Tiểu luận Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

Tiểu luận Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục Toán học là môn học rất trừu tượng. Tính trừu tượng và logic tăng dần khi các em càng học lên các...

Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục TIỂU LUẬN Sai lầm thường gặp giải tốn tìm cực trị đại số cách khắc phục Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục 1/ Đặt vấn đề: Toán học mơn học trừu tượng Tính trừu tượng logic tăng dần em học lên lớp Từ năm học lớp khó khăn học sinh bộc lộ rõ nét hơn, đặc biệt toán chứng minh bất đẳng thức, tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Đây đề tài thú vị, thường khơng có quy tắc giải tổng qt Do học sinh hay mắc thiếu sót sai lầm giải toán loại Vậy học sinh thường mắc phải sai lầm giải toán cực trị? Theo nguyên nhân xuất phát từ lý sau: Người giải tốn chưa có đường lối rõ ràng giải tốn tìm cực trị Chưa nắm tính chất bất đẳng thức Chưa hệ thống, phân dạng tập loại Không đọc kĩ đầu bài, chưa hiểu rõ toán vội vào giải tốn Khơng biết đề cập tốn theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu nghiên cứu kĩ chi tiết kết hợp chi tiết tốn, khơng sử dụng hết giả thiết tốn, khơng biết linh hoạt vận dụng kiến thức có Khơng tự tư lại tốn làm sau giải xong xem chưa Nói chung dạng tốn chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ dạng tốn khó thú vị Mỗi toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ với số liệu riêng địi hỏi cách giải riêng phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện tư tốn học mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo Chính thế, thấy kì thi học sinh giỏi tốn thường có tốn chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Từ khó khăn giáo viên học sinh thường hay mắc sai lầm việc giải toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, chọn đề tài “Sai lầm thường gặp giải tốn tìm cực trị đại số cách khắc phục” chương trình THCS để nghiên cứu với hy vọng đề tài góp phần Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục vào việc giải khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên học sinh việc dạy học kiến thức chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Như nhà giáo dục tốn học Polya nói: ” Con người phải biết học sai lầm mình” Khi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi, tơi tự thấy kiến thức tốn thân cịn hạn chế, tốn Bất đẳng thức, tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Đây dạng tốn lớn, có nhiều cách thức để giải xong thầy trò lại ngại đụng đến khó phải nhiều thời gian để dự đoán kết tìm cách giải, dễ mắc sai lầm Tơi tìm nhiều biện pháp để hướng dẫn học sinh nhận xét, phân tích để giải toán dạng phương pháp mà học sinh trang bị cấp học, không thành cơng thầy phải lần mị có lời giải, học sinh hay mắc sai lầm Sau đợt tập huấn cho GV dạy đội tuyển Toán Sở GD - ĐT Quảng Ninh tổ chức, đạo trực tiếp thầy giáo Cầm Thanh Hải – Trưởng phịng khảo thí qua tạp chí Tốn tuổi thơ, tơi học tập tích lũy cho kinh nghiệm mà trình bồi dưỡng học sinh giỏi, với tốn tìm cực trị đại số, hướng dẫn học sinh tơi hồn tồn tự tin giữ vai trị chủ đạo để hướng dẫn học sinh, học sinh khai thác toán nhiều cách, tránh sai lầm cố hữu thường mắc phải giải tốn cực trị có hứng thú thực với dạng tốn Từ thực tế tơi xin trao đổi kinh nghiệm đồng nghiệp mong đề tài mở rộng phát triển sâu rộng Đối với tốn tìm cực trị khơng có cách giải mẫu mực mà chủ yếu dựa vào phân tích - kinh nghiệm người làm tốn Các tài liệu tham khảo mơn tốn THCS dành cho giáo viên học sinh có nhiều nội dung trùng Các sách Bộ giáo dục khn khổ chương trình học cấp học nên phần giải tốn tìm cực trị chương trình THCS có tính chất giới thiệu thông qua vài tập mà không viết riêng thành tài liệu để giáo viên học sinh cấp học tham khảo Chính lý nêu trên, chọn đề tài “Sai lầm Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục thường gặp tốn tìm cực trị cách khắc phục” chương trình THCS để nghiên cứu thực NỘI DUNG CHÍNH I) Cách trình bày đề tài: Gồm hai phần Phần 1: Lý thuyết Phần 2: Các tập minh họa Các sai lầm thường mắc liệt kê dạng 1) Đưa tập cụ thể, tập đưa lời giải sai 2) Phân tích sai lầm cách khắc phục, đồng thời đưa lời giải 3) Các tập áp dụng II) Nội dung cụ thể PHẦN I: LÍ THUYẾT a) Một số tính chất bất đẳng thức Cho a, b, c số thực Tính chất abba Tính chất a  b a=b  ba  Tính chất Tính chất bắc cầu a  b  a  c  bc  Tính chất a  b  a + c  b+ c Tính chất a  b  a + c  b+ d  cd  Chú ý: Không trừ hai bất đẳng thức chiều cho Tính chất ac  bc ab c  Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục ac  bc ab c  Tính chất Tính chất Nhân vế hai bất đẳng thức chiều hai vế không âm a  b   ac  bd  c  d   a  b1  a  b   2  a 1a a n  b1b b n  0, n  N *  Tổng quát:  a n  b n   Chú ý: Không chia hai bất đẳng thức cho Tính chất Nâng luỹ thừa hai vế bất đẳng thức * a  b   a n  b n ,  n  N* * a  b  a n  bn (n  N* , n  2) Tính chất 10 a  b   n a  n b,  n  N* , n  Tính chất 11 So sánh hai luỹ thừa số m  n  *  a m  an 0  a  m  n  *  am  an a  b  a 1   Tính chất 12  a b ab  b) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối  a  0,  a  R  a = a a   a = - a a   -a a a Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục  a+ b  a + b Dấu đẳng thức xảy ab  c) Một số bất đẳng thức thường vận dụng để tìm cực trị +) Bất đẳng thức Cơsi Dạng bản: Cho a, b  , ta có bất đẳng thức a+ b  ab Dấu đẳng thức xảy a = b Dạng tổng quát: Cho số không âm a1 , a , a , , a n Ta có bất đẳng thức a1 + a + a + + a n  n n a 1a a a n với n  N, n  Dấu đẳng thức xảy a1 = a = a = = an +) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki Dạng bản: Với a, b, c, d số thực tuỳ ý ta ln có  ac+ bd    a + b2  c2 + d  Dấu đẳng thức xảy a b = c d Dạng tổng quát: Cho hai số  a1 ,a ,a , , a n  ,  b1 , b , b3 , , b n  , ta có  a1b1 + a 2b2 + a3b3 + + a n bn  2 2 2 2   a1 + a + a + + a n  b1 + b2 + b3 + + bn  Dấu đẳng thức xảy a1 a a a = = = = n b1 b b3 bn (Với điều kiện biểu thức có nghĩa) Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục PHẦN II: CÁC BÀI TẬP MINH HOẠ A Dạng sai lầm thứ nhất: Trong làm có sử dụng nhiều BĐT, tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) dấu không đồng thời xảy kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) biểu thức không đạt giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) Bài Cho x, y hai số dương thoả mãn x +  Tìm giá trị nhỏ biểu y x y thức M = 32 + 2007 y x Lời giải “có vấn đề” Từ x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có x y +  y x  1 y  ta có   x+   x   Từ x, y > x + y x y  y Do M = 32 x y x y y + 2007 = 32  +  +1975  32.2  1975.4  7964 y x x y x Dấu “=” xảy  x = y Vậy giá trị nhỏ M 7964, giá trị đạt x = y Nhưng với x = y M = 2039 Vậy sai lầm đâu? Phân tích sai lầm: Lời giải sai chỗ với x, y > Dấu “=” xảy  x = y, x y +  y x y  4, Dấu “=” xảy  y = 4x x Mặt khác thấy x = y mâu thuẫn với giả thiết x +  y Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Như nguyên nhân sai lầm lời giải toán mà sử dụng nhiều bất đẳng thức để tìm cực trị dấu “=” không đồng thời xảy Lời giải  1 y   x+   x   y y x  Từ giả thiết ta có Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số khơng âm ta có x y  x y y x y M = 32 + 2007 =  32 +  + 2005  32 .2  2005.4  8036 y x  y x x y x Dấu “=” xảy  x = ; y = 2 Vậy giá trị nhỏ M 8036, giá trị đạt x = ; y = Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x+ y biết x + y  2 Lời giải sai: Gọi B = x + y , ta có B     2 2 Xét A+ B = x+ y+ x + y = x + x + y + y 2 1 1 5   =  x+  +  y+  -   2 2 4   Ta lại có B  nên - B  5 Cộng (1) với (2) ta A   Nhưng với  (1) (2) 25 25  Min A    x = y   4 x = y    A   , sai lầm đâu? 2 Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ với x = y = - , xảy dấu “=” (1), cịn dấu “=” (2) khơng xảy Thật với x = y = - B   Do - B  5 Lời giải đúng: Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có: A2 =  2 x+ 3 x    2   x + y   5  Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục A  25  x y =  x = y Do A  nên 5  A  x = y  x = y  1 Min A  5   x+ y  5  x = y  x = y  Max A     x+ y = Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 F  x, y  =  x+ y  +  x+  +  y- x  2 “Lời giải đẹp”: Ta thấy  x+ y  ;  x+1 ;  y- x  không đồng thời nên F  x, y    F  x, y  đạt giá trị nhỏ a =  x+1 2 b =  x+ y  +  y- x  đồng thời đạt giá trị nhỏ Có a =  x+1 đạt giá trị nhỏ x = -1 2 Khi b =  x+ y  +  y- x  = y + 2, nên b đạt giá trị nhỏ y =  x = -1 Vậy giá trị nhỏ F  x, y   y = Phải lời giải đúng? Phân tích sai lầm: Lời giải mắc sai lầm bước lập luận: F  x, y  đạt giá trị nhỏ 2 a =  x+  b =  x+ y  +  y- x  đồng thời đạt giá trị nhỏ Lập luận giá trị nhỏ đạt giá trị biến Rõ ràng a đạt giá trị nhỏ x = -1, b đạt giá trị nhỏ x + y = x – y = 0, tức x = y = Lời giải đúng: 1 2   x, y Biến đổi F  x, y  = x + x+ + y =  x+  + y +  3 3  2 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Đẳng thức xảy  x = - , y = Vậy giá trị nhỏ F  x, y  , giá trị đạt x = - , y = 3 Bài Tìm giá trị lớn biểu thức D = -5 x - x y- y + 14 x + 10 y- Lời giải “băn khoăn”: 2 Ta có D = -5 x - x y- y + 14 x+ 10 y- = -  x + xy+ y  -  x -14 x  -  y -10 y  -1 = - x+ y   145  -  x -  -  y-  + 2   x+ y = x = - y   7   145 Suy D  Dấu “=” xảy 2 x- =   x = 4    y- = y =   Hệ vô nghiệm nên D không tồn giá trị lớn Bạn có đồng ý với kết luận tốn khơng? Lời giải thuyết phục chưa? Phân tích sai lầm: Từ biến đổi đến D = -  x+ y  D 7 145  -  x-  -  y-  + suy 2  145 , việc kết luận giá trị lớn D khơng tồn chưa xác, khơng có xác đáng Lời giải đúng: 2 2 Cách 1: Ta có D = -  x + y - x- y+ xy+  -  x - x+  -  y - y+   16 2  -  x+ y- 3 -  x-1 -  y-   16 10 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Giá trị m = -1 không thoả mãn điều kiện (*) nên khơng tồn giá trị m để tổng bình phương nghiệm đạt giá trị nhỏ Phân tích sai lầm: Mấu chốt sai lầm lời giải chỗ em học sinh chưa nắm vững khái niệm giá trị nhỏ biểu thức Chúng ta cần lưu ý rằng: Nếu bất đẳng thức f  x   a không xảy đẳng thức ứng với giá trị x  x0 (x0 thoả mãn điều kiện tốn) khơng thể kết luận biểu thức f  x  đạt giá trị nhỏ a biểu thức f  x  không đạt giá trị nhỏ Lời giải đúng: Điều kiện để phương trình có nghiệm là: m      m+1 -    m+ 3 m-1    (*)  m  3 Khi tổng bình phương nghiệm 2 2 x1 + x =  x1 + x  - x1x =  m+1 - =  m+1 -    2   m  Đẳng thức xảy   m+1     (thoả mãn (*))  m  3 2 Vậy x1 + x đạt giá trị nhỏ m = m = -3 D Dạng sai lầm thứ tư Lập luận sai khẳng định “A có tử số khơng đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất” (hoặc ngược lại) mà chưa đưa nhận xét tử mẫu số dương Bài Tìm giá trị lớn biểu thức A = x - x+10 Lời giải sai: Phân thức có tử khơng đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ x - x+10 2   2 Ta có: x - x+10 =  x-  +1   x - x+10   x  Vậy max A   x  Lời giải “trơn”, thi mà làm “trượt” Tại vậy? 19 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Phân tích sai lầm Tuy đáp số khơng sai lập luận lại sai khẳng định “A có tử số khơng đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa nhận xét tử mẫu số dương Ví dụ như: Xét biểu thức B = 1 Với lập luận “Phân thức có x -10 x -10 tử khơng đổi nên có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất”, mẫu nhỏ -10 x = 0, ta đến kết luận max B  1 1  x  Điều khơng 10 10 khơng phải giá trị lớn B, chẳng hạn với x = B = 1  15 10 Mắc sai lầm người làm không nắm vững tính chất bất đẳng thức, máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử mẫu số tự nhiên sang hai phân số có tử mẫu 2 Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét x - x+10 =  x-    nên phân thức 1 có tử mẫu số dương, A lớn nhỏ x - x+10 A  x - x+10 nhỏ Làm tiếp kết Bài Tìm x để biểu thức P = đạt giá trị lớn x + x- Trong lần kiểm tra có học sinh giải toán sau: Điều kiện x  ; x  3 Ta có P = 1 = x + x-  x+12 - 2 Để biểu thức P đạt giá trị lớn  x+1  đạt giá trị nhỏ Điều xảy  x+1  hay x  1 Khi giá trị lớn P   Nhưng thấy x  P  1 ,  khơng phải giá trị lớn P Vậy sai lầm lời giải đâu? Khắc phục sai lầm nào? 20 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Phân tích sai lầm Sai lầm lời giải mà bạn học sinh đưa bước lập luận “để biểu thức P đạt giá trị lớn  x+1  đạt giá trị nhỏ nhất” Điều tử mẫu P dương mà tử phải số mẫu chưa biết dương hay âm nên lập luận Lời giải đúng: Điều kiện x  ; x   Với x   x  P  , cịn với   x  P  Ta thấy x = 1+ a với a > P = nên a nhỏ P lớn lớn a + 4a được, biểu thức P = khơng có giá trị lớn x + x- E Dạng sai lầm thứ năm Nhầm tưởng vai trò biến nên thứ tự ẩn Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x y z + + với x, y, z  y z x Lời giải sai: Khi hốn vị vịng quanh x  y  z  x biểu thức A khơng đổi nên khơng tính tổng qt, giả sử x  y  z  , suy x  z   y  x- z   z  x- z   xy- yz+ z  xz (1) Chia hai vế (1) cho số dương xz ta Mặt khác ta có x y +  y x y y z - +  z x x (2) (3 ) Cộng vế với vế hai bất đẳng thức chiều (2) (3) ta x y z + +  Từ suy A =  x = y = z y z x Tuy kết đúng, xem lời giải bất ổn Tại vậy? Phân tích sai lầm: Khi hốn vị vòng quanh x  y  z  x biểu thức A trở thành y z x + + , tức biểu thức khơng đổi Điều cho phép ta giả sử z x y ba số x; y; z số lớn (hoặc số nhỏ nhất), không cho phép giả sử x  y  z sử dụng làm giả thiết tốn chứng minh mà khơng xét 21 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục trường hợp lại Thật sau chọn x số lớn ( x ≥ y, x ≥ z) vai trị y z lại khơng bình đẳng: giữ nguyên x, thay y z ngược lại ta x z y + + , biểu thức không biểu thức A z y x Khắc phục sai lầm Với lời giải đưa ra, thay cho việc thứ tự x  y  z , ta cần giả sử z số nhỏ ba số x, y, z kết hợp với phần cịn lại lời giải trình bày ta lời giải Ngồi ta cịn giải tốn theo cách sau: Cách giải đúng: Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Cơsi cho ba số dương ta có A= x y z x y z + +  3  (Phải chứng minh BĐT Côsi cho ba số không âm) y z y y z y x y z x y z Do  + +   = = , tức x = y = z y z x y z x Cách 2: Giả sử z số nhỏ số x, y, z Có: A= x y x y z x y y z y + + =  +  +  + -  Ta có +  (do x, y > 0) nên để chứng y x y z x y x z x x minh x y z y z y + +  cần chứng minh + -  y z x z x x (1) Thật (1)  xy+ z - yz  x z (do x, z  0)   x- z  y- z   (2) Do z số nhỏ số x, y, z nên (2) ln Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x = y = z Bài Cho x, y, z số thực lớn - Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1+ x 1+ y 1+ z P= + + 1+ y+ z 1+ z+ x 1+ x+ y2 Có lời giải sau: Nếu x  , ta thay x (-x) hai hạng tử đầu P khơng đổi cịn hạng tử thứ ba giảm Từ khơng tính tổng quát giả sử x  y  z  22 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục 2 2 Từ  x-1   x +  x   x +    x + x+  1+ x2 1+ x2   Đẳng thức xảy x = Do 2 + y+ z + x+ x + y2 + z2  ;  Tương tự ta có 2 + z+ x + x+ y Từ suy P  Dấu “=’ xảy x = y = z  Theo bạn lời giải chuẩn chưa? Lời giải bạn nào? Phân tích sai lầm: Các biến x, y, z biểu thức P có dạng hốn vị vịng quanh mà khơng có vai trị nên xem biến lớn nhỏ mà thơi Do đoạn lập luận: Khơng tính tổng quát giả sử x  y  z  2 Từ  x-1  , suy  x +1   x + x+1 1+ x 1+ x 2   Đẳng thức xảy x = 1.Do 2 1+ y+ z 1+ x+ x 1+ y 2  ; Tương tự ta có 1+ z+ x (2) 1+ z 2  1+ x+ y (1) (3) không Không thể từ (1) suy (2) (3) phép tương vai trị biến x; y; z P không Lời giải đúng: 1+ x 2(1+ x ) 2(1+ x )   Có + y ≥ 2y với y nên 1+ y+ z 2 + y+ z 2(1+ z ) + (1  y ) 1+ y (1+ y ) 1+ z 2(1+ z )  ;  Tương tự 1+ z+ x 2(1+ x ) + (1  z ) 1+ x+ y 2(1+ y ) + (1  x ) 1+ x 1+ y2 1+ z P= + + 1+ y+ z 1+ z+ x 1+ x+ y  1+ x  1+ z  + 1 + y  + 1+ y  1+ x  + 1 + z  + 1+ z  1+ y  + 1 + x  =M 2 Đặt 1+ x = a; 1+ y = b; 1+ z = c (a, b, c  0) 2a 2b 2c c a b + + Đặt N = + + Lúc M = c+ b a+ c b+ a c+ b a+ c b+ a b c a H= + + Khi N+ H = c+ b a+ c b+ a a+ c b+ a c+ b + + 3 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có M+ N = c+ b a+ c b+ a (4) suy M+ N  M b+ a c+ b a+ c M + +  , suy H+  (5) Lại có H+ = 2 c+ b a+ c b+ a 23 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Cộng vế theo vế bất đẳng thức (4) (5) ta có 9M 15 +  N+ H   Mà N + H = nên M  Từ suy P  Dấu “=” xảy x = y = z = F/ Một số dạng sai lầm khác thường mắc phải Bài Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh a +b +c4   a b +b 2c +c 2a  Lời giải sai Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên b - c < a  b -2bc + c < a  b +c - a < 2bc 2   b + c - a  <  2bc   b + c + a + 2b c - 2b 2a - 2c a < 4b 2c  a + b + c4 <  a b2 + b2c2 + c2a  Lời giải chưa? Nếu chưa, giải đúng? Phân tích sai lầm: Nâng lên luỹ thừa bậc chẵn hai vế BĐT mà khơng có điều kiện hai vế không âm 2 Lời giải chưa từ b2 + c - a  bc   b + c - a    bc  sai, chẳng hạn 2    2   12 (sai) Lưu ý bình phương hai vế BĐT hai vế khơng âm Lời giải Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên b- c  a  b+ c   b- c   a   b+ c   b - bc+ c2  a  b + bc+ c2  2 bc  a - b - c  bc  a - b - c  bc   a - b - c    bc   a + b + c - a b - c a + b 2c  b c  a + b + c   a b2 + c a + b c2  Bài Cho hai số x; y thoả mãn x > y xy = Tìm giá trị nhỏ biểu x + y2 thức A= x-y 24 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Lời giải sai x + y x - xy+ y + xy  x- y  + xy A= = = Ta có x- y x- y x- y Do x > y xy = nên Biết a > a+ Do A =  x- y  A= + x- y xy = x- y+ x- y x- y  (BĐT Côsi) a x- y x- y x- y + +  2+ x- y 2 Vậy A có giá trị nhỏ x- y + =2 x- y 2   x- y  + =  x- y    x- y  -  x- y  + = Giải phương trình nghiệm x – y =  x- y = Do ta có hệ phương trình sau  , nghiệm hệ phương trình  xy =  x; y  = 1+  2;-1+ ;  x; y  = 1- Vậy giá trị nhỏ A A = Nhưng với x =  2;-1- (Thoả mãn điều kiện ra) x- y + = + = 2 6+ 6- 6-2 ; y= = A = 2  có x > y; xy = 2 Tại lại thế? Phân tích sai lầm: Chứng minh f  m (hay f  m ), khẳng định giá trị nhỏ (hay lớn nhất) f m mà không m số Rõ ràng lời giải sai: Vì A  + x- y x- y mà chưa số Sai lầm sai 2 lầm bước 1, đánh giá f  m m không số Lời giải 25 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục x + y x - xy+ y + xy  x- y  + xy 2 A= = = = (x- y) +  (x- y) 2 x- y x- y x- y x- y x- y (Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương x – y ) x- y  x - y = x-y Dấu “=” xảy    xy =1  6+ ; y= Giải hệ tìm x = 6 thoả mãn đề 2 Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x - x+ + x - x- Một học sinh lên bảng làm sau: 2   11 1 Ta có A = x - x+ + x - x- = x - x+   + + x - x+   2 2 2 2 11 11   11   =  x-  + +  x-  -  A        2 4 4  2 1 1  Đẳng thức xảy   x -  =  x - =  x  2 2  Vậy giá trị nhỏ A x  Bình luận: Trong lớp có hai nhóm đưa nhận xét khác nhau, nhóm thứ cho lời giải bạn học sinh “có vấn đề”, nhóm thứ hai hồn tồn trí với lời giải Cịn bạn, bạn đứng nhóm nào? Tại sao? Phân tích sai lầm: Hiểu sai nhiều loại BĐT A + m  m Bạn học sinh có bước giải sai lầm 2  11   11     x -  + + x -  -  2  2 4  26 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục 2 9  1  1 Ta thấy  x-  -   với x, suy  x-  -   4  2  2 2 9  1  1 Chẳng hạn x =  x-  - =  -  - = - = -2   4  2  2 Lưu ý từ a  b suy a  b a  b  Lời giải đúng: 2   11     11   A =  x-  + +  x-  - =  x-  + + -  x-   2  2 4  2  2 2 11   11     x-  + + -  x-     4  2 4  2 Do A đạt giá trị nhỏ 2   11    2   1   11   x-  +   -  x-       x-   (vì  x-    x  4     2  2        1  x     2 Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x -1 x +1 “Lời giải hay” 2 Ta có x  với x, suy x -1  1 x +1  2 Suy P =  x -1 x +1   1  1  P  1  x -1 = -1   x  Dấu “=” xảy   x +1 =  Vậy P đạt giá trị nhỏ -1 x = Sai lầm đâu? Phân tích sai lầm: Vận dụng sai tính chất BĐT nhân hai BĐT chiều mà khơng có điều kiện hai vế không âm Chỗ sai lời giải nhân hai vế bất đẳng thức chiều có vế nhận giá trị âm, chẳng hạn > -2 > -3 5.(-2) < 3.(-3) 27 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Lời giải đúng: 2 Lời giải đơn giản: P =  x -1 x +1 = x   1  P  1 Dấu “=” xảy x   x  Vậy giá trị nhỏ P -1, giá trị đạt x = Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x- xy + y- x +1 “Lời giải dễ hiểu” Điều kiện x  0; y  Ta có P=x-2 xy +3y-2 x +1 = =  x- y  1 x - y -1 + y- y + - = 2   Từ đánh giá P = - +1-    x - y -2 y +2y x- y -1  + y -1   - 1 y= ; x= 4 Lời giải ‘logic”, liệu bạn có chấp nhận khơng? Phân tích sai lầm: Xác định sai điều kiện biến nên tập xác định bị mở rộng dẫn đến kết sai Bài toán sai từ điều kiện, điều kiện x  0; xy  Thật vậy, x = y tùy ý, P = 3y + khơng đạt giá trị nhỏ y nhỏ tùy ý nên P nhỏ tùy ý Do sai từ điều kiện nên lời giải toán thiếu trường hợp Lời giải đúng: Điều kiện x  0; xy  Xét hai trường hợp: *Trường hợp 1: x  0; y  Điều kiện x  0; y  Ta có P = x- xy + y- x +1 = =   x- y 1 x - y -1 + y- y    2    +1-   x - y -2 y +2y  x - y -1 + 1 y -1  2   1  y= ; x 4 *Trường hợp 2: x = 0, y tùy ý P = 3y + khơng đạt giá trị nhỏ y Từ đánh giá P   nhỏ tùy ý nên P nhỏ tùy ý 28 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục KL chung: Biểu thức P không đạt giá trị nhỏ  x+ y = m (I) Bài Cho  x, y  nghiệm hệ phương trình  2 x + y = - m + Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F = xy+  x+ y   x+ y = m  x+ y = m    “Lời giải hay”: Từ hệ (I) ta có 2  x+ y  - xy = - m +  xy = m -  2 Khi F = m - + m =  m+1 - Ta thấy  m+1 -  4 , dấu “=” xảy  m = -1 nên minF = -  m = -1 Mặt khác dễ thấy m lớn F =  m+1 - lớn, biểu thức F không đạt giá trị lớn Bài tốn có lỗ hổng khơng? Nếu có nằm đâu? Phân tích sai lầm: x + y = S Người làm tốn khơng để ý điều kiện để hệ phương trình  có nghiệm  xy = P S  P , không xác định điều kiện m để hệ có nghiệm Tình F  4  m = -1 may mắn không chấp nhận, cịn kết luận biểu thức F khơng đạt giá trị lớn sai lầm Lời giải đúng:  x+ y = m Trước hết ta tìm điều kiện m để hệ (I) có nghiệm (I)    xy = m -   2 Điều kiện để hệ (I) có nghiệm m  m -  -3 m +12   2  m  2 Khi F = m - + m =  m+1 - Ta thấy  m + 1   4 , dấu “=” xảy m = - (Thoả mãn 2  m  ) nên F = 4 m = - Mặt khác, đặt f  m  = m + 2m - + Chỉ m   2;  1 hàm số f  m  nghịch biến nên max F = f(-2) = 3 (1) 29 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục + Chỉ m   1; 2 hàm số f  m  đồng biến nên max F = f(2)  (2) Từ (1) (2) suy max F = f(2)  Kết luận: Vậy minF = -  m = -1; max F   m  Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số f  x  = x - x+1 + x - x+1 với x  R Cách giải hay? 2 2  3 1  1  3  +  x +  Đưa hàm số dạng f  x  =  x-  +    2  2       1 3  1 ,  C  x,   , B 2   2     Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét điểm A  ,  Khi f  x  = CA+ CB Vì CA+ CB  AB Trong 2  1 1 3 AB =   -  + -            1 Suy f  x  =   -1 Bài toán giải phương pháp đại số khó khăn giải phương pháp hình học “khá đơn giản” phải khơng bạn? Cịn bạn giải tốn nào? Phân tích sai lầm: Sử dụng mặt phẳng toạ độ việc chọn điểm chưa phù hợp Trước hết ta nhớ lại kết sau: Trong mặt phẳng cho hai điểm A, B đường thẳng (d) qua điểm C Khi đó: a) Nếu A, B phía so với (d) CA + CB đạt giá trị nhỏ (GTNN) C giao điểm AB’ với (d) (trong B’ điểm đối xứng B qua (d)), lúc CA + CB = AB’ b) Nếu Nếu A, B khác phía so với (d) CA + CB đạt GTNN C giao điểm AB với (d), lúc CA + CB = AB 30 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục 1 3  1 Trong lời giải chọn A  ,  2  , B  ,  hai điểm phía so với        trục hồnh Đoạn AB khơng cắt trục Ox, dấu “=” bất đẳng thức CA+ CB  AB không xảy (không tồn điểm C’ Ox cho C’A + C’B = AB, nghĩa CA+ CB  AB nên việc kết luận f  x     1 sai lầm Khắc phục sai lầm: 1 3  1 Xét hệ trục tọa Oxy, chọn A  ,  , B'  ,   C  x,  2   2     2  1  3     Ta có f  x  = CA+ CB'  AB' (trong AB' =   2  2   2)      nên f  x     x  R  Đẳng thức xảy x =  Do GTNN hàm số cho , giá trị đạt x   Bài Cho a số cố định, x, y số biến thiên Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =  x- y+1 +  x+ ay+  Lời giải sai: Do  x- y+1  0,  x+ ay+   nên P  Do P  Giá trị  x- y+1 = đạt hệ  2 x+ ay+ = (I) có nghiệm  x = y-1  x = y-1  x- y+1 =     Ta có  2  y-1 + ay+ =  a+  y = -3 (*)  x+ ay+ =   Hệ (I) có nghiệm phương trình (*) có nghiệm Điều xảy a +  hay a  - Vậy Min P = a  4 Nhưng đầu có cho a  4 không? 31 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Phân tích sai lầm: Khơng xét hết trường hợp toán mà kết luận Bài toán cần xét hai trường hợp, lời giải trường hợp a  4 , ta cần xét thêm trường hợp a = - Lời giải đúng: Do  x - 2y + 1  0,  2x + ay +   nên P   x- y+1 = a) MinP  hệ  2 x+ ay+ = (I) có nghiệm   x = y-1  x- y+1 =  x = y-1    Ta có    y-1 + ay+ =  a+  y = -3 (*)  x+ ay+ =   Hệ (I) có nghiệm phương trình (*) có nghiệm Điều xảy a+  hay a  - 2 b) Với a = - , P =  x - y+  +  x- y+  Đặt t = x - y+  6 9 Ta có P = t +  t+ 3 = t +12 t+ =  t+     5 5 Suy P = 2 11 t = - hay x- 2y   5 Vậy: + Nếu a  4 M in P  + Nếu a = - MinP  32 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục 33 ... giá trị lớn P Vậy sai lầm lời giải đâu? Khắc phục sai lầm nào? 20 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Phân tích sai lầm Sai lầm lời giải mà bạn học sinh đưa bước lập luận. .. “trượt” Tại vậy? 19 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Phân tích sai lầm Tuy đáp số khơng sai lập luận lại sai khẳng định “A có tử số khơng đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ...   15 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Vậy giá trị nhỏ M , giá trị đạt a + b  x = y = z Cách giải phải … đúng! Bạn giải tốn nào? Phân tích sai lầm: Lời giải sử dụng