NHỮNG VẤN ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG TỌA ĐỘ MẶT PHẲNG

NHỮNG VẤN ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG TỌA ĐỘ MẶT PHẲNG

Vấn đề 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

I Toạ độ vect ơ : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy:

1) a= (a1; a2) <=> a= a1 i +a2 j

2) Cho a = (a1; a2), b= (b1; b2) Ta có:

a b = (a1b1; a2b2) 3) Cho a= (a1; a2), b= (b1; b2) Ta có:

a.b= a1b1 + a2b2

a = 2

2 2

1 a

a  ; cos(a,b) = a a..b b

II Toạ độ điểm: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy

1) M x y M; M  OM x y M; M

2) Cho A(xA; yA), B(xB; yB) Ta có:

AB= (xB-xA; yB-yA)

và AB = (x B  x A) 2  (y B  y A) 2 3) Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k 1 ) MA kMB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

thì























k

ky y y

k

kx x x

B A M

B A M

1 1

Đặc biệt khi M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì

















 2

2

B A M

B A M

y y y

x x x

Nếu G là trọng tâm  ABC thì























3

3

C B A G

C B A G

y y y y

x x x x

III Liên hệ giữa toạ độ hai vect ơ vuông góc, cùng ph ươ ng :

Cho a= (a1; a2), b= (b1; b2) Ta có:

1) a b <=> a.b= 0 <=> a1b1 + a2b2 = 0

2) a cùng phương với b <=> a1b2 - a2b1 = 0 1 2 1 2

1 2

b b

nÕu vµ

3) Ba điểm A, B, C khi và chỉ khi AB v ACµ cùng phương

Nhắc lại:

1 Trọng tâm của một tam giác là giao điiểm của 3 đường trung tuyến Trọng tâm chia mỗi trung tuyến của tam giác làm 2 phần 3 kể từ đỉnh

2 Trực tâm của một tam giác là giao điểm của 3 đường cao

H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC 0

AH BC

BH AC



 





 

 

3 Tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh của tam giác đó

I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC IA IB

IA IC

 

 





Hoặc I d 1d2 với d1, d2 là trung trực của hai cạnh của tam giác ABC

4 Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tam giác đó

5 Cho tam giác ABC có phân giác trong AD và phân giác ngoài AE thì

DB EB AB DB AB EB; AB

DC EC AC  DC  AC EC AC

Chú ý:

a) Nếu tam giác ABC đều thì tâm đường tròn nội, ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm của tam giác trùng nhau

b) Nếu tam giác ABC cân thì tại đỉnh cân, trung tuyến, đường cao, trung trực, phân giác trong của tam giác trùng nhau

Vấn đề 2: ĐƯỜNG THẲNG

A CÁC KIẾN THỨC C Ơ BẢN

I PH ƯƠ NG TRÌNH Đ Ư ỜNG THẲNG

1) Đường thẳng d đi qua 1 điểm cho trước và có vectơ pháp tuyến cho trước

®iÓm 0 0 0

;

;

M x y

VTPT n A B

PT A x x B y y

 











2) Đường thẳng d đi qua 1 điểm cho trước và có vectơ pháp tuyến cho trước

 

®iÓm 0 0 0

1 2

0 1

0 2

;

;

M x y

PT

 

















(t R )

Và phương trình chính tắc là 0

1

x x a



2

y y

a



3) Phương trình đường thẳng d qua 2 điểm A và B với A x y A; A  ,B x y B; B  là

x x y y



4) Đường thẳng d đi qua điểm M x y0 0; 0 và vuông góc với đt  : Ax + By+ C = 0

- d vuông góc với  : Ax + By + C = 0 nên pt d có dạng: – Bx + Ay + C’ = 0

- M x y0 0 ; 0 d C' Ax0  By0

5) Đường thẳng d đi qua điểm M0(x0; y0) và song song với  : Ax + By+ C = 0

- d song song với  : Ax + By+ C = 0 nên pt d có dạng: Ax + By + C’ = 0 (C’C)

- M x y0 0 ; 0 d C' Ax0  By0

6) Phương trình đường thẳng d đi quaA a ; 0 , 0; B b a   0 vµb 0 là x y 1

a b  (PT đoạn chắn).

7) Ph ươ ng trình đ ư ờng phân giác: Cho hai đường thẳng cắt nhau

(1): A1x + B1y + C1 = 0 (2): A2x + B2y + C2 = 0 Phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi (1) và (2) là:

2 1

2 1

1 1 1

B A

C y B x A







2

2 2

2 2 2

B A

C y B x A







8) Đt d đi qua điểm M0(x0; y0) và tạo với đt  : Ax + By+ C = 0 một góc 

Gọi nA B'; '



là vtpt của đt d thì pt d có dạng A x x'  0 B y y'  0 0

d tạo với  một góc  nên os

AA BB c

9) Đt d đi qua điểm M0(x0; y0) và cách điểm Nx y N; N một khoảng cho trước

Gọi nA B; 



là vtpt của đt d thì pt d có dạng A x x  0 B y y  0 0

 Ax By A x  0  By0  0

d cách điểm Nmột khoảng k nên   0 0

2 2

A B



II.VỊ TRÍ T ƯƠ NG ĐỐI CỦA 2 Đ Ư ỜNG THẲNG : Cho 2 đường thẳng:

(1): A1x + B1y + C1 = 0 (1) (2): A2x + B2y + C2 = 0 (2) Toạ độ giao điểm của (1) và (2), nếu có là nghiệm của hệ (1) và (2)

Ta có kết quả sau:

- Nếu

2

1

A

A



2

1

B

B

thì (1) cắt (2)

- Nếu

2

1

A

A

=

2

1

B

B



2

1

C

C

thì (1) // (2)

- Nếu

2

1

A

A

=

2

1

B

B

=

2

1

C

C

thì (1)  (2)

Ghi chú: (1)  (2) <=> A1A2 + B1B2 = 0

MỘT Đ Ư ỜNG THẲNG :

1 Góc giữa hai đ ư ờng thẳng :

Cho 2 đường thẳng (1) và (2) cắt nhau, lần lượt có các vectơ pháp tuyến là n1 và n2

Gọi  là góc hợp bởi (1) và (2), ta có: cos =

2 1

2 1

.

.

n n

n n

(0 900)

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đ ư ờng thẳng :

a) Định lý: Khoảng cách từ 1 điểm M0(x0; y0) đến đường thẳng (): Ax + By + C = 0 được cho bởi:

d(M0; ) = 0 2 0 2

B A

C By Ax







b) Ph ươ ng trình đ ư ờng phân giác: Cho hai đường thẳng cắt nhau

(1): A1x + B1y + C1 = 0 (2): A2x + B2y + C2 = 0 Phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi (1) và (2) là:

2 1

2 1

1 1 1

B A

C y B x A







2

2 2

2 2 2

B A

C y B x A







Lưu ý:

1 Tìm một số x  dạng toán lập pt ẩn số x và giải

2 Tìm hai số x, y  dạng toán lập pt 2 ẩn số x và y rồi giải

3 Tìm tọa độ điểm A(x; y)  dạng toán lập pt 2 ẩn số x và y rồi giải

Cho d: y = f(x); d’: y = g(x)

Nếu A = dd’ thì tọa độ cuả A là nghiệm của hệ

 

( )

y f x

y g x

 









4 Phương pháp loại bớt ẩn số khi lập phường trình

TH1: A :y f x    A x y f x ;     (đã loại bớt ẩn y của điểm A)

TH2: M là trung điểm của AB và nếu biết tọa độ của điểm A và điểm M thì có thể tính được tọa độ của điểm B theo tọa độ của A và M VD A(a; b); M(c; d) thì B(2c-a; 2d-b)

TH3: G là trọng tâm của tam giác ABC thì tọa độ điểm B có thể tính theo tọa độ các điểm A, C và G

5 Phương pháp khai thác gỉa thiết khi btoán cho đường phân giác trong của một góc của một tam giác: Cho tam giác ABC có phân giác trong góc A là At, nếu từ B kẻ By vuông góc với At

và cắt AC tại B’ thì tam giác ABB’ cân tại A Từ đó nếu biết được pt At và tọa độ điểm B thì tính được tọa độ điểm B’ thuộc đường thẳng AC như sau:

B1: Viết pt đt By: B By

By At











B2: Tìm tọa độ I AtBy

B3: ABB' cân tại A nên I là trung điểm của đoạn BB’ Biết tọa độ điểm B và điểm I ta suy ra tọa độ điểm B’

Vấn đề 3: ĐƯỜNG TRÒN

I Ph ươ ng trình đ ư ờng tròn

1 Định lý 1: Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a; b) bán kính R trong hệ toạ độ Oxy là:

(x-a)2 + (y-b)2 = R2

2 Định lý 2: Phương trình x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 với A2 + B2 – C > 0 là phương trình đường tròn tâm I(-A;-B), bán kính R = A2B2 C

* Lưu ý: Nếu điểm M cách điểm I cố định một khoảng không đổi R thì M nằm trên đ tròn tâm I bk R (suy từ đn)

II Vị Trí t ươ ng đối giữa đ ư ờng thẳng và đ ư ờng tròn

Cho đường thẳng () và đường tròn (C) có tâm I và bán kính R

Gọi d là khoảng cách từ I đến đường thẳng ()

 Nếu d > R thì () và (C) không có điểm chung

 Nếu d = R thì () và (C) có một điểm chung duy nhất Khi đó () gọi là tiếp tuyến của đường tròn (C) và điểm chung gọi là tiếp điểm

 Nếu d < R thì () và (C) có hai điểm chung

III Ph ươ ng tích, trục đẳng ph ươ ng :

1 Ph ươ ng tích :

Cho đường tròn (C): F (x;y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 và điểm M0(x0; y0) Ta có:

PM0/(C) = F(x0; y0) = x02y022Axo + 2Byo + C

2 Trục đẳng ph ươ ng : Cho hai đường tròn không đồng tâm (C1) và (C2) có phương trình: (C1): x2 + y2 +2A1x +2B1y +C1 = 0

(C2): x2 + y2 +2A2x +2B2y +C2 = 0

Phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn (C1) và (C2) là:

2 (A1 –A2)x + 2(B1- B2)y + C1 –C2 = 0

IV Tính chất của tiếp tuyến của đường tròn:

- Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính tại tiếp điểm

- Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính

 Lưu ý: Tiếp tuyến của một đường tròn cũng là một đường thẳng nên bài toán viết pt tiếp tuyến chính là bài toán viết pt đường thẳng

Vấn đề 4: ELIP VÀ HYPEBOL

1) Định nghĩa:

(E) = M MF1MF2  2a

F1F2 = 2c, a > c

2) Ph ươ ng trình chính tắc :

2

2

2

2

b

y

a

x

 = 1 với b2 = a2 – c2

3) Hình dạng và các yếu tố:

Cho elip (E): 22 22

b

y a

x

 = 1 a) Hình dạng:

b) Các yếu tố:

 A1A2 = 2a: trục lớn

 B1B2 = 2b: trục nhỏ

 Các đỉnh: A1(-a; 0),A2(a; ),B1(0; -b),B2(0; b)

 Các tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0)

 Tiêu cự: F1F2 = 2c

 Bán kính qua tiêu của điểm M (E):

1) Định nghĩa:

(H) = M MF1 MF2  2a

F1F2 = 2c, c > a 2) Ph ươ ng trình chính tắc :

2

2 2 2

b

y a

x

 = 1 với b2 = c2 – a2

3) Hình dạng và các yếu tố Cho Hypebol (H): 22 22

b

y a

x

 = 1 a) Hình dạng:

b) Các yếu tố

 A1A2 = 2a: trục thực

 B1B2 = 2b: trục ảo

 Các đỉnh:A1(-a; 0), A2(a; 0)

 Các tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0)

 Tiêu cự: F1F2 = 2c Bán kính qua tiêu của điểm M(H)

















M

M

x a

c a

MF

x a

c a

MF

2

1

 Tâm sai: e =  1

a c

 Phương trình đường chuẩn:

(1): x = -

c

a e



 ; (2): x =

c

a e

a 2



4) Ph ươ ng trình tiếp tuyến :

Cho elip (E): 22 22

b

y a

x

 = 1 a) Phương trình tiếp tuyến của (E) tại Mo(xo;yo) 

(E) có dạng: 02 1

2

b

y y a

x x

b) Đường thẳng (): Ax + By+ C = 0 là tiếp

tuyến của (E) <=> A2 a2 + B2 b2 = C2

+ xM > 0 :



















a x a

c MF

a x a

c MF

M

M

2 1

+ xM < 0 :























a x a

c MF

a x a

c MF

M

M

2 1

 Tâm sai: e =  1

a c

 Phương trình đường chuẩn:

(1): x = -

c

a e



 ; (2): x =

c

a e

a 2



 Phương trình tiệm cận:

(d1): y = - x

a

b

; (d2): y = x

a b

4) Ph ươ ng trình tiếp tuyến : Cho Hypebol (H): 2

2 2 2

b

y a

x

 = 1 a) Phương trình tiếp tuyến của (H) tại Mo(xo;yo)

 (H) có dạng: 02 1

2 0





b

y y a

x x

b) Đường thẳng (): Ax + By+ C = 0 là tiếp tuyến của (H) <=> A2 a2 - B2 b2 = C2

Vấn đề 5: PARABOL

I Định nghĩa:

Trong mặt phẳng cho đường thẳng () cố định và điểm F cố định không thuộc  Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho M cách đều () và F được gọi là một parabol

 F gọi là tiêu điểm

 () gọi là đường chuẩn của parabol

 Khoảng cách p từ tiêu điểm đến đường chuẩn gọi là tham số tiêu của parabol

 Với M (P); MF gọi là bán kính qua tiêu của điểm M

II Ph ươ ng trình chính tắc :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) như trong định nghĩa, trong đó chọn F(

2

p

;

0) và (): x =

-2

p

Phương trình chính tắc của parabol (P) là: y2 = 2px

III Hình dạng và các yếu tố: Cho Parabol (P): y2 = 2px

1) Hình dạng:

2) Các yếu tố:

 O(0;0) là đỉnh của parabol

 Ox là trục đối xứng của parabol

 Bán kính qua tiêu của điểm M  (P): MF =

2

p

+ xM

IV: Ph ươ ng trình tiếp t uy ến : Cho parabol (P): y2 = 2px

a) Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M0(x0; y0)  (P) là y0y = p(x0+x)

b) Đường thẳng (): Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của (P) <=> pB2 = 2AC

Vấn đề 6: MỘT SỐ VÍ DỤ

VD1: Trong mpOxy cho tam giác ABC, A(-1; 2), trung tuyến CM: 5x + 7y -20 = 0, đường cao

BK: 5x – 2y - 4 = 0 Viết phương trình các cạnh AC và CB

Giải:

M A

K

          

ph­ ¬ng­tr × nh­AC :2x + 5y + c = 0

2x + 5y - 8 = 0

 Tọa độ điểm C:

2 5 8 0 4 4;0

C

 Tọa độ điểm B:

B BK y    B b  

M là trung điểm của AB

1 2 5 4

M

M

b x b y









 



2;3

B





Phương trình BC: 4 3 2 12 0

2 4 3





VD2: Trong mpOxy cho tam giác ABC, A(1; 2), B(2; 7) Tìm tọa độ điểm C biết độ dài đường cao

hạ từ A bằng 1, và C thuộc đường thẳng y – 3 = 0

Giải:

H

   

Nếu c=2 thỡ B và C cựng nằm trờn đường thẳng x=2 nờn phương trỡnh BClà: x – 2 =0 Khi đú  ;  1 2 1 

1

AH d A BC    đúng Vậy C(2; 3)

Nếu c2 thỡ phương trỡnh BC là: 2 7 4  2 7 2 0

2 3 7

c

Khi đú

2 2

2

4 2 4 7 14 8

1

3 1

;3 3

c

C

 

 

  Vậy: C(2; 3) hoặc 1;3

3

C  

 

VD3: Trong mpOxy cho tam giỏc ABC, trực tõm H(1; -1), E(-1; 2) là trung điểm của AC, BC: 2x –

y + 1 = 0 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh A, B, C

Giải:

H A

2 1;

3;1 , 1;3

phư ơng trình

là trung điểmưcủa

Phư ơng trình H:

c c

E A

E A

B







0;1

H BH và VTPT của BH là AC nên phư ơng trình BH là

Tọa độ điểm B:

B

VD4: Trong mpOxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và cắt đường tròn

(C): x2 + y2 +2x + 6y – 15 = 0 tạo thành một dây cung có độ dài bằng 8

Giải:

x y

H O

I

1 B

A

 (C) có tâm I(-1; -3), bán kính R = 5

 Dựa trên hình vẽ, ta thấy đường thẳng x = 0 (trục tung) không thỏa yêu cầu bài toán

 Nên đường thẳng d đi qua gốc tọa độ, cắt (C) tại 2 điểm A, B với AB = 8 Gọi H là trung điểm của AB thì HA = 4 và IH = d(I; d) = 3

 Phương trình d có dạng y = ax  ax y0

 Vậy:

0 3

1

4

0 :

:

ph­ ¬ng tr×nh d lµ y­=­0 ph­ ¬ng tr×nh d lµ

y­=­-a a

a a

a





 





 

 

VD5: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(1 ; 0), B(-2 ; 4), C(-1 ; 4), D(3 ; 5) và đường thẳng d:

3x – y – 5 = 0 Tìm M trên (d) sao cho hai tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau.

Giải:

Lấy M( a; 3a -5 ) thuộc (d)

Ta có AB  ( 3; 4)

suy ra AB = 5 và pt AB: 4x + 3y - 4 = 0.

(4;1)

CD  suy ra CD = 17 và pt CD: x – 4y – 17 = 0.

Mặt khác d(M;AB) 4 3(3 5) 4 |13 19 |

Theo giả thiết diện tích hai tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau thì

13 19 3 11

13 19 11 3

8

a

a

  













 Vậy trên (d) có hai điểm M thỏa mãn đề bài là: 11; 27 , (8;19)

12 12



VD6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C) x2y24x 2x 2y 1 0 và (C’)

x y  x  cùng đi qua M(1 ; 0) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn lần lượt tại A, B sao cho MA = 2MB

Giải:

Gọi (d) là đường thẳng qua M có vtcp ( ; ) : 1

y bt

 









Đường tròn (C) có tâm I(1 ; 1), R = 1 (C’) có tâm I’(-2 ; 0) và R’=3 suy ra pt của (C) và (C’) được viết lại (C) (x1)2(y1)2 1, ( ') : (C x2)2y2 9.

Nếu d cắt (C) tại A thì

2

0

t

 







 Nếu d cắt (C’) tại B thì

2

0

t

 









Theo giả thiết MA = 2MB 2 2

4

2

2

4

a





VD7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(2 ; -1), B(1 ; -2) trọng tâm G của tam

giác nằm trên đường thẳng d: x + y – 2 = 0 Tìm tọa độ dỉnh C của tam giác biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5

Giải:

Ta có M là trung điểm AB nên M 3; 1

2 2



  Gọi C (a; b) ta có:

3 3 3 3















G

G

a x b y

Vì G thuộc d: 3 3 2 0 6 (1)

a b

 

Theo giải thiết:

ABC

a b

Kết hợp với (1) ta có:

38

6

6

121

 



 





 



 

 

 





a

a b

a b

a b

a

a b

b

VD8: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm M(2 ; 4) và đường tròn ( ) : (C x1)2(y 3)2 4 Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB Giải:

Ta có: ( ) : (C x1)2(y 3)2 4suy ra I(1 ; 3), R = 2, PM/(C) = 1+1-4 = -2 < 0 nên M nằm trong hình tròn (C)

Gọi d là đường thẳng qua M(2 ; 4) có VTCP ( ; ) : 2

4

 



 



y bt.

Nếu d cắt (C) tại hai điểm A, B thì (at1)2(bt1)2  4 (a2b t2) 22(a b t )  2 0 (1) có hai nghiệm t vì vậy điều kiện  ' 3a22ab3b2 0 với mọi a, b

Gọi A(2 + at ; a + bt’), B(2 + at ; 4 + bt’) suy ra M là trung điểm AB thì ta có hệ

4 ( ') 4 ( ') 0

' 0

t t

Thay vào (1) và áp dụng Viet ta có:

6 0

x y

VD9: Trong mp Oxy cho hai đường thẳng (d) 4x – 3y -12 = 0 và (d’): 4x +3y -12 = 0 Tìm tọa độ

tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d), (d’) và trục Oy

Giải:

Gọi A là giao điểm của d và d’ lúc đó A(3;0) thuộc Ox

Vì BC thuộc Oy nên gọi B là giao điểm của d’ và Oy thì B(0 ; -4) và C là giao điểm của d’ và Oy thì C(0 ; 4) Suy ra B, C đối xứng nhau qua Ox

Từ đó suy ra ABC là tam giác cân tại A suy ra tâm I đường tròn nội tiếp tam giác thuộc Ox suy ra I(a ; 0)

Theo tc phân giác trong:

OA

IO

Suy ra 4;0

3

6 5

 r

Vd10: Trong mp Oxy cho đường thẳng (d)có phương trình x – 2y - 2 = 0 và hai điểm A(-1 ; 2);

B(3 ; 4) Tìm M thuộc (d) sao cho 2MA2MB2có giá trị nhỏ nhất

Giải:

( ) (2 2; ), (2 3; 2); (2 1; 4)

          

2AM BM 15t 4t43f t( )

Và min f(t) = ( 2) 26; 2

*Lưu ý: Một bài toán có thể có nhiều cách giải, các em đọc hiểu và suy nghĩ, biết đâu các em có thể tìm ra được cách giải hay hơn.

Vấn đề 7: BÀI TẬP

A, B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2 tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

ĐS:

1

2

7 4 3 2 3 6

;

1 4 3 2 3 6

;

G

G

Bài 2: Trong mp tọa độ Oxy, xét tam giác ABC có A(5 ; 2) Phương trình đường trung trự

cạnh BC và trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x –y + 3 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

ĐS: B(37 ; 88), C(-20 ; -31)

Bài 3: mp tọa độ Oxy, xét tam giác ABC có A(2 ; 3), trọng tâm G(2 ; 0) Hai đỉnh B, C lần

lượt nằm trên hai đường thẳng d: x + y + 5 = 0 và d’: x +2y – 7 = 0 viết phường trình đường tròn tâm C tiếp xúc với BG

ĐS: (C): (x – 5)2 + (y - 1)2 = 169/25