NHỮNG VẤN ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG TỌA ĐỘ MẶT PHẲNG

NHỮNG VẤN ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG TỌA ĐỘ MẶT PHẲNG

Vấn đề 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN I. Toạ độ vectơ: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy: 1) a = (a 1 ; a 2 ) <=> a = a 1 i +a 2 j 2) Cho a = (a 1 ; a 2 ), b = (b 1 ; b 2 ). Ta có: a ± b = (a 1 ± b 1 ; a 2 ± b 2 ) 3) Cho a = (a 1 ; a 2 ), b = (b 1 ; b 2 ). Ta có: a . b = a 1 b 1 + a 2 b 2 a = 2 2 2 1 aa + ; cos( a , b ) = ba ba . . II. Toạ độ điểm: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy 1) ( ) ( ) ; ; M M M M M x y OM x y⇔ = uuuur 2) Cho A(x A ; y A ), B(x B ; y B ). Ta có: AB = (x B -x A ; y B -y A ) và AB = 22 )()( ABAB yyxx −+− 3) Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k 1≠ ) MA kMB⇔ = uuur uuur thì      − − = − − = k kyy y k kxx x BA M BA M 1 1 Đặc biệt khi M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì      + = + = 2 2 BA M BA M yy y xx x Nếu G là trọng tâm ∆ ABC thì      ++ = ++ = 3 3 CBA G CBA G yyy y xxx x III. Liên hệ giữa toạ độ hai vectơ vuông góc, cùng phương: Cho a = (a 1 ; a 2 ), b = (b 1 ; b 2 ). Ta có: 1) a ⊥ b <=> a . b = 0 <=> a 1 b 1 + a 2 b 2 = 0 2) a cùng phương với b <=> a 1 b 2 - a 2 b 1 = 0 1 2 1 2 1 2 0 0 a a b b b b   ⇔ = ≠ ≠  ÷   nÕu vµ 3) Ba điểm A, B, C khi và chỉ khi AB v AC uuur µ cùng phương Nhắc lại: 1. Trọng tâm của một tam giác là giao điiểm của 3 đường trung tuyến. Trọng tâm chia mỗi trung tuyến của tam giác làm 2 phần 3 kể từ đỉnh. 2. Trực tâm của một tam giác là giao điểm của 3 đường cao. H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC . 0 . 0 AH BC BH AC  =  ⇔  =   uuur uuur uuur uuur 3. Tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh của tam giác đó. I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC IA IB IA IC  = ⇔  =  Hoặc 1 2 I d d= ∩ với d 1 , d 2 là trung trực của hai cạnh của tam giác ABC 4. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tam giác đó 5. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD và phân giác ngoài AE thì ; DB EB AB DB AB EB AB DC EC AC AC AC DC EC = = ⇒ = − = uuur uuur uuur uuur Chú ý: a) Nếu tam giác ABC đều thì tâm đường tròn nội, ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm của tam giác trùng nhau. b) Nếu tam giác ABC cân thì tại đỉnh cân, trung tuyến, đường cao, trung trực, phân giác trong của tam giác trùng nhau Vấn đề 2: ĐƯỜNG THẲNG A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1) Đường thẳng d đi qua 1 điểm cho trước và có vectơ pháp tuyến cho trước ( ) ( ) ( ) ( ) ®iÓm 0 0 0 0 0 ; ; : 0 M x y VTPT n A B PT A x x B y y ∈∆ = − + − = g r g g 2) Đường thẳng d đi qua 1 điểm cho trước và có vectơ pháp tuyến cho trước ( ) ( ) ®iÓm 0 0 0 1 2 0 1 0 2 ; ; M x y VTCP u a a x x a t PT y y a t ∈∆ =  = +   = +   g r g g (t R∈ ) Và phương trình chính tắc là 0 1 x x a − = ( ) µ 0 1 2 2 0 0 y y a v a a − ≠ ≠ 3) Phương trình đường thẳng d qua 2 điểm A và B với ( ) ( ) ; , ; A A B B A x y B x y là A A B A B A x x y y x x y y − − = − − 4) Đường thẳng d đi qua điểm ( ) 0 0 0 ;M x y và vuông góc với đt ∆ : Ax + By+ C = 0 - d vuông góc với ∆ : Ax + By + C = 0 nên pt d có dạng: – Bx + Ay + C’ = 0 - ( ) 0 0 0 0 0 ; 'M x y d C Ax By∈ ⇒ = − − 5) Đường thẳng d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) và song song với ∆ : Ax + By+ C = 0 - d song song với ∆ : Ax + By+ C = 0 nên pt d có dạng: Ax + By + C’ = 0 (C’ C≠ ) - ( ) 0 0 0 0 0 ; 'M x y d C Ax By∈ ⇒ = − − 6) Phương trình đường thẳng d đi qua ( ) ( ) ( ) vµ; 0 , 0; 0 0A a B b a b≠ ≠ là 1 x y a b + = (PT đoạn chắn). 7) Phương trình đường phân giác: Cho hai đường thẳng cắt nhau (∆ 1 ): A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 (∆ 2 ): A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 Phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi (∆ 1 ) và (∆ 2 ) là: 2 1 2 1 111 BA CyBxA + ++ = ± 2 2 2 2 222 BA CyBxA + ++ 8) Đt d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) và tạo với đt ∆ : Ax + By+ C = 0 một góc α Gọi ( ) '; 'n A B= r là vtpt của đt d thì pt d có dạng ( ) ( ) 0 0 ' ' 0A x x B y y− + − = d tạo với ∆ một góc α nên os 2 2 2 2 ' ' . ' ' AA BB c A B A B α + = + + 9) Đt d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) và cách điểm N ( ) ; N N x y một khoảng cho trước Gọi ( ) ;n A B= r là vtpt của đt d thì pt d có dạng ( ) ( ) 0 0 0A x x B y y− + − = 0 0 0Ax By A x By⇔ + − − = d cách điểm Nmột khoảng k nên ( ) 0 0 2 2 , N N Ax By A x By d d N k k A B + − − = ⇔ = + II.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG: Cho 2 đường thẳng: (∆ 1 ): A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 (1) (∆ 2 ): A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 (2) Toạ độ giao điểm của (∆ 1 ) và (∆ 2 ), nếu có là nghiệm của hệ (1) và (2) Ta có kết quả sau: - Nếu 2 1 A A ≠ 2 1 B B thì (∆ 1 ) cắt (∆ 2 ) - Nếu 2 1 A A = 2 1 B B ≠ 2 1 C C thì (∆ 1 ) // (∆ 2 ) - Nếu 2 1 A A = 2 1 B B = 2 1 C C thì (∆ 1 ) ≡ (∆ 2 ) Ghi chú: (∆ 1 ) ⊥ (∆ 2 ) <=> A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG - KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG: 1. Góc giữa hai đường thẳng: Cho 2 đường thẳng (∆ 1 ) và (∆ 2 ) cắt nhau, lần lượt có các vectơ pháp tuyến là 1 n và 2 n Gọi ϕ là góc hợp bởi (∆ 1 ) và (∆ 2 ), ta có: cosϕ = 21 2 1 . . nn nn (0 ≤ ϕ ≤ 90 0 ) 2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng : a) Định lý: Khoảng cách từ 1 điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng (∆): Ax + By + C = 0 được cho bởi: d(M 0 ; ∆) = 22 00 BA CByAx + ++ b) Phương trình đường phân giác: Cho hai đường thẳng cắt nhau (∆ 1 ): A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 (∆ 2 ): A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 Phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi (∆ 1 ) và (∆ 2 ) là: 2 1 2 1 111 BA CyBxA + ++ = ± 2 2 2 2 222 BA CyBxA + ++ Lưu ý: 1. Tìm một số x ⇔ dạng toán lập pt ẩn số x và giải. 2. Tìm hai số x, y ⇔ dạng toán lập pt 2 ẩn số x và y rồi giải. 3. Tìm tọa độ điểm A(x; y) ⇔ dạng toán lập pt 2 ẩn số x và y rồi giải. Cho d: y = f(x); d’: y = g(x) Nếu A = d ∩ d’ thì tọa độ cuả A là nghiệm của hệ ( ) ( )y f x y g x  =   =   4. Phương pháp loại bớt ẩn số khi lập phường trình TH1: ( ) ( ) ( ) ∈∆ = ⇒ =: ;A y f x A x y f x (đã loại bớt ẩn y của điểm A) TH2: M là trung điểm của AB và nếu biết tọa độ của điểm A và điểm M thì có thể tính được tọa độ của điểm B theo tọa độ của A và M. VD A(a; b); M(c; d) thì B(2c-a; 2d-b) TH3: G là trọng tâm của tam giác ABC thì tọa độ điểm B có thể tính theo tọa độ các điểm A, C và G. 5. Phương pháp khai thác gỉa thiết khi btoán cho đường phân giác trong của một góc của một tam giác: Cho tam giác ABC có phân giác trong góc A là At, nếu từ B kẻ By vuông góc với At và cắt AC tại B’ thì tam giác ABB’ cân tại A. Từ đó nếu biết được pt At và tọa độ điểm B thì tính được tọa độ điểm B’ thuộc đường thẳng AC như sau: B1: Viết pt đt By: B By By At ∈   ⊥  B2: Tìm tọa độ I At By= ∩ B3: 'ABB∆ cân tại A nên I là trung điểm của đoạn BB’. Biết tọa độ điểm B và điểm I ta suy ra tọa độ điểm B’. Vấn đề 3: ĐƯỜNG TRÒN I. Phương trình đường tròn 1. Định lý 1: Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a; b) bán kính R trong hệ toạ độ Oxy là: (x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2 2. Định lý 2: Phương trình x 2 + y 2 + 2Ax + 2By + C = 0 với A 2 + B 2 – C > 0 là phương trình đường tròn tâm I(-A;-B), bán kính R = CBA −+ 22 * Lưu ý: Nếu điểm M cách điểm I cố định một khoảng không đổi R thì M nằm trên đ tròn tâm I bk R (suy từ đn). II. Vị Trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn Cho đường thẳng (∆) và đường tròn (C) có tâm I và bán kính R Gọi d là khoảng cách từ I đến đường thẳng (∆) • Nếu d > R thì (∆) và (C) không có điểm chung. • Nếu d = R thì (∆) và (C) có một điểm chung duy nhất. Khi đó (∆) gọi là tiếp tuyến của đường tròn (C) và điểm chung gọi là tiếp điểm. • Nếu d < R thì (∆) và (C) có hai điểm chung. III. Phương tích, trục đẳng phương: 1. Phương tích: Cho đường tròn (C): F (x;y) = x 2 + y 2 + 2Ax + 2By + C = 0 và điểm M 0 (x 0 ; y 0 ). Ta có: PM 0 /(C) = F(x 0 ; y 0 ) = ++ 2 0 2 0 yx 2Ax o + 2By o + C. 2. Trục đẳng phương: Cho hai đường tròn không đồng tâm (C 1 ) và (C 2 ) có phương trình: (C 1 ): x 2 + y 2 +2A 1 x +2B 1 y +C 1 = 0 (C 2 ): x 2 + y 2 +2A 2 x +2B 2 y +C 2 = 0 Phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn (C 1 ) và (C 2 ) là: 2 (A 1 –A 2 )x + 2(B 1 - B 2 )y + C 1 –C 2 = 0 IV. Tính chất của tiếp tuyến của đường tròn: - Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. - Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính. • Lưu ý: Tiếp tuyến của một đường tròn cũng là một đường thẳng nên bài toán viết pt tiếp tuyến chính là bài toán viết pt đường thẳng. Vấn đề 4: ELIP VÀ HYPEBOL ELIP HYPEBOL 1) Định nghĩa: (E) = { } aMFMFM 2 21 =+ F 1 F 2 = 2c, a > c 2) Phương trình chính tắc: 2 2 2 2 b y a x + = 1 với b 2 = a 2 – c 2 3) Hình dạng và các yếu tố: Cho elip (E): 2 2 2 2 b y a x + = 1 a) Hình dạng: b) Các yếu tố: • A 1 A 2 = 2a: trục lớn • B 1 B 2 = 2b: trục nhỏ 1) Định nghĩa: (H) = { } aMFMFM 2 21 =− F 1 F 2 = 2c, c > a 2) Phương trình chính tắc: 2 2 2 2 b y a x − = 1 với b 2 = c 2 – a 2 3) Hình dạng và các yếu tố Cho Hypebol (H): 2 2 2 2 b y a x − = 1 a) Hình dạng: b) Các yếu tố • A 1 A 2 = 2a: trục thực • Các đỉnh: A 1 (-a; 0),A 2 (a; ),B 1 (0; -b),B 2 (0; b) • Các tiêu điểm: F 1 (-c; 0), F 2 (c; 0) • Tiêu cự: F 1 F 2 = 2c • Bán kính qua tiêu của điểm M )(E∈ :      −= += M M x a c aMF x a c aMF 2 1 • Tâm sai: e = 1< a c • Phương trình đường chuẩn: (∆ 1 ): x = - c a e a 2 −= ; (∆ 2 ): x = c a e a 2 = 4) Phương trình tiếp tuyến: Cho elip (E): 2 2 2 2 b y a x + = 1 a) Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M o (x o ;y o ) ∈ (E) có dạng: 1 2 0 2 0 =+ b yy a xx b) Đường thẳng (∆): Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của (E) <=> A 2 a 2 + B 2 b 2 = C 2 • B 1 B 2 = 2b: trục ảo • Các đỉnh:A 1 (-a; 0), A 2 (a; 0) • Các tiêu điểm: F 1 (-c; 0), F 2 (c; 0) • Tiêu cự: F 1 F 2 = 2c Bán kính qua tiêu của điểm M )(H∈ + x M > 0 :      −= += ax a c MF ax a c MF M M 2 1 + x M < 0 :      +−= −−= ax a c MF ax a c MF M M 2 1 • Tâm sai: e = 1> a c • Phương trình đường chuẩn: (∆ 1 ): x = - c a e a 2 −= ; (∆ 2 ): x = c a e a 2 = • Phương trình tiệm cận: (d 1 ): y = - x a b ; (d 2 ): y = x a b 4) Phương trình tiếp tuyến: Cho Hypebol (H): 2 2 2 2 b y a x − = 1 a) Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M o (x o ;y o ) ∈ (H) có dạng: 1 2 0 2 0 =− b yy a xx b) Đường thẳng (∆): Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của (H) <=> A 2 a 2 - B 2 b 2 = C 2 Vấn đề 5: PARABOL I. Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho đường thẳng (∆) cố định và điểm F cố định không thuộc ∆. Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho M cách đều (∆) và F được gọi là một parabol • F gọi là tiêu điểm • (∆) gọi là đường chuẩn của parabol • Khoảng cách p từ tiêu điểm đến đường chuẩn gọi là tham số tiêu của parabol • Với M ∈(P); MF gọi là bán kính qua tiêu của điểm M. II. Phương trình chính tắc: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) như trong định nghĩa, trong đó chọn F( 2 p ; 0) và (∆): x = - 2 p Phương trình chính tắc của parabol (P) là: y 2 = 2px III. Hình dạng và các yếu tố: Cho Parabol (P): y 2 = 2px 1) Hình dạng: 2) Các yếu tố: • O(0;0) là đỉnh của parabol • Ox là trục đối xứng của parabol • Bán kính qua tiêu của điểm M ∈ (P): MF = 2 p + x M IV: Phương trình tiếp tuyến: Cho parabol (P): y 2 = 2px a) Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) ∈ (P) là y 0 y = p(x 0 +x) b) Đường thẳng (∆): Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của (P) <=> pB 2 = 2AC Vấn đề 6: MỘT SỐ VÍ DỤ VD1: Trong mpOxy cho tam giác ABC, A(-1; 2), trung tuyến CM: 5x + 7y -20 = 0, đường cao BK: 5x – 2y - 4 = 0. Viết phương trình các cạnh AC và CB. Giải: M A B C K ( ) 1;2 2 10 0 8 : AC BK A AC c c AC • ⊥ ⇒ − ∈ ⇔ − + + − = ⇔ = − ⇒ ph ¬ngtr × nhAC :2x + 5y + c = 0 2x + 5y -8 = 0 • Tọa độ điểm C: ( ) 2 5 8 0 4 4;0 5 7 20 0 0 x y x C x y y + − = =   ⇔ ⇔   + − = =   • Tọa độ điểm B: 5 4 5 4 : ; 2 2 x b B BK y B b − −   ∈ = ⇒  ÷   M là trung điểm của AB 1 2 5 4 M M b x b y −  =   ⇒   =   ( ) ( ) 5 1 5 :5 7 20 0 7. 20 0 2 2 4 2;3 b b M CM x y b B − ∈ + − = ⇔ + − = ⇔ = ⇒ • Phương trình BC: 4 3 2 12 0 2 4 3 x y x y − = ⇔ + − = − VD2: Trong mpOxy cho tam giác ABC, A(1; 2), B(2; 7). Tìm tọa độ điểm C biết độ dài đường cao hạ từ A bằng 1, và C thuộc đường thẳng y – 3 = 0. Giải: A B C H ( ) : 3 ;3C d y C c• ∈ = ⇒ • Nếu c=2 thì B và C cùng nằm trên đường thẳng x=2 nên phương trình BClà: x – 2 =0 Khi đó ( ) ( ) 1 2 ; 1 1 AH d A BC − = = = ®óng . Vậy C(2; 3) • Nếu c 2≠ thì phương trình BC là: ( ) ( ) 2 7 4 2 7 2 0 2 3 7 x y x c y c c − − = ⇔ + − − − = − − Khi đó ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 4 7 14 8 ; 1 1 6 5 16 2 16 2 1 24 56 16 0 ,( 2) 3 1 ;3 . 3 c c AH d A BC c c c c c c c C + − − + − = = ⇔ = ⇔ − = + − + − ⇔ − + = ⇔ = ≠   ⇒  ÷   Vậy: C(2; 3) hoặc 1 ;3 . 3 C    ÷   VD3: Trong mpOxy cho tam giác ABC, trực tâm H(1; -1), E(-1; 2) là trung điểm của AC, BC: 2x – y + 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. Giải: H A B C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : 2 0 1; 1 1 2 0 1 : 2 1 0 2 1 2 1; 2 2 1 2 4 : 2 1 0 2 2 1 4 1 0 5 5 0 1 3;1 , 1;3 ph ¬ngtr×nh lµ trung®iÓmcña Ph ¬ngtr×nh H: c c E A E A AH BC AH x y c H AH c c AH x y x y A AH A a a x x x a E AC y y y a C BC x y a a a a A C B • ⊥ ⇒ + + = − ∈ ⇒ − + = ⇒ = ⇒ + + = ⇔ = − − • ∈ ⇒ − − = − = −   • ⇒  = − = −   • ∈ − + = ⇔ − − + + = ⇔ − = ⇔ = ⇒ − • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1; 1 4;2 , 4 1 2 1 0 2 1 0 2 1 0 0 0;1 2 1 0 1 H BH vµ VTPT cña BH lµ AC nªn ph ¬ng tr×nh BH lµ Täa ®é ®iÓm B: x y x y x y x B x y y − ∈ = − + + = ⇔ + − = + − = =   • ⇔ ⇔   − + = =   uuur VD4: Trong mpOxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và cắt đường tròn (C): x 2 + y 2 +2x + 6y – 15 = 0 tạo thành một dây cung có độ dài bằng 8. Giải: x y H O I 1 B A • (C) có tâm I(-1; -3), bán kính R = 5. • Dựa trên hình vẽ, ta thấy đường thẳng x = 0 (trục tung) không thỏa yêu cầu bài toán. • Nên đường thẳng d đi qua gốc tọa độ, cắt (C) tại 2 điểm A, B với AB = 8. Gọi H là trung điểm của AB thì HA = 4 và IH = d(I; d) = 3 • Phương trình d có dạng y = ax 0y⇔ − =ax • Vậy: ( ) 2 2 0 3 ; 3 3 8 6 0 3 1 4 0 : 3 3 : 4 4 ph ¬ng tr×nh d lµ y=0 ph ¬ng tr×nh d lµ y=- a a d I d a a a a a a x =  − +  = ⇔ = ⇔ + = ⇔  = − +  + = + = − VD5: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(1 ; 0), B(-2 ; 4), C(-1 ; 4), D(3 ; 5) và đường thẳng d: 3x – y – 5 = 0. Tìm M trên (d) sao cho hai tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau. Giải: Lấy M( a; 3a -5 ) thuộc (d). Ta có ( 3;4)AB = − uuur suy ra AB = 5 và pt AB: 4x + 3y - 4 = 0. (4;1)CD = uuur suy ra CD = 17 và pt CD: x – 4y – 17 = 0. Mặt khác d(M;AB) 4 3(3 5) 4 |13 19 | 5 5 a a a + − − − = = và d(M;CD) 4(3 5) 17 | 3 11 | . 17 17 a a a − − − − = = Theo giả thiết diện tích hai tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau thì 13 19 3 11 5 13 19 7 | 3 11 | 11 . 13 19 11 3 5 12 17 8 a a a a a a a a − = −   − −   = ⇔ =  − = − ⇔    =   Vậy trên (d) có hai điểm M thỏa mãn đề bài là: 11 27 ; , (8;19). 12 12   −  ÷   VD6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C) 2 2 4 2 2 1 0x y x x y+ + − − + = và (C’) 2 2 4 5 0x y x+ + − = cùng đi qua M(1 ; 0). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn lần lượt tại A, B sao cho MA = 2MB. Giải: Gọi (d) là đường thẳng qua M có vtcp 1 ( ; ) : . x at u a b d y bt = +  = ⇒  =  r Đường tròn (C) có tâm I(1 ; 1), R = 1. (C’) có tâm I’(-2 ; 0) và R’=3 suy ra pt của (C) và (C’) được viết lại (C) 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 1, ( '): ( 2) 9.x y C x y− + − = + + = Nếu d cắt (C) tại A thì 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 ( ) 2 0 1 ; 2 t M ab b a b t bt A b a b a b t a b = →     + − = ⇒ ⇒ +  ÷  + + =   +  Nếu d cắt (C’) tại B thì 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 6 6 ( ) 6 0 1 ; 6 t M a ab a b t at B a a b a b t a b = →     + + = ⇒ ⇒ − −  ÷  + + =   +  . Theo giả thiết MA = 2MB 2 2 4MA MB⇔ = lúc đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 4 6 :6 6 0 4 36 4 36 . 6 : 6 6 0 a ab b ab a a b a b a b a b b a d x y b a b a b a d x y a b a b           + = +    ÷  ÷  ÷  ÷ + + + +             = − → + − =  ⇔ = ⇔ = ⇔  = → − − = + +  VD7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(2 ; -1), B(1 ; -2) trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ dỉnh C của tam giác biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5. Giải: Ta có M là trung điểm AB nên M 3 1 ; 2 2   −  ÷   . Gọi C (a; b) ta có: 3 3 3 3 +  =    −  =   G G a x b y Vì G thuộc d: 3 3 2 0 6 (1) 3 3 + − + − = ⇔ + = a b a b Ta có 3 5 2 1 (1;3) ( ) : 3 5 0 ( , ) 1 3 10 − − − − = ⇒ = ⇔ − − = ⇔ = uuur a b x y AB AB x y h C AB Theo giải thiết: 2 5 2 5 1 1 . ( , ) 10 13,5 2 2 2 10 2 5 27 2 32 2 5 27 2 5 27 2 22 − − − − = = = = − − = − =   ⇔ − − = ⇔ ⇔   − − = − − = −   ABC a b a b S AB h C AB a b a b a b a b a b Kết hợp với (1) ta có: [...]... em có thể tìm ra được cách giải hay hơn Vấn đề 7: BÀI TẬP Bài 1: Trong mp tọa độ Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, BC: 3x − y − 3 = 0 , các đỉnh A, B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2 tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC 7+4 3 2 3 +6 G1  ; ÷  3 3 ÷   ĐS:  1+ 4 3 2 3 + 6  G2  − ;− ÷  3 3 ÷   Bài 2: Trong mp tọa độ Oxy, xét tam giác ABC có A(5 ; 2) Phương... định tiêu điểm , độ dài các trục b) Một đường thẳng thay đổi d : y = x + m Định m để d cắt (E) tại hai điểm P, Q c) Tìm tọa độ trung điểm I của PQ Chứng tỏ I di động trên một đoạn cố định khi d thay đổi HD: b) − 13 ≤ m ≤ 13 9 4 c) I di động trên đường thẳng có pt y = − x với − 9 9 ≤x≤ 13 13 Bài 8: Trong mp tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d: x – y = 0 và d’: 2x + y – 1 = 0 tìm tọa độ các đỉnh của... tích 20 a) Tính đường cao hình thoi và phương trình cạnh AB b) Tìm tọa độ điểm D biết nó có hoành độ dương ĐS: a) h = 4, AB: 4x + 3y – 1 = 0 b) D(3 ; 3) Bài 10: Trong mp tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): x2 + y2 = 13 và (C’) (x-6)2 + y2 =25 cắt nhau tại A(2; 3) Viết phương trình đương thẳng qua A cắt (C) và (C’) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau ĐS: d: x – 2 =0 và d’: 2x – 3y + 5 = 0 ****************... D(0;0) Bài 9: Cho đường tròn tâm O , bán kính 1 Gọi A và A’ là hai điểm trên đường tròn có hoành độ là – 1, 1 Đường thẳng di động x = m ( m ≠ 0, ± 1) cắt đường tròn tại M và M’ ( M có tung độ dương) a) Tìm tọa độ M và M’ b) Viết phương trình đường thẳng AM và A’M’ Chứng minh giao điểm của AM và A’M’ di động trên một hypebol cố định ( ) ĐS: a) M m; 1 − m ; ( M ' m; − 1 − m ) x −1 y = m +1 1 − m2 b)... tọa độ Oxy, xét tam giác ABC có A(5 ; 2) Phương trình đường trung trự cạnh BC và trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x –y + 3 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC ĐS: B(37 ; 88), C(-20 ; -31) Bài 3: mp tọa độ Oxy, xét tam giác ABC có A(2 ; 3), trọng tâm G(2 ; 0) Hai đỉnh B, C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d: x + y + 5 = 0 và d’: x +2y – 7 = 0 viết phường trình đường tròn tâm C tiếp... 169/25 Bài 4: Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 2 = 0 Viết phương trình đường tròn (C’) có tâm M(5 ; 1) và cắt (C) tại hai điểm A; B sao cho AB = 3 ĐS: (x – 5)2 + (y - 1)2 = 13 Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d: x – y – 3 = 0 và d’: x + y - 6 = 0 Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d và Ox Tìm toạ đọ các đỉnh... −6   2a − b = −22   b = 121  C2 ( −6;12 ) VD8: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm M(2 ; 4) và đường tròn (C ) : ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 = 4 Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB Giải: Ta có: (C ) : ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 = 4 suy ra I(1 ; 3), R = 2, PM/(C) = 1+1-4 = -2 < 0 nên M nằm trong hình tròn (C) r  x = 2 + at Gọi d là đường thẳng... = 0 8 + b(t + t ') = 8 b(t + t ') = 0 Thay vào (1) và áp dụng Viet ta có: 2(a + b) x−2 y−4 t +t'= − 2 = 0 ⇔ a = −b ⇒ d : = 2 a +b −1 1 ⇔ x + y − 6 = 0 VD9: Trong mp Oxy cho hai đường thẳng (d) 4x – 3y -12 = 0 và (d’): 4x +3y -12 = 0 Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d), (d’) và trục Oy Giải: Gọi A là giao điểm của d và d’ lúc đó A(3;0) thuộc Ox Vì BC thuộc... giác cân tại A suy ra tâm I đường tròn nội tiếp tam giác thuộc Ox suy ra I(a ; 0) Theo tc phân giác trong: IA AC 5 IA + IO 5 + 4 OA 9 = = ⇒ = ⇔ = AO AO 4 IO 4 IO 4 4OA 4.3 4 ⇒ IO = = = 9 9 3 1 1 15 1 AB + AC + BC 1 5 + 8 + 5 6 4  = ⇒r= Suy ra I  ;0 ÷ Và S = BC.OA = 5.3 = = 2 2 2 2 r 2 r 5 3  Vd10: Trong mp Oxy cho đường thẳng (d)có phương trình x – 2y - 2 = 0 và hai điểm A(-1 ; 2); B(3 ; 4) Tìm . nếu biết tọa độ của điểm A và điểm M thì có thể tính được tọa độ của điểm B theo tọa độ của A và M. VD A(a; b); M(c; d) thì B(2c-a; 2d-b) TH3: G là trọng tâm của tam giác ABC thì tọa độ điểm B. BB’. Biết tọa độ điểm B và điểm I ta suy ra tọa độ điểm B’. Vấn đề 3: ĐƯỜNG TRÒN I. Phương trình đường tròn 1. Định lý 1: Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a; b) bán kính R trong hệ toạ độ Oxy. B 2 b 2 = C 2 Vấn đề 5: PARABOL I. Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho đường thẳng (∆) cố định và điểm F cố định không thuộc ∆. Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho M cách đều (∆) và F được