Điều kiện cần, đủ đạt cực trị và đối ngẫu trong bài toán tối tưu véctơ

UBND THNH PH H CH MINH TRNG I HC SI GềN BO CO TNG KT TI KHOA HC V CễNG NGH CP TRNG IU KIN CN, T CC TR V I NGU TRONG BI TON TI U VẫCT Mó s: CS2013-13 Ch nhim ti: TS Thỏi Doón Chng TP H CH MINH, 11/2013 UBND THNH PH H CH MINH TRNG I HC SI GềN BO CO TNG KT TI KHOA HC V CễNG NGH CP TRNG IU KIN CN, T CC TR V I NGU TRONG BI TON TI U VẫCT Mó s: CS2013-13 Xỏc nhn ca Ch tch Hi ng khoa hc nghim thu ti Ch nhim ti TS Thỏi Doón Chng TP H CH MINH, 11/2013 UBND TP H CH MINH Trng H Si Gũn THễNG TIN KT QU NGHIấN CU Thụng tin chung: - Tờn ti: iu kin cn, t cc tr v i ngu bi toỏn ti u vộct - Mó s: CS2013-13 - Ch nhim: TS Thỏi Doón Chng - C quan ch trỡ: Trng i hc Si Gũn - Thi gian thc hin: 12/2012 - 12/2013 Mc tiờu: - Thit lp cỏc iu kin cn v iu kin ti u cho cỏc nghim hu hiu, nghim hu hiu yu, nghim cụ lp (a phng) v nghim chớnh thng (a phng) bi toỏn ti u vộct na vụ hn - Phỏt biu bi toỏn i ngu cho bi toỏn ti u vộct na vụ hn v kho sỏt cỏc quan h i ngu (i ngu yu v i ngu mnh) cho cỏc nghim nờu trờn Tớnh mi v sỏng to: - S dng Nguyờn lý cc tr (approximate extremal principle) v mt s cụng c hin i ca gii tớch bin phõn, chỳng tụi thit lp cỏc iu kin cn ti u cho lp bi toỏn ti u vộct na vụ hn khụng kh vi - xut khỏi nim li suy rng v li cht suy rng cho mt h cỏc hm Lipschitz a phng - Cỏc iu kin ti u v cỏc quan h i ngu bi toỏn ti u vộct na vụ hn c nghiờn cu ln u tiờn õy di gi thit li (cht) suy rng Kt qu nghiờn cu: - Ba nh lý v iu kin cn ti u cho bi toỏn ti u vộct na vụ hn - Ba nh lý v iu kin ti u cho bi toỏn ti u vộct na vụ hn - Bn nh lý v cỏc quan h i ngu bi toỏn ti u vộct na vụ hn Sn phm: - T D Chuong and D S Kim, Nonsmooth semi-infinite multiobjective optimization problems, J Optim Theo Appl (2013) DOI: 10.1007/s10957-013-0314-8 (online-first) - T D Chuong and J.-C Yao, Isolated and proper efficiencies in semi-infinite vector optimization problems, J Optim Theo Appl (2013) DOI: 10.1007/s10957-013-0425-2 (online-first) ụ ụ r ế tứ ị t tố ét ệ ết q ổ trợ t tố ét ề ệ í q ề ệ tố tr t tố ét ề ệ tố ề ệ ủ tố ố tr t tố ét ố ệ ữ ệ ệ ữ ệ ế ố ệ í tờ ết ệ t ột số ý ệ F :XY trị từ X Rn Rn+ t ét ủ R t số tự R := R {} t số tự s rộ X ố t ủ x , x ố ữ x ủ ét Y nề X Rn X X x |x| trị tệt ố ủ BX ì ị ó tr BX (x, ) ì ó t {xi } {xi } i=1 số ét t rỗ số ét AB A AìB tí srts ủ t ợ x ọ A\B ệ ủ t ợ A+B tổ ét ủ t ợ cl A ó t ủ t int A tr t ủ t locS(P ) t ệ ữ ệ ị ủ t P locS w (P ) t ệ ữ ệ ế ị ủ t P locS i (P ) t ệ ị ủ t P locS p (P ) t ệ í tờ ị ủ t P f (x) r ủ f (x) rét ủ ó ự ủ t N (x; ) ó tế r ủ t N (x; ) ó tế rét ủ t ết tú ứ t ủ xR xX X í tr X B A B x A B A B A A f t f t x x t x t x ổ q tì ì ứ ý ọ ề t r số ú t tờ ữ t r qết ị ứ ự ề ợ í t tí ố ự ọ t ú t tí ế ề ế tố t ộ ề tệ tờ ế t ủ t r tì ộ ề tệ ũ é ụ t t ộ ề tệ r tr t tr ó ố ù ố ú t tì r ột tốt t t ột t ó ố ụ t t tì ợ tốt t t ột ĩ ó ố tt ụ t ợ ọ t tố ụ t t tố ét ố ét ợ r ố tế ỷ ột tr ữ ố í ủ ó t t từ ọ tết ú ợ tế qr r trs ủ rt Prt ế ữ ủ tế ỷ trớ s t ổ tế ủ r ề ề ệ ủ ệ ữ ệ tr tố ét tố ét ợ r ột t ọ ộ t trể ột ẽ s ó ú t ó tể tì t rt ề ố s trì ột ệ tố s s í ủ ý tết tố ét tí ụ r tr ột t tố ó t r ộ ợ ột t tù ý ó tể tứt tứ ợ ọ t tố tt r ò ợ ọ q st st rr t q ợ tì t rt ề tr ì tự tế ề ể ễ í ố từ ệ tố ể ứ s t ố ệ t tố ét ợ ứ ề ột số í tí st tí tụ trớ ủ ệ ữ ệ ột số é ễ t t số ợ st tr ò tết tí trù t ủ t tt t tố ổ ị ố ủ ố ề ệ tố tr t tố ét ú t t rt ết q ề ề ú ý ột số ết q ợ ố rst rrr ts tr r ó t tết ột số ề ệ tố q ệ ố t tố ét ụ t t r ộ ữ r ộ tr ột t ỉ số ụ tộ tụ ú t ợ ết ết q t ứ t tố ét ó ì ú t ọ ề t ể ứ t tố ét tr ó r ộ ỉ tộ ột t ỉ số tù ý ó tí t t tụ ụ t ề t ết ề ệ ề ệ ủ tố ệ ữ ệ ế ệ ị ệ ữ ệ ệ í tờ ị ủ t tố ét Pt ể t ố t tố ét st ố q ệ ố ố ế ố ệ tr tế ứ ứ tế ế ệ tố t í t ệ ó q ế ĩ ự ứ ủ ề t ệt ợ ố tr t í qố tế tr ữ ế ị tí ụ ý ự trị ỉ rt tr r ể tết ề ệ tố ề t ữ t s rộ ể ề ệ ủ ứ q ệ ố P ứ ụ ế tứ tí ũ ợ ề tí trị tí tí ý tết tố t tứ ế t tố ét ó t số r ổ t t ộ t ột số t ù ứ ết tr t í ể ể ị ết q ứ P ứ ố ét ộ ứ ết t ệ t ề t ợ ể ột số ệ ết q ổ trợ tết tờ ể tệ t ứ ụ ột số ệ ết q ổ trợ ề tí ế ụ tệ t tố ét ệ ệ tết ề ệ í q r ộ tết ề ệ tố ề ệ ề ệ ủ t tố ét ụ ợ ể trì ề ệ tố ệ ữ ệ ế ệ ị ệ í tờ ị ề ệ ủ tố ệ tr ợ tết t ứ tr ụ ứ q ệ ố tr t tố ét ụ st q ệ ố ệ ữ ệ ệ ữ ệ ế q ệ ố ệ í tờ ợ tí tr ụ ế tứ ị t tố ét r trớ ết ú t r ột số ệ ết q ổ trợ ợ sử ụ tr ó ú t tệ t tố ét ệ ệ tết ề ệ í q r ộ ệ ết q ổ trợ rừ ợ ỉ r ụ tể tr sốt st ó ỗ ủ ó s ề ó ố t t ứ X ìY tr tí x X, y Y ủ ó X ố t ữ ợ í ệ ệ t ứ X ợ ị ĩ cl t t ị ó tr X ã,ã int xX ||(x, y)|| := ||x|| + ||y|| X BX (x, r) í ọ ố t X ó tr t ủ í ệ ã ợ í ù ể ỉ ì ó tr r > tr ó BX ó ự ủ X ể tị ì t := {x X | x , x x } r t ù Rm + ể ỉ ó ét t rtt ủ Rm trị F : X X Lim sup F (x) := x X từ X X t sử ụ tồ t xn x x x tỏ ể í ệ ệ w s t x tr t Pérts ỉ sử ộ tụ t t ế ủ X ợ ọ cl U ọ xn F (xn ) X ó ị t ó ó t w xn x ọ ủ F nN x x í N := {1, 2, } x ế ó ột U ủ x ó ị ế ó ị x X ó ị t x ó tế rét ủ t x ợ ị ĩ x , x x , x x N ( x; ) := x X lim sup x x ó x x ĩ x x x ế x / tì t q N (x; ) := ó tế r N (x; ) ủ t x ợ ị ĩ q ó tế rét q t Pérts s N ( x; ) := Lim sup N (x; ) x x ế x / tì t t N (x; ) := ệt ế ị t x ĩ tồ t U X x s U ủ t tì t ó Prst N ( x; ) = {x X | x , x x x U } ó x {1 , } t a BX tr X ể ự trị ị ế tồ t U ủ tr t ủ x s t ỳ > tồ t tỏ (1 + a) U = ý r ề ệ ủ {1 , } = { x} s r ể ọ ề t ét x ể ự trị ị := {(x, x) | x R} := {(x, x) | x R} r ý ự trị ỉ >0 s t ị rt tr r ú tr ó r ó t ỳ X ế tồ t x ể ự trị ị ủ x1 BX ( x, ), x2 BX ( x, ), x X {1 , } tì ||x || = s x N (x1 ; ) + BX N (x2 ; ) + BX : X R := [, ] t í ệ := {x X | (x) < }, r := {(x, à) X ì R | (x)} rét ủ t x X |( x)| < ợ ị ĩ t ứ ( x) := {x X | (x , 1) N (( x, ( x)); )} ụ ị ĩ ủ ó ự tí s rộ ủ ị s (f, gT ) t s r từ x tr tồ t y N ( x; ) s m m i zi , y t xt , y + i=1 i [fi ( x) fi ( x)] + i=1 tT t [gt ( x) gt ( x)] tT ó m m t gt ( x) i fi ( x) + i=1 ú ý r i fi ( x) + i=1 tT t gt ( x) tT t gt ( x) = t gt ( x) ọ t T ì tế t ó m m i fi ( x) = i=1 m t gt ( x) i fi ( x) + i=1 t gt ( x) i fi ( x) + i=1 tT ề é t tồ t i0 m i fi ( x) i=1 tT {1, , m} s fi0 ( x) fi0 ( x) ì Rm + \ {0} ết ợ ế t ì ợ ứ ế t t ứ sử ợ x / S(P ) ó tồ t x C ể f ( x) f ( x) Rm + \{0} ụ ị ĩ ủ ó ự tí t s rộ ủ ề ệ (f, gT ) tờ ú ý ế tr tồ t y N ( x; ) Rm + \{0}, t s r từ ị s x s m m i zi , y + i=1 t xt , y < i [fi ( x) fi ( x)] + i=1 tT t [gt ( x) gt ( x)] tT ó m m i fi ( x) + i=1 ì t gt ( x) < i fi ( x) + i=1 tT t gt ( x) tT t gt ( x) = t gt ( x) ọ t T t s r m m i fi ( x) = i=1 m i fi ( x) + i=1 ề s r tồ t i0 t gt ( x) < m {1, , m} ể fi0 ( x) < fi0 ( x), t gt ( x) i fi ( x) + i=1 tT tT i fi ( x) i=1 t ó ết tú ứ ú ý r ột tử tộ t r ộ ủ t P tỏ ỉ ề ệ ợ ệ ữ ệ ế t í t ét tr trờ ợ ó tí s rộ ủ (f, gT ) sử ụ tr ị ý tể ỏ í ụ s í ụ f : R R2 f (x) := (f1 (x), f2 (x)) ó sử f1 (x) = f2 (x) := x3 , gt : R R gt (x) := tx2 , ét t P r xR x R, t T := (, 0) m := := R ó C = R ì tế x := C ễ t x tỏ x / S w (P ) ý (f, gT ) s rộ tr t x ị ý tế t ột ề ệ ủ ột ể ợ ủ t P trở t ệ í tờ x C ị ý tì tỏ ế (f, gT ) s rộ tr t x x S p (P ) ứ sử r tồ t tr s := (1 , , , m ) int Rm x) + A( x C tỏ ĩ tồ t zi fi ( x), i = 1, , m xt gt ( x), t T s m i zi + i=1 t xt tT ụ ị ĩ ủ ó ự tí s rộ ủ ị s ỗ (f, gT ) t s r từ x tồ t y N ( x; ) s m m i zi , y N ( x; ) i=1 t xt , y + i [fi (x) fi ( x)] + i=1 tT t [gt (x) gt ( x)] tT ó m m t gt ( x) i fi ( x) + i=1 i fi (x) + i=1 tT t gt (x) tT ét r t gt ( x) = t T t gt (x) ọ t T ọ x C x C t ó m m m i fi ( x) = i=1 ề ỉ r t gt ( x) i fi ( x) + i=1 m t gt (x) i fi (x) + i=1 tT tT i fi (x) i=1 x S p (P ) ứ ết tú tự ét s ị ý í ụ s ỉ r r tết ề tí s rộ tr ị ý q trọ í ụ sử f : R R2 ợ f (x) := (f1 (x), f2 (x)) f1 (x) = f2 (x) := x5 , gt : R R ợ gt (x) := tx2 , ét t P r x R, x R, t T := (, 0) m := := R ó C = R ì x := C ét x tỏ x / locS p (P ) tí s rộ ủ (f, gT ) tr t x ị ị ý s r ột ề ệ ủ ể t ợ ệ t P tết ụ tể t ó ủ ọ f := (f1 , , fm ) gT := (gt )tT (f, gT ) ị t x ế tồ t U ủ x s U t fi , i ị ý tì ị ị = 1, , m, gt , t T tr U x C tỏ > ế (f, gT ) ị t x x locS i (P ) ứ tết tồ t U ủ x s U t fi , i = 1, , m, gt , t T tr U tù ý x U C ó tồ t x BX s ||x x|| = x , x x ì x C tỏ > tồ t := (1 , , m ) Rm + m i=1 i = A( x) tr zi fi ( x), i = 1, , m, xt gt ( x), t T s m x i zi + i=1 t xt tT N ( x; ) U t t s r m i zi , x x + x , x x i=1 í ủ fi , i t xt , x x tT = 1, , m gt , t T tr U ế m m i zi , x t xt , x x + i=1 x i [fi (x) fi ( x)] + i=1 m tT t [gt (x) gt ( x)] tT i [fi (x) fi ( x)], i=1 ó t tứ s ù ú ì t gt ( x) = t gt (x) ọ t T ết ợ ế m ||x x|| i [fi (x) fi ( x)] i=1 ữ m m i [fi (x) fi ( x)] i=1 i max {fi (x) fi ( x)} = max {fi (x) fi ( x)} i=1 1im 1im ó ||x x|| max {fk (x) fk ( x)} 1km ề ĩ x locS i (P ) ì x ợ ọ tù ý tr U C ết tú ụ ột í ụ ọ tí tết ế tể tế ợ ủ tết ị tr ị ý í ụ gt sử f : R R2 f (x) := (f1 (x), f2 (x)) x2 sin ế x = x f1 (x) = f2 (x) := ế x = 0, : R R gt (x) := tx x R t T := (0, ) ét t P m := := R ó C = (, 0] ú ý r f1 , f2 st ị t x := C f1 ( x) = f2 ( x) = [1, 1] P t x tỏ t ỳ (0, 1] x / locS i (P ) ý (f, gT ) ị t x ố tr t tố ét r ú t ề t ữ t ố t tố ét t ĩ ó ú t ố q ệ ố ế ố ệ ữ ệ ệ ữ ệ ế ệ í tờ ố ệ t ó tể tết ết q ột t tự ố ệ ữ ệ ệ ữ ệ ế m i=1 z X, := (1 , , m ) Rm + tỏ f(z, , ) := f (z) + (T ) i = R+ t t t gt (z)e, tT ó e := (1, , 1) Rm t tố ét P t ét t ét ố ủ ó s maxRm {f(z, , ) | (z, , ) C1 }, + ó t r ộ D1 C1 ợ ị m (T ) C1 := (z, , ) ì Rm + ì R+ | i fi (z) + i=1 m t gt (z) + N (z; ), tT i = i=1 ề s ột ệ tờ ữ ệ t ứ ệ ữ ệ ế ệ í ủ ột t ể t ố D1 ợ ị ĩ t tự tr ị ĩ t t ứ m m m Rm + t ứ int R+ , int R+ R+ m int Rm + , int R+ ữ t ũ í ệ t ệ ữ ệ t ứ t ệ ữ ệ ế t ệ í tờ ủ t D1 ứ S(D1 ) t S w (D1 ), S p (D1 ) r t tờ sử ụ í ệ s ể t q ệ ố u v v u int Rm + , u v ủ ị ủ u v, u v v u Rm + \{0}, u v ủ ị ủ u v ị ý t tr ụ trì q ệ ố ế ữ t ố P t ố D1 ị ý ố ế (f, gT ) ế xC s rộ tr t z (z, , ) C1 tì f (x) f(z, , ) ế (f, gT ) t s rộ tr t z tì f(z, , ) f (x) ứ (z, , ) C1 tồ t := (1 , , m ) Rm + m i=1 i = 1, (T ) R+ , zi fi (z), i = 1, , m xt gt (z), t T s m i zi + i=1 t xt N (z; ) tT rớ ết t ứ sử ợ f (x) f(z, , ) ó , f (x) f(z, , ) < ề t t tứ m i [fi (x) fi (z)] i=1 t gt (z) < ụ ị ĩ ó ự tí s rộ ủ ị s tT (f, gT ) tr t z t s r từ x tr tồ t y N (z; ) s m i zi , y + i=1 m t xt , y tT i [fi (x) fi (z)] + i=1 ì x C t ó tT t [gt (x) gt (z)] tT t gt (x) ó s r m i [fi (x) fi (z)] i=1 t gt (z) tT ết ợ ế t ì ợ ứ t ứ sử ợ f (x) f(z, , ) ó , f (x) f(z, , ) ề t m i [fi (x) fi (z)] i=1 ữ từ s r t gt (z) tT x = z ì ế x = z tì f (x) f(z, , ) = t gt (x)e tT ó ế t gt (x)e Rm + \ {0}, tT ề tể r ì x C tT t gt (x) ị x = z ú ụ ị ĩ ủ ó ự tí t s rộ ủ s r từ ị s (f, gT ) tr t z t x tr tồ t y N (z; ) s m i zi , y + i=1 m t xt , y tT i [fi (x) fi (z)] + < i=1 ể ý ế t [gt (x) gt (z)] tT x C t t ợ từ t tứ s m i [fi (x) fi (z)] 0< i=1 t gt (z), tT t ứ ết tú í ụ s ỉ r r tết s rộ ủ (f, gT ) t tr ị ý ố tr tể ỏ ợ í ụ f : R R2 ợ ị f (x) := (f1 (x), f2 (x)) ó f1 (x) = f2 (x) := x5 , gt xR : R R ợ ị gt (x) := t|x|, ét t P x R, t T := (0, ) m := := R ó C = R t x := C ét t ố D1 ọ := t ó z := , := ( 12 , 12 ) C1 ét r (f, gT ) s rộ tr t z ự tế ( z, , ) f ( x) = (1, 1) (0, 0) = f( z, , ) ề t t ết ủ ị ý ò ú ữ ị ý tế t t q ệ ố ữ t ố P t ố D1 ị ý tỏ t f( x, , ) ố x ó tồ t x S w (P ) sử ề ệ í q (T ) Rm ì R+ ( , ) + C1 ( x, , ) s f ( x) = ữ t ó ị s ế (f, gT ) s rộ tr ế (f, gT ) t s rộ tr ứ t t ỳ z t t ỳ tì S w (D1 ) ( x, , ) z tì S(D1 ) ( x, , ) ụ ị ý s r tồ t := (1, 2, , m) Rm+ |||| = A( x) tr s m i fi ( x) + i=1 t gt ( x) + N ( x; ) tT t i m i=1 i := ó i , i = 1, , m, m i=1 := ( , , m ) Rm + ị tr ũ ú t := t m i=1 i , t T ) := ( t )tT R(T i = + ữ t ì i t ợ t t ứ i C1 ó A( ( x, , ) x) tr t ó t gt ( x) = ọ t T ề é t tT t gt ( x) = ó t gt ( x)e = f( x, , ) f ( x) = f ( x) + tT (f, gT ) s rộ tr t t ỳ z , t sử ụ ị ủ ị ý ể ết = f ( f( x, , ) x) f(z, , ) ọ S w (D1 ) (z, , ) C1 ề ĩ ( x, , ) (f, gT ) t s rộ tr t t ỳ z , t sử ụ ị ủ ị ý ể ết f( x, , ) ọ f(z, , ) S(D1 ) (z, , ) C1 ì ( x, , ) ét ề ệ í q tr ị ý ó ột trò q trọ tr ệ tết q ệ ố ó ế x ột ệ ữ ệ ế ủ t ố t ó ề ệ í q ợ tỏ tì t ó tể tì ợ ột ) Rm ì R(T tộ t ể ( , ) x, , ) + ể ( + ợ ủ t ố r trờ ợ tt t ó q ệ ố ể t rõ ề t í ụ ố ệ í tờ z X, := (1 , , m ) int Rm + tỏ m i=1 (T ) i = R+ t ét f(z, , ) ợ ị ĩ tr ụ st t ố ét t tố ét P s maxRm f(z, , ) | (z, , ) C2 , + ó t r ộ D2 C2 ợ m C2 := (z, , ) ì int Rm + ì (T ) R+ | i fi (z) + i=1 m t gt (z) + N (z; ), tT i = i=1 ị ý s t q ệ ố ế ữ t ố P t ố D2 ị ý tr t z ố ế xC (z, , ) C2 ế (f, gT ) s rộ tì f (x) ứ f(z, , ) (z, , ) C2 tồ t := (1 , , m ) int Rm + m i=1 i = 1, (T ) R+ , zi fi (z), i = 1, , m xt gt (z), t T s m t xt i zi + i=1 N (z; ) tT sử ợ r f (x) ó f(z, , ) , f (x) f(z, , ) < ì int Rm + t tứ t t m i [fi (x) fi (z)] i=1 t gt (z) < tT ụ ị ĩ ủ ó ự tí s rộ ị s (f, gT ) tr t z t s r từ x tr tồ t y N (z; ) s m i zi , y + i=1 m t xt , y tT i [fi (x) fi (z)] + i=1 ể ý ế t [gt (x) gt (z)] tT x C t ợ từ t tứ s m i [fi (x) fi (z)] i=1 t gt (z) tT ề t ì ứ ết tú ố ị ý í ụ s ọ tết ủ tết s rộ tr ị ý í ụ sử f : R R2 f (x) := (f1 (x), f2 (x)) ó f1 (x) = f2 (x) := 2x3 , gt xR : R R gt (x) := t|x|, ét t P x R, t T := (0, ) m := := R ó C = R ọ x := C ét t ố D2 ọ C2 ễ ể tr ợ (f, gT ) ( z, , ) ề ĩ ết ủ ị ý ố s rộ tr t z ự tế (0, 0) = f( z, , ) f ( x) = (2, 2) ố q ệ := 0, t ó z := , := ( 21 , 21 ) ú ữ ủ t ố P t ố D2 ợ t ể s ị ý tỏ t ố x ó tồ t f ( x) = f( x, , ) ữ ế x locS p (P ) sử ề ệ í q int Rm ì ( , ) + (f, gT ) (T ) R+ s s rộ tr S(D2 ) ( x, , ) C2 ( x, , ) z tì t t ỳ ứ ụ ị ý t tì ợ := (1 , , , m ) int Rm + A( x) tr s m i fi ( x) + i=1 t gt ( x) + N ( x; ) tT t i m i=1 i := t r i , i = 1, , m, := ( , , m ) int Rm + ị tr ũ ú ì m i=1 t := t m i=1 i , t T ) := ( t )tT R(T i = + ữ t i t ợ t t ứ i C2 ó A( ( x, , ) x) tr t gt ( x) = ọ t T ề é t tT t gt ( x) = ó t gt ( x)e = f( x, , ) f ( x) = f ( x) + tT t sử r (f, gT ) s rộ tr t t ỳ z sử ụ ết q ố ế tr ị ý t ị = f ( f( x, , ) x) ọ f(z, , ) S(D2 ) (z, , ) C2 ề ĩ ( x, , ) ét ố ị tr ét ề ệ í q tr ị ý ó ột trò q trọ tr ệ tết q ệ ố ó ế x ột ệ í tờ ị ủ t ố t ó ề ệ í q ợ tỏ tì ó tể t tì ợ ột (T ) int Rm ì R+ ể ( tộ t ể ợ ủ t ố ( , ) x, , ) + r trờ ợ tt t ó q ệ ố ể t rõ ề t í ụ ết tú ụ ét tú ị ề ết q ố tr ị ý ó ù ệ ủ t ố ệ í tờ ị ệ t ợ ủ t ố ỉ ệ ữ ệ ệ í tờ ợ ỉ r tr r trờ ợ t T ữ t t ợ ột ệ ữ ệ í tờ t ố t í tr trờ ợ t ó tể t ợ ột ệ í tờ ột số tết t r ết ết q í trì tr ợ ố rst tr ụ tể ề t t ợ ết q s ết ợ ề ệ tố ệ ữ ệ ế ệ ữ ệ ệ ị ệ í tờ ị ủ t tố ét ị ý ị ý ị ý ề t r s rộ t s rộ ột ọ st ị ị ĩ tết ề ệ ủ tố ệ tr ị ý ị ý ị ý Pt ể t ố tết q ệ ố ế q ệ ố ệ ữ ệ ệ ữ ệ ế ệ í tờ ị ủ t tố ét ị ý ị ý ị ý ị ý r ột số í ụ ũ ợ tờ ể tí ọ ết q t ợ ệ t rst rrr ts t r t t tt rr tt rts r stt t Prt st qs s t tr tt t tt t r rr st s tt tt r st rr t rts r ts t Psst rrt r s t tr tt rs tt st tr tt rs r t rtrts rs r r s st st tt tt t s rst t ts r sst rrt st tr tt rs r tt rs st rr s st tr t s rst r ó qts t rr rst strt tr t r r t tt ts r rrs t t strts t t t t rs st st st tr t r s tt r Prr t tr tr t t rr t r sr t tr tt r ó r t tt s str rt r s rr s rr r st r sts t st tr tt rs rt ts Prt tr tt t r ts tss rr r r P strt qts r qt ss ts t ts str tt t r tr tt tr ts s t t sts rrr r r s r rt ss r rtt rr r r rét srt s tt ts rt rr tt ts u ă s t rr t t ts ts r Psrs st r ss Prt rst Prss Prt P tt rs tr t r rr tr t r r tt tt tts r Prss r tr t t rtr tt r tt s r P t tr r r rr tts rtr t rtr s r r tr ts sr sts st tt s t Prr t Prr st st t tt r [...]... ể ự trị ị ủ {1 , 2 } ế ợ tì U ủ ( x, y) tồ t U > 0 (1 + a) 2 U = , s a U BXìRm a := (a1 , a2 ) U BXìRm sự tồ t (x, f (x)) U ớ a1 := 0 X, a2 int Rm + ó từ s r tỏ 2 (x, f (x)) C ì ( y Rm + ) + (0, a ) xC ề é t f (x) y a2 Rm + ó f (x) f ( x) int Rm +, t ớ ọ x S w (P ) ì ( x, y) ể ự trị ị ủ {1 , 2 } k > 0 tỏ k < min 1 1 1 , , 2k 2(5 + 3 ) 2k(1 + )(4 + 3 ) ý ự trị. .. tế tụ t í ệ ữ ể ủ T (T ) R+ ọ tt :T R trị t t ể ò ết ớ t r ộ ủ t P ở tr t sẽ sử ụ t tử r ộ t t x s (T ) A( x) := { R+ | t gt ( x) = 0 ị ĩ t x ớ ọ t T } x C ó ề ệ í q r ộ tỏ ế N ( x; C) t gt ( x) + N ( x; ) A( x) ú ý r ét C tT ở tr ớ := X ề ệ í ề ệ í q r tr ế t ố ị t số r ó t sử ụ ề ệ í q t số ể ớ ợ ớ r ủ trị tố tr t tố ó t số ờ ọ ó tể t ề ề t... q ở tr r ú t ũ ó tể t ề ột số ề ệ ủ ề ệ tr trờ ợ ệt gt ồ ớ ọ t T  ề ệ tố tr t tố ét ử r ú t sẽ tết ề ệ tố t tố ét ử ụ tể trớ ết ú t ụ ột số ụ ệ ủ tí ế tổ qt ý ự trị ỉ q t tổ tổ ờ ớ rét q t tổ ớ r q t ớ ó ủ ố ể tết ề ệ ệ ữ ệ ế ệ ị ệ í tờ ị ủ t tố ét ử P ó ú t ề t ớ ồ t s rộ ể r ề ệ ủ t ợ ữ ệ ở tr ề ệ tố ết q t tr trì ề ệ rsr ... X ể ự trị ị ế tồ t U ủ tr t ủ x s t ỳ > tồ t tỏ (1 + a) U = ý r ề ệ ủ {1 , } = { x} s r ể ọ ề t ét x ể ự trị ị := {(x, x) | x R} := {(x, x) | x R} r ý ự trị ỉ... ợ ố tr t í qố tế tr ữ ế ị tí ụ ý ự trị ỉ rt tr r ể tết ề ệ tố ề t ữ t s rộ ể ề ệ ủ ứ q ệ ố P ứ ụ ế tứ tí ũ ợ ề tí trị tí tí ý tết tố t tứ ế t tố ét ó... tờ ết ệ t ột số ý ệ F :XY trị từ X Rn Rn+ t ét ủ R t số tự R := R {} t số tự s rộ X ố t ủ x , x ố ữ x ủ ét Y nề X Rn X X x |x| trị tệt ố ủ BX ì ị ó tr BX (x, )