Một số phương pháp giải các bài toán cổ và bài toán vui bậc Tiểu học

Nguyễn Văn Hào, khóa luận tốt nghiệp “Một số phương pháp giải các bài toán cổ và bài toán vui bậc Tiểu học” được hoàn thành theo sự nhận thức vấn đề của riêng tác giả, không trùng với b

BẬC TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán Tiểu học

Người hướng dẫn khoa học

TS Nguyễn Văn Hào

HÀ NỘI - 2017

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các giảng viên và các bạn sinh viên khoa Giáo dục Tiểu học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp đỡ để em có điều kiện tốt nhất trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, em

xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào đã định hướng chọn

đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành tốt khóa luận này

Lần đầu tiên thực hiện công tác nghiên cứu khoa học, nên khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và còn những thiếu sót nhất định Em xin chân thành cảm ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên trong khoa Giáo dục Tiểu học để hoàn thiện khóa luận như hiện tại

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Phạm Thị Điệp

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, khóa luận tốt nghiệp “Một số phương pháp giải các bài toán cổ và bài toán vui bậc Tiểu học” được hoàn thành theo sự nhận thức vấn đề của riêng tác giả, không

trùng với bất kì khóa luận nào khác

Trong quá trình làm khóa luận, em đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Phạm Thị Điệp

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phạm vi nghiên cứu 2

5 Đối tượng nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Cấu trúc khoá luận 2

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 3

1.1 Đặc điểm của học sinh Tiểu học 3

1.1.1 Đặc điểm nhận về nhận thức 3

1.1.2 Đặc điểm về sự phát triển tư duy đối với học sinh bậc Tiểu học 5

1.2 Vấn đề chung về bài toán 6

1.2.1 Quan niệm về bài toán 6

1.2.2 Các yếu tố cơ bản của bài toán 6

1.2.3 Lời giải của bài toán 6

1.2.4 Ý nghĩa của việc giải toán 7

1.2.5 Phân loại bài toán 7

1.2.6 Phương pháp tìm lời giải của bài toán 8

1.3 Bài toán cổ – toán vui 9

1.3.1 Khái niệm 9

1.3.2 Phân loại 9

1.3.3 Ý nghĩa của các bài toán cổ - toán vui 10

1.4 Một số phương pháp thường dùng để giải các bài toán cổ và bài toán vui bậc Tiểu học 11

1.4.1 Phương pháp tính ngược từ cuối 11

1.4.2 Phương pháp lập bảng logic 12

1.4.3 Phương pháp suy luận đơn giản 13

1.4.4 Phương pháp lựa chọn tình huống 14

1.4.5 Phương pháp thử chọn 15

1.4.6 Phương pháp giả thiết tạm 16

1.4.7 Phương pháp chia tỉ lệ 17

Kết luận chương 1 18

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỔ VÀ BÀI TOÁN VUI BẬC TIỂU HỌC 19

2.1 Một số phương pháp để giải các bài toán cổ và bài toán vui thông thường ở Tiểu học 19

2.1.1 Các bài toán về chữ số và số 19

2.1.2 Dạng toán về phân số và số thập phân 22

2.1.3 Dạng toán về chuyển động 25

2.1.4 Dạng toán về tính tuổi 27

2.1.5 Dạng toán suy luận 29

2.1.6 Dạng toán về cân đo, chiến lược tối ưu 32

2.1.7 Các bài toán vui - toán cổ khác 34

2.2 Một số bài toán cổ - toán vui nâng cao 37

Kết luận chương 2 49

KẾT LUẬN 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

1

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài Trong xu thế phát triển tri thức ngày nay, giáo dục đóng

vai trò quan trọng đối với mọi quốc gia, mọi dân tộc Sản phẩm của giáo dục chính là con người Con người vừa là mục tiêu, vừa là động lực cho sự phát triển của xã hội, muốn phát triển xã hội phải chăm lo nhân tố con người về thể chất và tinh thần, nhất là về học vấn, nhận thức về thế giới xung quanh để họ

có thể góp phần xây dựng và cải tạo xã hội Nếu không có tri thức, hiểu biết

về xã hội, tự nhiên và chính bản thân mình, con người sẽ luôn lệ thuộc, bất lực trước những thế lực và sức mạnh cản trở sự phát triển của dân tộc, đất nước mình Chính vì vậy, việc đầu tư cho giáo dục là quốc sách hàng đầu của một quốc gia đang phát triển như Việt Nam, đặc biệt là bậc Tiểu học Bậc Tiểu học là bậc học nền tảng giúp học sinh hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển về đạo đức, trí tuệ, thẩm mĩ và các khả năng cơ bản để học

sinh tiếp tục học bậc Trung học Cơ sở

Ở bậc Tiểu học, nội dung môn học phong phú, mỗi môn học đảm nhận một vai trò khác nhau Với tư cách là một khoa học, toán học là một môn học vô cùng quan trọng và cần thiết Nó là một hệ thống các khái niệm, quy luật và phương pháp nghiên cứu riêng Môn Toán ở trường Tiểu học giúp học sinh có những kiến thức cơ bản và sơ giản ban đầu về số học, hình học, các yếu tố đại lượng và hình thành các kĩ năng toán học góp phần hình thành phương pháp học tập, làm việc có kế hoạch, chủ động, sáng tạo giúp các em học tập tốt các môn học khác trong nhà trường và chuẩn bị cho các bậc học tiếp theo

Để nâng cao chất lượng dạy học, trình độ tư duy, óc sáng tạo, trí lực học tập, trí thông minh của học sinh tiểu học, các thầy cô giáo phải tìm cho mình các phương pháp, các bài toán hợp lí, trong đó mảng các bài toán cổ và bài toán vui là một mảng không nhỏ Tuy nhiên hiện nay ở các trường Tiểu học, mảng

2

toán này mặc dù đã được tìm hiểu và quan tâm nhưng chưa thật sâu sắc Các

em học sinh thường gặp khó khăn khi tìm lời giải cho các bài toán này bởi vì

để giải các bài toán này đòi hỏi người học cần có trí tưởng tượng phong phú,

sự lập luận logic, hợp với yêu cầu thực tế cũng như ý đồ bài toán

Xuất phát từ những lí do trên, với mong muốn nâng cao hiệu quả dạy học

toán, em chọn đề tài “Một số phương pháp giải các bài toán cổ và bài toán

vui bậc Tiểu học” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp bậc cử nhân Sư phạm

chuyên ngành toán Tiểu học

2 Mục đích nghiên cứu Rèn luyện và phát triển khả năng tư duy logic cho

học sinh thông qua việc vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp giải

toán để giải các bài toán cổ, toán vui ở Tiểu học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu cơ sở lí luận của vấn đề: một số

phương pháp giải các bài toán cổ, toán vui bậc Tiểu học

Nghiên cứu các dạng toán cổ, toán vui ở Tiểu học và cách giải các bài toán đó

bằng một số phương pháp khác nhau

4 Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu các dạng toán cổ và toán vui trong

chương trình toán ở Tiểu học, những bài toán suy luận vui trong sách nâng

cao toán Tiểu học

5 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu các dạng toán cổ và toán vui ở Tiểu học

Phương pháp giải các bài toán cổ và toán vui ở Tiểu học

6 Phương pháp nghiên cứu Tra mạng, tìm kiếm tài liệu, phân tích, tổng hợp

và xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn

7 Cấu trúc khoá luận Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham

khảo, nội dung chính của khoá luận bao gồm

Chương 1: Cơ sở lí luận

Chương 2: Một số phương pháp giải các bài toán cổ và bài toán vui bậc Tiểu học

3

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Đặc điểm của học sinh Tiểu học

1.1.1 Đặc điểm về nhận thức Đối tượng của cấp Tiểu học là trẻ em từ 6 đến

11 tuổi Học sinh tiểu học là một thực thể hồn nhiên, ngây thơ và trong sáng

Ở mỗi trẻ em tiềm tàng khả năng phát triển về trí tuệ, lao động, rèn luyện và hoạt động xã hội để đạt một trình độ nhất định về lao động nghề nghiệp, về quan hệ giao lưu và chăm lo cuộc sống cá nhân, gia đình Trẻ em ở lứa tuổi tiểu học là thực thể đang hình thành và phát triển cả về mặt sinh lý, tâm lý, xã hội, các em đang từng bước gia nhập vào xã hội Do đó, học sinh tiểu học chưa đủ ý thức, chưa đủ phẩm chất và năng lực như một công dân trong

xã hội, mà các em luôn cần sự bảo trợ, giúp đỡ của người lớn, của gia đình, nhà trường và xã hội Học sinh tiểu học dễ thích nghi và tiếp nhận cái mới và luôn hướng tới tương lai Nhưng cũng thiếu sự tập trung cao độ, khả năng ghi nhớ và chú ý có chủ định chưa được phát triển mạnh, tính hiếu động, dễ xúc động còn bộc lộ rõ nét Trẻ nhớ rất nhanh và quên cũng nhanh

Đối với trẻ em ở lứa tuổi tiểu học thì tri giác của học sinh tiểu học phản ánh những thuộc tính trực quan, cụ thể của sự vật, hiện tượng và xảy ra khi chúng trực tiếp tác động lên giác quan Tri giác giúp cho trẻ định hướng nhanh chóng và chính xác hơn trong thế giới khách quan So với học sinh đầu bậc Tiểu học, các em học sinh ở cuối bậc Tiểu học có các hoạt động tri giác đã phát triển và được hướng dẫn bởi các hoạt động nhận thức khác nên chính xác dần

Bên cạnh sự phát triển của tri giác, chú ý có chủ định của học sinh tiểu học còn yếu, khả năng điều chỉnh chú ý có ý chí chưa mạnh Ở đầu tuổi tiểu học chú ý có chủ định của trẻ còn yếu, khả năng kiểm soát, điều khiển chú ý còn hạn chế Ở giai đoạn này chú ý không chủ định chiếm ưu thế hơn chú ý

4

có chủ định Trẻ lúc này chỉ quan tâm chú ý đến những môn học, giờ học có

đồ dùng trực quan sinh động, hấp dẫn có nhiều tranh ảnh, trò chơi hoặc có cô giáo xinh đẹp, dịu dàng, Sự tập trung chú ý của trẻ còn yếu và thiếu tính bền vững, chưa thể tập trung lâu dài và dễ bị phân tán trong quá trình học tập Ở cuối tuổi tiểu họctrẻ dần hình thành kĩ năng tổ chức, điều chỉnh chú ý của mình Chú ý có chủ định phát triển dần và chiếm ưu thế, ở trẻ đã có sự nỗ lực

về ý chí trong hoạt động học tập như học thuộc một bài thơ, một công thức toán hay một bài hát dài, Trong sự chú ý của trẻ đã bắt đầu xuất hiện giới hạn của yếu tố thời gian, trẻ đã định lượng được khoảng thời gian cho phép để làm một việc nào đó và cố gắng hoàn thành công việc trong khoảng thời gian quy định

Trí nhớ có vai trò đặc biệt quan trọng trong đời sống và hoạt động của con người, nhờ có trí nhớ mà con người tích lũy vốn kinh nghiệm đó vận dụng vào cuộc sống Học sinh tiểu học có trí nhớ trực quan – hình tượng phát triển chiếm ưu thế hơn trí nhớ từ ngữ – logic Hình tượng, hình ảnh cụ thể dễ nhớ hơn các câu chữ hình tượng khô khan Ở giai đoạn cuối tiểu học, trí nhớ tưởng tượng có phát triển hơn nhưng tản mạn, ít có tổ chức và nhiều ảnh hưởng của hứng thú, của kinh nghiệm sống và các mẫu hình đã biết

Với đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học đã nêu trên, ta phải sử dụng phương pháp trực quan hợp lý trong quá trình giải bài toán để đạt hiệu quả cao, làm thế nào để thu hút sự chú ý của học sinh tiểu học giúp học sinh hiểu được bản chất của bài toán, biết giải bài toán một cách khoa học logic đồng thời phát triển khả năng tư duy của học sinh tiểu học

Chính vì thế, đối với các bài toán dạng toán vui, toán cổ cần có sự hiểu đúng bản chất của bài toán để tránh bị mắc vào các “mẹo” dẫn tới các sai lầm khi giải, giúp học sinh loại bỏ cái không bản chất để tập trung vào cái bản chất toán học Nhờ đó, học sinh có thể nhìn bao quát bài toán, tìm ra mối liên hệ

5

giữa cái đã cho và cái đã biết, giữa các dữ liệu ảo và dữ liệu cần quan tâm để tìm ra cách giải quyết bài toán

1.1.2 Đặc điểm về sự phát triển tƣ duy đối với học sinh bậc Tiểu học

Khái niệm chung về tƣ duy Trước hết chúng tôi đưa ra khái niệm về tư duy,

đó là quá trình tâm lý phản ảnh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ

và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết

Tư duy logic là loại tư duy mà việc giải quyết nhiệm vụ dựa trên sự sử dụng các khái niệm, các kết cấu logic, được tồn tại và vận hành nhờ ngôn ngữ

Tư duy mở rộng giới hạn của hoạt động nhận thức, đi sâu vào bản chất của sự vật, hiện tượng và tìm ra những mối quan hệ có tính quy luật giữa chúng với nhau

Tư duy cải tạo lại thông tin của nhận thức cảm tính làm chúng có ý nghĩa hơn cho hoạt động của con người

Tư duy của học sinh Tiểu học là quá trình nhận thức giúp các em phản ánh được bản chất của đối tượng nghĩa là giúp các em tiếp thu được khái niệm của các môn học

Mức độ tƣ duy của học sinh bậc Tiểu học

( )i Mức độ thức nhất (thường từ 6 tuổi - 7 tuổi)

Trong giai đoạn này trẻ em có các đặc điểm căn bản sau

Tư duy trực quan hành động chiếm ưu thế

Việc học tập chủ yếu bằng phương pháp phân tích, so sánh, đối chiếu dựa trên các đối tượng hoặc những hình ảnh trực quan

Những khái quát của trẻ về sự vật hiện tượng ở giai đoạn này chủ yếu dựa vào những dấu hiệu cụ thể nằm trên bề mặt của đối tượng hoặc những dấu hiệu thuộc công dụng và chức năng

Tư duy còn chịu ảnh hưởng nhiều bởi yếu tố tổng thể

6

( )ii Mức độ thứ hai (thường từ 8 – 12 tuổi)

Tư duy trực quan hình tượng chiếm ưu thế

Trẻ đã bắt đầu nắm được một số mối quan hệ của khái niệm

Những thao tác về tư duy như phân loại, phân hạng tính toán, không gian, thời gian được hình thành và phát triển mạnh

Đến cuối giai đoạn này, tư duy ngôn ngữ bắt đầu hình thành Tuy nhiên năng lực tư duy của trẻ còn bị hạn chế bởi sự ràng buộc với những vật chất cụ thể Trẻ gặp khó khăn trong tư duy trừu tượng

1.2 Vấn đề chung về bài toán

1.2.1 Quan niệm về bài toán Theo nghĩa rộng, bài toán là bất cứ vấn đề nào

của khoa học hay cuộc sống cần được giải quyết Theo G Polya, bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có ý thức các phương tiện thích hợp

để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay

Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G Polya cho ta thấy rằng: Bài toán là sự đòi hỏi đạt tới mục đích nào đó Như vậy bài toán có thể đồng nhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán như đề toán, bài tập…

1.2.2 Các yếu tố cơ bản của bài toán Theo định nghĩa trên, ta thấy một bài

toán gồm hai yếu tố chính hợp thành

Bài toán cho biết gì? (là những gì bài toán đã cho)

Bài toán yêu cầu tìm gì? (là mục đích của bài toán)

1.2.3 Lời giải của bài toán Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự

các thao tác cần thực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra Ta thống nhất giữa lời giải, cách giải, bài giải của bài toán

Một bài toán có thể có một lời giải, không có lời giải hoặc có nhiều lời giải Giải được một bài toán là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lí giải tại sao bài toán là

7

không lời giải được trong trường hợp nó không có lời giải Nhưng ở Tiểu học, một bài toán thường có một hay nhiều lời giải, trường hợp không có lời giải thường không có

1.2.4 Ý nghĩa của việc giải toán Giải toán có ý nghĩa to lớn và đóng vai trò

quan trọng trong quá trình học toán của học sinh tiểu học, cụ thể

Giải toán củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh

Rèn luyện, phát triển tư duy, kĩ năng vận dụng kiến thức của học sinh

Bồi dưỡng và phát triển nhân cách cho học sinh

1.2.5 Phân loại bài toán Người ta phân loại bài toán theo nhiều cách khác

nhau để đạt được mục đích nhất định, thường là sử dụng nó thuận lợi Ta có một số cách phân loại bài toán như sau

( )i Phân loại theo hình thức của bài toán Dựa vào kết luận của bài toán đã

cho hay chưa để phân bài toán ra thành hai loại: Bài toán chứng minh và bài toán tìm tòi

Bài toán chứng minh là bài toán mà kết luận của nó đã được đưa ra một cách

rõ ràng trong đề bài toán

Bài toán tìm tòi là bài toán trong đó kết luận của nó vẫn chưa có sẵn trong đề bài toán

( )ii Phân loại theo phương pháp giải bài toán gồm hai loại

Bài toán có algorithm giải: là bài toán mà phương pháp giải của nó theo một thuật toán chung nào đó, được mang tính chất angorit nào đó

Bài toán không có algorithm giải: là bài toán mà phương pháp giải của

nó không theo một thuật toán nào hoặc không mang tính chất thuật toán nào ( )iii Phân loại theo nội dung bài toán Bài toán số học; Bài toán chuyển động đều; Bài toán về tuổi; Bài toán trồng cây; Bài toán cấu tạo số;…

( )iv Phân loại theo ý nghĩa giải toán

Bài toán củng cố kĩ năng: là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau

8

khi học một hay một vài kiến thức cũng như kĩ năng nào đó

Bài toán phát triển tư duy: là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các kiến thức cũng như kĩ năng nào đó đòi hỏi phải có một khả năng tư duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo

( )v Phân loại theo phép tính sử dụng trong bài giải Các bài toán ở tiểu học

được chia làm hai loại gồm bài toán đơn và bài toán hợp

Bài toán đơn là bài toán được giải bằng một phép tính

Bài toán hợp là bài toán giải bằng hai phép tính trở lên Bài toán hợp chứa đựng trong nó những bài toán đơn theo một cấu trúc, số phải tìm trong bài toán đơn này lại là số cho trước của bài toán đơn khác hay kết quả của phép tính trong bài toán đơn này sẽ trở thành một phần phép tính trong bài toán đơn tiếp sau đó

1.2.6 Phương pháp tìm lời giải của bài toán Quy trình giải một bài toán

gồm bốn bước

Bước thứ nhất (Phân tích yêu cầu bài toán) Trước khi giải một bài toán, ta

phải phân tích đề bài của bài toán, rồi tìm hiểu thấu đáo nội dung của bài toán Bước này gồm các hoạt động sau:

Phân biệt yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm của bài toán Tức là tìm hiểu những cái gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài toán?

Giải thích các thuật ngữ có trong đề bài

Phân biệt những yếu tố thuộc về bản chất và không phải là bản chất

Mối liên hệ giữa phần đã cho và phần cần tìm Ta có thể biểu diễn mối quan

hệ đó bằng cách tóm tắt hoặc nhắc lại bài toán

Bước thứ hai (Phân tích đề bài để tìm ra cách giải) Yêu cầu các em học sinh

suy nghĩ từ những gì bài toán đã cho và cần giải quyết điều gì ở bước trên

(cần thiết giáo viên có thể đưa ra sự gợi ý tùy theo từng bài toán cụ thể hoặc phân tích theo mỗi ý tưởng khác nhau của học sinh) để hướng các em tìm ra

9

lời giải

Trên sự thống nhất các ý kiến của học sinh, giáo viên tổng hợp và hướng dẫn học sinh lập quy trình về ý tưởng giải quyết bài toán

Bước thứ ba (Hướng dẫn trình bày giải bài toán) Trên cơ sở đã hướng dẫn ở

bước hai giáo viên có thể chọn một số học sinh giải bài toán (sự lựa chọn này phụ thuộc sự nhận thức của từng đối tượng và mục đích của bài giảng để đáp ứng với hầu hết đối tượng trong lớp)

Bước thứ tư Đánh giá kết quả và phân tích sự hiệu dụng trong mỗi lời giải

(nếu có nhiều học sinh giải theo các cách khác nhau) Tiếp theo giáo viên đưa

ra những cách giải khác tốt hơn nếu có thể

1.3 Bài toán cổ – toán vui

1.3.1 Khái niệm Toán vui là dạng toán trong đó các dữ liệu của bài toán

được trình bày dưới dạng một câu chuyện, một bài thơ hoặc một đoạn văn có

xen kẽ những từ ngữ, câu đố hóm hỉnh, vui nhộn

Toán cổ là dạng toán trong đó các dữ liệu của bài toán cũng được trình bày dưới dạng văn vần hoặc văn xuôi, một câu chuyện hoặc một bài thơ Tuy nhiên khác với toán vui ở chỗ, các tình huống, các nhân vật hay các tên gọi, từ ngữ trong toán cổ chỉ có trong các câu chuyện cổ ngày xưa Chẳng hạn các nhân vật hay xuất hiện trong truyện cổ tích như anh Khoai, thằng Bờm, Phú ông, công chúa, hoàng tử…., các nhân vật trong truyện ngụ ngôn như Thỏ và Rùa, Ếch cốm…

1.3.2 Phân loại Căn cứ theo nội dung của các bài toán cổ – toán vui được

phát biểu theo thuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn

để chia bài toán cổ – toán vui thành các loại khác nhau Chẳng hạn

+ Các bài toán về chữ và số

+ Các bài toán về chuyển động

+ Các bài toán về phân số và số thập phân

10

+ Các bài toán về tính tuổi

+ Các bài toán suy luận

+ Các bài toán có nội dung khác

1.3.3 Ý nghĩa của các bài toán cổ - toán vui Toán cổ – toán vui có ý nghĩa

rất lớn đối với nhận thức và tư duy của học sinh tiểu học Vì thế trong dạy học toán ở tiểu học, việc sử dụng dạng toán này đã mang lại hiệu quả rất cao trong việc lĩnh hội tri thức toán học và vận dụng tri thức đó vào thực tiễn cuộc sống

Do đặc điểm vui, dí dỏm, hóm hỉnh của các bài toán cổ – toán vui nên việc giải các bài toán này sẽ tạo ra không khí thoải mái trong lớp học Vì vậy dạng toán này được xem là hình thức giải lao tích cực trong quá trình dạy học toán Toán cổ – toán vui tạo ra những tình huống kích thích học sinh suy nghĩ, tìm tòi, gây được hứng thú học tập toán cho học sinh, góp phần rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo, logic và linh hoạt cho học sinh

Môn Toán luôn có mối quan hệ mật thiết với các môn học khác và toán cổ – toán vui cũng có đặc điểm đó Trong toán có văn, đó là đặc điểm đầu tiên dễ nhận thấy Các bài toán cổ – toán vui thường sử dụng hệ thống ngôn ngữ, hình ảnh phong phú, sinh động, sử dụng linh hoạt cách phối vần điệu, thể thơ

Ba người một cỗ bốn người không

Ngoài đình chè chén bao người nhỉ, Tính thử xem rằng có mấy ông?

Hoặc dựa vào các câu chuyện ngụ ngôn để phát triển thành bài toán như: “ Dù

11

đã bị thất bại chua cay, nhưng thỏ vẫn tìm đến thách thức chạy đua với rùa

Lần này, quãng đường chạy thi dài 100 m Nhưng vẫn mắc bệnh khoác lác, thỏ nói rằng: “ Tôi sẽ chấp anh 48 m Trên đoạn đường mà anh chạy, tôi sẽ

chạy với vận tốc gấp đôi Còn trên đoạn đường còn lại, tôi sẽ chạy với vận tốc bằng tốc độ của anh” Nghĩa là thỏ để rùa xuất phát từ điểm cách điểm ban

đầu 48 m và trên quãng đường 48 m này thỏ chạy với vận tốc bằng vận tốc

của rùa Nhưng cuối cùng thỏ vẫn thua Hỏi rùa đã về đích trước thỏ bao nhiêu mét?

Toán vui – toán cổ còn sử dụng ngôn ngữ của hội họa (môn mĩ thuật), đó là các màu sắc xanh, đỏ, tím, vàng… Ví dụ: Trên bàn có ba cuốn sách giáo

khoa Văn, Toán, Địa lí được bọc ba màu khác nhau là xanh, đỏ, vàng Cho biết cuốn bọc màu đỏ đặt giữa cuốn Văn và cuốn Địa lí Cuốn Địa lí và cuốn màu xanh mua cùng một ngày Bạn hãy xác định màu bìa của mỗi cuốn sách 1.4 Một số phương pháp thường dùng để giải các bài toán cổ và bài toán vui bậc Tiểu học

Có rất nhiều quan điểm khác nhau về các phương pháp giải toán ở Tiểu học Trong phạm vi đề tài, tôi theo quan điểm của tác giả Trần Diên Hiển trong

cuốn Thực hành giải toán ở Tiểu học để đưa ra một số phương pháp thường

dùng để giải các bài toán cổ và bài toán vui

1.4.1 Phương pháp tính ngược từ cuối Là phương pháp thực hiện liên tiếp

các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong bài toán Kết quả tìm được trong bước trước chính là thành phần đã biết của phép tính liền sau đó Sau khi thực hiện hết dãy các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong

đề bài, ta nhận được kết quả cần tìm

Ví dụ Bác Năm đi chợ bán trứng Lần thứ nhất bác bán một nửa số trứng

thêm một quả, lần thứ hai bán một nửa số trứng còn lại thêm 2 quả và lần thứ ba bán một nửa số trứng còn lại và thêm 3 quả thì vừa hết số trứng

12

Hỏi bác Năm đã bán tất cả bao nhiêu quả trứng?

Lời giải Số trứng còn lại sau lần bán thứ hai được biểu diễn bằng sơ đồ sau

1.4.2 Phương pháp lập bảng logic Các bài toán được giải bằng phương

pháp lập bảng thường xuất hiện hai nhóm đối tượng (chẳng hạn tên người và nghề nghiệp, vận động viên và giải thưởng, tên sách và màu bìa…) Khi giải

ta thiết lập một bảng gồm các hàng và các cột Các cột ta liệt kê các đối tượng

ở nhóm thứ nhất, còn các hàng ta liệt kê các đối tượng thuộc nhóm thứ hai

Dựa vào điều kiện đầu bài ta loại bỏ dần các ô (là giao của mỗi hàng và mỗi cột) Những ô còn lại (không bị loại bỏ) là kết quả của bài toán

Ví dụ Giờ Toán, cô giáo trả bài kiểm tra Bốn bạn, Lan, An, Đức, Hòa ngồi

Hãy cho biết mỗi người đạt điểm mấy?

Lời giải Bài toán này cũng có hai nhóm đối tượng là tên người và điểm số

Ta lập bảng logic biểu diễn 2 nhóm đối tượng đó rồi dựa vào dữ kiện bài toán cho để tìm ra kết quả

0 3

X 4

Theo Lan, ta điền 0 vào các ô 3,5, 8,10

Theo An, ta điền 0 vào các ô 2,7,9,12

Còn lại các ô không bị loại là 1, 4, 6,11

Vậy, Lan: 10 , An: 9 , Đức: 8 , Hòa: 10

1.4.3 Phương pháp suy luận đơn giản Suy luận đơn giản là phép suy luận

không dùng công cụ của logic mệnh đề (phép phủ định, phép hội, phép

tuyển ) Ta xét ví dụ sau

Bạn hãy cho biết tên và nghề nghiệp của các bác thợ đó

Lời giải Vì bác Điện hưởng ứng lời của bác thợ hàn nên bác Điện không làm

nghề thợ hàn Mà bác Điện cũng không làm nghề thợ điện nên bác Điện làm

1.4.4 Phương pháp lựa chọn tình huống Các bài toán được giải theo

phương pháp này là các bài toán mà dữ kiện đưa ra thường dưới dạng các tình huống Trong các tình huống đó, mỗi tình huống thường được thỏa mãn một phần, bị bác bỏ một phần và có một tình huống thảo mãn hoàn toàn (đó là tình

huống được chọn)

Để giải các bài toán này ta lựa chọn một tình huống và đối chiếu với điều kiện

đề bài để tìm ra kết quả bài toán

Ví dụ Sau giờ luyện tập buổi sáng, đội tuyển thể thao vào quán ăn trưa Thực

đơn của quán gồm 8 món: gà luộc, nem rán, chim quay, đậu rán, bò xào, cá rán, ốc xào măng, canh chua Toàn đội nhất trí sẽ gọi 3 món trong thực đơn Nguyện vọng của các cầu thủ được chia làm 5 nhóm như sau

15

Nhóm 1 : Gà luộc, nem rán, chim quay

Nhóm 2 : Đậu rán, bò xào, cá rán

Nhóm 3 : Bò xào, cá rán, ốc xào măng

Nhóm 4 : Nem rán, ốc xào măng, canh chua

Nhóm 5: Gà luộc, bò xào, canh chua

Cuối cùng toàn đội đồng ý với thực hiện của đội trưởng vì theo thực đơn đó, mỗi nhóm đều có ít nhất một món mình yêu thích

Hỏi toàn đội hôm đó đã ăn món gì?

Lời giải Nếu chọn thực đơn của nhóm 1 thì cả nhóm 2 và nhóm 3 đều

không có món nào mình yêu thích Vậy không thể chọn thực đơn của 3 nhóm

Vậy, bữa trưa hôm đó thực đơn của đội là: gà luộc, bò xào, canh chua

1.4.5 Phương pháp thử chọn Phương pháp thử chọn dùng để giải các bài toán về tìm một số khi số đó đồng thời thỏa mãn một số điều kiện cho trước

Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?

Lời giải Ta thấy bài toán cho cả gà và chó có tất cả 16 con gồm 40 cái chân

Ta sẽ dùng phương pháp thử chọn để giải bài toán này Trước tiên ta sẽ cho số chó nhận giá trị từ 1 đến 9 (nếu số chó lớn hơn 9 thì sẽ không còn chân gà)

1.4.6 Phương pháp giả thiết tạm Là phương pháp dùng để giải các bài toán

về tìm hai số, khi biết tổng của hai số đó và kết quả của phép tính thực hiện trên một cặp số liệu của hai số cần tìm Khi giải bài toán bằng phương pháp giả thiết tạm ta thường tạm bỏ qua sự xuất hiện của một đại lượng, rồi dựa vào tình huống đó mà ta tính được đại lượng thứ hai Sau đó tính đại lượng

còn lại

Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?

Lời giải Theo đề bài thì tổng số gà và số chó là 36 con Nhưng ta lại giả thiết tạm cả 36 con đều là gà Lúc này, tổng số chân gà sẽ là

36 2 72 (chân) Thực tế đề bài là 100 chân, như vậy số chân thiếu sẽ là

100 72 28 (chân)

Có sự thiếu hụt đi như vậy là do mỗi con chó bị tính hụt đi là

4 2 2 (chân) Vậy số chó là

28 : 2 14 (con)

Số gà là

36 14 22 (con) Thử lại: Tổng số gà và chó là: 14 22 36 (con)

Tổng số chân là: 14 4 22 2 100 (chân)

Đáp số: 14 con chó, 22 con gà

1.4.7 Phương pháp chia tỉ lệ Là phương pháp giải toán dùng các đoạn thẳng

để biểu thị các số cần tìm Số phần bằng nhau của các đoạn thẳng đó tương

ứng với tỉ số của các số cần tìm

Ví dụ Một đàn cò bay đến đậu ở một vườn cây Nếu mỗi cò đậu một cây thì

3 cò không có cây đậu Nếu mỗi cây 3 cò đậu thì 3 cây không có cò đậu Hỏi có tất cả bao nhiêu cây, bao nhiêu cò?

Lời giải Giả sử trong vườn có thêm 3 cây, vậy số cây bằng số cò Khi 3 cò

18

đậu 1 cây thì số cây có cò đậu bằng 1

3 tổng số cây Trong trường hợp này ta

có thể biểu diễn bởi sơ đồ sau

Ngoài ra khóa luận còn trình bày được một số phương pháp thường giải toán

ở Tiểu học như phương pháp giả thiết tạm, phương pháp tính ngược từ cuối, phương pháp chia tỉ lệ… Chúng ta có thể áp dụng linh hoạt các phương pháp này để giải các bài toán vui – toán cổ Điều này sẽ được trình bày chi tiết hơn

ở chương 2

19

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỔ

VÀ BÀI TOÁN VUI BẬC TIỂU HỌC 2.1 Một số phương pháp để giải các bài toán cổ và bài toán vui thông thường ở Tiểu học Các bài toán cổ – toán vui rất đa dạng và phong phú,

chúng được thể hiện ở nhiều hình thức khác nhau với các tình huống, dữ liệu đan xen Để việc dạy giải các bài toán này được tiến hành một cách thuận tiện, giáo viên cần dạy giải các bài toán này theo các dạng nhỏ đã phân chia

Ở mỗi dạng nhỏ, giáo viên cần dạy cho học sinh không chỉ một cách giải duy nhất mà cần dạy hoặc gợi ý nhiều cách giải với những phương pháp khác nhau Học sinh qua việc đưa ra nhiều cách giải như vậy sẽ tự nhận xét được

cách giải khoa học và tối ưu đối với bài toán đó

Người con út chia như thế nào?

Phân tích Đây là bài toán chia gia tài khá quen thuộc Học sinh cần phân tích

kĩ dữ liệu bài toán, bài toán cho biết gì và yêu cầu tìm gì? Bài toán cho biết

20

người bố có 17 con bò muốn chia cho 3 người con Vì 17 không chia hết cho

2, 3 và 9 nên ta cần tìm một số chia hết cho cả 2,3 và 9 thì mới chia được

Để giải bài toán này ta sử dụng phương pháp giả thiết tạm

Lời giải Giả sử người cha có 18 con bò

Người con lớn nhận được số con bò là

18 : 2 9 (con) Người con trai kế nhận được số con bò là

18 : 3 6 (con) Người con trai út nhận được số con bò là

18 : 9 2 (con) Tổng số con bò mà cả 3 người con trai nhận được là

Vậy cả 3 người con đã được vừa đúng số con bò mà người cha có

Đáp số: Con trai lớn: 9 con bò Con trai kế: 6 con bò Con trai út: 2 con bò

Ba người một cỗ bốn người không

Ngoài đình chè chén bao người nhỉ, Tính thử xem rằng có mấy ông?

Phân tích Bài toán được trình bày dưới dạng một bài thơ bảy chữ Học sinh

cần phân tích kĩ dữ liệu bài toán Bài toán cho biết rằng trong một đám cỗ nọ

21

nếu 4 người một mâm thì thừa 1 mâm cỗ, nếu 3 người ngồi một măm thì thừa 3 người, chúng ta cần phải tính xem có bao nhiêu mâm cỗ thì mới tính

được số người Để giải bài toán này ta dùng phương pháp giả thiết tạm

Lời giải Giả sử có thêm 4 người nữa và xếp vào 1 mâm cỗ còn thừa khi chia

4 người 1 mâm Số người lúc này nhiều hơn số người khi xếp 3 người một

mâm cỗ là

4 4 8 (người) Mỗi mâm cỗ 4 người nhiều hơn mỗi mâm cỗ 3 người là

Trời vừa tang tảng lúc rạng đông

Rủ nhau đi hái mấy quả bòng Mỗi người năm quả thừa năm quả Mỗi người sáu quả một người không

Hỏi có bao nhiêu người, bao nhiêu quả bòng?

Phân tích Đây lại là một bài toán được trình bày dưới dạng một bài thơ Bài

toán yêu cầu tìm số người và số quả bòng khi biết nếu mỗi người được năm quả thì thừa năm quả, mỗi người sáu quả thì thừa một người Để giải bài toán

Số người khi chia mỗi người năm quả dư 5quả

Số người khi chia mỗi người 6 quả thừa 1 người

Kết luận

90 17 người 16 người Loại

Nhìn vào bảng trên ta thấy số quả bòng là 60 và số người là 11 người

2.1.2 Dạng toán về phân số và số thập phân

Bài 1 Một người qua đường hỏi cụ già đang cưỡi ngựa: Làm sao mà trông cụ

buồn phiền thế? Cụ già đáp lại: “ Làm sao mà tôi không buồn phiền? Một nửa đàn ngựa của tôi và thêm một con nữa bị lạc xuống phía Nam, một nửa số ngựa còn lại thêm một nửa con nữa bị mất ở phía Đông, một nửa số ngựa còn lại sau hai lần đó và thêm một nửa con nữa bị chạy qua phía Tây, một nửa số ngựa còn lại cuối cùng và thêm một nửa con nữa tôi đã đem bán ở phía Bắc Bây giờ tôi chỉ còn lại một con ngựa mà tôi đang cưỡi đây.” Hãy tính xem lúc

đầu cụ già có tất cả bao nhiêu con ngựa?

23

- Tìm số ngựa còn lại sau lần mất ngựa (sau khi chạy xuống phía Nam),

số đó là 15 con

- Tìm số ngựa lúc chưa bị mất, số đó là 31 con

Lời giải Theo đầu bài ra ta thấy

Sau lần bán ngựa thì cụ còn lại 1 con ngựa Như vậy, 1 con và 1

2 con ngựa chính là số ngựa còn lại

Ta có sơ đồ số ngựa còn lại sau ba lần mất ngựa

1

2 con 1 con Sau ba lần mất ngựa thì số ngựa còn lại là

Số ngựa lúc đầu ông già có là