Cực và đối cực phương tích đường tròn và ứng dụng

Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy LI CM N Trong thi gian hon thnh khóa lun, bên cnh s l lc mit mi nghiên cu ca bn thân em l nhng óng góp quý báu ca bn bè, thy cô t Hình học, khoa Toán, Trng i hc S phm H Ni 2, c bit l thy Đinh Văn Thủy - ngi ã trc tip hng dn tn tình, chu áo em có th hon thnh khóa lun ny Em xin gi li cm n chân thnh nht ti thy Đinh Văn Thủy, quý thy cô, bn bè ã c v, ng viên em sut thi gian hc v hon thnh khoá lun Hà Nội, tháng năm 1011 Sinh viên Phan Thị Quyên Mở đầu Lí chọn đề tài Cực đối cực, ph-ơng tích đ-ờng tròn vấn đề lý thú Hình học Với cực đối cực ta đ-a cách nhìn quán với số dạng toán đặc tr-ng (quan hệ vuông góc, thẳng hàng, đồng quy, ) Kiến thức ph-ơng tích đ-ờng tròn thú vị, chúng có nhiều ứng dụng toán tính yếu tố độ dài, chứng minh hệ thức hình học, tập hợp điểm Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy thuộc đ-ờng tròn, điểm cố định, đ-ờng cố định, toán thẳng hàng, đồng quy, Sử dụng cực đối cực, ph-ơng tích đ-ờng tròn th-ờng đem lại lời giải hay thú vị Vì em chọn đề tài: Cực đối cực - ph-ơng tích đ-ờng tròn ứng dụng với hi vọng khám phá đ-ợc nhiều ứng dụng cực đối cựcph-ơng tích đ-ờng tròn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức cực đối cực - ph-ơng tích đ-ờng tròn Thấy đ-ợc hiệu việc giải toán ph-ơng pháp cực đối cực, ph-ơng tích đ-ờng tròn Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống kiến thức cực đối cực - ph-ơng tích đ-ờng tròn Xây dựng hệ thống toán giải đ-ợc ph-ơng pháp sử dụng cực đối cực - ph-ơng tích đ-ờng tròn Thể đ-ợc ứng dụng cực đối cực toán: quan hệ vuông góc song song đ-ờng thẳng, chứng minh tính thẳng hàng đồng quy, chứng minh đ-ờng thẳng qua điểm cố định, liên quan tới toán quỹ tích Thể ứng dụng ph-ơng tích dạng toán: Chứng minh số hệ thức hình học, tính đại l-ợng hình học, chứng minh tập hợp điểm thuộc đ-ờng tròn, chứng minh điểm cố định, đ-ờng cố định, chứng minh tính thẳng hàng, đồng quy Đối t-ợng, phạm vi nghiên cứu - Đối t-ợng nghiên cứu : Cực đối cực - ph-ơng tích đ-ờng tròn Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy - Phạm vi nghiên cứu : Các toán giải đ-ợc ph-ơng pháp dùng cực đối cực - ph-ơng tích đ-ờng tròn ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài - Phong phú, đa dạng hóa cách giải khác số dạng toán - Đơn giản hóa yếu tố phức tạp lời giải số dạng toán, giúp cho lời giải toán trở nên lôgic ngắn gọn Ch-ơng 1: Các kiến thức 1.1 Cực đối cực đ-ờng tròn 1.1.1 Định nghĩa định lý: Định nghĩa 1: Hai điểm M, N gọi liên hợp với đ-ờng tròn (C) đ-ờng tròn đ-ờng kính MN trực giao với đ-ờng tròn (C) Định lý 1: Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy Quỹ tích điểm liên hợp điểm cố định M đ-ờng tròn (C) tâm O đ-ờng thẳng vuông góc với đ-ờng thẳng MO Định nghĩa 2: Đ-ờng thẳng nói định lý gọi đ-ờng đối cực điểm M đ-ờng tròn (C) Định lý 2: Nếu đ-ờng đối cực A qua B đ-ờng đối cực B qua A Định lý 3: Đ-ờng đối cực điểm thẳng hàng đồng quy, cực đ-ờng thẳng đồng quy thẳng hàng 1.1.2 Một số cách xác định đ-ờng đối cực thông dụng Tr-ờng hợp 1: Khi cực S đ-ờng tròn (O) Ta có hai cách dựng sau: * Cách 1: Từ S kẻ tới (O) hai tiếp tuyến SA, SB (A, B hai tiếp điểm) Khi đ-ờng đối cực S (O) AB F A B A S E O C O D B * Cách 2: Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy Từ S kẻ tới (O) hai cát tuyến SAB, SCD Giả sử AD cắt BC E, AC cắt BD F Khi đ-ờng đối cực S (O) EF F B A E S O C D Tr-ờng hợp 2: Khi cực S nằm đ-ờng tròn (O) * Cách 1: Qua S dựng đ-ờng thẳng vuông góc với OS, đ-ờng cắt (O) A, B Tiếp tuyến (O) A, B cắt P Khi đ-ờng đối cực S (O) đ-ờng thẳng qua P vuông góc với OS P A A S O O B B * Cách 2: Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy Qua S dựng hai dây cung AB, CD Giả sử AD cắt BC E, AC cắt BD F Khi đ-ờng đối cực S (O) EF F D A E S O C O B S Tr-ờng hợp 3: B Khi S nằm (O) A Khi tiếp tuyến S (O) đ-ờng đối cực S (O) M F D A O C D E N O C O B S 1.2 Ph-ơng tích điểm đ-ờng tròn 1.2.1 Định nghĩa định lý Định lý 1: Cho đ-ờng tròn (O; R) điểm M mặt phẳng cách O khoảng d Từ M kẻ cát tuyến MAB tới (O) Khi MA MB = d - R2 Phan Th Quyờn K33B (*) Khoa Toỏn O C B Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn S Thy B A M O C D N Hình Định nghĩa: Ta gọi đại l-ợng d2 - R2 ph-ơng tích điểm M (O), kí hiệu PM / (O) = d2 - R2 * Nhận xét: Nếu PM / (O) PM / (O) M nằm (O) M nằm biên (O) PM / (O) M nằm (O) Trong nhiều toán, ta th-ờng sử dụng độ dài đoạn thẳng dạng hình học viết (*) d-ới dạng MA MB = d2 - R2 Định lý 2: Cho đ-ờng tròn (O) điểm M mặt phẳng Từ M kẻ cát tuyến MAB, MCD MA MB = MC MD (Hình 1) Định lý 3: Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy Cho (O) điểm M nằm (O) Kẻ tiếp tuyến MN, cát tuyến MAB Ta có : MA MB = MN (Hình 1) Định lý 4: Cho hai đ-ờng thẳng AB, CD cắt M (khác A, B, C, D) Nếu MA MB = MC MD điểm A, B, C, D thuộc đ-ờng tròn Định lý 5: Cho hai đ-ờng thẳng AB, MN cắt M Nếu MA MB = MN đ-ờng tròn ngoại tiếp ABN tiếp xúc với MN N 1.2.2 Trục đẳng ph-ơng hai đ-ờng tròn - tâm đẳng ph-ơng Định lý 1: Tập hợp điểm M có ph-ơng tích hai đ-ờng tròn không đồng tâm (O1,R1), (O2,R2) đ-ờng thẳng vuông góc với đ-ờng thẳng nối hai tâm O1, O2 Nếu gọi O trung điểm O1O2, H hình chiếu M O1O2 R12 - R22 OH = 2O1O2 Định nghĩa 1: Đ-ờng thẳng MH đ-ợc gọi trục đẳng ph-ơng hai đ-ờng tròn Cách dựng trục đẳng ph-ơng: Tr-ờng hợp 1: (O1) giao (O2) điểm phân biệt A, B Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn D Trng i hc s phm H Ni O GVHD: inh Vn Thy O B Đ-ờngSthẳng qua A, B trục đẳng ph-ơng (O1) (O2) A B A O1 O2 O C B D N Tr-ờng hợp 2: (O1) (O2) có điểm chung X Tiếp tuyến chung X hai đ-ờng tròn trục đẳng ph-ơng (O 1) (O2) O1 x O2 F B A E S Tr-ờng hợp 3: C O (O1) (O2) điểm chung Dựng đ-ờng tròn (O3) có hai điểm chung với (O1) (O2) Dễ dàng vẽ đ-ợc trục đẳng ph-ơng (O1) (O3), (O3) (O2) Hai đ-ờng thẳng giao M Từ M kẻ MH O1O2 MH trục đẳng ph-ơng (O1) (O2) Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn D Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy M O2 O1 H O3 Cách dựng dựa định lý sau: Định lý 2: Cho ba đ-ờng tròn (O1), (O2),(O3), l1, l2, l3 theo thứ tự trục đẳng ph-ơng cặp hai đ-ờng tròn (O1) (O2), (O2) (O3), (O1) (O3) - Nếu O1, O2, O3 không thẳng hàng l1, l2, l3 đồng quy - Nếu O1, O2, O3 thẳng hàng l1, l2, l3 đôi song song trùng Định nghĩa 2: Điểm đồng quy đ-ờng thẳng l1, l2, l3 đ-ợc gọi tâm đẳng ph-ơng đ-ờng tròn O1, O2, O3 Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy Gọi M giao điểm thứ hai AB (PDG), N giao điểm thứ hai AC (PEF) Ta có: Suy AMP = PGD (vì nửa số đo cung nhỏ PD) PGD = PCB (hai góc đồng vị) AMP = PCB PMB + PCB = 180 Tứ giác PMBC nội tiếp T-ơng tự ta có tứ giác PNCB nội tiếp Suy điểm P, M, N, B, C thuộc đ-ờng tròn Khi tứ giác MNCB nội tiếp, suy AM AB = AN AC Mà AD AE = AB AC (Định lý Thalet) Suy AM AD = AN AE Suy A thuộc trục đẳng ph-ơng hai đ-ờng tròn (PDG) (PEF) Khi A, P, Q thẳng hàng Bài toán 2: Trên đ-ờng thẳng d lấy điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó) Đ-ờng tròn đ-ờng kính AC BD cắt X, Y Đ-ờng thẳng XY cắt BC Z Lấy P điểm XY khác Z Đ-ờng thẳng CP cắt đ-ờng tròn đ-ờng kính AC điểm thứ hai M, BP cắt đ-ờng tròn đ-ờng kính BD điểm thứ hai N Chứng minh AM, DN, XY đồng quy Lời giải Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy P N M X Q Z A D C B Y Gọi Q, Q lần l-ợt giao điểm DN AM với XY Ta cần chứng minh Q Q Tứ giác Q MCZ nội tiếp, suy PM PC = PQ PZ Tứ giác NQZB nội tiếp, suy PQ PZ = PN PB Mà P thuộc XY trục đẳng ph-ơng đ-ờng tròn đ-ờng kính AC đ-ờng tròn đ-ờng kính BD nên PN PB = PX PY = PM PC Suy PQ PZ = PQ PZ Q Q Vậy XY, AM, DN đồng quy Bài toán 3: Cho đ-ờng tròn tâm O đ-ờng kính AB Một điểm H thuộc đoạn AB Đ-ờng thẳng qua H vuông góc với AB cắt đ-ờng tròn C Đ-ờng tròn đ-ờng kính CH cắt AC, BC (O) lần l-ợt D, E F a) Chứng minh AB, DE, CF đồng quy b) Đ-ờng tròn tâm C bán kính CH cắt (O) P Q Chứng minh P, D, E, Q thẳng hàng Lời giải Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy C P F D E A O H Q B I a) Ta có: CA CD = CH = CB CE suy tứ giác ADEB nội tiếp Xét đ-ờng tròn (ADEB), (O) đ-ờng tròn đ-ờng kính CH DE, AB, CF lần l-ợt trục đẳng ph-ơng cặp đ-ờng tròn nên chúng đồng quy b) Ta có : PQ trục đẳng ph-ơng (C) (O) nên OC PQ Kéo dài CH cắt (O) I Ta có OC DE Hơn H tâm đẳng ph-ơng ba đ-ờng tròn (O), (C) đ-ờng tròn đ-ờng kính CH Suy PQ qua H Vậy DE, PQ qua H vuông góc với OC nên trùng Hay D, E, P, Q thẳng hàng Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy Bài toán 4: Cho tam giác ABC Các phân giác góc A, B, C lần l-ợt cắt cạnh đối diện A1, B1, C1 Chứng minh A1, B1, C1 thẳng hàng nằm đ-ờng vuông góc với đ-ờng thẳng nối tâm đ-ờng tròn nội tiếp tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải C1 B1 C2 A1 B2 A I B C O J A2 Gọi A2B2C2 tam giác tạo phân giác góc A, B, C Ta có AA2 B2C2, BB2 A2C2, CC2 A2B2 Tứ giác BC2B2C nội tiếp nên A1C A1B = A1B A1C T-ơng tự B1C B1A = B1A B1C , C1B2 C1A = C1A C 1B Suy A1, B1, C1 nằm trục đẳng ph-ơng đ-ờng tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC đ-ờng tròn (J) ngoại tiếp tam giác A2B2C2 Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn E Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy Mà (O) đ-ờng tròn Ơle tam giác A2B2C2, AA2, BB2, CC2 giao trực tâm I tam giác A2B2C2 (cũng đồng thời tâm đ-ờng tròn nội tiếp tam giác ABC) I, O, J thẳng hàng Vậy đ-ờng thẳng qua A1, B1, C1 vuông góc với OI Bài toán 5: Cho tứ giác ABCD; AB E ; AD CD BC = F ; H, I, J, K theo thứ tự trực tâm tam giác EBC, FDC, EDA, FBA Chứng minh H, I, J, K thẳng hàng (đ-ờng thẳng Stai-nơ) Lời giải E A J D K F X M Y Q B N H F B C P I Gọi X, Y trung điểm AC, BD (X), (Y) đ-ờng tròn đ-ờng kính AC, BD Giả sử CM, BN đ-ờng cao Khi HC HM = HB HN Phan Th Quyờn K33B CBE PH / (X) = PH / (Y) Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy T-ơng tự nh- vậy, ba điểm I, J, K có ph-ơng tích (X), (Y) Nh- ta có PH / (X) = PH / (Y) PI / (X) = PI / (Y) HI trục đẳng ph-ơng (X), (Y) HI XY T-ơng tự nh- ta có HJ XY; HK XY Suy H, I, J, K thẳng hàng Kết luận: Nh- qua cách giải ta nhận thấy điểm thẳng hàng th-ờng nằm trục đẳng ph-ơng liên quan đến trục đẳng ph-ơng hai đ-ờng tròn Đi tìm lời giải th-ờng tìm đ-ờng tròn xuất toán, sau tìm trục đẳng ph-ơng hai đ-ờng tròn Tìm mối liên hệ với điểm cần chứng minh chúng thẳng hàng Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy Bài tập tham khảo Cực đối cực Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) M, N lần l-ợt trung điểm AB, CD (ABN) cắt lại CD P (CDM) cắt lại CD Q CMR AC, PQ, BD đồng quy Bài 2: Cho ABC, đ-ờng nội tiếp tiếp xúc BC, CA, AB lần l-ợt D, E, F Đ-ờng tròn nội tiếp D, E, F tiếp xúc với EF, FD, DE lần l-ợt M, N, P Chứng minh rằng: AM, BP, CN đồng quy Bài 4: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp (O) Đ-ờng thẳng qua A vuông góc với AB cắt BO M Đ-ờng thẳng qua A vuông góc với AD cắt DO N CMR: MN AC Bài 5: Cho tam giác ABC với đ-ờng cao BB , CC Gọi E, F lần l-ợt trung điểm AC, AB EF cắt BB K Chứng minh AK vuông góc với đ-ờng thẳng Ơle tam giác ABC Ph-ơng tích đ-ờng tròn Bài 6: Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp (O,R), vừa ngoại tiếp (I,r) Đặt OI = d CMR: 1 + = (định lý Fuss) (R - d)2 (R + d)2 r2 Bài : Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni Cho GVHD: inh Vn Thy ABC, bên tam giác vẽ tam giac cân BDC, CAE, ABF có cạnh đáy t-ơng ứng BC, CA, AB CMR: đ-ờng thẳng vuông góc kẻ từ A, B, C t-ơng ứng xuống EF, FD, DE đồng quy Bài 8: Cho (O), đ-ờng kính AB, CD Tiếp tuyến (O) B giao AC E, DE giao (O) lần thứ F CMR AF, BC, DE đồng quy Bài 9: Cho ABC, đ-ờng tròn qua B, C giao AB, AC lần l-ợt C1, B1 Gọi giao điểm BB1 CC1 P, AP giao BC A1 Đ-ờng thẳng qua A1 song song với B1C1 giao AB, AC lần l-ợt M, N, B1C1 giao BC Q CMR: đ-ờng tròn ngoại tiếp QMN qua điểm cố định Bài 10 : Cho hai đ-ờng tròn (O1), (O2) nằm MN tiếp tuyến chung ngoài, PQ tiếp tuyến chung CMR: MP, NQ, O1O2 đồng quy Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy H-ớng dẫn giải: Bài 1: A B Q M I S D P O C N Gọi S giao điểm AB, CD d đ-ờng đối cực S (O), I giao điểm AC BD dễ thây I thuộc d Ta thấy SM SQ = SC SD = SA SB Ta chứng minh Q thuộc d, P thuộc d, từ suy điều phải chứng minh Bài 2: Gọi O, I lần l-ợt tâm đ-ờng tròn nội tiếp ABC, DEF Gọi H, K, L lần l-ợt giao điểm cặp đ-ờng thẳng (MP, EF), (MN, FD), (MP, DE) Theo toán ta có H, K, L thẳng hàng (*) Mặt khác: AM đ-ờng đối cực H (O) (1) BP đ-ờng đối cực K đ-ờng tròn (O) (2) CN đ-ờng đối cực L đ-ờng tròn (O) (3) Từ (*), (1), (2), (3) Phan Th Quyờn K33B AM, BP, CN đồng quy Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy A B N I O D M C Sử dụng tính chất góc nội tiếp để chứng minh M, O, N thẳng hàng Sau sử dụng công thức đ-ờng trung tuyến IMN , ta đến điều phải chứng minh Bài 5: A F I G E K B C H B C Ta xét cực đối cực đ-ờng tròn Ơ-le tam giác (kí hiệu (S) với S tâm) Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy Gọi I giao điểm FB EC , G giao điểm CF BE, H giao điểm BB CC Ta chứng minh H, G, I thẳng hàng, SI đ-ờng thẳng Ơ-le cua tam giác ABC Mặt khác, ý E, F, B , C nằm (S) suy AK đ-ờng đối cực I, suy SI vuông góc với AK Từ suy điều phải chứng minh Để chứng minh đ-ờng thẳng qua A1, B1, C1 vuông góc với OI ta chứng minh I, O, J thẳng hàng Bài 6: Đ-ờng thẳng qua C vuông góc với DE trục đẳng ph-ơng (D, DB) (E, EA) T-ơng tự ta có đ-ờng thẳng qua A vuông góc với EF trục đẳng ph-ơng (E,EA) (F,FA) Các trục đẳng ph-ơng đồng quy tâm đẳng ph-ơng đ-ờng tròn Bài 7: C E F A O B D Ký hiệu (C1), (C2) lần l-ợt đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF, BCE Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy Ta có AF, BC trục đẳng ph-ơng (O) (C1), (O) C2) Ta chứng minh đ-ợc OA, OB lần l-ợt tiếp tuyến (C1), (C2), OA2 = OB2 Do OE trục đẳng ph-ơng (C1) (C2) Theo định nghĩa tâm đẳng ph-ơng đ-ờng tròn ta có AF, BC, OE đồng quy Bài 8: Gọi I ttrung điểm BC A1Q A1I = A1B A1C (1) Ta chứng minh tứ giác MBNC nội tiếp A1B A1C = A1M A1N (2) Từ (1) (2) suy tứ giác QMIN nội tiếp Vậy đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác QMN qua trung điểm I BC điểm cố định Bài 9: Đặt K = (MN) (PQ), L = (MP) (NQ), ta có MP NQ Gọi (C1), (C2) đ-ờng tròn đ-ờng kính MN, PQ Suy PL / (C1 ) = PL / (C2 ) = Mặt khác : PO1 / (C1 ) = PO1 / (C2 ) , t-ơng tự PO2 / (C1 ) = PO2 / (C2 ) Suy L, O1, O2 thẳng hàng , tức MP, NQ, O1O2 đồng quy Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy Kết luận Sau thời gian nghiên cứu, tìm hiểu chuyên đề: Cực đối cực ph-ơng tích đ-ờng tròn ứng dụng em thấy tích lũy thêm nhiều kinh nghiệm đề tài đồng thời nhận thức rõ hiệu việc ứng dụng cực đối cực, ph-ơng tích đ-ờng tròn giải toán Qua em thấy đ-ợc đa dạng, phong phú Toán học nói chung hình học nói riêng Bằng cố gắng, nỗ lực thân giúp đỡ nhiệt tình thầy h-ớng dẫn: Đinh Văn Thủy, em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp em nghiên cứu đ-ợc ứng dụng cực đối cực số dạng toán: -Bài toán quan hệ vuông góc song song đ-ờng thẳng -Chứng minh tính thẳng hàng đồng quy -Chứng minh đ-ờng thẳng qua điểm cố định -Liên quan tới toán quỹ tích ứng dụng ph-ơng tích đ-ờng tròn số dạng toán: -Chứng minh số hệ thức hình học -Chứng minh tập hợp điểm thuộc đ-ờng tròn -Chứng minh điểm cố định, đ-ờng cố định -Chứng minh tính thẳng hàng, đồng quy Mặc dù cố gắng nh-ng trình độ kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên đề tài : Cực đối cực - ph-ơng tích đ-ờng tròn ứng dụng em khó tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đ-ợc ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn để đề tài em đ-ợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực Phan Thị Quyên Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Ch-ơng 1: kiến thức 1.1 Cực đối cực 1.1.1 Định nghĩa định lý 1.1.2 Một số cách xác định đ-ờng đối cực thông dụng 1.2 Ph-ơng tích điểm đ-ờng tròn 1.2.1 Định nghĩa định lý 1.2.2 Trục đẳng ph-ơng hai đ-ờng tròn - tâm đẳng ph-ơng Ch-ơng 2: Cực đối cực đ-ờng tròn 2.1: Bài toán quan hệ vuông góc song song 2.2 Chứng minh tính thẳng hàng đồng quy 14 2.3 Chứng minh đ-ờng thẳng qua điểm cố định 20 2.4 Liên quan tới toán quỹ tích 22 Ch-ơng 3: Ph-ơng tích đ-ờng tròn 27 3.1 Chứng minh số hệ thức hình học 27 3.2 Chứng minh tập hợp điểm thuộc đ-ờng tròn 31 3.3 Chứng minh điểm cố định, đ-ờng cố định 36 3.4 Chứng minh tính thẳng hàng, đồng quy 41 Bài tập tham khảo 48 Hng dn gii 50 Kết luận Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni GVHD: inh Vn Thy Tài liệu tham khảo Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn [...]... đ-ờng đối cực của J sẽ đi qua A AN là đ-ờng đối cực của J Khi đó IJ AN mà IJ BC nên AN // BC * Nhận xét: Có thể khái quát ý t-ởng dùng cực và đối cực để chứng minh tính song song nh- sau : Giả sử có 2 đường thẳng d, d và đường tròn (O) Để chứng minh d d ta cần chứng minh tâm O nằm trên đường nối 2 cực của d và d đối với (O) (Tr-ờng hợp có 1 trong 2 đ-ờng đi qua tâm đ-ờng tròn xét cực và đối cực thì... (O) Ta thấy qua cách xác định đ-ờng đối cực của 1 điểm đối với 1 đ-ờng tròn thì PN là đ-ờng đối cực của M đối với (O) MP là đ-ờng đối cực của N Từ (1) và (2) O là trực tâm của NO MO MP NP (1) (2) MNP * Nhận xét: Bài toán đ-ợc chứng minh một cách đơn giản và ngắn gọn dựa trên cực và đối cực Bài toán 2: Giả sử đ-ờng tròn (O) tâm O, bán kính R Qua M vẽ 2 dây cung CD và EF không đi qua tâm O Hai tiếp tuyến... C Xét cực và đối cực đối với đ-ờng tròn (I) Kẻ DP, EQ lần l-ợt vuông góc với FE, FD Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni 2 GVHD: inh Vn Thy Gọi giao điểm của AM và BN là S Khi đó: đ-ờng đối cực của M phải đi qua D và vuông góc với IM Do IM // EF, DP EF nên IM DP DP là đ-ờng đối cực của M P thuộc đ-ờng đối cực của M, mà P thuộc EF là đ-ờng đối cực của A nên suy ra AM là đ-ờng đối cực của... tại E, F của (O) cắt nhau tại B Chứng minh rằng OM và AB vuông góc với nhau Lời giải: Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni 2 A GVHD: inh Vn Thy D E M O C F B Ta xét cực và đối cực đối với đ-ờng tròn (O) Ta thấy đ-ờng đối cực của A là CD đi qua M nên đ-ờng đối cực của M sẽ đi qua A (1) T-ơng tự đ-ờng đối cực của M đi qua B (2) Từ (1) và (2) suy ra đ-ờng đối cực của M chính là AB AB MO Bài... là 1 chùm điều hòa (MHEF) = -1 Do đó M thuộc đ-ờng đối cực của H đối với (O) Mặt khác : A thuộc đ-ờng đối cực của H đối với (O) nên ta có AM là đ-ờng đối cực của H đối với (O) Phan Th Quyờn K33B (1) Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni 2 GVHD: inh Vn Thy T-ơng tự ta có: BP là đ-ờng đối cực của K đối với đ-ờng tròn (O) CN là đ-ờng đối cực của L đối với đ-ờng tròn (O) Từ (*), (1), (2), (3) (2) (3) AM, BP, CN... I và vuông góc với CE Chứng minh rằng khi (I) di động (nh-ng vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì d luôn đi qua 1 điểm cố định Lời giải: x A B E I D y O C F d Xét cực và đối cực đối với (I) Gọi giao điểm của d và Oy là F Khi đó : đ-ờng đối cực của F là CE Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni 2 Đ-ờng đối cực của E đi qua F GVHD: inh Vn Thy (1) Đ-ờng đối cực của A là BD qua E Đ-ờng đối cực. .. bằng ph-ơng pháp dùng cực và đối cực Em nhận thấy để giải bài toán một cách dễ dàng thì phải có kĩ năng nhìn nhanh ra các cực và đối cực của nhau Với phần lí thuyết rất ngắn gọn, dễ hiểu nên việc vận dụng cực và đối cực trở nên rất hiệu quả, cho lời giải ngắn gọn đẹp mắt Ch-ơng 3: Ph-ơng tích đ-ờng tròn Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni 2 GVHD: inh Vn Thy 3.1 Chứng minh một số hệ thức... nên theo định lý Pascal ta có I, J, K thẳng hàng Nên ta có các đ-ờng đối cực của I, J, K đồng quy Mặt khác ta có A là cực của SM, I SM Đ-ơng đối cực của I đi qua A D là cực của PQ, I PQ Đ-ờng đối cực của I đi qua D Từ (1) và (2) (1) (2) Đ-ờng đối cực của I là AD Hoàn toàn t-ơng tự ta có : BE là đ-ờng đối cực của J CF là đ-ờng đối cực của K Vậy AD, BE, CF đồng quy Phan Th Quyờn K33B Khoa Toỏn Trng i... đ-ờng tròn nội tiếp Tiếp điểm của (I) trên BC, CA, AB lần l-ợt là D, E, F Gọi M, N, P lần l-ợt là điểm chung của các cặp đ-ờng thẳng (EF, BC), (DF, CA), (DE, AB) Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng Lời giải: P N A E F I C M B D Xét cực và đối cực đối với (I) Do đ-ờng đối cực của A là EF đi qua M Đ-ờng đối cực của M sẽ đi qua A Mà: MD là tiếp tuyến của (I) tại D MD là đ-ờng đối cực của D Đ-ờng đối cực. .. là tiếp tuyến với (O) tại B Thật vậy : d là đường đối cực của A, C d đường đối cực của C qua A và vuông góc với CO hay chính là AB Mà B (O) CB là tiếp tuyến với (O) tại B Nh- vậy quỹ tích C là đ-ờng đối cực của A Bài toán 2: Trong mặt phẳng cho 2 đ-ờng tròn cố định (O1), (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại M và bán kính đ-ờng tròn (O2) lớn hơn bán kính đ-ờng tròn (O1) Xét điểm A nằm trên (O2) sao cho O1, ... tích - ng tròn ứng dụng với hi vọng khám phá - c nhiều ứng dụng cực đối cựcph-ơng tích - ng tròn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức cực đối cực - ph-ơng tích - ng tròn Thấy - c hiệu... ph-ơng pháp cực đối cực, ph-ơng tích - ng tròn Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống kiến thức cực đối cực - ph-ơng tích - ng tròn Xây dựng hệ thống toán giải - c ph-ơng pháp sử dụng cực đối cực -. .. cực A EF qua M - ng đối cực M qua A Mà: MD tiếp tuyến (I) D MD - ng đối cực D - ng đối cực M qua D Suy - ng đối cực M AD Hoàn toàn t-ơng tự ta có: - ng đối cực N BE - ng đối cực P CF Phan