Bài toán 1:
Cho tam giác ABC. Một đ-ờng thẳng song song với BC cắt AB, AC tại D và E. Gọi P là một điểm bên trong tam giác ADE, F và G là giao điểm của DE với BP và CP. Đ-ờng tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác PDG, đ-ờng tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt nhau tại điểm thứ hai là Q.
Chứng minh rằng A, P, Q thẳng hàng. Lời giải A B C D E P F G O I Q M N
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn Gọi M là giao điểm thứ hai của AB và (PDG), N là giao điểm thứ hai của AC và (PEF).
Ta có: AMP = PGD (vì đều bằng một nửa số đo cung nhỏ PD). PGD = PCB (hai góc đồng vị).
Suy ra AMP = PCB 0
PMB + PCB = 180
Tứ giác PMBC nội tiếp. T-ơng tự ta cũng có tứ giác PNCB nội tiếp.
Suy ra 5 điểm P, M, N, B, C cùng thuộc một đ-ờng tròn. Khi đó tứ giác MNCB nội tiếp, suy ra AM . AB = AN . AC.
Mà AD = AE
AB AC (Định lý Thalet). Suy ra AM . AD = AN . AE
Suy ra A thuộc trục đẳng ph-ơng của hai đ-ờng tròn (PDG) và (PEF). Khi đó A, P, Q thẳng hàng.
Bài toán 2:
Trên đ-ờng thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó). Đ-ờng tròn đ-ờng kính AC và BD cắt nhau tại X, Y. Đ-ờng thẳng XY cắt BC tại Z. Lấy P là một điểm trên XY khác Z. Đ-ờng thẳng CP cắt đ-ờng tròn đ-ờng kính AC tại điểm thứ hai là M, và BP cắt đ-ờng tròn đ-ờng kính BD tại điểm thứ hai là N.
Chứng minh rằng AM, DN, XY đồng quy.
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn A C B D Y X Z P M N Q
Gọi Q, Q lần l-ợt là giao điểm của DN và AM với XY. Ta cần chứng minh Q Q .
Tứ giác Q MCZ nội tiếp, suy ra PM . PC = PQ . PZ Tứ giác NQZB nội tiếp, suy ra PQ . PZ = PN . PB
Mà P thuộc XY là trục đẳng ph-ơng của đ-ờng tròn đ-ờng kính AC và đ-ờng tròn đ-ờng kính BD nên PN . PB = PX . PY = PM . PC
Suy ra PQ . PZ = PQ . PZ Q Q Vậy XY, AM, DN đồng quy.
Bài toán 3:
Cho đ-ờng tròn tâm O đ-ờng kính AB. Một điểm H thuộc đoạn AB. Đ-ờng thẳng qua H và vuông góc với AB cắt đ-ờng tròn tại C. Đ-ờng tròn đ-ờng kính CH cắt AC, BC và (O) lần l-ợt tại D, E và F.
a) Chứng minh rằng AB, DE, CF đồng quy.
b) Đ-ờng tròn tâm C bán kính CH cắt (O) tại P và Q. Chứng minh rằng
P, D, E, Q thẳng hàng.
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn A O B I H C D E F P Q a) Ta có: 2
CA . CD = CH = CB . CE suy ra tứ giác ADEB nội tiếp.
Xét các đ-ờng tròn (ADEB), (O) và đ-ờng tròn đ-ờng kính CH thì DE, AB, CF lần l-ợt là trục đẳng ph-ơng của các cặp đ-ờng tròn trên nên chúng đồng quy.
b) Ta có : PQ là trục đẳng ph-ơng của (C) và (O) nên OC PQ . Kéo dài CH cắt (O) tại I.
Ta có OC DE.
Hơn nữa H chính là tâm đẳng ph-ơng của ba đ-ờng tròn (O), (C) và đ-ờng tròn đ-ờng kính CH. Suy ra PQ đi qua H.
Vậy DE, PQ cùng đi qua H và cùng vuông góc với OC nên trùng nhau. Hay D, E, P, Q thẳng hàng.
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn
Bài toán 4:
Cho tam giác ABC. Các phân giác ngoài góc A, B, C lần l-ợt cắt cạnh đối diện tại A1, B1, C1.
Chứng minh rằng A1, B1, C1 thẳng hàng và nằm trên đ-ờng vuông góc
với đ-ờng thẳng nối tâm đ-ờng tròn nội tiếp và tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải O A B C B1 A1 C1 B2 A2 C2 I J
Gọi A2B2C2 là tam giác tạo bởi 3 phân giác ngoài góc A, B, C. Ta có AA2 B2C2, BB2 A2C2, CC2 A2B2.
Tứ giác BC2B2C nội tiếp nên A C . A B = A B . A C1 2 1 2 1 1
T-ơng tự B C . B A = B A . B C1 2 1 2 1 1 , C B . C A = C A . C B1 2 1 2 1 1
Suy ra A1, B1, C1 cùng nằm trên trục đẳng ph-ơng của đ-ờng tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC và đ-ờng tròn (J) ngoại tiếp tam giác A2B2C2.
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn Mà (O) là đ-ờng tròn Ơle của tam giác A2B2C2, AA2, BB2, CC2 giao nhau tại trực tâm I của tam giác A2B2C2 (cũng đồng thời là tâm đ-ờng tròn nội tiếp tam giác ABC).
I, O, J thẳng hàng.
Vậy đ-ờng thẳng qua A1, B1, C1 vuông góc với OI.
Bài toán 5:
Cho tứ giác ABCD; AB CD E; AD BC = F; H, I, J, K theo thứ
tự là trực tâm các tam giác EBC, FDC, EDA, FBA.
Chứng minh rằng H, I, J, K thẳng hàng (đ-ờng thẳng Stai-nơ). Lời giải A O B I H C D E F P Q B F E A C D H I J K X Y N P M
Gọi X, Y là trung điểm của AC, BD.
(X), (Y) là các đ-ờng tròn đ-ờng kính AC, BD. Giả sử CM, BN là các đ-ờng cao của CBE. Khi đó HC . HM = HB . HN PH / (X) = PH / (Y).
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn T-ơng tự nh- vậy, mỗi một trong ba điểm I, J, K có cùng ph-ơng tích đối với (X), (Y).
Nh- vậy ta có H / (X) H / (Y) I / (X) I / (Y) P = P P = P
HI là trục đẳng ph-ơng của (X), (Y). HI XY.
T-ơng tự nh- vậy ta có HJ XY; HK XY
Suy ra H, I, J, K thẳng hàng.
Kết luận:
Nh- vậy qua các cách giải trên ta nhận thấy các điểm thẳng hàng th-ờng nằm trên trục đẳng ph-ơng hoặc liên quan đến trục đẳng ph-ơng của hai đ-ờng tròn. Đi tìm lời giải chúng ta th-ờng tìm ra đ-ờng tròn xuất hiện trong bài toán, sau đó tìm trục đẳng ph-ơng của hai đ-ờng tròn. Tìm ra mối liên hệ với các điểm cần chứng minh chúng thẳng hàng.
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn Bài tập tham khảo
Cực và đối cực
Bài 1:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). M, N lần l-ợt là trung điểm của AB, CD. (ABN) cắt lại CD ở P. (CDM) cắt lại CD ở Q.
CMR AC, PQ, BD đồng quy.
Bài 2:
Cho ABC, đ-ờng nội tiếp tiếp xúc BC, CA, AB lần l-ợt tại D, E, F. Đ-ờng tròn nội tiếp D, E, F tiếp xúc với EF, FD, DE lần l-ợt tại M, N, P Chứng minh rằng: AM, BP, CN đồng quy.
Bài 4:
Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp (O). Đ-ờng thẳng qua A vuông góc với AB cắt BO ở M. Đ-ờng thẳng qua A vuông góc với AD cắt DO ở N.
CMR: MN AC.
Bài 5:
Cho tam giác ABC với các đ-ờng cao BB , CC . Gọi E, F lần l-ợt là trung điểm của AC, AB. EF cắt BB ở K. Chứng minh rằng AK vuông góc với đ-ờng thẳng Ơle của tam giác ABC.
2. Ph-ơng tích đ-ờng tròn
Bài 6:
Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp (O,R), vừa ngoại tiếp (I,r).
Đặt OI = d. CMR: 1 2 + 1 2 = 12
(R - d) (R + d) r (định lý Fuss).
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn Cho ABC, bên ngoài tam giác này vẽ các tam giac cân BDC, CAE, ABF có các cạnh đáy t-ơng ứng là BC, CA, AB.
CMR: 3 đ-ờng thẳng vuông góc kẻ từ A, B, C t-ơng ứng xuống EF, FD, DE đồng quy.
Bài 8:
Cho (O), đ-ờng kính AB, CD. Tiếp tuyến của (O) tại B giao AC tại E, DE giao (O) lần thứ 2 tại F.
CMR AF, BC, DE đồng quy.
Bài 9:
Cho ABC, đ-ờng tròn qua B, C giao AB, AC lần l-ợt tại C1, B1. Gọi giao điểm của BB1 và CC1 là P, AP giao BC tại A1. Đ-ờng thẳng qua A1 song song với B1C1 giao AB, AC lần l-ợt tại M, N, B1C1 giao BC tại Q.
CMR: đ-ờng tròn ngoại tiếp QMN đi qua một điểm cố định.
Bài 10 :
Cho hai đ-ờng tròn (O1), (O2) nằm ngoài nhau. MN là một tiếp tuyến chung ngoài, PQ là 1 tiếp tuyến chung trong.
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn H-ớng dẫn giải: Bài 1: O S A B D C M N P Q I
Gọi S là giao điểm của AB, CD. d là đ-ờng đối cực của S đối với (O), I là giao điểm của AC và BD thì dễ thây I thuộc d.
Ta thấy SM. SQ = SC . SD = SA . SB
Ta chứng minh Q thuộc d, P thuộc d, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài 2:
Gọi O, I lần l-ợt là tâm đ-ờng tròn nội tiếp ABC, DEF. Gọi H, K, L lần l-ợt là giao điểm của các cặp đ-ờng thẳng (MP, EF), (MN, FD), (MP, DE).
Theo bài toán 1 ta có H, K, L thẳng hàng (*)
Mặt khác: AM là đ-ờng đối cực của H đối với (O) (1) BP là đ-ờng đối cực của K đối với đ-ờng tròn (O) (2)
CN là đ-ờng đối cực của L đối với đ-ờng tròn (O) (3) Từ (*), (1), (2), (3) AM, BP, CN đồng quy.
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn O A B C D I N M
Sử dụng tính chất góc nội tiếp để chứng minh M, O, N thẳng hàng. Sau đó sử dụng công thức đ-ờng trung tuyến trong ΔIMN, ta đi đến điều phải chứng minh. Bài 5: A B C E F B’ C’ K H G I
Ta sẽ xét cực và đối cực đối với đ-ờng tròn Ơ-le của tam giác (kí hiệu là (S) với S tâm).
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn Gọi I là giao điểm của FB và EC , G là giao điểm của CF và BE, H là giao điểm của BB và CC .
Ta chứng minh H, G, I thẳng hàng, do đó SI chính là đ-ờng thẳng Ơ-le cua tam giác ABC.
Mặt khác, chú ý E, F, B , C cùng nằm trên (S) thì suy ra AK chính là đ-ờng đối cực của I, suy ra SI vuông góc với AK .
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Để chứng minh đ-ờng thẳng qua A1, B1, C1 vuông góc với OI ta chứng minh I, O, J thẳng hàng.
Bài 6:
Đ-ờng thẳng qua C vuông góc với DE là trục đẳng ph-ơng của (D, DB) và (E, EA).
T-ơng tự ta có đ-ờng thẳng qua A vuông góc với EF là trục đẳng ph-ơng của (E,EA) và (F,FA). Các trục đẳng ph-ơng này đồng quy tại tâm đẳng ph-ơng của 3 đ-ờng tròn. Bài 7: O A B C D E F
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn Ta có AF, BC là trục đẳng ph-ơng của (O) và (C1), (O) và C2). Ta chứng minh đ-ợc OA, OB lần l-ợt là tiếp tuyến của (C1), (C2), OA2 = OB2
Do đó OE là trục đẳng ph-ơng (C1) và (C2).
Theo định nghĩa về tâm đẳng ph-ơng của 3 đ-ờng tròn ta có AF, BC, OE đồng quy.
Bài 8:
Gọi I là ttrung điểm BC A Q . A I = A B . A C1 1 1 1 (1) Ta sẽ chứng minh tứ giác MBNC nội tiếp
A B . A C = A M . A N1 1 1 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác QMIN nội tiếp.
Vậy đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác QMN luôn đi qua trung điểm I của BC là một điểm cố định. Bài 9: Đặt K = (MN) (PQ), L = (MP) (NQ), ta có MP NQ. Gọi (C1), (C2) là các đ-ờng tròn đ-ờng kính MN, PQ Suy ra 1 2 L / (C ) L / (C ) P = P = 0. Mặt khác : 1 1 1 2 O / (C ) O / (C ) P = P , t-ơng tự 2 1 2 2 O / (C ) O / (C ) P = P Suy ra L, O1, O2 thẳng hàng , tức là MP, NQ, O1O2 đồng quy.
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn Kết luận
Sau một thời gian nghiên cứu, tìm hiểu về chuyên đề: “Cực và đối cực -
ph-ơng tích đ-ờng tròn và ứng dụng” em thấy mình tích lũy thêm được nhiều
kinh nghiệm về đề tài này đồng thời càng nhận thức rõ hiệu quả của việc ứng dụng cực và đối cực, ph-ơng tích đ-ờng tròn trong giải toán. Qua đó em thấy đ-ợc sự đa dạng, phong phú của Toán học nói chung và hình học nói riêng.
Bằng những cố gắng, nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy h-ớng dẫn: Đinh Văn Thủy, em đã hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình và em đã nghiên cứu đ-ợc ứng dụng của cực và đối cực đối với một số dạng toán:
-Bài toán về quan hệ vuông góc và song song giữa 2 đ-ờng thẳng -Chứng minh tính thẳng hàng và đồng quy.
-Chứng minh đ-ờng thẳng đi qua điểm cố định. -Liên quan tới bài toán quỹ tích.
ứng dụng của ph-ơng tích đ-ờng tròn đối với một số dạng toán: -Chứng minh một số hệ thức hình học.
-Chứng minh tập hợp điểm cùng thuộc một đ-ờng tròn. -Chứng minh điểm cố định, đ-ờng cố định.
-Chứng minh tính thẳng hàng, đồng quy.
Mặc dù đã hết sức cố gắng nh-ng do trình độ kinh nghiệm của bản thân còn nhiều hạn chế nên đề tài : “Cực và đối cực - ph-ơng tích đ-ờng tròn và
ứng dụng” của em khó tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận đ-ợc ý
kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn để đề tài của em đ-ợc hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên thực hiện Phan Thị Quyên
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn
Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Ch-ơng 1: các kiến thức cơ bản ... ...1
1.1 Cực và đối cực ... ...1
1.1.1 Định nghĩa và định lý ... ...1
1.1.2 Một số cách xác định đ-ờng đối cực thông dụng ... ...1
1.2 Ph-ơng tích của một điểm đối với đ-ờng tròn ... ...4
1.2.1 Định nghĩa và định lý ... ...4
1.2.2 Trục đẳng ph-ơng của hai đ-ờng tròn - tâm đẳng ph-ơng ...6
Ch-ơng 2: Cực và đối cực đối với đ-ờng tròn ... ...9
2.1: Bài toán về quan hệ vuông góc và song song...9
2.2 Chứng minh tính thẳng hàng và đồng quy ... ...14
2.3 Chứng minh đ-ờng thẳng đi qua điểm cố định ... ...20
2.4. Liên quan tới bài toán quỹ tích ... ...22
Ch-ơng 3: Ph-ơng tích đ-ờng tròn ... ...27
3.1. Chứng minh một số hệ thức hình học ... ...27
3.2. Chứng minh tập hợp điểm cùng thuộc một đ-ờng tròn ... ...31
3.3. Chứng minh điểm cố định, đ-ờng cố định ... ...36
3.4. Chứng minh tính thẳng hàng, đồng quy ... ...41
Bài tập tham khảo ... ...48
Hướng dẫn giải...50
Phan Thị Quyờn K33B Khoa Toỏn