Chuyên đề đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ pptx

Các bạn đọc giả thân mến!Nhằm giúp các bạn học sinh có điều kiện hiều sâu hơn về chuyên đề “phương trình đường thẳng”, đồng thời khơi dậy ở các bạn sự yêu thích và lòng say mê với bộ môn

Chuyên đề

Nhúm thực hiện:

Dương Minh ThụngPhạm Hữu HiệpNguyễn Trung SơnĐặng Hoàng LongHuỳnh Tuấn Trường

Các bạn đọc giả thân mến!Nhằm giúp các bạn học sinh có điều kiện hiều sâu hơn về chuyên đề “phương trình đường thẳng”, đồng thời khơi dậy ở các bạn sự yêu thích và lòng say mê với bộ môn hình học ở trường THPT, nhóm học sinh chúng tôi đã biên soạn cuốn chuyên đề “phương trình đường thẳng ” Chúng tôi nhận thấy bên cạnh sách giáo khoa, các bạn học sinh cần phải nâng cao kiến thức, kĩ năng toàn diện để chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học.

Cuốn chuyên đề sẽ là một tài liệu hữu ích cho các bạn tự củng cố và bồi dưỡng kiến thức hình học của mình Các bạn có thể sử dụng cuốn chuyên đề như một tài liệu ôn tập tốt trong các kì thi tốt nghiệp THPT cũng như các kì thi học sinh giỏi

Hy vọng với cuốn sách này, các bạn học sinh sẽ thêm yêu mến bộ môn hình học, tự tin trong quá trình học tập và nghiên cứu toán sau này

Mặc dù chúng tôi đã cố gắng hết mình để cuốn chuyên đề được hoàn hảo nhất nhưng chắc hẳn nó vẫn còn nhiều thiếu sót, xin các bạn hãy lượng thứ và xin các bạn hãy đóng góp ý kiến cho chúng tôi về địa chỉ :”lớp 10 Toán, trường THPT Chuyên Tiền Giang” để chúng tôi có thật nhiều kinh nghiệm trong các cuốn chuyên đề sau

Cuối cùng chúng em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Tấn Đạt đãtạo điều kiện thuận lợi nhất để chúng em hoàn thành quyển chuyên đề này!

(Nhóm học sinh lớp 10 Toán)

Sơ lược về đường thẳng:

Một đường thẳng được hiểu như là một đường dài (vơ hạn), mỏng (vơ cùng) và thẳng tuyệt đối Trong hình học Euclide, cĩ một và chỉ cĩ một đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ khác nhau Đường thẳng này tạo ra đoạn nối ngắn nhất giữa hai điểm đĩ

Hai hay ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng được gọi là cộng tuyến Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng khác nhau hoặc là song song tức khơng bao giờ gặp nhau, hoặc giao nhau tại một và chỉ một điểm Hai mặt phẳng giao nhau nhiều nhất là một đường thẳng

Đường thẳng trong mặt phẳng Descartes cĩ thể được mơ tả bằng phương trình tuyến tính

Khái niệm trực quan về đường thẳng cĩ thể được hình thức hĩa bằng nhiều cách Nếu hình học được phát triển theo phương pháp tiên đề (như trong tác phẩm Các phần tử của Euclid hay trong tác phẩm sau này Cơ sở của hình học của David Hilbert), thì đường thẳng chẳng được định nghĩa gì cả, mà chỉđược đặc trưng bởi các tính chất của nĩ trong hệ tiên đề "Bất kỳ thứ gì thỏa mãn các tiên đề của đường thẳng thì nĩ chính là đường thẳng." Trong khi Euclide đã từng định nghĩa đường thẳng là cái gì đấy "cĩ chiều dài mà khơng cĩ bề dày", thực ra ơng chưa bao giờ dùng định nghĩa mơ hồ này ở các chứng minh phía sau trong tác phẩm của mình

Trong không gian Euclide Rn (và cũng như trong mọi không gian vector khác), chúng ta định nghĩa đường thẳng L là tập con của không gian đang xét và có dạng:

với a và b là hai vector cho trước trong Rn, đồng thời b phải khác vector 0 Vector b xác định hướng của đường thẳng, và a là một điểm nằm trên đườngthẳng Chọn các vector a và b khác nhau có thể dẫn đến kết quả cùng một đường thẳng

Trong không gian hai chiều, chẳng hạn trong một mặt phẳng, hai đường thẳng khác nhau hoặc là hai đường thẳng song song hoặc phải cắt nhau tại một điểm Tuy nhiên, trong không gian nhiều hơn hai chiều, hai đường thẳng có thể không song song nhau mà cũng chẳng cắt nhau, và hai đường thẳng như vậy gọi là hai đường thẳng chéo nhau

Trong R2, mọi đường thẳng được biểu diễn bởi một phương trình tuyến tính có dạng

với a, b và c là các hệ số thực cố định trong đó a và b không đồng thời bằng

0 Các tính chất quan trọng của đường thẳng trong không gian hai chiều là độ dốc, giao điểm của nó với trục Ox, giao điểm của nó với trục Oy

Trừu tượng hơn, người ta thường nghĩ về trục số thực như là một nguyên mẫu điển hình cho một đường thẳng, và giả định rằng mỗi điểm trên đường thẳng tương ứng một-một với một số thực nào đó trên trục số thực Thế nhưng ta hoàn toàn có thể sử dụng cả số “siêu thực” và kể cả đường thẳng dài trong lý thuyết topo để làm nguyên mẫu cho đường thẳng

Tính chất “thẳng” của đường thẳng, thường được hiểu là tính chất cho phép đường thẳng cực tiểu hóa khoảng cách giữa hai điểm, mà về sau có thể đượctổng quát hóa thành khái niệm đường trắc địa trong đa tạp khả vi

Tuy nhiên, ở đây ta chỉ xét đường thẳng trong mặt phẳng Descartes (Oxy) vàphương trình đường thẳng có thể được mô tả bằng phương trình tuyến tính(1).(1) Phương trình tuyến tính (hay còn gọi là phương

trình bậc một hay phương trình bậc nhất) là một phương trình đại số có dạng:

Ch¬ng mét

Nhắc lại lý thuyết:

I.VIẾT PH ƯƠ NG TRÌNH Đ Ư ỜNG THẲNG:

1 Phương trình tổng quát của đường thẳng:

a Khái về phương trình tổng quát của đường thẳng:

 Vector a  0 được gọi là vetor chỉ phương (VTCP) của đường thẳng (d)

 0 0 0  2

A x xB y y Chú ý:

 Đường thẳng    d1 d2 VTCP của  d1 là VTCP của  d2 ; VTPT của d1 là VTPT của  d2

 Đường thẳng    d1 d2 VTCP của  d1 là VTPT của  d2 ; VTPT của d1 là VTCP của  d2

 Nếu u X Y v u ; ; thì v Y ; X. Nếu đường thẳng (d) cắt Ox tại A(a; 0) và cắt Oy tại B(0; b) với a, b 0

Đặc biệt: Nếu  d Ox thì  0,khi đĩ phương trình đường thẳng  d :x x0 Nếu  d Oythì  0,khi đĩ phương trình đường thẳng  d :yy0.Sau đĩ diễn tả thêm một điều kiện khác để xác định tham số m hay  ,

c.Sự đối xứng:

Định nghĩa: Gọi  là góc tạo bởi chiều dương của trục Ox và đường thẳng (d) (góc xuấtphát từ chiều dương trục Ox quay theo một chiều nhất định đến gặp đường thẳng (d) lầnđầu tiên), ta định nghĩa ktan là hệ số góc của đường thẳng (d)

Theo định nghĩa nêu trên: nếu (d)  thì không tồn tại hệ số góc của đường thẳng (d)

Tính chất:

 Nếu (d) có VTCP a a a 1;2 thì (d) có hệ số góc 2

1

ak

 Nếu  d  thì kd k. Nếu  d   thì k kd.  1

Ph ươ ng trình đ ư ờng thẳng qua một điểm và có hệ số góc:

Phương trình đường thẳng đi qua M x y 0;0và có hệ số góc k có dạng: Đặc biệt: khi  d Ox thì phương trình (d) có dạng: x x0

Chuù yù:

 Khi sử dụng hệ số góc để viết phương trình một đường thẳng ta cần phải xét hai

trường hợp: đường thẳng đó vuông góc với Ox và đường thẳng đó không vuônggóc với Ox.

 Nếu phương trình đường thẳng d :x x0 y y0 0 với  0 sẽ trở thành:

 thì tỉ số k 

 chính là hệ số góc của đườnh thẳng (d), do đó ta có thểnói phương trình đường thẳng dạng:y y0k x x 0 là trừng hợp đặc biệt của phương trìnhđường thẳng dạng: x x0y y0 0

 Điểm M’ đối xứng của M qua đường thẳng (d):

 Cách 1: Viết phương trình đường thẳng (d’) qua M và vuông góc với (d), tìm

giao điểm H của (d) và (d’), do H là trung điểm của MM’, từ đó suy ra toạ độcủa M’

 Cách 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng (d’) qua M và vuông góc

với (d), xác định tham số tH của giao điểm H giữa (d) và (d’), do MM' 2. MH

nên tM = 2tH, từ đó suy ra toạ độ M’.

d.Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

 Cách 3: Lấy một điểm H có toạ độ phụ thuộc tham số trên đường (d), diễn

 Đường thẳng (d’) đối xứng của đường thẳng (d) qua điểm M:

 Cách 1: Lấy hai điểm N, K có toạ độ tùy ý trên đường thẳng (d), tìm toạ độ

hai điểm đối xứng N’ và K’ của chúng qua M, đường thẳng (d’) chính làđường thẳng đi qua hai điểm N’ và K’

 Cách 2: Lấy điểm N có toạ độ tùy ý trên đường thẳng (d), tìm toạ độ điểm

đối xứng của N qua M, đường thẳng (d’) chính là đường thẳng qua N’ vàsong song với (d)

 Cách 3: Viết dạng phương trình đường thẳng (d’): ax + by + m = 0 song

song với (d):ax + by + c = 0, sau đó diễn tả điều kiện :d M d , '  d M d , 

để tính m, suy ra kết quả. Đường thẳng (d’) đối xứng của đường thẳng (d) qua đường thẳng   :

 Cách: Tìm giao điểm I của (d) và   , lấy M có toạ độ tùy ý trên (d) với M

I, tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua   , đường thẳng (d’) chính làđường thẳng qua hai điểm I và M’

Đặc biệt: Khi (d) và   song song nhau, thì đường thẳng (d’) là đường thẳng qua M’ vàsong song với (d)

Cho hai đường thẳng (d1): Ax1 + By1 + C1 = 0 và (d2): Ax2 + By2 + C2 = 0

Vị trí tương đốicủa (d1) và (d2)

Kết luận theo tỉ sốKết luận theo định thức

Cắt nhau

1122

A B

1122

0

ABD

DDy

D

 

2 Phương trình tham số của đường thẳng:







Từ phương trình chính tắc, ta nhân chéo hai vế và rút gọn thì được phương trình tổng quát

này vô nghiệm hay có một nghiệm duy nhất hay có vô số nghiệm mà hai đường thẳng này song song nhau hay cắt nhau hay trùng nhau

1 Tính khoảng cách: Cho đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 và điểm M x M;yM Ta có:

 

 ;  AxM 2ByM2 Cd M d

ii/ Cho đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 và hai điểm M x M;yM và N x y N; N

AxM ByM C Ax  N ByN C  0 M và N nằm hai bên đường thẳng (d).AxM ByM C Ax  N ByN C  0 M và N nằm cùng một bên đường thẳng (d).

Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng (d1): A1x + B1y + C1 = 0 và (d2): A2x + B2y + C2 = 0 Gọi   là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này, ta có:

 Tính n n 1.2

với n A B1 1;1 và n A B2 2;2  Nếu n n 1.2 < 0 thì phương trình phân giác góc tù là:

f(xB;yB) và f(xC;yC).Nếu tích f(xB;yB).f(xC;yC) < 0 thì B, C nằm hai bên 1 nên 1 là phân giác trong.Nếu tích f(xB;yB).f(xC;yC) > 0 thì B, C nằm một bên 1 nên 1 là phân giác ngoài

Tính toạ độ hai vector  AB AC,,từ đó tính tọa độ hai vector đơn vị của chúng AB

ABa

AB





và AC

ACa

AC



 , xác định toạ độ vector tổng a a ABaAC

12

tan

ddddkk

Tính cosin góc của hai đường thẳng   và (d), cho nó bằng cos, giải tìm k Kết luận

Chú ý: i) Ta có thể sử dụng phương trình  dạng x x0y y00, với điều kiện220

 , thực hiện như trên để dẫn đến một phương trình bậc hai theo  , Khi đó ta không cần thực hiện việc kiểm tra trường hợp  Ox

ii) Ta có thể dùng công thức tính góc, theo hàm tan: tan

1.

ddkk

k k





Ch¬ng hai

  

 Vậy BC: 4x3y 5 0Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình

4 3 5 02 5 0

13

xy

  

   

 

Vậy C(-1;3)Gọi B’ là đối xứng của B qua phân giác C BB’ có dạng

2.2 ( 1) 05

x y c

cc

       

Suy ra BB’: 2x y  5 0Toạ độ giao điểm M của BB’ và phân giác tại C là (3;1)Mà M là trung điểm BB’nên '

Vậy B’(4;3)

Vì yB' yC 3 nên AC : y = 2Điểm A là giao điểm cua đường cao AH và AC, nên A(-5;3)Vậy phương trình đường thẳng AB

3 1 35 2 54 7 1 0

yx

  

Phần 1: Các ví dụ

Ví dụ 1: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết nếu B (2;-1),

đường cao và phân giác trong qua hai đỉnh A, C lần lượt là 3x – 4y + 27 = 0 ; x + 2y – 5 = 0

Vậy AB: 4x7y 1 0BC: 4x3y 5 0

AC: y = 2

Giải

Gọi ABC là tam giác đã choGiả sử M (-1;1) là trung điểm BC và AB: x + y – 2 = 0 và AC: 2x + 6y + 3 = 0Suy ra A(15 7

;4 4

)M(-1;1) là trung điểm BC nên 2

Mà B  AB và C  AC nên B(1 7

;4 4), C(

9 1;4 4

Tam giác ABC đều nên AB = AC = BC hay AB2 AC2 BC2

( 1) 4 ( 1) 1( 1) 1 ( ) 9

     

 

Giải hệ phương trình tao được

Ví dụ 2: Trên mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC với một cạnh có trung

điểm là M(-1;1), còn hai cạnh kia có phương trình là x + y – 2 = 0, 2x + 6y + 3 = 0

Ví dụ 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A (1;1) Hãy tìm diểm B trên y = 3 và C trên trục hoành sao cho tam giác ABC đều

1 Dễ thấy A, B, C nằm trên  Ta có

1( ; 1)

23( ;3)

213

CACB





1

31

31

3( 1; 3)



 

 



                

2 Goi M(x ; y)  là điểm cần tìm, nên y = 2x + 1

 

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tạo độ Oxy cho : 2x – y – 1 = 0Và cho 5 điểm A (0;-1), B (2;3); C (1

2;0), E (1;6), F (-3;-4)1 Tìm trên  điểm D sao cho A, B, C, D là hàng điểm điều hoà.2 Tìm điểm M trên  sao cho EM FM  

có độ dài nhỏ nhất nhỏ nhất

Dấu “=” xảy ra khi x = 3







032

02

yx

yx

Giải hệ này chúng ta có một cặp nghiệm (x , y) = (1 ; 1).Vậy hai đường thẳng này cắt nhau tại 1 điểm tọa độ giao điểm (x , y) = (1 ; 1)









ty

tx

yx

22

41:0

1042

Vậy hai đường thẳng 1 và 2 song song với nhau









ty

tx

yx

46

56:

012108

1

Đường thẳng 2 có vtcp là u ( 5;4) nên 2có vtpt là n(4;5).2 đi qua điểm có tọa độ (-6 ; 6) nên 2 có pt tổng quát là : 4(x + 6) + 5(y – 6) = 0  4x + 5y – 6 = 0

Số giao điểm của 1 và 2 chính là số nghiệm của hệ phương trình: 











06

54

01210

8

yx

yx

Hệ này có vố số nghiệm nên 1 và 2 trùng nhau

Ví dụ 5: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trường hợp cắt nhau:

a) 1:x y  2 0; 2: 2x y  3 0 b)









ty

tx

yx

22

41:

01042

1

c)









ty

tx

yx

46

56:

012108





ty

tx

yx

22

41:0

1042

1

c) d : x – 2y + 5 = 0 d : 3x – y = 0

a) 1: 4x 2y 6 0; 2:x 3y 1 0ta có:  12 2 1 22 1 22 2

cos, a ab b

 

với a1 = 4 ; b1 = -2 ; a2 = 1 ; b2 = -3 Vậy

 

21

22

22

21

45;

21201010

.20

1010

.20

|10|)

3(1.)2(4

|)3).(2(1.4|;















Cos









ty

tx

yx

22

41:0

1042

21

22222

1

0;

1202020.20

|20|)4(2.)4(2

|4.42.2|;











Cos

c) d1: x – 2y + 5 = 0 d2: 3x – y = 0.Ta có:

2125

519.41

23.

;

22222121

21212













baba

bbaad

dCos





ty

tx

yx

22

21:0

1022

Ví dụ 7: Chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau:









ty

tx

yx

22

21:0

1022

1

b) 1:y3x52:2y6x40

 

21

2222

21

09;

08.8

|0|)2(2.)2(2

|2).2(2.2|;













Cos

Vậy hai đường thẳng trên vuông góc với nhau.b) 1:y3x52:2y6x40

Đường thẳng 2: 2y +6x – 4 = 0  y = -3x + 2. 2có hệ số góc k2 = -3

Đường thẳng 1 có hệ số góc k1 = 3  k1.k2 = 3.(-3)= 0 1 và 2 vuônggóc với nhau

Giải :

a) Ta có: (,) 4.(3)163.(59) 1 285





Ad

b) (,') 3.(1) 94.(162) 1 54





Ad

Giải

a) A(4 ; -2) và đường thẳng d: 







ty

tx

22

21

Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1 ; 2) và có vtcp là ud (2;2) vì vậy vtpt của d là nd (2;2)

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 2(x – 1) +2(y – 2) = 0  2x +2y - 6 = 0

Ta có:

Ví dụ 8: Tính khoảng cách từ điểm đến dường thẳng được cho tương ứng như sau:

a) A(3 ; 5) và : 4x + 3y + 1 = 0b) B(1 ; 2) và ': 3x – 4y + 1 = 0

Ví dụ 9: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau:

a) A(4 ; -2) và đường thẳng d: 







ty

tx

22

21

b) B(-7 ; 3) và đường thẳng d’: 





ty

tx

31

(,) 4 4  8 2 2  2



dAd

b) B(-7 ; 3) và đường thẳng d’: 





ty

tx

31

Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1 ; 0) và có vtcp là ud (1;3) vì vậyvtpt của d là nd (3;1)

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: -1(x – 1) +3(y – 0) = 0  - x + 3y +1 = 0

Ta có: (,) 1.( 7)1 39.(3) 1  1710







dA

Bài 1 Cho tam giác ABC có A(1;2), B(-2;-1) và C(2;-2).

a) Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và AC.b) Viết phương trình tham số của đường cao CE, trung tuyến BM và đường trung trực của cạnh BC

Bài 2 Cho điểm A(-1;1) và đường thẳng d:

a) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua A.b) Tìm trên d điểm C và trên trục hoành điểm D sao cho A là trung điểm củaCD

Bài 3 Cho điểm A(-1;3) và đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0 Dựng hình chữ

nhật ABCD sao cho B, C thuộc đường thẳng d, C có hoành độ âm và

Tìm tọa độ các điểm B, C, D

Phần 2: Bài tập vận dụng

Bài 4 Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3), đường phân giác CE: x + 2y = 0

và đường cao BD:

Tìm tọa độ điểm B và C

Bài 5 Cho điểm M(1;3) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt tia Ox

tại A(a,0) và tia Oy tại B(0,b) (a, b > 0) sao cho OA + OB là nhỏ nhất

Bài 6: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho (D):xcosa + ysina + 2cosa + 1=

1 Chứng minh rằng khi a thay đổi (D) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

2 Cho I(-2;1) Dựng IH vuông góc với (D) ( H nằm trên D ) và kéo dài IH một đoạn HN = 2IH Tính toạ độ của N theo a

Bài 7: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm

trong trường hợp cắt nhau: a) 1:8x10y 12 0; 2: 4x3y 16 0







ty

txy

x

235:;

10612

1

c) 







ty

txt

ytx

2:5101

Bài 9: Các cặp đường thẳng sau có vuông góc với nhau không?

a) 2x - y - 3 = 0 và 2x + y - 4 = 0 b) 







ty

tx

23

72

và 4x + 6y - 6 = 0

Bài 10

Tính bán kính đường tròn tâm I( 1 ; 5) và tiếp xúc với đường thẳng d: 4x -3y +1 = 0

Bài 11: Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là: A(4 ; 6) ; B(1 ; 4), C(7 ; 2)

Hãy tính khoang cách từ các đỉnh đến các cạnh đối diện tương ứng

 1

3 .Theo gt: SABC  3  AB.BC  3  R 1  OA 2

2 và điểm A có hoành độ dương.

+ Gọi I là trung điểm BC suy ra H là trung điểm IA  I(-2; -2)+ Đường thẳng (BC) qua I và song song d  (BC): x + y + 4 = 0.

 

B b ; b 4B,C BC

C(c ; c 4)

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6;6);

đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB và AC có phương trình x y 4 0   Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho

dH

x + y - 5 = 0B

 AB.EC 0I là trung điểm BC

 

 

Nếu (d) vuơng gĩc với Ox.Thì (d): x = xc

Do đĩ: x = - 4 (loại)Nếu (d) khơng vuơng gĩc với Ox.(d): y – 1 = k(x+4)

014

 kxyk

Ta lại cĩ:

11

221.

2

1.1.1

45cos);cos(

22

0







kk

kk

dAD

44118)

1;4(

1:)(0

11

2

22

22









ACA

ydk

kkk

Mặt khác:

648.

24.

.21







ABABAC

ACAB

Gọi B(x;y)

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuơng tại A, cĩ đỉnh

C(-4;1), phân giác trong của gĩc A cĩ phương trình x + y – 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A cĩ hồnh độ dương