Luận Văn Vectơ trong mặt phẳng với các bài toán

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 LỜI CẢM ƠN Lời em muốn nói em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Bùi Văn Bình, khoa Tốn trường ĐH Sư phạm Hà Nội Trong thời gian thực luận văn, bận rộn công việc thầy dành nhiều thời gian tâm huyết việc hướng dẫn em Thầy cung cấp cho em nhiều hiểu biết kiến thức để hồn thành tốt khóa luận Trong q trình em thực luận văn, thầy ln định hướng, góp ý sửa chữa chỗ sai giúp em không bị lạc lối biển kiến thức Cho đến hôm nay, luận văn tốt nghiệp em hồn thành, chình nhờ nhắc nhở, đơn đốc, giúp đỡ nhiệt tình thầy Em chân thành cảm ơn thầy cô khoa tốn, thầy trường giảng dạy, giúp đỡ em năm học qua Chính thầy cô xây dựng cho chúng em kiến thức tảng kiến thức chuyên môn để em hồn thành luận văn Do điều kiện thời gian tính chất đề tài chắn khơng tránh khỏi sai sót Em mong bảo đóng góp thầy bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Một lần em xin cảm ơn thầy Bùi Văn Bình hướng dẫn em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Ngày tháng năm 2012 Sinh viên Đặng Thị Lý GVHD: Thầy Bùi Văn Bình Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 LỜI CAM ĐOAN Do nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân, giúp đỡ, hướng dẫn tận tình thầy Bùi Văn Bình q trình hồn thành khóa luận tơi xin cam đoan khóa luận khơng trùng với kết tác giả khác Nếu trùng tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Rất mong nhận đóng góp ý kiến bạn đọc để khóa luận hồn thiện Sinh viên Đặng Thị Lý GVHD: Thầy Bùi Văn Bình Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU NỘI DUNG PHẦN 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ PHẦN 2: VEC TƠ VỚI CÁC BÀI TẬP 14 HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG 14 CHƯƠNG I: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TOÁN 14 CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 14 CHƯƠNG II: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TOÁN 22 CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC 22 CHƯƠNG III: VECTƠ VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH 33 ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH 33 CHƯƠNG IV: VECTƠ VÀ BÀI TOÁN NHẬN DẠNG 40 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 GVHD: Thầy Bùi Văn Bình Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Hình học phận cấu thành nên Toán học Đây mơn học thú vị tương đối khó học sinh Trong chương trình mơn tốn trung học sở em dược làm quen với khái niệm đại lượng vô hướng Khi lên bậc trung học phổ thơng khái niệm tiếp tục mở rộng, có khái niệm mới, vectơ ví dụ Khi mở rộng đoạn thẳng vơ hướng sang đoạn thẳng có hướng ta có khái niệm vectơ Khái niệm vectơ theo suốt em trình học tập trường trung học phổ thông Thông thường mở rộng khái niệm đồng thời ta có phương pháp mới, cơng cụ để giải tốn Khái niệm vectơ đời cho ta phương pháp để giải toán cách hiệu Nhờ có phương pháp tốn chứng minh tính song song, vng góc, thẳng hàng, nói chung giải cách dễ dàng ngắn gọn Với mong muốn trên, giúp đỡ thầy Bùi Văn Bình, em mạnh dạn chọn đề tài “ vectơ mặt phẳng với toán: hai đường thẳng song song; hai đường thẳng vng góc; điểm cố định đường thẳng; toán nhận dạng” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Qua dạng tốn, ví dụ tham khảo mẫu…sẽ cho học sinh thấy phần quan trọng việc sử dụng vectơ vào tập hình học phẳng, đặc biệt tập hình học chứng minh yếu tố song song, yếu tố vng góc, điểm cố định đường thẳng toán nhận dạng GVHD: Thầy Bùi Văn Bình Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Với dạng tốn có phần sở lí thuyết phương pháp giải, ví dụ áp dụng để học sinh tự giải tập đề nghị Như học sinh coi phương pháp giải tốn có hiệu quả, cách suy nghĩ mẻ hình học Đối tượng , phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu vectơ vấn đề áp dụng vào giải tập hình học Do khn khổ thời gian có hạn, đề tài đề cập đến vấn đề sử dụng công cụ vectơ để giải số tập hình học, đối tượng học sinh trung học phổ thông, chuẩn bị thi Đại học, Cao đẳng, THCN Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu, phân tích tài liệu Hệ thống, khái quát vấn đề Sưu tầm giải toán, tổng kết kinh nghiệm GVHD: Thầy Bùi Văn Bình Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 NỘI DUNG PHẦN 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ I Vectơ I.1 Định nghĩa Cho đoạn thẳng AB, ta quy định B điể A điểm đầu (điểm gốc) điểm B điểm cuối (điểm ngọn), A ta bảo đoạn thẳng AB  định hướng hay gọi vectơ AB, kí hiệu là: AB   Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng AA, BB, …được gọi vectơ - không I.2 Hai vec tơ phương, hướng   Hai vectơ AB CD gọi phương chúng B A D nằm hai đường thẳng song song trùng   Hai vec tơ phương AB CD C gọi hướng, chiều từ A đến B trùng với chiều từ C đến D Kí   hiệu AB  CD   Hai vec tơ phương AB CD B gọi ngược hướng, chiều từ A đến B ngược A với chiều từ C đến D   Kí hiệu AB  CD GVHD: Thầy Bùi Văn Bình C D Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Chú ý: +) Vectơ không xem hướng với vectơ +) Hai vectơ hướng với vectơ khác vectơ khơng hai vectơ hướng với +) Ta nói hai vec tơ hướng hay ngược hướng có hai vec tơ phương I.3 Độ dài vectơ   Độ dài đoạn thẳng AB độ dài vectơ AB , kí hiệu AB  Như AB = BA = AB Theo đó, độ dài vectơ – khơng I.4 Hai vectơ Định nghĩa:   Hai vectơ AB CD gọi nhau, chúng phương   hướng độ dài Kí hiệu: AB  CD Chú ý: +) Quan hệ hai vectơ quan hệ tương đương tập vectơ Tập hợp vectơ tạo thành lớp tương đương kí hiệu chữ thường có mũi tên đầu như:     a, b, x, y,  +) Mọi vectơ – không kí hiệu  +) Nếu cho vectơ a O, có điểm A cho   OA  a I.5 Góc hai vectơ     Định nghĩa: Cho hai vectơ a, b khác Từ điểm O đó, ta vẽ     vectơ OA  a , OB  b Khi số đo góc AOB gọi số đo GVHD: Thầy Bùi Văn Bình Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2     góc hai vectơ a b Kí hiệu: ( a, b ) A  a  a  b  b B O Nhận xét:   +) Hiển nhiên ( a, b )  [O0; 1800]     +) ( a, b) = 00  a b hướng     +) ( a, b) = 1800  a b ngược hướng     +) ( a, b) = 900 ta nói hai vectơ a b vng góc với nhau,   kí hiệu a  b    Quy ước: Nếu hai vectơ a b vectơ – khơng ta có   thể xem ( a, b) có giá trị tùy ý đoạn [O0; 1800] II Các phép toán vectơ II.1 Phép cộng vectơ  Định nghĩa   Cho hai vectơ a b Lấy điểm A xác định điểm B C cho:     AB  a, BC  b  a  a B  b C  b GVHD: Thầy Bùi Văn Bình A Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2    Khi vectơ AC gọi tổng hai vectơ a b    Kí hiệu: AB  a  b Phép lấy tổng hai vectơ gọi phép cộng vectơ Chú ý:      +) Nếu a  b  vectơ b gọi vectơ đối vectơ a , kí hiệu  -a     Vectơ - a ngược hướng với vectơ a a  a Mỗi vectơ có vectơ đối  Các tính chất    Với vectơ a, b c ta có:     a  b b  a ;       (2) Tính chất kết hợp : ( ( a  b)  c  a  (b  c);      (3) Tính chất vectơ – không : a    a  a (1) Tính chất giao hốn :  Các quy tắc cần nhớ Từ định nghĩa tổng hai vectơ ta có quy tắc : a) Quy tắc tam giác : M Với ba điểm M, N, P, ta có :    MN  NP  MP N b) Quy tắc hình bình hành : P Nếu OABC hình bình hành, ta có :    OA  OB  OC B O A GVHD: Thầy Bùi Văn Bình C Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 c) Quy tắc hình hộp : Nếu ABCDA1B1C1D1 hình hộp, ta có :     AB  AD  AA1  AC1 D C A B D1 C1 A1 B1 II.2 Hiệu hai vectơ  Định nghĩa      Hiệu hai vectơ a b , kí hiệu a  b , tổng vectơ a vectơ đối      b , tức : a  b = a + (- b ) Phép lấy hiệu hai vectơ gọi phép trừ vectơ  Quy tắc ba điểm phép trừ vectơ  Nếu MN vectơ cho với điểm O bất kỳ, ta ln có :    MN  ON  OM II.3 Phép nhân vectơ với số  Định nghĩa :   Tích vectơ a với số thực k vec tơ, kí hiệu k a , xác định sau :   1) Nếu k  vectơ k a hướng với vectơ a GVHD: Thầy Bùi Văn Bình Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Mặt khác Trường ĐHSPHN2    A1 B1  OB1  OA1       m A1 B1  m.( OB1  OA1 ) = Vậy OM vng góc với A1B1 Bài tập 6: Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC vuông   A BA  BC  AB Bài tập 7: Cho điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: AB  CD AD  BC AC BD Bài tập 8: Cho tam giác ABC, hai trung tuyến BM, CN Chứng minh “ Điều kiện cần đủ để BM  CN AB2 + AC2 = BC2 ” Bài tập 9: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AB, BC, CA lấy M, N, E cho AM BN CE Chứng minh AN  ME   MB NC EA Bài tập 10: Cho ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) D trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh OE  CD Bài tập 11: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I) B’ điểm đối xứng B qua O (I) tiếp xúc với cạnh BA, BC P, Q Trên BA, BC lấy điểm K, L cho BK = CQ, BL = AP Chứng minh B’I KL GVHD: Thầy Bùi Văn Bình 31 Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 CHƯƠNG III: VECTƠ VÀ CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH TRONG MẶT PHẲNG III.1 PHƯƠNG PHÁP Một điểm hoàn toàn cố định biết tỉ số mà điểm chia đoạn cố định cho trước Do để chứng minh đường thẳng qua điểm cố định ta đường thẳng chứa điểm chia đoạn thẳng cố định theo tỉ số xác định biết +) Bước 1: Dự đoán yếu tố cố định +) Bước 2: Dựa vào phương pháp vectơ để chứng minh Ta sử dụng kết quả: - Cho trước hai điểm A, B hai số thực α,  thỏa mãn α +      Nếu có : MN   MA   MB đường thẳng MN cắt đường thẳng AB    điểm I thỏa mãn  IA   IB  Đặc biệt α =   I trung điểm AB - Cho trước ba điểm A, B, C ba số thực α, ,  thỏa mãn       Nếu     có : MN   MA   MB   MC đường thẳng MN qua điểm cố định I thỏa mãn :      IA   IB   IC  Đặc biệt       I trọng tâm ABC n - Tương tự với trường hợp n điểm Ai , i 1, n thỏa mãn  i  đường i 1 thẳng MN qua điểm cố định I thỏa mãn :     1 IA1   IA2    n IAn  GVHD: Thầy Bùi Văn Bình 32 Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 n     i IAi  i 1 III.2 VÍ DỤ Ví dụ : Cho hai điểm A, B Điểm M, N mặt phẳng thoả mãn:    MN  MA  2MB Chứng minh MN qua điểm cố định M thay đổi Chứng minh    Gọi I điểm thỏa mãn : IA  IB   Tồn điểm I cố định Từ giả thiết ta nhận        MN  MA  MB  MI  IA  MI  IB        = 3MI   IA  IB   3MI  Vậy MN qua điểm cố định I M thay đổi Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Điểm M, N mặt phẳng thỏa mãn     MN  MA  5MB  MC a) Chứng minh MN qua điểm cố định M thay đổi b) Gọi P trung điểm CN Chứng minh MP qua điểm cố định M thay đổi Chứng minh     a) Gọi I điểm thỏa mãn IA  5IB  IC   Tồn điểm I cố định Từ giả thiết ta nhận được:     MN  MA  5MB  MC       = MI  IA  MI  IB  MI  IC  GVHD: Thầy Bùi Văn Bình     33  Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2     = 5MI  IA  IB  IC    = 5MI Vậy MN qua điểm cố định I M thay đổi b) Vì P trung điểm CN nên:        MP  MC  MN  MC  MA  5MB  MC 2   = MA  5MB       Gọi J điểm thỏa mãn:    JA  JB   Tồn điểm J cố định Từ đó:    MP  MA  5MB   =   MJ = 3MJ   Vậy MP qua điểm cố định J M thay đổi Ví dụ 3: Cho góc xOy hai số dương a, b Điểm A, B hai điểm chạy Ox, Oy cho a b   Chứng minh đường thẳng AB qua OA OB điểm cố định Chứng minh Trên Ox lấy điểm X cho OX = a A Trên OY lấy điểm Y cho OY = b x K X B O GVHD: Thầy Bùi Văn Bình y Y 34 Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Dựng hình bình hành OXKY Ta có:   OK  OX  OY OX  OY   OA   OB OA OB a  b  =  OA   OB OA OB = Đặt   a b     ;    0,1 OA OB Ta có:   OK    OA  1     OB  K  AB Vậy AB qua điểm cố định K Ví dụ 4: Cho ABC Các điểm I, J di động cạnh AB, AC cho AB AC   Chứng minh IJ qua điểm cố định AI AJ Chứng minh A J I B GVHD: Thầy Bùi Văn Bình G C M 35 Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Gọi M trung điểm BC, G giao điểm AM IJ   AB AI  m AB   AI m   AC AJ  n AC   AJ n Từ giả thiết ta có: 1 nm   hay  m n nm   Giả sử IG   GJ Ta có :     AG  AI   AJ  AG        AG  AI   AJ   AG   AG      AI   AJ  1  1  m   n   AG   AB   AC  1  1 Đặt AG  x AM  (1)   x  x  x AB  AC  AB  AC 2   (2) Từ (1) (2) suy : x  m  x mn  1   n       n x  m  x    m  n   1 1    x n  m  (1   )  m.n m  n  1 x n.m   x mn 3    AG  AM  GVHD: Thầy Bùi Văn Bình 36 Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Vậy IJ ln qua G, IJ ln qua điểm cố định III.3 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài tập 1: Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Gọi A’, B’, C’ điểm đối xứng M qua trung điểm K, I, J cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy điểm N b) Chứng minh M thay di động đường thẳng MN qua trọng tâm G tam giác ABC Hướng dẫn a) Ta có KI đường trung bình tam giác MA’B’ KI đường trung bình  CAB    Do đó: AB  A' B '  IK Suy : AA’, BB’ giao trung điểm N đường Tương tự: ACA’C’ hình bình hành Suy ra: AA’, CC’ giao trung điểm N đường Vậy ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy trung điểm N đường b) chứng minh MN qua G    ' K trung điểm BC nên: MB  MC  2MK  MA        ' ta có: MA  MB  MC  MA  MB  MC  MA  MA   N trung điểm AA’ Nên  '  MA  MA  MN     Vậy ta có: MA  MB  MC  2MN (1) Mặt khác ta có G trọng tâm ABC nên:     MA  MB  MC  3MG (2) GVHD: Thầy Bùi Văn Bình 37 Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2   Từ (1) (2)  MN  MG Điều chứng tỏ M, N, G thẳng hàng Hay nói cách khác MN ln qua G với vị trí M Bài 2: Cho ABC điểm M thay đổi nằm tam giác Gọi A’, B’, C’ điểm đối xứng M qua BC, CA, AB Chứng minh M thay đổi trọng tâm tam giác A’B’C’ cố định Hướng dẫn: Chứng minh trọng tâm tam giác A’B’C’ trùng với trọng tâm tam giác ABC Bài tập3 : Cho tam giác ABC Điểm M, N mặt phẳng thỏa mãn     MN  MA  MB  MC a) Chứng minh MN qua trọng tâm G ABC M thay đổi b) Gọi P trung điểm CN Chứng minh MP qua điểm cố định GVHD: Thầy Bùi Văn Bình 38 Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 CHƯƠNG IV: VECTƠ VÀ BÀI TOÁN NHẬN DẠNG IV.1 PHƯƠNG PHÁP Phân tích định tính xuất phát từ đẳng thức vectơ giả thiết IV.2 VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho ABC Giả sử tồn điểm O cho:     OA  OB  OC (1)      OA  OB  OC  (2) Chứng minh tam giác ABC tam giác Chứng minh Từ (1)  OA = OB = OC  O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC (3) Gọi G trọng tâm ABC Từ (2) ta nhận :         OA  OB  OC  3OG  OG   O  G (4) Từ (3) (4) ta suy ABC Nhận xét : Như lời giải ví dụ : a Với giả thiết (1) (về độ dài vectơ) nhận tính chất cách điểm O với đỉnh A, B, C (tức tâm O đường tròn ngoại tiếp ABC) b Với giả thiết (2) đẳng thức vectơ nhận thêm tính chất điểm O với ABC Từ hai tính chất O khẳng định ABC tam giác Ví dụ : Cho tứ giác ABCD Giả sử tồn diểm O cho :      OA  OB  OC  OD       OA  OB  OC  OD  Chứng minh ABCD hình chữ nhật GVHD: Thầy Bùi Văn Bình 39 Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Chứng minh Từ phương trình thứ hệ, ta suy điểm O tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD (1) Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Từ phương trình thứ hai hệ ta :            OA  OB  OC  OD  2OM  2OP  OM  OP   M, P, O thẳng hàng O trung điểm MP (2)            OA  OB  OC  OD = 2ON  2OQ  ON  OQ   N, Q, O thẳng hàng O trung điểm NQ (3) Từ (2) (3) ta suy MNPQ hình bình hành A, C, O thẳng hàng O trung điểm AC B, D, O thẳng hàng O trung điểm BD Do ABCD hình bình hành (4) Từ (1) (4) ta suy ABCD hình chữ nhật Chú ý : Chúng ta khai thác giả thiết thứ hai theo cách : Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AC BD, ta có :           OA  OB  OC  OD = OA  OC  OB  OD       = 2OE  2OF     OE  OF   O trung điểm EF Kết hợp với điều kiện OA = OB ( tức O thuộc trung trực AB), suy O, E, F trùng Tức ABCD hình bình hành (5) Từ (1) (5) suy ABCD hình chữ nhật IV.3 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ GVHD: Thầy Bùi Văn Bình 40 Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Bài tập : Cho ABC có cạnh a, b, c Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự chân đường phân giác kẻ từ A, B, C    a) Tính AA1 theo AB AC     b) Chứng minh ABC AA1  BB1  CC1  Hướng dẫn a) Ta có:      BA1 c c BA1 BA AA  AB       1  1  AC b c  b BA1  AC BC AC  AB 1    AA1  AB  c   AC  AB bc  b  c   AA1  AB  AC bc bc   c) Tương tự câu a), ta được:  BB1  c  a  BC  AB cb ac  c  b  CC1   AC  BC ab ab Từ :     AA1  BB1  CC1  a c c    b      AC bc ac cb ac a c b     b      BC  bc ac ca ab   Vì vectơ AC BC hai vectơ không phương, nên đẳng thức : GVHD: Thầy Bùi Văn Bình 41 Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 a c c  b  b  c  a  c  c  b  a  c    b  a  c  b 0  b  c a  c c  a a  b a=b=c Kết luận ABC Bài tập : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q hteo thứ tự trung điểm AB, CD, BC, AD thỏa mãn : MN + PQ = (AB + BC +CD + DA) Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành Hướng dẫn Ta có :  MN  MN   2MN      MA  AD  DN     MB  BC  CN       MA  AD  DN  MB  BC  CN       = AD  BC     MN  AD  BC   MN    AD  BC  (1) Tương tự ta :  PQ   AB  CD  (2) Từ (1) (2) ta suy : MN + PQ  ( AD + BC + AB + CD) (3) Đẳng thức giả thiết có dấu “ = ” xảy (3) GVHD: Thầy Bùi Văn Bình 42 Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2    AD / / BC  dấu “ = ” xảy (2) (3)      AB / / CD  ABCD hình bình hành Bài tập 3: Cho ABC Gọi A1,B1, C1 theo thứ tự tiếp điểm đường tròn nội tiếp ABC với cạnh BC, AC, AB Chứng minh ABC     tam giác AA1 , BB1 , CC1  GVHD: Thầy Bùi Văn Bình 43 Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 KẾT LUẬN Trong luận văn em trình bày vấn đề ‘‘ véc tơ toán mặt phẳng: hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng điểm cố định, tốn nhận dạng’’ Trong trình viết em nhận giúp đỡ tận tình thầy đặc biệt thầy Bùi Văn Bình Mặc dù có nhiều cố gắng song điều kiện thời gian lực cịn hạn chế nên chắn khơng thể tránh thiếu sót Em kính mong nhận góp ý thầy bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện hơn,và đặc biệt em tích lũy thêm kiến thức cho thân Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2012 Đặng Thị Lý GVHD: Thầy Bùi Văn Bình 44 Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Mộng Hy, Các toán phương pháp vectơ phương pháp tọa độ, NXB Giáo dục Phan Huy Khải, Tốn bồi dưỡng hình học 10, NXB Hà Nội Trẩn Phương, Hình học Giải tích, NXB Hà Nội Lê Hồng Đức, Học ơn tập tốn hình học, NXB ĐHQGHN Phan Hồng Chính, Các tốn luyện thi mơn tốn tập 3, NXB Giáo dục Các sách giáo khoa hình học 10, 12 Nguyễn Gia Cốc, Ơn luyện giải Tốn Hình Học vectơ, NXB Đà Nẵng Tạp chí tốn học tuổi trẻ, NXB Giáo dục Nguyễn Văn Lộc, Phương pháp vectơ giải tốn hình học phẳng, NXB Giáo dục GVHD: Thầy Bùi Văn Bình 45 Đặng Thị Lý K34 CN Toán ... CHƯƠNG I: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TOÁN 14 CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 14 CHƯƠNG II: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TOÁN 22 CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC 22 CHƯƠNG III: VECTƠ VỚI BÀI TOÁN... Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 PHẦN II: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG CHƯƠNG I: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG I.1 Phương pháp  Giả sử vectơ. .. Thầy Bùi Văn Bình C D Đặng Thị Lý K34 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Chú ý: +) Vectơ không xem hướng với vectơ +) Hai vectơ hướng với vectơ khác vectơ khơng hai vectơ hướng với +) Ta