Ph-ơng pháp ở phần này hữu ích với những bài toán quỹ tích có đoạn thẳng. Ng-ợc lại với phần trên, ta sẽ quy bài toán quỹ tích về bài toán chứng minh đ-ờng thẳng đi qua điểm cố định.
Bài toán 1:
Cho đ-ờng tròn (O;R) và điểm A cố định nằm trong đ-ờng tròn. Điểm B di động trên đ-ờng tròn (O). Qua O vẽ đ-ờng thẳng vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại B của đ-ờng tròn tại C.
Tìm tập hợp điểm C.
Lời giải:
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn
A B
O C
Xét cực và đối cực với (O).
Do BC là đ-ờng đối cực của B nên đ-ờng đối cực của C là đ-ờng qua B và vuông góc với CO. Hay AB chính là đ-ờng đối cực của C.
Gọi d là đ-ờng đối cực của A. Vì A là điểm cố định nên d cố định. Vì đ-ờng đối cực của C luôn đi qua A nên C d.
* Phần đảo: A B O d C' K
Theo cách dựng đ-ờng đối cực của 1 điểm thì ta có d là cực của A. Với điểm C’ bất kỳ trên d, nối C’O.
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với OC’ cắt (O) tại B. Ta cần chứng minh CB là tiếp tuyến với (O) tại B.
Thật vậy : d là đường đối cực của A, C’ d
đường đối cực của C’ qua A và vuông góc với C’O hay chính là AB. Mà B (O).
C’B là tiếp tuyến với (O) tại B.
Nh- vậy quỹ tích C là đ-ờng đối cực của A.
Bài toán 2:
Trong mặt phẳng cho 2 đ-ờng tròn cố định (O1), (O2) tiếp xúc ngoài
với nhau tại M và bán kính đ-ờng tròn (O2) lớn hơn bán kính đ-ờng tròn
(O1). Xét điểm A nằm trên (O2) sao cho O1, O2, A không thẳng hàng. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC tới (O1) (B, C là tiếp điểm). Các đ-ờng thẳng
MB, MC cắt lại đ-ờng tròn (O2) t-ơng ứng tại E, F. Gọi D là giao điểm của
EF và tiếp tuyến tại A của (O2).
Chứng minh rằng D di động trên 1 đ-ờng thẳng cố định khi A di động trên (O2) sao cho 3 điểm O1, O2, A không thẳng hàng.
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn Lời giải: O1 O2 A B C M E F D G H AM cắt lại (O1) tại G.
Tiếp tuyến của (O1) tại G, M cắt nhau ở H. Xét cực và đối cực đối với (O1).
Ta thấy đ-ờng đối cực của H là MG đi qua A nên đ-ờng đối cực của A đi qua H, nói cách khác B, C, H thẳng hàng.
Trong phép vị tự tâm M biến (O2) (O1) thì : B E,C F,G A
H D qua phép vị tự ấy. Do đó D, H, M thẳng hàng.
Suy ra D luôn di động trên đ-ờng thẳng vuông góc với O1O2 tại M cố định.
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn Nh- vậy thông qua một số dạng toán có thể giải đ-ợc bằng ph-ơng pháp dùng cực và đối cực. Em nhận thấy để giải bài toán một cách dễ dàng thì phải có kĩ năng nhìn nhanh ra các cực và đối cực của nhau. Với phần lí thuyết rất ngắn gọn, dễ hiểu nên việc vận dụng cực và đối cực trở nên rất hiệu quả, cho lời giải ngắn gọn đẹp mắt.
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn