Sử dụng cực và đối cực trong giải toán hình học phẳng

Toán học là môn khoa học có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận logic, tính độc lập sáng tạo, có khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học và rất cần thiết trong đời sống. Chính vì thế, toán học cần được khai thác để góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và hình thành nhiều phẩm chất đáng quý cho người học. Trong bộ môn toán, hình học giữ vị trí quan trọng trong suốt chương trình toán phổ thông. Đặc biệt trong hình học phẳng, cực và đối cực là một công cụ mạnh giúp chúng ta chứng minh các bài toán về quan hệ vuông góc, song song, tính đồng quy, thẳng hàng,… Nhờ các kiến thức về cực và đối cực mà chúng ta có thể giải các bài toán khó, phức tạp, thậm chí có những bài toán chỉ giải được khi sử dụng cực và đối cực. Việc vận dụng cực và đối cực vào giải một số dạng toán hình học phẳng sẽ giúp học sinh tăng cường khả năng tư duy sáng tạo, góp phần phát huy tính tích cực, chủ động trong giải toán. Bên cạnh đó, cực và đối cực còn đem lại cho người học một phương pháp tốt, nâng cao hứng thú học tập, rèn luyện khả năng tìm tòi nghiên cứu. Do đó, cực và đối cực là một nội dung được sử dụng nhiều trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Bằng cách sử dụng kiến thức về cực và đối cực, chúng ta sẽ đưa ra được hướng giải quyết một số dạng toán hình học sơ cấp tối ưu hơn mà các phương pháp thông thường mất nhiều công sức mới giải quyết được. Tuy nhiên, việc vận dụng các kiến thức về cực và đối cực vào nghiên cứu và giải quyết một số dạng toán hình học phổ thông đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy cao mà lại có ít tài liệu tham khảo, học sinh chưa được tiếp xúc nhiều, vì vậy khi tiếp cận vấn đề này học sinh còn gặp nhiều khó khăn. Vì những lí do trên mà em quyết định lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Sử dụng cực và đối cực trong giải toán hình học phẳng” cho khóa luận tốt nghiệp của mình.

1 LỜI CẢM ƠN Khóa luận hồn thành trường Đại học Hùng Vương hướng dẫn khoa học ThS Lưu Thị Thu Huyền Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp, ngồi nỗ lực thân, em xin gửi lời cảm ơn đến ban giám hiệu, thầy khoa Tốn – Tin trường Đại học Hùng Vương tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em trình nghiên cứu thực đề tài khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giáo hướng dẫn ThS Lưu Thị Thu Huyền tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu hồn thiện khóa luận Mặc dù thân cố gắng xong thời gian có hạn với khối lượng kiến thức lớn khó nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy giáo, giáo bạn đọc để khố luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài khóa luận Tốn học mơn khoa học có ý nghĩa quan trọng việc phát triển lực trí tuệ, hình thành khả suy luận logic, tính độc lập sáng tạo, có khả ứng dụng rộng rãi nhiều khoa học cần thiết đời sống Chính thế, tốn học cần khai thác để góp phần phát triển lực trí tuệ chung hình thành nhiều phẩm chất đáng q cho người học Trong mơn tốn, hình học giữ vị trí quan trọng suốt chương trình tốn phổ thơng Đặc biệt hình học phẳng, cực đối cực công cụ mạnh giúp chứng minh tốn quan hệ vng góc, song song, tính đồng quy, thẳng hàng,… Nhờ kiến thức cực đối cực mà giải tốn khó, phức tạp, chí có tốn giải sử dụng cực đối cực Việc vận dụng cực đối cực vào giải số dạng tốn hình học phẳng giúp học sinh tăng cường khả tư sáng tạo, góp phần phát huy tính tích cực, chủ động giải tốn Bên cạnh đó, cực đối cực đem lại cho người học phương pháp tốt, nâng cao hứng thú học tập, rèn luyện khả tìm tòi nghiên cứu Do đó, cực đối cực nội dung sử dụng nhiều việc bồi dưỡng học sinh giỏi Bằng cách sử dụng kiến thức cực đối cực, đưa hướng giải số dạng tốn hình học sơ cấp tối ưu mà phương pháp thông thường nhiều công sức giải Tuy nhiên, việc vận dụng kiến thức cực đối cực vào nghiên cứu giải số dạng tốn hình học phổ thơng đòi hỏi học sinh phải có khả tư cao mà lại có tài liệu tham khảo, học sinh chưa tiếp xúc nhiều, tiếp cận vấn đề học sinh gặp nhiều khó khăn Vì lí mà em định lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Sử dụng cực đối cực giải tốn hình học phẳng” cho khóa luận tốt nghiệp Mục tiêu khóa luận Xây dựng hệ thống tốn hình học phẳng chứng minh quan hệ vng góc, song song, tính đồng quy, thẳng hàng điểm cố định có sử dụng cực đối cực để giải Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu kiến thức liên quan đến đề tài phân loại nội dung - Tuyển chọn giới thiệu toán sử dụng cực đối cực, so sánh ưu điểm sử dụng cực đối cực so với phương pháp khác Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc nghiên cứu tài liệu, sách có liên quan đến sử dụng cực đối cực giải tốn hình học phẳng phân dạng, hệ thống hóa kiến thức - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn, giảng viên khác để hồn thiện mặt nội dung hình thức khóa luận Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: nghiên cứu kiến thức số dạng tốn hình học phẳng sử dụng cực đối cực - Phạm vi: ứng dụng cực đối cực giải số dạng tốn hình học phẳng Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận trình bày kiến thức cực đối cực mặt phẳng sử dụng chúng việc giải số dạng tốn hình học phẳng Qua cho thấy linh hoạt, sáng tạo có phương pháp tốt giải tốn quan trọng Đồng thời khóa luận tài liệu tham khảo hữu ích giúp thân em bạn học sinh sinh viên ngành toán học tập tốt Chương Kiến thức sở 1.1 Hàng điểm điều hòa 1.1.1 Tỉ số kép 1.1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp có thứ tự gồm bốn điểm A, B, C, D phân biệt nằm đường thẳng định hướng Ta gọi tỉ số tỉ số kép bốn điểm A, B, C, D (Hình 1.1) kí hiệu (ABCD) Ta có: (ABCD) = D C O A B Hình 1.1 Trên đường thẳng chọn O gốc tọa độ giả sử a, b, c, d tọa độ điểm A, B, C, D ta dễ dàng suy ra: (ABCD) = (1) 1.1.1.2 Các tính chất tỉ số kép 1) Tỉ số kép điểm không đổi trường hợp sau: - Nếu ta hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối, nghĩa là: (ABCD) = (CDAB) - Nếu ta đồng thời hoán vị điểm đầu điểm cuối, nghĩa là: (ABCD) = (BADC) - Nếu ta viết chúng theo thứ tự ngược lại, nghĩa là: (ABCD) = (DCBA) 2) Tỉ số kép điểm thay đổi trường hợp: - Nếu ta hoán vị điểm đầu điểm cuối tỉ số kép điểm trở thành số đảo ngược nghĩa là: (BACD) = (ABCD) = - Nếu ta hoán vị điểm giữa, điểm đầu cuối tỉ số kép điểm trở thành phần bù nghĩa là: (ABCD) = (DBCA) = - (ABCD) 1.1.2 Hàng điểm điều hòa 1.1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2 Nếu (ABCD) = - ta nói bốn điểm A, B, C, D lập thành hàng điểm điều hòa Lúc ta có nghĩa điểm C, D chia đoạn AB theo tỉ số đối Mặt khác, ta viết tỉ số dạng nghĩa điểm A B chia đoạn CD theo tỉ số đối Dựa vào biểu thức ta nhận thấy vai trò bình đẳng A, B C, D Chú ý: Khi nói tới tỉ số kép nói tới hàng điểm điều hòa, cần viết thứ tự điểm Dựa vào tính chất nêu trên, ta biết thay đổi thứ tự điểm giá trị tỉ số kép giữ nguyên thay đổi thứ tự điểm giá trị tỉ số kép thay đổi theo quy luật Do (ABCD) = -1 ta suy ra: (CDAB) = (BADC) = (DCBA) = -1 Mặt khác (ABCD) = -1 ta có: (BACD) = (ABDC) = -1 1.1.2.2 Biểu thức tọa độ hàng điểm đìểu hòa Ta định hướng đường thẳng ABCD, chọn điểm O làm gốc vectơ đơn vị Giả sử (ABCD)= - nên ta có: 1) (2) A D O C B Hình 1.2 2) Nếu ta chọn điểm O trùng với điểm A a = hệ thức (2) trở thành 2cd = bc + bd hay ( Hình 1.3) (3) Từ hệ thức (3) ta suy (3’) A O D C B Hình 1.3 Hệ thức (3’) gọi hệ thức Descartes 3) Gọi I trung điểm đoạn AB chọn O trùng với I b = - a Khi hệ thức (2) trở thành 2(- a² + cd) = hay a² = cd Vậy (4) Với I trung điểm đoạn AB (Hình 1.4) I A C D B O Hình 1.4 Hệ thức (4) gọi hệ thức Newton (4) Gọi J trung điểm đoạn CD chọn O ≡ A trục gốc A D J O Hình 1.5 Khi từ hệ thức (3’), ta có: B C 10 (ABCD) = -1 Hệ thức (5) gọi hệ thức Macloranh 1.2 Chùm điều hòa Định nghĩa 1.3 Người gọi chùm đường thẳng tập hợp gồm tất đường thẳng mặt phẳng qua điểm điểm gọi tâm chùm Định lí 1.1 Một chùm bốn đường thẳng cắt cát tuyến thay đổi theo hàng điểm có tỉ số kép khơng đổi Chứng minh Giả sử bốn đường thẳng a, b, c, d chùm tâm O cắt hai cát tuyến m m’ khơng qua tâm O theo hàng điểm A, B, C, D A’, B’, C’, D’ Ta cần chứng minh (ABCD) = (A'B'C’D’) (Hình 1.6) O N D A m C B N’ M m’ B’ A’ D’ C’ b a M’ c Hình 1.6 10 d L K A E M F I P N O H C D B Gọi I, O tâm đường tròn nội tiếp ∆DEF ∆ABC H = MP ∩ EF K = MN ∩ FD L = MP ∩ DE Theo toán ta có H, K, L thẳng hàng (1) Và DM, FN, EP đồng quy nên (HMFE) = -1 Do M thuộc đường đối cực H (O) Mặt khác, A thuộc đường đối cực H (O) nên ta có: AM đường đối cực H (O) (2) Tương tự có, BP đường đối cực K (O) (3) CN đường đối cực L (O) (4) Từ (1), (2), (3), (4) ta có AM, BP, CN đồng quy Nhận xét: Bài tốn mở rộng sau: Cho ∆ABC D, E, F thuộc BC, CA, AB cho AD, BE, CF đồng quy M, P, N thuộc EF, FD, DE cho K DM, EP, FN đồng quy Chứng minh AM, BP, CN đồng quy Bài toán 3: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp (O) Tiếp điểm thuộc cạnh AB, BC, CD, DA M, N,B P, Q AN, N AP cắt C (O) E, F Chứng minh ME, QF, AC đồng quy M Lời giải E F A Q D P Gọi K cực AC Xét tứ giác nội tiếp MNPQ, theo tính chất cực đối cực tứ giác nội tiếp Ta có: MQ NP cắt K (1) Mặt khác xét đến tứ giác nội tiếp EFPN, có: EF NP cắt K (2) Suy ra: MQ EF cắt K Ta thấy ME QF cắt điểm thuộc đường đối cực K nên thuộc AC hay ME, QF, AC đồng quy Bài toán 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) Gọi M, N trung điểm AB, CD Đường tròn (ABN) cắt lại cạnh CD P, đường tròn (CDM) cắt lại AB Q Chứng minh AC, PQ, BD đồng quy Nhận xét: Ta thấy tốn xuất đường tròn (O), (ABN), (CDM) dây cung nên ta nghĩ đến sử dụng cực đối cực giải toán Lời giải B Q M A O I S D P N TH1: AB//CD Khi đó, ABCD hình chữ nhật Q ≡ M, P ≡ N AC, BD, PQ đồng quy tâm hình chữ nhật ABCD TH2: Gọi S giao điểm AB CD d đường đối cực S (O) I giao điểm AC BD I ∈ d (1) Ta có : Vì M trung điểm AB nên ta có (SQAB ) = -1 Q ∈ d (2) Tương tự, ta có: P ∈ d (3) Từ (1), (2) (3) suy AC, PQ, BD đồng quy C Bài toán 5: Cho ∆ABC ngoại tiếp (I), tiếp điểm (I) BC, CA, AB D, E, F Trên BC lấy M, AC lấy N cho IM // EF, IN // DF Chứng minh AM, BN, IF đồng quy Lời giải N A E P F S I Q D C B M Xét cực đối cực với (I) Kẻ DP, EQ vng góc với EF, FD Gọi S = AM ∩ BN, I, F, S thẳng hàng Ta thấy: Đường đối cực M qua D vng góc với IM mà IM // EF nên ta suy DP đường đối cực M P thuộc đường đối cực M (1) Mà P thuộc EF đường đối cực A (2) Từ (1), (2) suy AM đường đối cực P (3) Tương tự, B đường đối cực Q (4) Từ (3) (4) ta suy đường đối cực S PQ Mặt khác, có: (PF, PQ) ≡ (DE, DQ) ≡ (FB, FQ) (modπ) Suy ra: PQ // AB Vậy AM, BN, IF đồng quy Bài toán 6: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Tiếp điểm thuộc cạnh AB, BC, CD, DA M, N, P, Q Các đường thẳng AN, AP cắt đường tròn (O) E, F Chứng minh rằng: đường thẳng MP, NQ, AC, BD đồng quy Lời giải B M N A E O F I Q C D P J Hạ CJ ⊥ MP Ta có: ⇒ ⇒ CJ = CP Gọi Tương tự: Vì AM = AQ PC = PN nên từ (1) (2) suy I ≡ I ' Ta suy đường thẳng MP, NQ, AC đồng quy I (3) Tương tự, ta có MP, NQ, BD đồng quy I (4) Kết hợp (3) (4) ta có MP, NQ, AC, BD đồng quy 2.5 Một số toán chứng minh điểm cố định Nhận xét: Ta chứng minh đường thẳng cần xét qua điểm cực đường thẳng cố định Bài toán 1: Cho đường tròn (O) đường thẳng d nằm ngồi (O) Một điểm S chạy (O) Từ S ta kẻ tới (O) hai tiếp tuyến SA, SB (A, B tiếp điểm) Chứng minh S chạy d AB ln qua điểm cố định Nhận xét: Bài toán xuất đường tiếp tuyến SA SB đường tròn (O), sử dụng cực đối cực để giải toán cách ngắn gọn, hiệu Lời giải A O d B S Xét cực đối cực (O) Gọi I cực d, d cố định nên I cố định S∈d Đường đối cực S qua cực d hay AB qua I cố định Bài tốn 2: Từ điểm P nằm ngồi đường tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến PA PB tới đường tròn (O) Từ điểm B hạ đường vng góc BD với đường kính AC Chứng minh PC qua trung điểm BD Nhận xét: Bài toán xuất đường tiếp tuyến đường tròn, xác định cặp điểm liên hợp điều hòa tốn Lời giải P B I E C D O A Gọi I giao điểm PC BD Kéo dài PB cắt AC điểm E Ta có: Hai điểm B E liên hợp với đường tròn (O) Mà BD⊥CE nên đường đối cực điểm E đường tròn (O) đường thẳng BD Vậy hai điểm E D liên hợp với (O) Nên suy (EDCA) = -1 hay P(EDCA) = -1 Mà ta có PA // BD suy IB = ID Vậy PC qua trung điểm BD Bài tốn 3: Cho đường (O) đường kính AB đường thẳng d vng góc với AB I ngồi đường tròn Điểm M thay đổi (O) MA MB cắt d P Q; QA cắt (O) N Chứng minh MN qua điểm cố định Nhận xét: Giả thiết tốn có đường tròn đường thẳng d cố định, điều làm xuất suy nghĩ điểm cố định cần tìm cực đường thẳng cố định đường tròn cho trước Do đó, khai thác tính chất cực đường đối cực đường tròn hướng tiếp cận toán Lời giải d Q I M A E O B N P Đặt Xét ∆BQP ta có: ( chắn nửa đường tròn) A trực tâm ∆BQP hay Mà (chắn nửa đường tròn) Mặt khác ta có: P, N, B thẳng hàng QE đường đối cực P đường tròn (O) nên E P liên hợp với đường tròn (O) Mà Suy ra: Đường đối cực E QP E cố định PQ cố định Vậy MN qua điểm E cố định Bài tốn 4: Cho góc xOy cố định điểm A cố định nằm tia Ox Đường tròn (I) thay đổi ln tiếp xúc với với hai tia Ox, Oy Gọi tiếp điểm (I) Ox, Oy B, C Từ A ta kẻ tiếp tuyến AD tới (I) (D tiếp điểm , D khác B) OI cắt BD E Gọi d đường thẳng qua I vng góc với CE Chứng minh (I) di động (thỏa mãn điều kiện tốn) d ln qua điểm cố định Lời giải x A d B E I D F O C Xét cực đối cực (I) d cắt Oy F Ta thấy: Đường đối cực F CE qua E Đường đối cực E qua F (1) Đường đối cực A BD qua E Đường đối cực E qua A (2) Từ (1) (2), suy ra: AF đường đối cực E AF EI y Mà EI phân giác góc xOy nên F cố định Bài tốn 5: Cho đường tròn (O) dây cung AB Từ trung điểm I dây cung AB kẻ hai dây cung MN PQ Các đường thẳng MP NQ cắt dây cung AB J K Chứng minh I trung điểm JK Nhận xét: Đây toán quen thuộc, chứng minh thơng qua tam giác đồng dạng góc Tuy nhiên, sử dụng khái niệm đường đối cực giúp lời giải trở nên hiệu Lời giải Q M O A J K I B N P E D C x Gọi D giao điểm hai tiếp tuyến A B đường tròn (O) Khi đó, ta có AB đường đối cực điểm D đường tròn (O) I D lhai điểm liên hợp với đường tròn (O) Kẻ Dx ⊥ OI suy : Dx đường đối cực điểm I (O) Mặt khác, I C hai điểm liên hợp với (O) nên C ∈ Dx Gọi E giao điểm PQ Dx Khi hai điểm E I liên hợp với (O) (PQIE) = -1 hay C(PQIE) = -1 Mà ta có JK // Cx suy IJ = JK Vậy I trung điểm đoạn thẳng JK Bài toán 6: Trong mặt phẳng cho đường (O) cố định bán kính R Cho A, B hai điểm cố định nằm cố định đường tròn (O) cho điểm A, B, O không thẳng hàng Xét điểm C nằm C đường tròn (O), C khơng trùng với A B Dựng đường tròn C; dựng đường tròn qua A tiếp xúc với đường thẳng BC qua B tiếp xúc với đường thẳng AC C Hai đường tròn cắt điểm thứ hai D khác C Chứng minh rằng: a) CD R b) Đường thẳng CD qua điểm cố định, điểm C di động đường tròn (O) cho C khơng trùng A B Lời giải C O O D S A O B a) Ta có: Tương tự, ta có: O C Mà hình bình hành, nên qua trung điểm CD nên qua trung điểm OC // OD Mặt khác: CD nên CD b) Ta có: R CD OC (=R) (DA,DB) ≡ (DA,DC) + (DC,DB) ≡ A, D, O, B nội tiếp đường tròn Ta có: OD, AB, tiếp tuyến C (O) trục đẳng phương cặp đường tròn (ADOB) (COD), (O) (ADOB), (O) (COD) Do đường nói đồng quy điểm S Xét cực đối cực (O) Vì đường đối cực S phải qua C vng góc với OS nên CD đường đối cực S Vì S thuộc AB cố định nên CD qua cực AB điểm cố định Bài toán 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D D’ chân hai đường phân giác góc A Gọi P giao điểm tiếp tuyến (O) B C Chứng minh cực đường thẳng AP (O) trung điểm DD’ Lời giải A O D’ E B C D P Gọi E trung điểm DD’ Ta có: Đường đối cực điểm P đường thẳng BC qua E Do E P hai điểm liên hợp với đường tròn (O) Mặt khác, AD đường phân giác góc (1) AD ⊥ A D’ Nên ta có (D’DBC) = -1 (chùm tâm A) Vì E trung điểm DD’ nên theo hệ thức Newton, ta có: Xét ∆ADD’ với AE đường trung tuyến Ta có: AE = ED = ED’ (3) Từ (2) (3) ta suy ra: AE tiếp tuyến (O) điểm A Do đó, E A liên hợp với đường tròn (O) (4) Từ (1) (4) suy ra; đường đối cực điểm E đường tròn (O) đường thẳng AP Như vậy, chương khóa luận trình bày ứng dụng cực đường đối cực giải tốn hình học phẳng như: chứng minh tính thẳng hàng, chứng minh tính song song, chứng minh tính vng góc, chứng minh điểm cố định, chứng minh đồng quy Có thể nói, với hệ thức liên quan đến hàng điểm điều hòa tính chất đường đối cực áp dụng để giải nhiều lớp toán với lời giải đơn giản thú vị KẾT LUẬN Việc sử dụng cực đối cực vào chương trình phổ thông công cụ hữu hiệu để giải tốn hình học Đặc biệt tốn liên quan đến tính vng góc, song song, đồng quy, thẳng hàng, điểm cố định, Trên sở nghiên cứu ứng dụng cực đối cực giải tốn hình học phẳng, khóa luận thu số kết sau: Hệ thống hóa số vấn đề sở lý thuyết liên quan đến cực đường đối cực hàng điểm điều hòa, tỉ số kép, chùm đường thẳng, chùm đường thẳng điều hòa, tứ giác toàn phần, Đặc biệt, lý thuyết cực đối cực trình bày chương để làm rõ khái niệm phép đối cực, sở cho việc vận dụng để chứng minh tốn đồng quy, vng góc, song song, thẳng hàng, điểm cố định Làm rõ tính chất liên quan đến cực đối cực: tính chất tứ giác tồn phần, chùm đường thẳng điều hòa đường đối cực đường tròn chứng minh tốn hình học Tuyển chọn phân loại dạng tốn hình học có sử dụng cực đối cực giải ccác tốn chứng minh vng góc, chứng minh thẳng hàng, chứng minh song song, chứng minh đồng quy, chứng minh điểm cố định Đối với dạng tốn trên, khóa luận đưa hệ thống tốn minh họa điển hình, phân tích lợi việc sử dụng cực đối khái niệm liên quan giải toán Đồng thời đưa số nhận xét cách chứng minh tốn song song, vng góc, thẳng hàng, đồng quy, điểm cố định, thông qua cực đối cực TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương (2012), Hình học sơ cấp thực hành giải tốn, NXB Đại học Sư phạm [2] Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình (2014), Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 10, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Mộng Hy (1996), Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục [4] Đàm Văn Nhỉ, Văn Đức Chín, Đảo Ngọc Dũng, Phạm Minh Phương, Trần Trung Tình, Nguyễn Anh Tuấn (2015), Hình học sơ cấp, NXB Thơng tin Truyền thông [5] Nguyễn Văn Nho (2013), Tuyển tập Olympic tốn học nước Đơng Âu, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Đăng Phất (2005), Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải tốn hình học, NXB Giáo dục [7] Đỗ Thanh Sơn (2006), Phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục [8] Trần Văn Tấn (2010), Các chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi Trung học sơ sở, NXB Giáo dục [9] Đào Tam (2012), Hình học sơ cấp, NXB Đại học Sư phạm [10] Tạp chí tốn học tuổi trẻ, NXB Giáo dục ... dung hình thức khóa luận Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: nghiên cứu kiến thức số dạng tốn hình học phẳng sử dụng cực đối cực - Phạm vi: ứng dụng cực đối cực giải số dạng tốn hình học phẳng. .. dụng cực đối cực Việc vận dụng cực đối cực vào giải số dạng tốn hình học phẳng giúp học sinh tăng cường khả tư sáng tạo, góp phần phát huy tính tích cực, chủ động giải tốn Bên cạnh đó, cực đối cực. .. có sử dụng cực đối cực để giải Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu kiến thức liên quan đến đề tài phân loại nội dung - Tuyển chọn giới thiệu toán sử dụng cực đối cực, so sánh ưu điểm sử dụng cực đối