Về số học và đối đồng điều Galois của nhóm luỹ đơn trên trường hàm địa phương và toàn cục
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN DUY TÂN VỀ SỐ HỌC VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU GALOIS CỦA NHÓM LŨY ĐƠN TRÊN TRƯỜNG HÀM ĐỊA PHƯƠNG VÀ TOÀN CỤC Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số : 62.46.05.01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2007 Công trình được hoàn thành tại: Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Quốc Thắng Phản biện 1: …………………………………………………………………………… Phản biện 2: …………………………………………………………………………… Phản biện 3: …………………………………………………………………………… Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp tại: …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… Vào hồi … giờ … ngày … tháng … năm … Có thể tìm hi ểu về luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án 1. N. Q. Thang, N. D. Tan (2004), “On the surjectivity of the localization maps for Galois cohomology of algebraic groups over fields”, Commun. Algebra 32, pp. 3169-3177. 2. N. Q. Thang, N. D. Tan (2005), “On the Galois and flat cohomology of unipotent algebraic groups over non-perfect fields”, Proc. Japan Acad. 81(6), Ser. A, pp. 121-123. 3. N. Q. Thang, N. D. Tan (2007), “On an analog of Serre's conjectures, Galois cohomology and defining equation of unipotent algebraic groups”, Proc. Japan Acad. 83(7), Ser. A, pp. 93-98. 4. N. Q. Thang, N. D. Tan (2008), “On the Galois and flat cohomology of unipotent algebraic groups over local and global function fields, I", Journal of Algebra 319(10), pp. 4288-4324. 5. N. Q. Thang, N. D. Tan (2007), “On the Galois and flat cohomology of unipotent algebraic groups over local and global function fields, II”, preprint. 6. N. Q. Thang, N. D. Tan (2007), “On an analog of Serre's conjectures, Galois cohomology and defining equation of unipotent algebraic groups”, preprint. Các kết quả trong luận án đã được báo cáo và thảo luận tại: -Hôi nghị Đại số-Hình học-Tôpô, Đà Lạt (2003). -Hội nghị quốc tế về Lý thuyết số và các vấn đề liên quan, Hà Nội (2006). -Seminar Lý thuyết số, Viện Toán học. -Seminar Esnault-Viehweg, Đại học Essen, Đức (2006). -Colloquium Đại học Eichstatt, Đức (2006). G k G k G k k G k G G = G 0 > G 1 > · · · > G n = 1 G i /G i+1 k G a G(k) k G G G k k G n a ≤ 2 k k k k G G p ≤ 1 p ≤ 1 k p > 0 < p − 1 k p − 1 p p k k G a k k G 2 a p F (x, y) := y p n − (x + a 1 x p + · · · + a r x p r ), a i ∈ k p n G {i : a i ∈ k p } k G GL n k k G k S k v ∈ S k v k v k /k k s k ¯ k k H 1 (k , G) := H 1 (Gal(k s /k ), G(k s )) G ϕ v : H 1 (k, G) → H 1 (k v , G) ϕ S := v∈S ϕ v ϕ S : H 1 (k, G) → v∈S H 1 (k v , G). k ϕ S k ϕ S k G k ϕ S k p > 0 k Γ Gal(k s /k) G k 1 → K → G → G/K → 1 k K k G b = (b s ) s∈Γ G(k s ) c = (c s ) s∈Γ (G/K)(k s ) b K K b L/k H 2 (L, b K) = 0 b K c (G/K) G k k p H 1 (k, G) H 1 (k v , G) v k k = F q (t) p > 2 G k y p = x + tx p H 1 (k, G) p > 0 [...]... nhiên trên các nhóm đối đồng điều, sao 8 cho các ánh xạ cảm sinh (một cách hàm tử) trong các dãy khớp dài của các nhóm đối đồng điều là liên tục (Trong trường hợp k là trường địa phương thì tôpô trang bị trên các nhóm đối đồng điều như trên là Hausdorff) Chúng tôi chứng minh rằng, với tôpô trang bị cho các nhóm đối đồng điều như trên thì ánh xạ địa phương hóa có ảnh trù mật (trong trường hợp lược đồ nhóm. .. trường hàm toàn cục K đặc số vô hạn 3.3 Vài áp dụng đối với nguyên lý địa phương- toàn cục ([5]) Cho p > 0 Cho G là một nhóm lũy đơn trơn xác định trên K với số chiều < p 1 Cho F là một đa thức cộng tính tách được với hệ số trong K với số biến n < p Khi 3.3.1 Định lý K là một trường toàn cục đặc số đó, a) (Nguyên lý địa phương- toàn cục cho tính tầm thường của đối đồng điều 1 1 Galois) là tầm thường khi và. .. đơn trên trường không hoàn thiện 2 Nghiên cứu tính chất vô hạn (hữu hạn) của đối đồng điều Galois (phẳng) bậc 1 của (lược đồ) nhóm lũy đơn trên trường không hoàn thiện, đặc biệt là trên các trường hàm địa phương và toàn cục 3 Đưa ra một khẳng định tương tự với các Giả thuyết Serre để đặc trưng các trường (qua số chiều đối đồng điều) qua tính tầm thường của đối đồng điều Galois (phẳng) bậc 1 của các... của k Khi đó, ánh xạ 1.3.3 Định lý địa phương hóa S : H1 l (k, G) f H1 l (kv , G) f vS luôn có ảnh trù mật 9 Chương 2 Đối đồng điều Galois của nhóm lũy đơn số chiều 1 trên trường không hoàn thiện Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số "tính toán" các nhóm đối đồng điều của một số nhóm lũy đơn Tiếp theo, chúng tôi đưa ra một điều kiện đủ cho nhóm lũy đơn xoắn, giao hoán, số mũ p, có nhóm đối đồng. .. đặc số p với số và nguyên lý địa phương- toàn cục cho tính phổ dụng của p-đa thức tách được hệ số trên k với số biến < p, xem Định lý 3.3.1 Các kết quả của chương này được trình bày chủ yếu dựa theo [5] 3.1 Đối đồng điều Galois của nhóm lũy đơn trơn trên trường hàm địa phương ([5]) Cho G là một nhóm lũy đơn trơn xác định trên một trường hàm địa phương K đặc số p > 0 với số chiều < p 1 Khi đó, các 3.1.1... hỏi nói trên Cụ thể, chúng tôi đưa ra các điều kiện cần và đủ đối với k để đảm bảo tính tầm thường của tập đối đồng điều Galois bậc 1 của mọi nhóm lũy đơn trơn xác định trên k Một trong những cách đặc trưng là khẳng định sau Khẳng định này là tương tự với các Giả thuyết của Serre về đặc trưng chiều đối đồng điều của trường qua tính tầm thường của đối đồng điều Galois bậc 1 của các nhóm đại số (xem... đối đồng điều Galois là vô hạn 2.3.6 Ví dụ Rosenlicht (1963) đưa ra một ví dụ về một lớp nhóm lũy đơn G không giao hoán và xoắn trên một trường không hoàn thiện đặc số 3 Ta sẽ tính đối đồng điều Galois bậc 1 của lớp nhóm này và chỉ ra rằng trong rất nhiều trường hợp (tập) đối đồng điều này là vô hạn Đầu tiên, ta nghiên cứu một nhóm lũy đơn G số chiều 2 (sẽ được xác định ở dưới) trên trường đặc số 3 Nhóm. .. cd(k) 2 khi và chỉ khi H1(k, G) = 0 với mọi k -nhóm nửa đơn, đơn liên, liên thông G Giả thuyết (II) này vẫn là mở trong trường hợp tổng quát Câu hỏi tương tự đối với hai Giả thuyết của Serre được đặt ra tự nhiên khi nghiên cứu đối đồng điều của nhóm lũy đơn là trên những trường nào thì đối đồng điều Galois (tương ứng, đối đồng điều phẳng) của mọi nhóm lũy đơn (tương ứng, mọi lược đồ nhóm lũy đơn) là tầm... điều kiện 2.3 hoặc là bỏ điều kiện rằng các Đối đồng điều của nhóm lũy đơn số chiều 1 Trong mục này, sử dụng kết quả trong mục 2.2, chúng tôi chứng minh rằng nhóm đối đồng điều phẳng bậc 1 của nhóm lũy đơn số chiều 1 trên trường không hoàn thiện nói chung là vô hạn Đầu tiên, ta xét đối đồng điều phẳng bậc 1 của các lược đồ nhóm lũy đơn sơ cấp hữu hạn (số chiều 0) 2.3.1 Mệnh đề ([4]) Cho k là một trường. .. a và s n {(x, y) G2 | y p = x + b1xp + ã ã ã + bsxp , j, bj k p} a Thì m = n và {i|ai k p} {i|bi k p} 23 Kết luận Trong luận án này chúng tôi đã thu được những kết quả chính sau 1 Chứng minh tính toàn ánh của ánh xạ địa phương hóa của đối đồng điều Galois bậc 1 của nhóm lũy đơn trên trường Chứng minh tính trù mật của ánh xạ địa phương hóa của đối đồng điều phẳng bậc 1 của lược đồ nhóm lũy đơn trên . ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN DUY TÂN VỀ SỐ HỌC VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU GALOIS CỦA NHÓM LŨY ĐƠN TRÊN TRƯỜNG HÀM ĐỊA PHƯƠNG VÀ TOÀN CỤC . ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số : 62.46.05.01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2007 Công trình được hoàn thành tại: Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc. nghị quốc tế về Lý thuyết số và các vấn đề liên quan, Hà Nội (2006). -Seminar Lý thuyết số, Viện Toán học. -Seminar Esnault-Viehweg, Đại học Essen, Đức (2006). -Colloquium Đại học Eichstatt,