác có chứa căn, giải phương trình hệ phương trình và bất phương trình mũ, logarit có chứa căn. PHẦN 2: CƠ SỞ LÝ LUẬN I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. Khái niệm phương trình một ẩn a. Các định nghĩa Cho hai hàm số y= ( ) xf và y= ( ) xg có tập xác định lần lượt là gf DD , . Đặt gf DDD ∩= . Mệnh đề chứa biến “ ( ) ( ) xgxf = ’’ được gọi là phương trình một ẩn; x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D là tập xác định. Số Dx ∈ 0 gọi là nghiệm của phương trình nếu “ ( ) ( ) 00 xgxf = ’’ là mệnh đề đúng. Tập hợp tất cả các nghiệm được gọi là tập nghiệm. Giải phương trình là tìm tập nghiệm. Hai phương trình cùng ẩn gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm. b. Các phép biến đổi tương đương phương trình Định lí: Phương trình ( ) ( ) xgxf = có tập xác định D ; ( ) xh là hàm số xác định trên D ( ( ) xh có thể là hằng số). Khi đó trên D , ( ) ( ) xgxf = tương đương với Ths. Phạm Thị Nga Trang 4 Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ 1) ( ) ( ) ( ) ( ) xhxgxhxf +=+ 2) ( ) ( ) ( ) ( ) xhxgxhxf = nếu ( ) 0≠xh với mọi Dx ∈ Hệ quả: Cho phương trình ( ) ( ) xgxf = có tập xác định D . 1) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc lẻ: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] *; 1212 Nnxgxfxgxf nn ∈=⇔= ++ 2) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc hai: Nếu ( ) xf và ( ) xg cùng dấu Dx ∈∀ thì ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] *; 22 Nnxgxfxgxf nn ∈=⇔= 2. Khái niệm bất phương trình một ẩn 2.1 Các định nghĩa Cho hai hàm số y= ( ) xf và y= ( ) xg có tập xác định lần lượt là gf DD , . Đặt gf DDD ∩= . Mệnh đề chứa biến có một trong các dạng ( ) ( ) xgxf < , ( ) ( ) xgxf > , ( ) ( ) xgxf ≤ , ( ) ( ) xgxf ≥ được gọi là bất phương trình một ẩn; x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D được gọi là tập xác định. Số Dx ∈ 0 gọi là một nghiệm nếu “ ( ) ( ) 00 xgxf < ’’ là mệnh đề đúng. Tập hợp tất cả các nghiệm gọi là tập nghiệm. Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó. Hai bất phương trình cùng ẩn được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm. Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi một bất phương trình thành bất phương trình mới tương đương với nó. 2.2 Các phép biến đổi tương đương bất phương trình Định lí: Cho ( ) ( ) xgxf < có tập xác định D ; ( ) xh là một hàm số xác đinh trên D ( ( ) xh có thể là một hằng số). Khi đó trên D , ( ) ( ) xgxf < tương đương với 1) ( ) ( ) ( ) ( ) xhxgxhxf +<+ 2) ( ) ( ) ( ) ( ) xhxgxhxf < nếu ( ) 0>xh với mọi Dx ∈ 3) ( ) ( ) ( ) ( ) xhxgxhxf > nếu ( ) 0<xh với mọi Dx ∈ Hệ quả: Cho bất phương trình ( ) ( ) xgxf < có tập xác định D . 1. Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc lẻ: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] *; 1212 Nnxgxfxgxf nn ∈<⇔< ++ 2. Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc chẵn: Nếu ( ) xf và ( ) xg không âm Dx ∈∀ thì ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] *; 22 Nnxgxfxgxf nn ∈<⇔< II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 1. Phương trình bậc nhất một ẩn Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng )0(0 ≠=+ abax nghiệm là: a b x − = 2. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: 0 2 =++ cbxax ( 0 ≠ a ) (1) Biệt thức Denta: acb 4 2 −=∆ Biệt thức: acb −=∆ 2 '' ; 2 ' b b = Nếu 0 <∆ thì (1) vô nghiệm. Nếu 0 =∆ thì (1) có nghiệm kép: a b x 2 − = Nếu 0 >∆ thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: a b x 2 2,1 ∆±− = . Nếu 0' <∆ thì (1) vô nghiệm. Nếu 0' =∆ thì (1) có ghiệm kép: a b x ' −= Nếu 0' >∆ thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: a b x ∆±− = ' 2,1 . Ths. Phạm Thị Nga Trang 5 Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ 3. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh tính duy nhất nghiệm của phương trình a. Định nghĩa: Hàm số ( ) xfy = là hàm đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) 212121 :;, xfxfxxbaxx <⇒<∈∀ Hàm số ( ) xfy = là hàm nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) 212121 :;, xfxfxxbaxx >⇒<∈∀ Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng (a;b) thì được gọi là hàm đơn điệu trên khoảng (a;b). b. Ứng dụng: Ứng dụng 1: Cho hàm số ( ) xfy = đơn điệu trên khoảng (a;b). Khi đó ( ) ( ) ( ) 212121 :;, xxxfxfbaxx =⇔=∈∀ Ứng dụng 2:Đồ thị của hàm đồng biến là một đường đi lên từ trái sang phải. Đồ thị của hàm nghịch biến là một đường đi xuống từ trái sang phải. Do đó hai đồ thị hàm số ( ) xfy = đồng biến và ( ) xgy = nghịch biến trên khoảng (a;b) nếu cắt nhau trên (a;b) thì chỉ cắt tại duy nhất một điểm. Khi đó phương trình ( ) ( ) xgxf = nếu có nghiệm trên khoảng (a;b) thì nghiệm này là duy nhất. Điều này vẫn đúng nếu một trong hai hàm là đơn điệu, hàm còn lại là hàm hằng. Chú ý: Khẳng định trên không đúng nếu ( ) xfy = và ( ) xgy = là những hàm cùng đồng biến hoặc cùng nghịch biến. III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 1.Nhị thức bậc nhất và định lí về dấu nhị thức bậc nhất Nhị thức bậc nhất là: ( ) 0,,; ≠∈+= aRbabaxxf . Nghiệm của nhị thức là a b x − = Định lí: Nhị thức bậc nhất ( ) baxxf += cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm của nó. 2. Định lí thuận về dấu tam thức bậc hai Định lí: Cho tam thức bậc hai ( ) cbxaxxf ++= 2 ( 0 ≠ a ). Nếu 0 <∆ thì tam thức ( ) xf cùng dấu với a với mọi Rx ∈∀ Nếu 0 =∆ thì tam thức ( ) xf cùng dấu với a với mọi       −∈∀ a b Rx 2 \ Nếu 0 >∆ thì tam thức ( ) xf có hai nghiệm 21 ; xx và: Tam thức ( ) xf cùng dấu với a với ( ) ( ) +∞∪∞−∈∀ ;; 21 xxx Tam thức ( ) xf trái dấu với a với ( ) 21 ; xxx ∈∀ 3. Cách lấy nghiệm của bất phương trình bậc hai Xét bất phương trình bậc hai: 0;0 2 ≠≥++ acbxax . Dựa vào định lí thuận về dấu tam thức bậc hai ta có các trường hợp sau: Th1: Nếu    > ≤∆ 0 0 a thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là RT x = Th2: Nếu    < =∆ 0 0 a thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là       −= a b T x 2 Ths. Phạm Thị Nga Trang 6 Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ Th2: Nếu    < <∆ 0 0 a thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là φ = x T Th3:Nếu    > >∆ 0 0 a thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ( ] [ ) +∞∪∞−= ;; 21 xxT x , trong đó 21 ; xx là hai nghiệm của phương trình 0;0 2 ≠=++ acbxax Th4: Nếu    < >∆ 0 0 a thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là [ ] 21 ; xxT x = , trong đó 21 ; xx là hai nghiệm của phương trình 0;0 2 ≠=++ acbxax Với phương pháp tư duy tương tự học sinh sẽ suy ra được cách lấy nghiệm của các bất phương trình dạng còn lại: 0;0 2 ≠>++ acbxax ; 0;0 2 ≠≤++ acbxax ; 0;0 2 ≠<++ acbxax . 4. Cách giải bất phương trình tích và thương các nhị thức và tam thức Cho bất phương trình: ( ) 0≤xf ( hoặc ( ) ( ) ( ) 0;0;0 <>≥ xfxfxf ) trong đó ( ) xf là tích hoặc thương của các nhị thức và tam thức ta có hai cách giải sau: Cách 1: Lập bảng xét dấu của các nhị thức, tam thức có trong ( ) xf và dấu ( ) xf sau đó chọn miền nghiệm của bất phương trình là là miền giá trị của biến số làm dấu của ( ) xf phù hợp với dấu bất phương trình. Cách 2: Sử dụng phương pháp khoảng Bước 1: Tìm tất cả các nghiệm của các nhị thức, tam thức có trong ( ) xf và biểu diễn các nghiệm bội lẻ của ( ) xf trên trục số theo chiều tăng dần (nghiệm bội lẻ là nghiệm được lặp lại số lẻ lần ). Khi đó các nghiệm này sẽ chia trục số thành nhiều khoảng khác nhau. Bước 2: Lấy một giá trị 0 x trên trục số thuộc tập xác định và không trùng với ( ) xf trên khoảng chứa 0 x . Dấu của ( ) xf sẽ bị đổi dấu khi đi qua các nghiệm bội lẻ đã xếp trên trục số Bước 3: Chọn miền nghiệm của bất phương trình là miền giá trị của biến x làm dấu của ( ) xf cùng dấu với bất phương trình. PHẦN 3: PHÂN LOẠI BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. PHÂN LOẠI BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Phương trình vô tỷ là phương trình có chứa căn thức ở một trong hai vế. Khi giải các phương trình này ta phải khử căn thức để đưa về phương trình đã biết cách giải như: Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình tích… Tùy vào đặc điểm cụ thể của mỗi phương trình mà ta sử dụng phương pháp thích hợp để biến đổi thì mới khử được căn thức. Để học sinh dễ tiếp cận và rèn luyện kỹ năng biến đổi, nhận dạng từng phương trình, tôi đã thiết lập một hệ thống bài tập từ dễ đến khó và phân dạng theo từng phương pháp biến đổi xử lý căn thức như sau: 1. Dạng bài tập giải bằng phương pháp biến đổi tương đương Đây là dạng phương trình vô tỷ cơ bản và đơn giản nhất. Ths. Phạm Thị Nga Trang 7 Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ Để giải chúng ta chỉ cần vận dụng một số phép biến đổi tương đương thông thường như đã nói ở Phần 2, mục I.1.2 để đưa phương trình đã cho về phương trình tích hoặc phương trình hữu tỷ đã biết cách giải. Các phép biến đổi tương đương để làm mất căn thức ở đây chủ yếu là phép cô lập căn thức rồi nâng lũy thừa hai vế lên cùng bậc với bậc của căn thức. Thông thường chúng có đặc điểm nhận dạng và cách giải như sau đối với căn bậc hai : Dạng 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    = ≥ ⇔= xgxf xf xgxf 0 ; Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    = ≥ ⇔= xgxf xg xgxf 2 0 Dạng 3: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )        =+ ≥ ≥ ⇔=+ xhxgxf xg xf xhxgxf 2 0 0 Dạng 4: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )        =+ ≥ ≥ ≥ ⇔=+ xhxgxf xh xg xf xhxgxf 2 2 0 0 0 Tương tự ta cũng sẽ có các dạng phương trình vô tỷ như trên nhưng ứng với các căn thức bậc chẵn cao hơn như căn bậc 4… và vế trái là tổng của nhiều căn thức cùng bậc hơn. Chú ý với dạng căn bậc ba và bậc lẻ thuộc dạng trên khi nâng lũy thừa hai vế ta không cần nhiều điều kiện như các căn bậc chẵn. Và có thể ban đầu các phương trình đã cho chưa ở dạng trên nhưng sau một vài phép biến đổi tương đương đơn giản học sinh có thể biến đổi về các dạng này hoặc phương trình tích của một trong các biểu thức dạng này mà có một vế bằng 0. Hệ thống bài tập: Bài 1 Giải các phương trình sau 1) 283 3 2 =++ xx 2) 7213 2 −=−− xxx 3) 2381716 −=+ xx 4) 1266 2 −=+− xxx 5) 5223 =−+− xx 6) 413 =++− xx 7) xxx −+−=+ 7823 8) 11 −=−+ xxx 9) 2 1 11 22 −=+−−++ xxxx 10) 327 33 =−−+ xx 11) 333 3221 −=−+− xxx 12) 576 =−−+ xx 13) 221682 22 +=−+++ xxxx 14) 2 3 1212 + =−−+−+ x xxxx 15) xx x x −=−− − 123 23 2 16) 7 77 3 64 12 12 2 12 x xx = + + + 17) 221682 22 +=−+++ xxxx 18) ( ) ( ) 123231 2 −+−=−+− xxxx 19) ( ) ( ) 2 221 xxxxx =++− 20) ( ) 0112 2 =−+−−−− xxxxxx Ví dụ: Giải phương trình sau 20) ( ) 0112 2 =−+−−−− xxxxxx Giải: 20) ( ) [ ] ( ) ( ) 0111121 =−+−−+−−−⇔ xxxxxx Ths. Phạm Thị Nga Trang 8 Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ ( ) ( ) ( ) 011111 2 =−−−−−−⇔ xxxx ( ) ( ) ( ) 011111 2 =−−−−−−⇔ xxxx ( ) ( ) ( )     =−−−− =−− ⇔ ** 0111 * 011 xxx x Giải (*) 21111 =⇔=−⇔=−⇔ xxx Giải (**) ( ) ( ) ( )      −+−+=− ≥− ≥− ⇔−+=−⇔ xxxxx xx x xxx 2 1211 01 01 111      −+−=− ≥ ⇔ 222 1 22 xxxx x ( ) [ ]      +−−=− ≥ ⇔ 112 1 2 2 xxx x (vô nghiệm). Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là { } .2= x T 2. Dạng bài tập giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ Sau đây là dạng phương trình vô tỷ không cơ bản. Để giải chúng ta không thể chỉ sử dụng một số phép biến đổi tương đương thông thường như đã nói ở trên vì nếu chỉ biến đổi như vậy sẽ có thể nhận được phương trình mới phức tạp hơn và không giải được. Vì vậy đòi hỏi học sinh phải quan sát thật tinh tế các biểu thức có trong phương trình và biến đổi chúng thành những biểu thức chung, giống nhau rồi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình mới hoặc hệ phương trình đã biết cách giải. Như vậy tôi có thể chia lớp bài toán này thành ba dạng đặt ẩn phụ khác nhau tùy vào đặc điểm nhận dạng và cách giải cụ thể của chúng như sau: a. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình mới dễ giải hơn Đặc điểm nhận dạng: Quan sát phương trình ta thấy có thể biến đổi các biểu thức chứa ẩn trong phương trình về một biểu thức giống nhau. Khi đó ta thực hiện các bước giải như sau: Các bước giải: Bước 1: Quan sát phương trình và biến đổi để tìm ra biểu thức giống nhau ( ) xk rồi đặt biểu thức đó lầm ẩn mới: ( ) xkt = . Bước 2: Tìm điều kiện của ẩn mới trên cơ sở điều kiện của ẩn cũ (nếu có). Đây chính là bài toán tìm miền giá trị của hàm số ( ) xkt = ( cũng là bài toán tìm max, min của hàm số ) Bước 3: Biến đổi phương trình đã cho về phương trình mới (chỉ chứa ẩn mới, không còn chứa ẩn cũ). Bước 4: Biến đổi yêu cầu bài toán cũ thành bài toán mới cho phù hợp với yêu cầu phương trình mới. Giải bài toán mới, tìm nghiệm ẩn mới. Bước 5: Thay nghiệm của ẩn mới vừa giải được vào cách đặt ở bước 1 để tìm nghiệm là biến cũ. Hệ thống bài tập: Bài 2 Giải các phương trình sau Ths. Phạm Thị Nga Trang 9 Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ 1) 3 11 +=+ xx 2) 2 3 2 11 xx −=− 3) 31 3 −=+ xx 4) 56 5 5 =− xxxx 5) 12 22 +=−+ xxxx 6) 010171 22 =++−+ xx 7) 55 2 =++ xx 8) ( ) xxxxx 22556231 2 −=++++ 9) ( )( ) ( ) 03 3 1 3415 =+ − + −++− x x xxx 10) 11642 2 +−=−+− xxxx 11) xxxxx 235727 2 −=++++ 12) 322 22 =−+−+ xxxx 13) 4 211 2 x xx −=−++ 14) ( )( ) xxxx −+−=−++ 41541 15) ( ) 2 12 2312 2 − =−++ x xx 16) 22 4324 xxxx −+=−+ 17) 4 3 2 3 2 3 = − + + + − x x x x 18) axxx =++++ 4 1 2 1 19) 22 4324 xxxx −+=−+ 20) 333 121612 +−=− xxx 21) 132102104 33 =−+−++ xx 22) 224222 2 +−−=+−− xxxx 23) xxxx −+=−+ 1 3 2 1 2 24) 01312 2 =+−+− xxx 25) ( )( ) xxxx 3325 2 +=−+ 26) 112 3 −−=− xx 27) 7 2 1 2 2 3 3 −+=+ x x x x 28) 12 35 1 2 = − + x x x ; 29) 2 1 2414 44 −=+ xxx 30) 2 41 4 2112 x x xx − =−++ Ví dụ 1: Giải phương trình sau 15/ ( ) 2 12 2312 2 − =−++ x xx Giải: Đk:       −∈ 2 3 ; 2 1 x . Đặt ( ) 02312 >−++= txxt 22 3443312 txxxx =++−+−++⇔ ( ) 2 2 412 2 2 −=+−−⇔ t x (đk: 2≥t ) ( ) 4 212 4 2 2 t tx −=−⇔ . Thay vào phương trình 16) ta được: ( )      =−+ = = ⇔    =+− = ⇔=+−⇔−= 042 2 0 088 0 088 4 22 2 3 24 4 2 tt t lt tt t ttt t tt ( )    ±−= = ⇔ lt t 51 2 Với t=2 thay vào cách đặt được: ( )       −= = ⇔    −=− =− ⇔=− 2 1 2 3 212 212 412 2 x x x x x Đối chiếu với điều kiện ta có tập nghiệm là:       −= 2 1 ; 2 3 x T Ví dụ 2: Giải phương trình sau 26) 112 3 −−=− xx Ths. Phạm Thị Nga Trang 10 [...] .. . phng phỏp nhõn liờn hp .1 6 8 Dng bi tp gii bng phng phỏp ỏnh gi .1 6 Mt s bi toỏn bi toỏn cha tham s 17 VI HNG DN V P N CA H THNG BI TP 17 1 Hng dn v ỏp ỏn bi tp phng trỡnh h phng trỡnh vụ t.17 2 Hng dn, ỏp ỏn bi tp bt phng trỡnh,h bt phng trỡnh vụ t.18 VI Thực nghiệm và kết quả thực nghiệm 18 1 Kt qu t c ca quỏ trỡnh nghiờn cu . 18 2 Phng phỏp ỏnh gi .1 9 3 Kt qu thc nghim .1 9 C Kết luận 20 I GI TR .. . -MC LC A T VN Trang 1 I XUT PHT IM V L DO CHN TI.1 IV THC TRNG VN .1 III GI THIT KHOA HC 1 B GII QUYT VN 1 PHN 1:MC CH NHIM V V PHNG PHP NGHIấN CU1 I MC CH V NHIM V NGHIấN CU 1 II PHNG PHP NGHIấN CU .2 III tổ chức nghiên cứu 2 PHN 2: C S Lí LUN 3 I I CNG V PHNG TRèNH V BT PHNG TRèNH 3 II PHNG TRèNH BC NHT, BC HAI 4 III BT PHNG TRèNH BC NHT, BC HAI .5 PHN 3: PHN LOI BI TP V PHNG PHP GII 6 IV PHN .. . HAI .5 PHN 3: PHN LOI BI TP V PHNG PHP GII 6 IV PHN LOI BI TP GII PHNG TRèNH Vễ T 6 1 Dng bi tp gii bng phng phỏp bin i tng ng .6 a Dng bi tp gii bng phng phỏp t n ph 8 d t n ph a v phng trỡnh mi d gii hn. 8 e t n ph a v phng trỡnh cha hai n 10 f t n ph a v h phng trỡnh .1 1 3 Dng bi tp gii bng phng phỏp nhõn liờn hp 12 4 Dng bi tp gii bng phng phỏp ỏnh giỏ 13 V PHN LOI BI TP GII BT PHNG TRèNH V .. . qu sau 24 tun ging dy v hc tp tụi tin hnh kim tra ỏnh giỏ hai thi im l sau 12 tun v sau 24 tun bng cỏc bi kim tra ỏnh giỏ chuyờn mụn 2.1 Bi s 1- Lp 10: Bi kim vit tra gia chng 3, Phng trỡnh v mt s phng trỡnh quy v bc hai - Lp 12: Bi kim tra chng 1:ng dng o hm ca hm s 2.2 Bi s 2 Lp 10: Bi kim tra vit chng 4, Mt s phng trỡnh v bt phng trỡnh quy v bc hai Lp 12: Bi kim tra chng 2, phng trỡnh, bt phng trỡnh .. . n l rt khú khn nờn hn ch dựng 1 Dng bi tp gii bng phng phỏp bin i tng ng õy l dng bt phng trỡnh vụ t c bn v n gin nht gii chỳng ta ch cn vn dng mt s phộp bin i tng ng thụng thng nh ó núi Phn 2, mc I. 2.2 a bt phng trỡnh ó cho v bt phng trỡnh tớch hoc bt phng trỡnh hu t ó bit cỏch gii Cỏc phộp bin i tng ng lm mt cn thc õy ch yu l phộp cụ lp cn thc ri nõng ly tha hai v lờn cựng bc vi bc ca cn thc .. . Tx = { 2} VI Thực nghiệm và kết quả thực nghiệm 1 Kt qu t c ca quỏ trỡnh nghiờn cu Trờn õy tụi va trỡnh by ni dung sang kin kinh nghim v phõn loi bi tp gii phng trỡnh v bt phng trỡnh vụ t Ton b kin thc ó s dng trong bi vit ny u c trang b rt y v chi tit trong chng trỡnh hc tp ca hc sinh lp 10 v lp 12 theo chng trỡnh sỏch giỏo khoa mi biờn son ca B Giỏo Dc v o To Kt qu t c l: 1.1 Kt qu th nht: Tỡm ra .. . -Ths Phm Th Nga Trang 19 Phõn loi bi tp gii phng trỡnh v bt phng trỡnh vụ t - 1.2 Kt qu th hai: ng dng bi toỏn trờn gii quyt mt s vn ca i s v gii tớch cú liờn quan n phng trỡnh v bt phng trỡnh vụ t 1.3 Kt qu th ba: Rốn luyn t duy linh hot sỏng to, t duy gii quyt vn , t duy bin chng, xõy dng v phỏt trin s say mờ v yờu thớch toỏn hc Kt qu .. . phỏp t n ph c thỡ ta cú th t thờm mt hoc hai n mi na ri bin i thnh mt h phng trỡnh hai n gii Sau khi tỡm c nghim ca h thay vo cỏch t ta c mt phng trỡnh Gii phng trỡnh ny l tỡm c ghim ca phng trỡnh ó cho.H thng bi tp: Bi 4 Gii cỏc phng trỡnh sau 1) x 3 + 1 = 23 2 x 1 2) x 3 + 3 = 43 4 x 3 5) 3 2 x = 1 x 1 3) 3 x + 3 1 x = 3 2 1 4) x + 1 10 x 2 = 4 3 6) 1 x 2 + 23 1 x 2 = 3 7) x 2 + x + 3 = 3.. . v bt phng trỡnh Mt khỏc cựng vi h thng bi tp l nhng vớ d minh ha v cỏc hng dn, ỏp ỏn kốm theo nờn cú th s dng sỏng kin kinh nghim ny lm ti liu tham kho cho cỏc em hc sinh t hc, t rốn luyn II Đề xuất và kiến nghị ti ny vn cũn cú th c khai thỏc v m rng thờm trờn lp cỏc bi toỏn gii v bin lun phng trỡnh, h phng trỡnh hoc bt phng trỡnh vụ t õy l lp bi toỏn ln cú cựng phng phỏp gii quyt vn nh vy Thụng .. . 1) Tx = { 0,3} , 2) Tx = { 5} ,3) Tx = { 4} ,4) Tx = {1} ,5) Tx = ,6) T = 4 7) Tx = { 5;6} x 8) 2 Tx = 3 , 9) 5 Tx = , 4 10) Tx = { 6;1} , 11) 14) Tx = {1;5} ,15) Tx = {1} ,16) T x 7 7.1 2 = 7 7 7 256 3 Tx = 1;2; 2 , 17) Tx = { 1} ,18) T Bi 2: 1) Tx = { 0, 1} , 2) Tx = { 1} , 3) Tx = { 7} , 4) Tx = {1024} ,5) 1 21 1 17 ; , 2 2 7) Tx = 12) Tx = , 13) Tx = { 1;1} , . Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC *** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN LOẠI BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG. với bất phương trình. PHẦN 3: PHÂN LOẠI BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. PHÂN LOẠI BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Phương trình vô tỷ là phương trình có chứa căn thức ở một trong hai vế. Khi giải. trường THPT Vĩnh Lộc với nhiệm vụ là ứng dụng việc giải phân loại và giải các phương trình và bất phương trình vô tỷ vào việc giải quyết các bài toán đại số và giải tích có liên quan như: giải phương