hình học phẳng các bài toán về đường tròn

Chắt lọc tinh túy chuỗi đề thi thử THPT quốc gia Your dreams – Our mission Ngày số 11 Các tốn đường tròn Bài 1: Cho đường tròn (C): x + y − 2x + 4y + = Viết phương trình đường tròn (C’) tâm M(5; 1) biết (C’) cắt (C) điểm A, B cho AB = √3 Nhận xét: Bài tốn nhằm kiểm tra cơng thức tính chất: Đoạn nối hai tâm trung trực dây cung chung Khi đó, áp dụng định lý Pytago ta giải tốn dễ dàng Phân tích hướng dẫn giải: Đường tròn (C): A (x − 1)2 + (y + 2)2 = → I(1; −2)và R = √3 Gọi H giao AB với (IM) Do đường tròn (C’) tâm M có bán kính R’ = MA H M I Nếu AB = √3 = IA = R ∆IAB tam giác √3 √3 Cho nên IH = = 2 Mặt khác IM = suy HM = − = 2 AB 49 Trong tam giác vng HAM ta có MA2 = IH + = + = 13 = R′2 4 Vậy (C’): (x − 5)2 + (y − 1)2 = 13 B Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1 ): x − y + = (d2 ): y − = Các đường tròn (C1 ), (C2 ) có bán kính nhau, có tâm thuộc đường thẳng (d1 ) chúng cắt hai điểm A(1; 6), B Đường thẳng (d2 ) cắt (C1 ), (C2 ) hai điểm C, D (khác A) cho diện tích tam giác BCD 24 Tìm tọa độ đỉnh tam giác BCD (Trích đề thi thử THPT quốc gia trường THPT Nguyễn Khuyến 2016) Phân tích hướng dẫn giải: D C M N H A I J B Gọi I, J tâm đường tròn (C1 ), (C2 ) Gọi M, N trung điểm AD, AC H giao điểm AB với (d1 ) Ta có AB ⊥ (d1 ) ⇒ (AB): x + y + m = Mà A(1; 6) ∈ (AB) ⇒ + + m = ⇔ m = −7 Phương trình (AB): x + y − = LOVEBOOK.VN | 66 Chắt lọc tinh túy hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission Vì H = (AB) ∩ (d1 ) nên tọa độ H thỏa hệ: x+y−7=0 x=3 ⇔{ ⇒ H(3; 4) { y=4 x−y+1=0 x = 2xB − xA = Vì H trung điểm AB nên tọa độ B thỏa { B ⇒ B(5; 2) yB = 2yB − yA = |yB − 6| Khoảng cách từ B đến (d2 ) BK = d(B,(d2 ) ) = = |2 − 6| = √1 Diện tích tam giác BCD SBCD = BK CD 2SBCD 2.24 Suy CD = = = 12 BK Vì hai đường tròn (C1 ), (C2 ) có bán kính nên tâm I J đối xứng qua H Ta có: I ∈ (d1 ) ⇒ I(t; t + 1) xJ = 2xH − xI = − t H trung điểm IJ nên { ⇒ J(6 − t; − t) yJ = 2yH − yI = − t ⃗⃗⃗⃗ = (3 − t; 3) ⇒ IH = √(3 − t)2 + 32 IH ⃗⃗⃗⃗⃗ AH = (2; −2) ⇒ AH = √22 + (−2)2 = 2√2 Khoảng cách từ I J đến (d2 ) là: |yI − 6| IM = d(I,(d2 ) ) = = |t + − 6| = |t − 5| |yJ − 6| JN = d(J,(d2 ) ) = = |7 − t − 6| = |1 − t| Bán kính hai đường tròn là: R = IA = √AH + IH = √(2√2)2 + (3 − t)2 + 32 = √t − 6t + 26 Tam giác AIM vng M, có: AM = √IA2 − IM = √t − 6t + 26 − (t − 5)2 = √4t + Tam giác AJN vng N, có: AN = √IA2 − JN = √t − 6t + 26 − (1 − t)2 = √25 − 4t Ta có: CD = CA + AD = 2(AM + AN) = 2(√4t + + √25 − 4t) Suy ra: 2(√4t + + √25 − 4t) = 12 ⇔ √4t + + √25 − 4t = ⇔ 26 + 2√(4t + 1)(25 − 4t) = 36 ⇔ √(4t + 1)(25 − 4t) = t=0 ⇔ (4t + 1)(25 − 4t) = 25 ⇔ −16t + 96t = ⇔ [ t=6 Với t = 0, ta có I(0; 1), J(6; 7), R = √26 Suy phương trình đường tròn (C1 ): x + (y − 1)2 = 26 (C2 ): (x − 6)2 + (y − 7)2 = 26 y−6=0 x2 = Vì C = (d2 ) ∩ (C1 ) nên tọa độ C thỏa hệ: { ⇔ { y=6 x + (y − 1)2 = 26 x=1 { x=1 y=6 [ ⇔ { x = −1 ⇔ [ x = −1 y=6 { y=6 ⇒ D(−1; 6) (do C(1; 6) trùng với A) Với t = 6, ta có: I(6; 7), J(0; 1) R = √26 Làm tương tự, ta có C(11; 6), D(−1; 6) Vậy tọa độ đỉnh tam giác BCD là: B(5; 2), C(−1; 6) C(11; 6), D(−1; 6) Bài 3: Cho đường tròn (C): x + y − 3x − 7y + 12 = A(1; 2) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD nội tiếp (C) có diện tích 4, biết AB chiều dài B có hồnh độ ngun LOVEBOOK.VN | 67 Chắt lọc tinh túy chuỗi đề thi thử THPT quốc gia Your dreams – Our mission Phân tích hướng dẫn giải: Đường tròn (C) có tâm I ( ; ) bán kính R 2 √10 = I trung điểm AC ta có C(2; 5) Đặt AB = a; AD = b; (a > b > 0) đó: SABCD = ab = { 2 2 ⇔ {a2 + b2 = 10 AB + AD = BD = 4R a = 2√2 a = √2 (loại) { b = √2 b = 2√2 Vậy AB = 2√2 ⇒ B thuộc đường tròn tâm A(1; 2) có bán kính ⇔{ B A I D C R′ = 2√2 có phương trình: (x − 1)2 + (y − 2)2 = ⇔ x + y − 2x − 4y − = Khi tọa độ B nghiệm hệ: x + 3y − 15 = x + y − 3x − 7y + 12 = ⇔{ { 2 x + y − 2x − 4y − = x + y − 2x − 4y − = x = x = 15 − 3y x=3 loại ⇔{ ⇔{ { y=4 24 5y − 44y + 96 = y= ⇒ B(3; 4) ⇒ D(0; 3) I trung điểm DB Vậy B(3; 4); C(2; 5); D(0; 3) Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E( -1; 0) đường tròn (C) :x + y − 8x − 4y − 16 = Viết phương trình đường thẳng qua điểm E cắt (C) theo dây cung MN có độ dài ngắn Phân tích hướng dẫn giải: (C): (x − 4)2 + (y − 2)2 = 36 →I(4; 2), R = Nhận xét: EI R ⇔ (m − 1)2 + (0 + 4)2 > ⇔ (m − 1)2 + 12 > Gọi tọa độ A, B A(xA ; yA ); B(xB ; yB ) Phương trình tiếp tuyến A, B (C) là: xA x + yA y − (x + xA ) + 4(y + yA ) + 13 = (d1 ) xB x + yB y − (x + xB ) + 4(y + yB ) + 13 = (d2 ) mx − (m + xA ) + 4yA + 13 = Do M ∈ (d1 ); M ∈ (d2 ) ⇒ { A mxB − (m + xB ) + 4yB + 13 = Suy phương trình đường thẳng AB là: mx − (m + x) + 4y + 13 = ⇔ (m − 1)x + 4y + 13 − m = Đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn (C1 ) |3(m − 1) + + 13 − m| ⇔ d(I1 , (AB)) = R1 ⇔ =4 √(m − 1)2 + 16 m=1 19 ⇔ |m + 7| = 2√m2 − 2m + 17 ⇔ 3m2 − 22m + 19 = ⇔ [ m= 19 Vậy có điểm M cần tìm (1; 0)và ( ; 0) ∎ LOVEBOOK.VN | 69 Chắt lọc tinh túy chuỗi đề thi thử THPT quốc gia Your dreams – Our mission Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x + y − 6x + 2y − 15 = Tìm tọa độ tiếp điểm M đường thẳng d: 3x − 22y − = 0, cho từ M kẻ tới (C) hai tiếp tuyến MA, MB (A, B tiếp điểm) mà đường thẳng AB qua C(0; 1) Phân tích hướng dẫn giải: (C): (x − 3)2 + (y + 1)2 = 25, có I(3; −1) R = Gọi A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 ) tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M Gọi M(x0 ; y0 ) ∈ d → 3x0 − 22y0 − = (*) Hai tiếp tuyến (C) A, B có phương trình là: (x1 − 3)(x − 3) + (y1 + 1)(y + 1) = 25 (1) (x2 − 3)(x − 3) + (y2 + 1)(y + 1) = 25 (2) Để tiếp tuyến trở thành tiếp tuyến kẻ từ M tiếp tuyến phải qua M: (x1 − 3)(x0 − 3) + (y1 + 1)(y0 + 1) = 25 (3) (x2 − 3)(x0 − 3) + (y2 + 1)(y0 + 1) = 25 (4) Từ (3) (4) chứng tỏ (AB) có phương trình: (x0 − 3)(x − 3) + (y0 + 1)(y + 1) = 25 (5) Theo giả thiết (AB) qua C(0; 1)suy ra: −3(x0 − 3) + 2(y0 + 1) = 25  −3x0 + 2y0 − 14 = (6) x0 = −1 16 3x0 − 22y0 − = 16  M (− ; −1) ∎ Kết hợp với (∗) ta có hệ: { { −3x0 + 2y0 − 14 = y0 = − Bài 8: Trong hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: x + y − 2x − 6y + = a Viết phương trình đường thẳng qua M(2; 4) cắt đường tròn (C) hai điểm A, B cho M trung điểm đoạn AB b Viết phương trình tiếp tuyến (C) cho tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình: 2x + 2y − = c Chứng tỏ đường tròn (C) đường tròn (C): x + y − 4x − 6y + = tiếp xúc Viết phương trình tiếp tuyến chung chúng tiếp điểm Phân tích hướng dẫn giải: (C): (x − 1)2 + (y − 3)2 = → I(1; 3) R = a Gọi ( x; y) thuộc (C) suy (x − 1)2 + (y − 3)2 = (1), B đối xứng với A qua M suy B(4 − x; − y) Để đảm bảo u cầu tốn B thuộc (C): (3 − x)2 + (5 − y)2 = 4(2) (x − 1)2 + (y − 3)2 = x + y − 2x − 6y + = (3) Từ (1) (2) ta có hệ: { ⇔ { (3 − x)2 + (5 − y)2 = x + y − 6x − 10y + 30 = (4) Lấy (3) – (4) ta có phương trình: 4x + 4y − 24 = hay x + y − = Đó đường thẳng cần tìm b Gọi d’ đường thẳng song song với d nên có dạng: 2x + 2y + m = (∗) Để d’ tiếp tuyến (C) thì: |2 + + m| m = 4√2 − ⇒ h(I; d) = = ⇔ |m + 8| = 4√2 ⇒ [ m = −4√2 − √8 2 ′ (2; ′ c (C’): (x − 2) + (y − 3) = → I 3) R = ′ ′ Ta có II = 1, R − R = Chứng tỏ hai đường tròn tiếp xúc với (x − 1)2 + (y − 3)2 = x + y − 2x − 6y + = Tìm tọa độ tiếp điểm: { ⇔{ ⇔ 2x + = 2 (x − 2) + (y − 3) = x + y − 4x − 6y + = x = −1 ⇒ y = Vậy M(1; 3)∎ LOVEBOOK.VN | 70 Chắt lọc tinh túy hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x − 1)2 + (y + 2)2 = d: x + y + m = Tìm m để d có điểm A mà từ kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới (C) (B, C hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vng Phân tích hướng dẫn giải: (C) có I(1; −2)và R = Nếu tam giác ABC vng góc A (nghĩa từ A kẻ tiếp tuyến tới (C) tiếp tuyến vuông góc với nhau) ABIC hình vng Theo tính chất hình vng ta có: IA = IB = √2 (1) Nếu A nằm d A(t; −m − t)suy ra: IA = √(t − 1)2 + (t − + m)2 Thay vào (1): ⇒ √(t − 1)2 + (t − + m)2 = 3√2 ⇔ 2t − 2(m − 1)t + m2 − 4m − 13 = (2) Để d có điểm A (2) có nghiệm t, từ có điều kiện: ∆ = −(m2 + 10m + 25) =  −(m + 5)2 = 0 m = m − −5 − Khi (2) có nghiệm kép t1 = t = t = = = −3 → A(−3; 8) ∎ 2 Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho (T): (x − 1)2 + (y − 1)2 = với tâm I A(4; 5) Từ A kẻ đường thẳng cắt (T) B, C tiếp tuyến B, C cắt K Qua K kẻ đường thẳng vng góc IA cắt (T) E, F xác định E, F Phân tích hướng dẫn giải: a+1 b+1 Gọi K (a; b) M ( ; ) 2 trung điểm IK Do IBKC nội tiếp đường tròn  a  1   b  1 tâm M bán kính F A nên B, C thuộc đường tròn có phương trình: a+1 b+1 (x − ) + (y − ) 2 (a − 1)2 + (b − 1)2 = ⇔ x + y − (a + 1)x − (b + 1)y + a + b = Do B, C thuộc đường tròn (x − 1)2 + (y − 1)2 = ⇔ x + y − 2x − 2y − = Khi tọa độ B, C nghiệm hệ: I C E B K x + y − (1 + a)x − (b + 1)y + a + b = { x + y − 2x − 2y − = ⇒ (a − 1)x + (b − 1)y − a − b − = Suy phương trình BC: (a − 1)x + (b − 1)y − a − b − = Do A thuộc BC ⇒ 4(a − 1) + 5(b − 1) − a − b − = ⇔ 3a + 4b = 12 ̅̅̅ ⊥ ̅̅̅ Do ̅EF IA = (3; 4) EF qua K(a; b) nên có phương trình: 3(x − a) + 4(y − b) = ⇔ 3x + 4y − (3a + 4b) = ⇔ 3x + 4y − 12 = Khi E, F nghiệm hệ: x = 0; y = 3x + 4y − 12 = 16 ⇔{ { (x − 1)2 + (y − 1)2 = x= ;y = 5 16 Vậy E ( ; ) ; F(0; 3) ngược lại ∎ 5 LOVEBOOK.VN | 71 Chắt lọc tinh túy chuỗi đề thi thử THPT quốc gia Your dreams – Our mission Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x + y − 2x + 4y − = đường thẳng d: x − y + = Tìm tọa độ M thuộc d cho M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C) đồng thời khoảng cách từ  3 N  1;  đến AB lớn 2  Phân tích hướng dẫn giải: Đường tròn (C) có tâm I(1; −2) bán kính IA=3 Gọi M(m; m + 1) Để từ M kẻ tiếp tuyến tới (C) thì: MI > R ⇔ √(m − 1)2 + (m + 3)2 > ⇔ 2m2 + 4m + > (∗) Ta có: MA = MB = √IM − R2 = √2m2 + 4m + Suy A, B thuộc đường tròn tâm M(m; m + 1) bán kính √2m2 + 4m + có phương trình: (x − m)2 + (y − m − 1)2 = 2m2 + 4m + ⇔ x + y − 2mx − 2(m + 1)y − 2m = Khi tọa độ A, B nghiệm hệ: x + y − 2mx − 2(m + 1)y − 2m = { x + y − 2x + 4y − = ⇒ (m − 1)x + (m + 3)y + m − = (m (m ⇒ phương trình AB: − 1)x + + 3)y + m − = Gọi K(x0 ; y0 ) điểm cố định mà AB qua đó: (m − 1)x0 + (m + 3)y0 + m − = với m ⇔ (x0 + y0 + 1)m = x0 − 3y0 + với m x + y0 + = ⇔{ x0 − 3y0 + = x0 = − ⇒ K (− ; 1) ⇔{ 4 y0 = √26 Gọi H hình chiếu vng góc N lên AB d(N; AB) = NH ≤ NK = √26 Suy d(N; AB)max = H trùng K hay NK vng góc với AB (2∗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ NK = (− ; − ) = − (1; 5); ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ uAB = (m + 3; − m) 4 Suy (2∗ ) ⇔ m + + 5(1 − m) = ⇔ m = thỏa mãn (*) Vậy M(2; 3) ∎ LOVEBOOK.VN | 72 Chắt lọc tinh túy hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission Sau số toán cần luyện tập: Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình tam giác ABC có phương trình đường phân giác góc A d : x  y   Hình chiếu vng góc tâm đường tròn nội tiếp hình tam giác ABC lên đường thẳng AC điểm E 1;  Đường thẳng BC có hệ số góc âm tạo với đường thẳng AC góc 45° Đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn C :  x  2  y  Tìm phương trình cạnh tam giác ABC (Trích đề thi thử THPT quốc gia trường chuyên Lương Thế Vinh 2016)   AB : x  2y    Kết quả:  AC : 2x  y    BC : x  3y  29  10   Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình tam giác ABC vng A nội tiếp đường tròn (T) có phương trình x2  y  6x  2y   Gọi H hình chiếu A BC Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC M, N Tìm tọa độ điểm A viết phương trình cạnh BC, biết đường thẳng MN có phương trình: 20x  10y   điểm H có hồnh độ nhỏ tung độ (Trích đề thi thử THPT quốc gia trường Lý Thái Tổ - Bắc Ninh 2016) Kết A 1;2 ;BC : 2x  y   Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x2  y  2x  4y   P 2;1 Một đường thẳng d qua P cắt đường tròn A B Tiếp tuyến A B đường tròn cắt tai M Tìm tọa độ điểm M biết M thuộc đường tròn x2  y  6x  4y  11  Kết quả: M  4;1  (Trích đề thi thử THPT quốc gia trường chuyên Nguyễn Huệ lần 3-2016) Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC Biết M 3;1 trung điểm cạnh BD, điểm C  4;2 Điểm N  1; 3 nằm đường thẳng qua B vng góc với AD Đường thẳng AD qua điểm P 1;3 Tìm tọa độ điểm A, B, D Kết quả: A 2;2 , D5; 1 , B 1; 1 (Trích đề thi thử THPT quốc gia Sở GD-ĐT Lào Cai 2016) Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho E 3;  , đường thẳng d : x  y   đường tròn C : x2  y2  4x  2y   Gọi M điểm thuộc đường thẳng d nằm ngồi đường tròn (C) Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) (A, B tiếp điểm) Gọi (E) đường tròn tâm E tiếp xúc với đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm M cho đường tròn (E) có chu vi lớn (Trích đề thi thử THPT quốc gia Sở GD-ĐT Thanh Hóa 2016) Kết quả: M  3;  Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình tam giác ABC có đường phân giác góc A nằm đường thẳng d : x  y  đường tròn ngoại tiếp hình tam giác ABC có phương trình x2  y  4x  2y  20  Biết điểm M 3;4 thuộc đường thẳng BC điểm A có hồnh độ âm Tìm tọa độ điểm A, B, C (Trích đề thi thử THPT quốc gia trường Trần Đại Nghĩa 2016) LOVEBOOK.VN | 73 Chắt lọc tinh túy chuỗi đề thi thử THPT quốc gia Your dreams – Our mission   29   A  2;2 ; B 7; 1 ;C  ;  15    Kết quả:    29   A  2;2 ; B  ;   ;C 7; 1  15   Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x  y  tâm O, đường thẳng  d  : 3x  y   Tìm tọa độ điểm a, B (d) cho OA  10 đoạn OB cắt (C) K cho KA  KB (Trích đề thi thử THPT quốc gia trường Tĩnh Gia -2015) 3 5   1 5 Kết quả: A  ;   , B  2;  B   ;  22   Bài 8:) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x2  y  2x  4y   đường thẳng  có phương trình : 2x  3y   Chứng minh  cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm tọa độ điểm M đường tròn (C) cho diện tích hình tam giác ABM lớn (Trích đề thi thử THPT quốc gia trường Thường Xuân 3- 2015 Kết quả: M  3;5 Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M  0;2 hai đường thẳng d : x  2y  0;  : 4x  3y  Viết phương trình đường tròn qua điểm M, có tâm thuộc đường thẳng d cắt đường thẳng  hai điểm phân biệt A, B cho AB có độ dài Biết tâm đường tròn có tung độ dương (Trích đề thi thử THPT quốc gia Sở GD-ĐT Vĩnh Phúc 2015) Kết quả:  x  4   y  2  16 LOVEBOOK.VN | 74 ... = Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C1 ): (x − 1)2 + (y − 1)2 = có tâm I1 đường tròn (C2 ): (x − 4)2 + (y − 4)2 = 10 có tâm I2 biết hai đường tròn cắt A B Tìm tọa độ điểm M đường. .. vng góc tâm đường tròn nội tiếp hình tam giác ABC lên đường thẳng AC điểm E 1;  Đường thẳng BC có hệ số góc âm tạo với đường thẳng AC góc 45° Đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn C : ... 3y  29  10   Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình tam giác ABC vng A nội tiếp đường tròn (T) có phương trình x2  y  6x  2y   Gọi H hình chiếu A BC Đường tròn đường kính AH cắt