Bài toán 1:
Cho đ-ờng tròn (O; R) và hai điểm P, Q cố định (P nằm ngoài (O), Q nằm trong (O). Dây cung AB của (O) luôn đi qua Q. PA, PB lần l-ợt giao (O) lần thứ hai tại D, C.
Chứng minh rằng : CD luôn đi qua một điểm cố định.
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn O P Q A B D C E F
Gọi E là giao điểm thứ hai khác P của PQ với đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác PAB, CD giao PQ tại F.
Ta có PQ / (O) = OQ - R = QA . QB = QP . QE2 2
Mà P, Q cố định nên QP = const. QE = const.
E cố định.
Mặt khác : PDC = PBA = PEA Tứ giác DAEF nội tiếp.
Suy ra : PO - R = PD . PA = PE . PF2 2
Do P, E cố định nên PE= const PF =const Do đó F cố định
Vậy CD luôn đi qua điểm F cố định.
Bài toán 2:
Cho đ-ờng tròn (O) và hai điểm A, B cố định. Một đ-ờng thẳng quay quanh A cắt (O) tại M, N.
Chứng minh rằng tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp BMN thuộc một
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn Lời giải O A B N M I C
Gọi I là tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp MNB. Gọi C là giao điểm của AB và (I). Khi đó ta có:
A / (I) A / (O)
P = AC . AB = AM . AN = P (không đổi vì A, (O) cố định).
Suy ra AC = PA / (I) AB
Vì A, B cố định và C thuộc AB nên từ hệ thức trên ta có C cố định. Suy ra I thuộc đ-ờng trung trực của BC cố định.
Bài toán 3:
Cho đ-ờng tròn (O) và đ-ờng thẳng không cắt (O). M là một điểm
chạy trên . Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới (O). Chứng minh rằng
AB luôn đi qua một điểm cố định.
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn O M A B H L I K
Gọi H là hình chiếu của O trên . Qua H kẻ các tiếp tuyến HK, HL tới đ-ờng tròn. Đặt I = OH KL. (1)
Ta có: tứ giác MAOH nội tiếp (vì MAO = MHO = 90 ). 0 Tứ giác MHBO nội tiếp (vì 0
MHO = MBO = 90 )
Suy ra A, M, H, B, O cùng thuộc một đ-ờng tròn đ-ờng kính MO, ta đặt là (O1).
Tứ giác OKHL nội tiếp (vì OKH = OLH = 90 ). 0
O, K, H, L cùng thuộc một đ-ờng tròn đ-ờng kính OH, ta đặt là (O2). Khi đó: trục đẳng ph-ơng của (O) và (O1) là AB.
Trục đẳng ph-ơng của (O) và (O2) là KL. Trục đẳng ph-ơng của (O1) và (O2) là OH. Vậy AB, KL, OH đồng quy. (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB luôn đi qua điểm I cố định.
Bài toán 4:
Cho (O1; R1) tiếp xúc ngoài với (O2; R2) tại M (R2> R1)). Xét điểm A di động trên đ-ờng tròn sao cho A, O1, O2 không thẳng hàng. Từ A kẻ tiếp
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn
tuyến AB, AC tới (O1). Các đ-ờng thẳng MB, MC cắt lại (O2) tại E, F. D là
giao điểm của EF với tiếp tuyến tại A của (O2).
Chứng minh rằng D di động trên một đ-ờng thẳng cố định. Lời giải O2 O1 A B C M E F D G H
Qua M kẻ tiếp tuyến chung của (O1) và (O2). Ta có : MCA = CMy = FAM
Do đó ΔFAM ~ FCAΔ (g.g).
FA = FM . FC = FO - R2 12 12 (1) T-ơng tự ta có: EA = EO - R (2) 2 12 12
Coi (A; 0) là đ-ờng tròn tâm A, bán kính 0 thì từ (1) và (2) ta đ-ợc EF là trục đẳng ph-ơng của (A; 0) và (O1).
Mà D nằm trên EF nên DA = DO - R 2 12 12
1 2
D / (O ) D / (O ) P = P
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn Vậy D nằm trên trục đẳng ph-ơng của hai đ-ờng tròn cố định (O1) và (O2).
* Nhận xét:
Bài toán này đã đ-ợc trình bày theo cả hai ph-ơng pháp, đó là dùng cực và đối cực và ph-ơng tích đ-ờng tròn. Cả hai ph-ơng pháp đều đ-a ra lời giải ngắn gọn, dễ hiểu.