cd(k) ≤2 khi và chỉ khi H1(k, G) =
4.2Phương trình xác định nhóm lũy đơn số chiều
Trong mục này chúng tôi chứng minh kết quả sau.
4.2.1 Mệnh đề ([3,6]). Chok là một trường không hoàn thiện đặc số p > 0, và cho G1, G2 là các k-nhóm lũy đơn trơn số chiều 1 xác định bởi
{(x, y) ∈ G2a|ypm = x + a1xp +ã ã ã + arxpr,∃i, ai 6∈ kp},{(x, y) ∈ G2a|ypn = x +b1xp +ã ã ã + bsxps,∃j, bj 6∈ kp}. {(x, y) ∈ G2a|ypn = x +b1xp +ã ã ã + bsxps,∃j, bj 6∈ kp}.
Nếu Homk−gr(G1, G2) và Homk−gr(G2, G1) đều là không tầm thường thì
m = n và hai tập chỉ số sau là trùng nhau:
Đầu tiên, ta chứng minh khẳng định thứ hai của mệnh đề trên cho trường hợp m = n = 1.
4.2.2 Bổ đề ([3,6]). Cho k là một trường không hoàn thiện đặc số p > 0, và cho G1, G2 là các k-nhóm lũy đơn số chiều 1 xác định bởi
{(x, y) ∈ G2a|yp = x + a1xp +ã ã ã + arxpr,∃i, ai 6∈ kp},{(x, y) ∈ G2a|yp = x + b1xp +ã ã ã +bsxps,∃j, bj 6∈ kp}. {(x, y) ∈ G2a|yp = x + b1xp +ã ã ã +bsxps,∃j, bj 6∈ kp}.
Giả sử rằngHomk−gr(G1, G2)vàHomk−gr(G2, G1)đều là không tầm thường. Khi đó, ta có
{i|ai 6∈ kp} ≡ {i|bi 6∈ kp}.
Sau đó, sử dụng các kết quả của Kambayashi, Miyanishi và Takeuchi (1974), ta chứng minh được Mệnh đề 4.2.1. Một hệ quả của mệnh đề này là kết quả sau.
4.2.5 Hệ quả ([3,6]). Cho k là một trường không hoàn thiện đặc số p > 0,
G là mộtk-nhóm lũy đơn số chiều 1. Nếu tồn tại các k-đẳng cấu của G với các k-nhóm
{(x, y) ∈ G2a |ypm = x +a1xp + ã ã ã +arxpr,∃i, ai 6∈ kp}
và
{(x, y) ∈ G2a |ypn = x + b1xp +ã ã ã +bsxps,∃j, bj 6∈ kp}.
Kết luận
Trong luận án này chúng tôi đã thu được những kết quả chính sau.
1. Chứng minh tính toàn ánh của ánh xạ địa phương hóa của đối đồng điều Galois bậc 1 của nhóm lũy đơn trên trường. Chứng minh tính trù mật của ánh xạ địa phương hóa của đối đồng điều phẳng bậc 1 của lược đồ nhóm lũy đơn trên trường không hoàn thiện.
2. Nghiên cứu tính chất vô hạn (hữu hạn) của đối đồng điều Galois (phẳng) bậc 1 của (lược đồ) nhóm lũy đơn trên trường không hoàn thiện, đặc biệt là trên các trường hàm địa phương và toàn cục.
3. Đưa ra một khẳng định tương tự với các Giả thuyết Serre để đặc trưng các trường (qua số chiều đối đồng điều) qua tính tầm thường của đối đồng điều Galois (phẳng) bậc 1 của các (lược đồ) nhóm lũy đơn xác định trên đó. 4. Đưa ra một tính chất mới của phương trình xác định của nhóm lũy đơn trơn số chiều 1.