Cực và đối cực

Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán LỜI CẢM ƠN Trong trình thực luận văn cố gắng nỗ lực thân hướng dẫn, bảo tận tình Thầy Bùi Văn Bình đóng góp quý báu thầy, cô tổ hình học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy Bùi Văn Bình thầy cô tổ hình học giúp đỡ hoàn thành khóa luận Hà Nội, Ngày 10 tháng năm 2011 Người thực Bùi Thu Hương -1- Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hoàn thành kết trình tích lũy kiến thức thân mái trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội trình tìm tòi, nghiên cứu, với bảo tận tình Thầy giáo Bùi Văn Bình Vì xin cam đoan luận văn không trùng với luận văn trước -2- Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán MỤC LỤC Trang PHẦN I: MỞ ĐẦU PHẦN II: NỘI DUNG Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .5 I: Hệ thức lượng đường tròn II: Định nghĩa tính chất cực đối cực Chương II: ỨNG DỤNG CỦA CỰC VÀ ĐỐI CỰC VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC………… 13 §1: Bài toán quan hệ vuông góc quan hệ song song hai đường thẳng…………….………………………………….…………….13 §2: Bài toán chứng minh tính thẳng hàng đồng quy 19 §3: Bài toán chứng minh đường thẳng qua điểm cố định… 26 §4: Liên quan đến toán quỹ tích 30 §5: Một số toán khác 32 Chương III: BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ………………………… ….……36 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 -3- Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán PHẦN I: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học phản ánh thực giới tự nhiên toàn đời sống xã hội, Toán học vừa tảng vừa công cụ thiết yếu giúp ta nghiên cứu môn khác Hình học môn khó chương trình toán phổ thông, đặc biệt lý thuyết cực đối cực, học sinh tiếp xúc tiếp cận vấn đề thường bỡ ngỡ lúng túng Tuy nhiên, cực đối cực lại áp dụng để giải nhiều toán hình học phẳng Nhiều toán không dùng cực đối cực đường đến lời giải có lẽ phức tạp nhiều Ngoài ra, sử dụng cực đối cực cho toán có dạng vấn đề nhiều bạn đọc quan tâm Do chọn đề tài “cực đối cực” II Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức cực đối cực Xây dựng hệ thống tập ứng dụng cực đối cực việc giải toán hình học: Bài toán quan hệ vuông góc quan hệ song song hai đường thẳng, toán chứng minh tính thẳng hàng đồng quy, toán chứng minh đường thẳng qua điểm cố định, toán quỹ tích, số toán khác III Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu giáo trình hình học, tạp chí toán học tuổi trẻ tài liệu có liên quan -4- Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán PHẦN II:NỘI DUNG CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I Hệ thức lƣợng đƣờng tròn 1.1 Phƣơng tích điểm đƣờng tròn Cho đường tròn (O,R) nằm mặt phẳng (P), điểm M thuộc Δ nằm (P), đường thẳng Δ cắt đường tròn (O) A B M A B O Tích MA.MB không đổi Δ quay quanh M gọi phương tích M (O) Kí hiệu: P M/(O) Nếu M nằm (O) P M/(O)= MA.MB= MT Nếu M nằm (O) P M/(O)= -MA.MB Nếu M nằm (O) P M/(O)= 1.2 Trục đẳng phƣơng hai đƣờng tròn Trong mặt phẳng (P) cho hai đường tròn (O ) (O ) không đồng tâm Khi đó, quỹ tích điểm có phương tích với hai đường tròn cho đường thẳng Δ gọi trục đẳng phương hai đường tròn; Δ O1 O -5- Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán Chùm đƣờng tròn 2.1 Định nghĩa Tập hợp tất đường tròn nằm mặt phẳng thỏa mãn có đường thẳng cố định Δ cho cặp đường tròn phân biệt tập hợp nhận Δ làm trục đẳng phương 2.2 Định lý Một tập hợp đường tròn mặt phẳng phận chùm đường tròn thỏa mãn hai điều kiện sau: i) Tồn hai điểm phân biệt mà điểm có phương tích với đường tròn tập hợp ii) Tâm đường tròn thuộc tập hợp thẳng hàng có điểm có phương tích đường tròn tập hợp Hai đƣờng tròn trực giao 3.1 Định nghĩa Hai đường tròn (O) (O’) gọi vuông góc với chúng cắt tiếp tuyến điểm chung chúng vuông góc với Kí hiệu: (O) (O’) c2 A R O R' B c1 O' -6- Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán 3.2 Định lý Cho hai đường tròn (O, R) (O’, R’) , bốn điều sau tương đương: i) (O) (O’) ii) O’O =R’ +R iii) P O/(O’)= R P O’/(O)= R’ iv) Đường kính đường tròn bị đường tròn chia điều hòa II Định nghĩa tính chất cực đối cực Đƣờng đối cực điểm hai đƣờng thẳng 1.1 Định nghĩa Hai điểm M N gọi liên hợp với hai đường đồng quy Ox Oy chúng liên hợp với giao điểm A, B Ox Oy với đường thẳng MN O M A N B y x 1.2 Định nghĩa Quỹ tích điểm N gọi đường đối cực điểm M hai đường thẳng đồng quy Ox, Oy 1.3 Định lí Quỹ tích điểm N liên hợp điểm M cố định với hai đường thẳng đồng quy Ox Oy đường thẳng qua O -7- Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán Chứng minh: Giả sử N điểm liên hợp N A B Khi đó, ta có chùm (OM ON, OA, OB) chùm điều hòa vẽ cát tuyến khác qua M điểm liên hợp M cát tuyến nằm đường thẳng ON Ngược lại: điểm đường thẳng ON điểm liên hợp M (tính chất chùm điều hòa)  1.4 Dựng đƣờng đối cực điểm M hai đƣờng thẳng Ox, Oy *Nếu P Q hai điểm liên hợp M Ox, Oy đường thẳng PQ qua O Mặt khác, P Q liên hợp M hai đường thẳng AD BC nên PQ phải qua giao điểm Icủa AD BC *Cách dựng: O B P A J M D C Q x y Vẽ hai cát tuyến MAB MCD qua M OJ đường đối cực M 1.5 Tính chất điều hòa tứ giác toàn phần Định lý: Mỗi đường chéo tứ đỉnh toàn phần bị hai đường chéo lại chia điều hòa Chứng minh: -8- Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán K F J D A I E C B Giả sử A, B, C, D, E, F sáu đỉnh tứ giác toàn phần với đường chéo AB, CD, EF điểm chéo I, J, K Theo cách dựng đường đối cực nêu FI đường đối cực E hai cạnh FAC FDB Vì vậy, F(CBIE) chùm điều hòa, từ suy (ABIJ) = -1 hay AB bị hai đường chéo lại chia điều hòa Chứng minh tương tự ta suy đươc hai đường chéo CD EF bị hai đường chéo lại chia điều hòa  Đƣờng đối cực cực đƣờng tròn 2.1 Định nghĩa Hai điểm M N gọi liên hợp với với đường tròn chúng liên hợp với hai giao điểm A, B đường tròn với đường thẳng MN 2.2 Định nghĩa Hai điểm M N gọi liên hợp với đường tròn (C) đường tròn đường kính MN trực giao với đường tròn (C) -9- Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán 2.3 Định lí Quỹ tích điểm liên hợp điểm cố định M đường tròn (C) tâm O đường vuông góc với đường thẳng MO Chứng minh: m c1 N A H c2 O B M Nếu N điểm liên hợp M đường tròn (c2 ) đường tròn (c1 ) đường kính MN trực giao với đường tròn (c ) Đường kính AB đường tròn (c2 ) qua M bị đường tròn (c1 ) chia điều hòa tức bị đường tròn (c1 ) cắt điểm H liên hợp M A, B Ta thấy H cố định M, A, B cố định · =1v nên: N nằm đường vuông góc với OM H Vì MHN Ngược lại, N nằm đường thẳng m đường tròn đường kính MN phải qua H tức đường tròn trực giao với đường tròn (c2 ) Vậy M, N liên hợp với với đường tròn (c2 )  2.4 Định nghĩa Đường thẳng nói gọi đường đối cực điểm M đường tròn (C) - 10 - Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán Vì đường đối cực S phải qua C vuông góc với OS nên CD đường đối cực S Vì S thuộc AB cố định nên CD qua cực AB điểm cố đinh (đpcm)  - 29 - Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán §4 LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN QUỸ TÍCH Bài 1: Cho đường tròn (O, R) điểm A cố định nằm (O) Điểm B di động đường tròn (O) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt tiếp tuyến B đường tròn C Tìm tập hợp điểm C Giải: B O C A Xét cực đối cực (O) Ta có đường đối cực C đường thẳng qua B vuông góc với OC AB đường đối cực C Gọi d đường đối cực A d cố định Vì đường đối cực C qua A nên C thuộc d Vậy tập hợp điểm C đường đối cực điểm A  Bài 2: Trong mặt phằng cho hai đường tròn cố định (O1 ),(O2 ) tiếp xúc điểm M bán kính đường tròn (O2 ) lớn bán kính đường tròn (O1 ) Xét điểm A nằm đường tròn (O2 ) cho ba điểm O1 ,O2 ,A không thẳng hàng Từ A kẻ tiếp tuyến AB AC đến đường tròn (O1 ) (B, C tiếp diểm) Các đường thẳng MB, MC cắt lại đường tròn (O2 ) tương ứng E F Gọi D giao điểm đường thẳng EF tiếp tuyến A đường tròn (O2 ) - 30 - Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán CMR điểm D di động đường thẳng cố định A di động đường tròn (O2 ) cho ba điểm O1 ,O2 ,A không thẳng hàng Giải: A D B F M O2 O1 C H G E Ta xét TH tiếp xúc ( TH tiếp xúc hoàn toàn tương tự) AM cắt lại (O1 ) G Tiếp tuyến (O1 ) G, M cắt H Xét cực đối cực (O1 ) Ta thấy: Đường đối cực H MG qua A nên đường đối cực A qua H hay B, C, H thẳng hàng Xét phép vị tự tâm M tỉ số -R V R1 : (O ) M R2 ta có: R1 -R (O2 ) , B E,C F,G A Suy VMR1 : H D Do đó: D, M, H thẳng hàng Lại có, HM tiếp tuyến chung (O1 ),(O2 ) nên D thuộc đường thẳng cố định tiếp tuyến chung (O1 ),(O2 )  - 31 - Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán §5 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) AC cắt BD I Gọi M, N giao điểm thứ hai cặp đường tròn: (AOB) (COD); (BOC) (AOD) Chứng minh rằng: O, I, M, N thuộc đường tròn Giải: J B I' A I S E D O F M C Xét cực đối cực (O) Ta có: AB, OM, CD trục đẳng phương cặp đường tròn (AOB) (O); (AOB) (COD); (COD) (O) nên AB, CD, OM đồng quy điểm S - 32 - Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán SO cắt (O) E, F Ta thấy: SE.SF=SA.SB=SM.SO O trung điểm EF nên ta có (SMEF) = -1, M thuộc đường đối cực S (1) Lại có I thuộc đường đối cực S (2) · Từ (1) (2) suy IM đường đối cực S, IOM=90 (3) · Tương tự, có ION=90 (4) Từ (3) (4) ta có I, O, M, N thẳng hàng  Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) AB cắt CD E, AD cắt BC F, · · AC cắt BD I, OI cắt EF H Chứng minh AHD=BHC Giải: F B J H A I O E D C Xét cực đối cực (O) - 33 - Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán EF đường đối cực I nên AC cắt EF J (JIAC)=-1.(1) OI cắt EF H OH EF.(2) · Từ (1)(2) suy HI phân giác AHC (3) · Tương tự HI phân giác BHD (4) · · Từ (3)(4) suy AHD=BHC  Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi L, N tương ứng · trung điểm đường chéo AC, BD Giả sử BD phân giác ANC · Chứng minh AC phân giác BLD Giải: B A N P D Q L R O C Xét cực đối cực đường tròn (O) ngoại tiếp ABCD AB DC= P Gọi d đường đối cực P Gọi giao điểm cặp đường thẳng (LO, BD) (ON, AC) Q, R · Do BD phân giác ANC ON BD nên (ACPR) = -1 R d (1) Mặt khác, QL PR, RN PQ nên PO QR (2) Từ (1)(2) suy PR ≡ d · Từ đó, ta có (BDPQ) = -1, kết hợp PLQ=90 nên có đpcm  - 34 - Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán Bài 4: Cho tam giác ABC nhận (I) tâm đường tròn nội tiếp Tiếp điểm (I) BC, CA, AB D, E, F Phân giác I · tam giác BIC cắt BC M AM cắt FE N CMR DN phân giác EDF Giải: A E P N I C F S Q B D M Xét cực đối cực (I) Gọi P giao điểm (I) đoạn IA Trên BC lấy Q cho IQ PD IQ phân giác I tam giác IBC (QMBC) = -1 Suy EF (AQ, AM, AB, AC) = -1 AQ = S (SNFE) = -1 SA đường đối cực N Q thuộc đường đối cực N Ta có, N thuộc đường đối cực S Mà DP đường đối cực S nên D, N, P thẳng hàng Từ suy điều phải chứng minh - 35 - Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán CHƢƠNG III: BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính UV Lấy hai điểm P, Q đường tròn (O) cho UP< UQ Tiếp tuyến với đường tròn P, Q cắt R Gọi S giao điểm UP VQ Chứng minh RS UV Bài 2: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O Các cạnh AB, BC, CA, AD tiếp xúc (O) G, H, K, L Gọi E giao điểm AB CD F giao điểm AD BC P giao điểm GK HL Chứng minh PO EF Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Gọi P giao điểm AB CD, Q giao điểm AD BC Tiếp tuyến qua Q tiếp xúc với đường tròn (O) E, F Chứng minh P, E, F thẳng hàng Bài 4: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F nằm đường tròn tâm O cho tiếp tuyến A D, đường thẳng BE, CF đồng quy Chứng minh đường thẳng AD, BE, CF đôi song song đồng quy Bài 5: Cho tam giác ABC O tâm đường tròn ngoại tiếp Các đường thẳng AB, AC cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC B1 ,C1 tương ứng Gọi D giao điểm BC B1C1 Chứng minh đường tròn tiếp xúc với AD A có tâm nằm B1C1 trực giao với đường tròn đường kính OD Hƣớng dẫn giải: Bài 1: - 36 - Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán S R Q P K U O V Xét cực đối cực đường tròn (O) Gọi K = PQ UV , theo tính chất cực đối cực suy đường đối cực K qua S (1) Tiếp tuyến với (O) P Q cắt R đường đối cực R PQ Vì K nằm PQ nên R nằm đường đối cực K (2) Từ (1)(2) suy đường đối cực K RS, mà K nằm đường kính UV nên RS UV (đpcm)  Bài 2: - 37 - Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán F E B G A P L H O C K D Xét cực đối cực đường tròn (O) AB CD tiếp tuyến với đường tròn (O) với tiếp điểm G, K GK đường đối cực E Tương tự, HL đường đối cực F GK HL = P Đường đối cực P đường thẳng EF OP EF  Bài 3: - 38 - Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán P E A O D C B Q F Xét cực đối cực đường tròn (O) Theo tính chất cực đối cực suy đường đối cực Q EF P= AC CD Đường đối cực P qua Q = AD P nằm đường đối cực Q BC P, E, F thẳng hàng Bài 4: K B C D A I O E F Gọi K giao điểm tiếp tuyến A D TH1: Nếu BC// EF đường thẳng BC, EF vuông góc với OK - 39 - Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán Mặt khác, AD OK nên suy BC//EF//AD TH2: Nếu BC EF cắt I Đường đối cực K= BF CE qua I (1) Mặt khác , đường đối cực K AD (2) Từ (1)(2) suy A, D, I thẳng hàng AD, BC, EF đồng quy  Bài 5: I A O B C1 C D B1 Goi I đường tròn tiếp xúc với AD A có tâm nằm B1C1 Xét cực đối cực (I) Ta thấy: AB1 ,AC1 OB,OC C1B,C1C modπ C1A=C1B (1) Mà OA=OB (2) Từ (1)(2) suy C1O Tương tự, B1O AC AB (3) (4) - 40 - Khóa luận tốt nghiệp Từ (3)(4) suy AO Bùi Thu Hương-K33A.Toán B1C1 O thuộc đường đối cực D (I) trực giao với đường tròn đường kính OD (đpcm)  - 41 - Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán KẾT LUẬN Như vậy, việc sử dụng cực đối cực vào chương trình toán phổ thông công cụ hữu hiệu để giải lớp toán hình học Đặc biệt toán liên quan dến mối quan hệ vuông góc, quan hệ song song hai đường thẳng, tính thẳng hàng, đồng quy…Trong khóa luận này, với lớp toán đưa có ví dụ minh họa Bên cạnh bổ sung số toán luyện tập giúp người đọc có thêm kĩ giải toán sử dụng công cụ cực đối cực Mặc dù thân cố gắng xong hạn chế trình độ chuyên môn tính gấp rút thời gian nên khóa luận tránh khỏi sai sót Em mong thầy cô tổ chuyên môn, bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khóa luận hoàn thiện - 42 - Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán TÀI LIỆU THAM KHẢO Bùi Văn Bình (1993), Giáo trình hình học sơ cấp, ĐHSPHN2 Nguyễn Thị Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình (2006), tập nâng cao số chuyên đề hình học 10, nxbGD Nguyễn Mộng Hy (1996), Các phép biến hình mặt phẳng, nxb GD Tạp chí toán học tuổi trẻ, nxbGD Kin Y.Li, Pole and Polar Trần Văn Tấn (2008), Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 11, nxbGD - 43 - [...]... cực và đối cực đối với (I) Kẻ DP, EQ lần lượt vuông góc với EF, FD Gọi S=AM BN, khi đó I, F, S thẳng hàng Ta thấy đường đối cực của M đi qua D và vuông góc với IM mà IM//EF nên ta suy ra DP là đường đối cực của M P thuộc đường đối cực của M (1) Mà P thuộc EF là đường đối cực của A (2) Từ (1) (2) suy ra AM là đường đối cực của P (3) Tương tự, B là đường đối cực của Q (4) Từ (3) (4) ta suy ra đường đối. .. I và vuông góc với CE Chứng minh rằng khi (I) thay đổi và thỏa mãn điều kiện bài toán thì d luôn đi qua một điểm cố định - 26 - Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán Giải: A x B d E I D O F C y Xét cực và đối cực đối với (I) d cắt Oy ở F Đường đối cực của F là EC đường đối cực của E sẽ đi qua F Đường đối cực của A là BD đi qua E Từ (1)(2) AF đường đối cực của E sẽ đi qua A AF là đường đối cực. .. đường tròn nội tiếp ∆ ABC và ∆ DEF Gọi H= NP EF, K= MP FD, L= MN DE Theo bài 1 ta có H, K, L thẳng hàng (*) Vì DM, FN, EP đồng quy nên (HMFE) = -1 Do đó M thuộc đường đối cực của H đối với (O) Mặt khác, A thuộc đường đối cực của H đối với (O) nên ta có AM là đường đối cực của H đối với (O) (1) Tương tự , BP là đường đối cực của K đối với (O) (2) CN là đường đối cực của L đối với (O) (3) Từ (1)(2)(3)(*)... của (O) cắt nhau tại A, hai tiếp tuyến tại E, F của (O) cắt nhau tại B Chứng minh rằng OM AB Giải: B D A E C F M O Xét cực và đối cực đối với (O) Ta có: Đường đối cực của A là CD đi qua M đường đối cực của M qua A Đường đối cực của B là EF đi qua M đường đối cực của M qua B đường đối cực của M là AB OM AB  Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Giả sử AC cắt BD ở M , AB cắt CD ở N, AD cắt... d1 d4 d3 B C D E F Gọi d 3 là đường thẳng qua B và vuông góc với d1 , d 4 là đường thẳng qua C và vuông góc với d 2 Xét cực và đối cực đối với đường tròn (A, AB) Kí hiệu là (A) Ta có BE, CF là các tiếp tuyến của (A), Đường đối cực của E sẽ đi qua B và vuông góc với AE hay chính là d 3 Đường đối cực của F sẽ đi qua C và vuông góc với AF hay chính là d 4 cực của EF chính là D Vậy AD EF  Bài 4: Cho ∆... Hương-K33A.Toán 2.6.1 Định lí 1 Nếu đường đối cực của A đi qua B thì đường đối cực của B đi qua A Chứng minh: Nếu B nằm trên đường đối cực của A thì A, B là hai điểm liên hợp nhau đối với đường tròn (C), mà quỹ tích các điểm liên hợp của B là đường đối cực của B Vậy A phải nằm trên đường đối cực của B 2.6.2 Định lí 2 Đường đối cực của các điểm thẳng hàng thì đồng quy, cực của các đường thẳng đồng quy thì... các trục đẳng phương của từng cặp đường tròn (ADOB) và (COD), (O) và (ADOB), (O) và (COD) Do đó 3 đường nói trên đồng quy ở một điểm S Xét cực và đối cực đối với (O) - 28 - Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thu Hương-K33A.Toán Vì đường đối cực của S phải đi qua C và vuông góc với OS nên CD chính là đường đối cực của S Vì S thuộc AB cố định nên CD sẽ đi qua cực của AB là một điểm cố đinh (đpcm)  - 29 - Khóa... Cho đường tròn (O, R) và điểm A cố định nằm trong (O) Điểm B di động trên đường tròn (O) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn tại C Tìm tập hợp điểm C Giải: B O C A Xét cực và đối cực đối với (O) Ta có đường đối cực của C là đường thẳng qua B vuông góc với OC AB chính là đường đối cực của C Gọi d là đường đối cực của A d cố định Vì đường đối cực của C đi qua A nên... của EDF Giải: A E P N I C F S Q B D M Xét cực và đối cực đối với (I) Gọi P là giao điểm của (I) và đoạn IA Trên BC lấy Q sao cho IQ PD IQ là phân giác ngoài tại I của tam giác IBC (QMBC) = -1 Suy ra nếu EF (AQ, AM, AB, AC) = -1 AQ = S thì (SNFE) = -1 SA là đường đối cực của N Q thuộc đường đối cực của N Ta có, N thuộc đường đối cực của S Mà DP là đường đối cực của S nên D, N, P thẳng hàng Từ đó suy... cạnh đối diện lần lượt tại A’, B’, C’ Chứng minh rằng A’, B’, C’ thẳng hàng và đường thẳng A’B’C’ vuông góc với OI Giải: B D O N F P I C G M E A A' Tiếp điểm của đường tròn (I) nội tiếp tam giác trên BC, CA, AB lần lượt là D, E, F Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của EF, FD, DE Xét cực và đối cực đối với (I) Ta có AA’ là đường đối cực của M nên A’ thuộc đường đối cực của M Mà A' BC là đường đối cực ... OM AB Giải: B D A E C F M O Xét cực đối cực (O) Ta có: Đường đối cực A CD qua M đường đối cực M qua A Đường đối cực B EF qua M đường đối cực M qua B đường đối cực M AB OM AB  Bài 2: Cho tứ giác... trung điểm EF, FD, DE Xét cực đối cực (I) Ta có AA’ đường đối cực M nên A’ thuộc đường đối cực M Mà A' BC đường đối cực D nên đường đối cực A’ DM (1) Tương tự, đường đối cực B’, C’ EN, FP (2) Mà... A x B d E I D O F C y Xét cực đối cực (I) d cắt Oy F Đường đối cực F EC đường đối cực E qua F Đường đối cực A BD qua E Từ (1)(2) AF đường đối cực E qua A AF đường đối cực E EI Mà EI phân giác