skkn các dạng bài tập viết phương trình đường thẳng

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Người thực hiện : NGUYỄN THỊ THANH Lĩnh vực nghiên cứu : Quản lý giáo dục : Phương pháp dạy học bộ môn :……… Phương p

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG

 & œ

Mã số :………

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Người thực hiện : NGUYỄN THỊ THANH Lĩnh vực nghiên cứu :

Quản lý giáo dục : Phương pháp dạy học bộ môn :………

Phương pháp giáo dục : Lĩnh vực khác :………

Có đính kèm :

Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác

Năm học : 2013- 2014

BM 01-Bia SKKN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN :

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO :

-Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học

-Chuyên ngành đào tạo : Toán học

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC :

-Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : Giảng dạy Toán

-Số năm có kinh nghiệm : 04 năm

-Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 4 năm gần đây :

BM02-LLKHSKKN

Tên sáng kiến kinh nghiệm:

CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

-Trong những năm học qua, tôi được phân công giảng dạy các lớp 10 Đa số học sinh nhận thức

còn chậm giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm được bài tốt hơn

- Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Hình học 10 học sinh đã được tiếp cận với phương trình đường thẳng ( Giữa học kì II ) Tuy nhiên, trong chương trình SGK Hình học lớp

10 hiện hành được trình bày ở phần đầu chương III, phần bài tập đưa ra sau bài học rất hạn chế Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên chưa thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh Trong khi đó, trong thực tế các bài toán viết phương trình đường thẳng rất phong phú và đa dạng và đặc biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng -THCN, các em sẽ gặp một lớp các bài toán về phương trình đường thẳng mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủa

- Vì vậy tôi mới tổng hợp một số dạng bài tập để giúp các em học sinh lớp 10 có thể tự học để nâng cao kiến thức, đặc biệt tôi hy vọng chuyên đề này có thể giúp các em học sinh lớp 12 tự ôn tập

để giải tốt các đề thi Đại học - Cao đẳng –THCN

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI.

1 Thuận lợi

Học sinh đã được truyền thụ kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng

Được sự hỗ trợ của các thành viên trong tổ

2 Khó khăn

Học sinh chưa có thói quen tìm tòi phương pháp giải khi gặp các bài toán tổng quát

Cần có nhiều thời gian để tạo thói quen học tập cho học sinh

3 Số liệu thống kê

Đang áp dụng để giảng dạy cho các đối tượng học sinh khá, giỏi

III NỘI DUNG ĐỀ TÀI

1.Cơ sở lí luận.

- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của

trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp

học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này

- Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một

cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic Giáo viên cần định hướng cho học sinh

học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng

lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

- Trong SGK hình học 10 chỉ nêu một số bài tập viết phương trình đường thẳng đơn giản

chưa tạo ra được sự hứng thú, tìm tòi và sáng tạo của học sinh Vì vậy khi gặp các bài toán phức tạp hơn các em sẽ lúng túng trong việc tìm lời giải

- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán viết phương trình đường thẳng

- Trong giới hạn của SKKN tôi chỉ hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài toán lập phương trình đường thẳng thường gặp

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:

+ Đưa ra một số dạng bài toán lập phương trình đường thẳng và đề ra phương pháp giải.

at x x

0 0

2 Đường thẳng ∆ đi qua M(x0; y0) và nhận u=( )a;b ( a và b khác 0) làm vtcp có phương trình

chính tắc là

b

y y a

x

x− 0 = − 0

Chú ý: Khi a = 0 hoặc b = 0 thì đường thẳng ∆ không có phương trình chính tắc

3 Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A và B có phương trình là: A A

+ Đặc biệt:

Khi b = 0 thì ptđt ∆: ax+c=0 song song hoặc trùng với Oy

Khi a = 0 thì ptđt ∆: by+c=0 song hoặc trùng với Ox

Khi c = 0 thì ptđt ∆: ax+by=0 đi qua gốc tọa độ O.

6 Đường thẳng ∆ cắt trục Ox tại A( )a;0 và Oy tại B ;( )0 b có phương trình theo đoạn chắn

8 Đường thẳng ∆ đi qua M(x0; y0) và có hệ số góc k có phương trình là: y− y0 =k(x−x0)

9 Phương trình đường phân giác góc tạo bởi hai đường thẳng

0

; và0

10 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ∆1:a1x+b1y+c1 =0 và∆2;a2x+b2y+c2 =0

Đặt

,

, b

b

2 2

1 1 2

2

1 1 2

2

1 1

a c

a c D c

b

c b D a

∆1 cắt ∆2

2

2 1

1

b

a b

2 1

1 2

1//

c

c b

a b

2 1

1 2 1

c

c b

a b

c by ax M

d

+

++

=

∆

12 Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng:

Cho đường thẳng ∆:ax+by+c=0 và hai điểm M(x M;y M) và N(x N;y N) không nằm trên ∆ Khi đó:

2 1

2 1

2 1 2 1 2

1

,

cos

b a b a

b b a a

++

+

=

∆

∆

B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Dạng 1: Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có VTPT hoặc VTCP.

Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng ∆ trong các trường hợp sau:

a ∆ đi qua điểm M(2;1) và có vtcp u=( )3;4

b ∆ đi qua điểm M(-2;3) và có vtpt n=( )5;1

=

+

=

t y

t x

4132

b ∆ đi qua điểm M(-2;3) và có vtpt n=( )5;1 có pt là: 5(x+2) (+ y−3)=0⇔5x+ y+7=0

Dạng 2: Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm phân biệt A và B.

Phương pháp giải:

Cách 1:

+ Tìm tọa độ ABuuur

+ Đt ∆ đi qua A và có vtcp ABuuur

Cách 2: đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A và B có phương trình là: A A

Ví dụ : Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A( ) (1; 2 ,B −2;0)

b. Đường thẳng AB đi qua A(1;2) và nhận nr=(2; 3− ) làm vtpt có pttq là: 2x−3y+ =4 0

Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có hệ số góc k.

Phương pháp giải

Đường thẳng ∆ đi qua A x y và có hệ số góc k có phương trình là: ( 0; 0) y−y0 =k(x−x0)

Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(3;1) và có hệ số góc k =−2

Giải

∆ đi qua điểm A(3;1) và có hệ số góc k=−2 có pt là y−1=−2(x−3)⇔2x+ y−7=0

Dạng 4: Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua diểm A và song song với đường thẳng d:

+ Thay c′ vào (*) ta được ptđt ∆

Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1;-2) và song song với đường thẳng

03

2

+ Thay c′ vào (*) ta được ptđt ∆.

Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(5;2) và vuông góc với đường thẳng

01

• Nếu A, B khác phía thì đó là đường phân giác trong.

Dạng 7: Cho tam giác ABC biết tọa độ các đỉnh Lập phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường trung bình, các đường cao, các đường trung trực, các đường phân giác của góc trong và ngoài của tam giác ABC

* Phương trình các đường cao: áp dụng dạng 5

* Phương trình đường trung trực của AB: + Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh AB

+ đường trung trực của AB đi qua M và vuông góc với AB

* Phương trình đường phân giác trong và ngoài của các góc A:

+ Áp dụng dạng 6

+ Xét vị trí tương đối của hai đỉnh B, C với đường phân giác để tim ra đường phân giác trong và ngoài của góc A

Ví dụ: Cho tam giác ABC, biết A(1;5), B(-3;1), C(2;-2)

Vậy pt đường cao AH là: 5x−3y+ =10 0

+ Phương trình đường trung trực của AB:

Gọi I là trung điểm của AB, ta có:

I

I

x

I y

Đường trung trực của cạnh AB đi qua I và vuông góc với AB có pt là: x y+ − =2 0

d. Gọi d là đường trung bình của tam giác ABC đi qua trung điểm I của AB và song song với 1

AC

Vì d1/ /AC nên pt d dạng 71 x y c+ + =0

Mặt khác I(−1;3)∈ ⇔d1 7 1( )− + + = ⇔ =3 c 0 c 4

Vậy pt d là 71 x y+ + =4 0

Các đường trung bình d d làm tương tự.2, 3

e Ta có đường phân giác trong và ngoài của góc A là:

( )

( ) ( )

⇒ − − = > ⇒ B và C nằm cùng phía với đường thẳng d1

Vậy pt đường phân giác trong của góc A là: 3x y− + =2 0

Dạng 8: Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và tạo với đường thẳng d một góc

cos

2 2 2

′+

′+

′+

′

=

∆

b a b a

b b a a

b a b

ab a

b a

b a d

21

20

2322

23

1

345

cos,

2 2 2 2

y y b x x a b

a

y y b x x a B

+

−+

−

⇔+

−+

−

=

∆

2 2 2

Mặt khác: ( , ) 3 6 2 5 2 (2 5 )2 4( 2 2) 21 2 20 0

2 2 2

+

+

⇔+

−

−+

=

b a

b a b

a

b a b a B

0

a b

Dạng 12: Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, song song với đường thẳng d cho trước

và cách d một khoảng l cho trước.

58.0 6

0556850568568

5685

;

2

y x x

y x d

Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng ∆ cách đều hai đường thẳng

0735: và033

+ Lấy A∈d1 Tìm điểm A′ đối xứng với A qua d 2

+ Khi đó ∆ đi qua A′ và song song với d ( dạng 4 )1

TH2: d cắt 1 d2

+ Tìm giao điểm M của d và 1 d2

+ Lấy A∈d1 Tìm điểm A′ đối xứng với A qua d 2

+ Khi đó ∆ đi qua M và A′ ( dạng 2 )

Chú ý: Tìm tọa độ điểm A′ đối xứng với A qua đường thẳng d ta làm như sau:

+ Viết ptđt d′ đi qua A và vuông góc với d

+ Tìm tọa độ giao điểm H của d và d′

+ H là trung điểm của A A ′ suy ra tọa độ A′

=

−

=

t y

t x

d t y

t x

Gọi H = ∩ ∆d ′, tọa độ của H là nghiệm của hệ pt

352

61

A

A

x y

Mà ∆ đối xứng với d′ qua d nên ∆ đi qua H và A′ có pt là: x+7y−22 0=

Dạng 15: Lập phương trình đường thẳng ∆ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M.

Phương pháp giải:

+ Lấy A∈d Tìm A′ đối xứng với A qua M ( M là trung điểm của A A ′)

+ ∆ đi qua A′ và song song với d ( dạng 4)

Ví dụ: lập phương trình đường thẳng ∆ đối xứng với đường thẳng d:x− y=0 qua điểm M(2;1) Giải

2

2

A y

x y

y y

x x

x

A

A A

M A

A M

Dạng 16: Cho hai đường thẳng d1 và d cắt nhau và điểm M Lập phương trình đường thẳng 2

∆ đi qua M và cắt d1 và d lần lượt tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của đoạn AB,2

Phương pháp giải:

+ Vì A d B d∈ 1, ∈ ⇒2 tọa độ A, B theo tham số t và t′

Đường thẳng ∆ đi qua A và B có pt là: 8x y− −24 0=

Dạng 17: Cho điểm M x( M;y M) với x M >0,y M >0 Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua

M và cắt trục Ox tại A a( );0 và cắt trục Oy tại B( )0;b với a>0,b>0 sao cho

+ thay a , b vào (1) được ptđt ∆.

b) Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất

+ Thay a, b vào (1) ta được ptđt ∆.

Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua M( )2;3 và cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại A và B khác điểm O sao cho:

Chọn a=2.b=3, pt ∆ là 1

2 3

x+ =y

Dạng 18: Lập phương trình cạnh của tam giác ABC khi biết một số yếu tố của nó.

Bài toán 1: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AB, đường cao AH và BH Viết

phương trình hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba.

Phương pháp giải:

* Phương trình BC: + Tìm tọa độ điểm B AB BH= ∩

+ BC đi qua B và vuông góc với AH ( dạng 5 )

* Phương trình AC: + Tìm tọa độ điểm A AB= ∩AH

+ AC đi qua A và vuông góc với BH ( dạng 5 )

* Phương trình đường cao CH:

Cách 1:

+ Khi đó CH đi qua điểm H và vuông góc với AB( dạng 5 )

Cách 2:

+ CH đi qua hai điểm H và C ( dạng 3)

Ví dụ: Cho tam giác ABC biết AB: 5x−3y+ =2 0, đường cao

AH x− y+ = BH x+ y− =

Mà B( )2; 4 ∈BC ⇔3.2 4.4+ + = ⇔ = −c 0 c 22

Vậy pt BC là: 3x+4y−22 0 =

+ Phương trình AC:

Tọa độ điểm Alà nghiệm của hệ 5 3 2 0 1 ( 1; 1)

* Phương trình AB: AB đi qua A và vuông góc với CK ( dạng 5)

* Phương trình AC: AC qua A và vuông góc với BH ( dạng 5)

+ Phương trình AC: ( tương tự AB )

Ta có AC qua A(− −1; 3) và vuông góc với BH có phương trình là: 3x−5y− =12 0

+ Phương trình BC:

Ta có B AB BH= ∩ nên tọa độ của B là nghiệm của hệ:

BC đi qua A1(0; 1 ,− ) (A2 2; 1− ) có phương trình là: y+ =1 0

Bài toán 3: Cho tam giác ABC biết đỉnh A và phương trình hai đường trung tuyến BM và CN Viết phương trình các cạnh.

Phương pháp giải:

+ Tìm tọa độ trọng tâm G

+ Từ phương trình BM suy ra tọa độ điểm B theo t.

+ Từ phương trình CN suy ra tọa độ điểm C theo 't

=++

G C B A

G C B A

y y y y

x x x x

⇒

+ AB đi qua A và B, BC đi qua B và C, AC đi qua A và C

Ví dụ: Cho tam giác ABC biết A(−2;3) , phương trình các đường trung tuyến BM và CN lần lượt là

Bài toán 4: Cho tam giác ABC, biết phương trình cạnh BC và Phương hai đường trung tuyến

BM và CN Viết phương trình AB và AC.

Phương pháp giải:

+ AB đi qua A và B, AC đi qua A và C, BC đi qua B và C.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh BC là 1 3

x− = y−

tuyến BM và CN lần lượt là 3x y+ − =7 0 và x y+ − =5 0 Viết phương trình các cạnh AB, AC.Giải:

Ta có B BC= ∩BM nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:

+ Gọi BM, CN lần lượt là đường phân giác của góc B và C

+ Viết phương trình AH vuông góc với CN, AK vuông góc BM ( dạng 5)

+ Gọi A1, A2 lần lượt là giao điểm của AH và AK với BC⇒H là trung điểm của AA , K là 1

trung điểm của AA2 ⇒ A1, A2

+ BC đi qua A1 và A2 ( dạng 3)

Ví dụ: Cho tam giác ABC biết 

4

phương trình là x−2y−1=0 vàx+3y−1=0 Viết phương trình cạnh BC.

Giải

Gọi BM, CN lần lượt là đường phân giác của góc B và C

Gọi AH là đường thẳng đi qua A và vuông góc với CN

Gọi A1, A2 lần lượt là giao điểm của AH và AK với BC

Khi đó ta có H là trung điểm của AA , K là trung điểm của 1 AA 2

+ Gọi M là trung điểm của BC Ta có uuurAG=2GMuuuur⇒M

+ Viết pt đường thẳng d đi qua M và song song với AC (dạng 4)

Gọi M là trung điểm của BC

y y

Đt BC đi qua B và M có phương trình là x−2y− =3 0

Bài toán 7: Cho tam giác ABC biết đỉnh A, đường trung trực d của AB và trọng tâm G viết phương trình ba cạnh.

Phương pháp giải:

* Phương trình AB: AB đi qua A và vuông góc với đường trung trực d ( dạng 5 )

* Phương trình AC: + Gọi I là trung điểm của AB ⇒ =I AB∩ ⇒d I

+ Ta có CGuuur=2GIuur⇒C

+ AC đi qua A và C ( dạng 3)

* Phương trình BC: + Ta có I là trung điểm AB ⇒B

+ BC đi qua B và C ( dạng 3)

Ví dụ: Cho tam giác ABC biết A(− −1; 3) , trọng tâm G(4; 2− ) và đường trung trực d của cạnh AB

có phương trình là: 3x+2y− =4 0 Viết phương trình ba cạnh

y y

* Phương trình BC: BC đi qua C và vuông góc với AH ( dạng 5)

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

Đường thẳng AB qua A và B có phương trình là: 53x+47y+65 0=

Bài toán 9: Cho tam giác ABC biết đỉnh C, phương trình đường cao AH và phương trình đường phân giác trong BM của góc B Viết phương trình các cạnh.

Phương pháp giải:

* Phương trình BC: BC qua C và vuông góc với AH ( dạng 5)

+ Tìm C′ đối xứng với C qua BM ⇒C′∈AB

Gọi C′ là điểm đối xứng với C qua BM ⇒ ∈C′ AB

Khi đó đt CC′ đi qua C và vuông góc với BM có pt là x−2y+ =1 0

Gọi C′ đối xứng với C qua AD, khi đó C′∈AB

Ta có CC′ qua C và vuông góc với AD có pt là x y− + =4 0

+ Phương trình AC: tương tự phương trình AB

Gọi B′ lần lượt là điểm đối xứng với Bqua AD Khi đó B′∈AC

Ta có B′(0; 1− )

Pt AC qua C và B′ có pt là 4x y+ + =1 0

IV KẾT LUẬN

Toán học là một môn khoa học trừu tượng và có quá nhiều nội dung Vì vậy muốn học tốt môn Toán là một yêu cầu khó Qua bốn năm giảng dạy tôi thấy rằng việc tổng hợp kiến thức, phân dạng các bài toán và đưa ra phương pháp giải đã giúp ích rất lớn cho học sinh trong quá trình học tập

Đề tài của tôi được kiểm nghiệm trong các năm giảng dạy lớp 10, tôi thấy các em không còn lung túng khi gặp bài toán lập phương trình, các em hứng thú, say mê hơn trong học tập, các em học sinh khá, giỏi tự tìm tòi phương pháp giải khi gặp bài toán mới

Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi Tôi xin chân thành cảm ơn !

V TÀI LIỆU THAM KHẢO

Sách hình học lớp 10 cơ bản và nâng cao

Sách bài tập hình học lớp 10 cơ bản và nâng cao

Đề thi đại học

Xuân Lộc, ngày tháng 05 năm 2014

Người viết