2.3.1 Định nghĩa. Một IFTS (X, τ) được gọi là IF g-chuẩn tắc (hay
IF GR3) nếu với mọi IFS g-đóng F1 và F2 mà F1qF2, thì tồn tại các IFOS U và V sao cho F1 ⊆U, F2 ⊆V và U qV.
2.3.2 Nhận xét. Mỗi IF GR3-không gian là IF R3. 2.3.3 Định lý. Nếu IFTS (X, τ) là IF R3 và IF T1
2 thì nó là IF GR3- không gian.
Chứng minh. Giả sử F1 và F2 là các IFS g-đóng của X thoả mãn
F1qF2. Vì X là IF T1
2 suy ra F1 và F2 là các IFCS. Lại vì X là IF R2
nên tồn tại các IFOS U và V sao cho F1 ⊆ U, F2 ⊆ V và U qV. Do đó
(X, τ) là IF GR3.
2.3.4 Định lý. Giả sử (X, τ) là một IFTS. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
i) (X, τ) là IF GR3-không gian;
ii) Với mỗi IFS g-đóng F và mỗi IFS g-mở U chứa F, tồn tại một IFOS V sao cho F ⊆ V ⊆cl(V) ⊆ U.
Chứng minh. i) ⇒ ii) Giả sử (X, τ) là một IF GR3-không gian, F là một IFS g-đóng và U là một IFS g-mở của X sao cho F ⊆ U. Khi đó
F qUc và Uc là IFS g-đóng. Vì X là IF GR3 nên tồn tại các IFOS V và
W sao cho F ⊆ V, Uc ⊆ W và V qW. Từ Uc ⊆ W suy ra Wc ⊆U. Từ
V qW và W là IFOS suy ra cl(V) qW kéo theo cl(V) ⊆ Wc. Từ đó suy ra F ⊆ V ⊆cl(V) ⊆ U.
ii) ⇒ i) Giả sử có ii) ta cần chứng minh X là IF GR3-không gian. Xét hai IFS g-đóng F1 và F2 thoả mãn F1qF2. Suy ra F1 ⊆ F2c và
F2c là IFS g-mở. Theo giả thiết ii) tồn tại IFOS V sao cho F1 ⊆ V ⊆ cl(V) ⊆ F2c. Đặt U = cl(V)c thì U là IFOS. Từ cl(V) ⊆ F2c suy ra
F2 ⊆ cl(V)c = U. Vì V ⊆ cl(V) suy ra V q cl(V)c hay V qU. Như vậy tồn tại các IFOS U và V thoả mãn F1 ⊆V, F2 ⊆ U và V qU. Vậy X là
2.3.5 Định lý. Một IFTS (X, τ) là IF GR3 khi và chỉ khi với mỗi cặp IFS g-đóng F1 và F2 mà F1qF2, thì tồn tại các IFOS U và V sao cho
F1 ⊆ U, F2 ⊆ V và cl(U) q cl(V).
Chứng minh Điều kiện cần. Giả sử (X, τ) là IF GR3-không gian và
F1 và F2 là các IFS g-đóng trong X với F1qF2. Khi đó tồn tại các IFOS
W và V trong X sao cho F1 ⊆W, F2 ⊆V và W qV.
Từ W qV suy ra W q cl(V), kéo theo F1q cl(V). Từ đó do X là
IF GR3 nên tồn tại các IFOSGvàH trong X sao choF1 ⊆G,cl(V) ⊆ H
và GqH. Suy ra cl(G) qH. Đặt U = W ∩ G, thì U là IFOS, F1 ⊆ U. Từ GqH suy ra cl(G) qH, mà cl(V) ⊆ H suy ra cl(G) q cl(V). Do
U ⊆ G suy ra cl(U) ⊆cl(G). Từ đó ta có cl(U) q cl(V).
Điều kiện đủ. Là hiển nhiên vì từ cl(U) q cl(V) suy ra ngay U qV. 2.3.6 Định nghĩa. Một IF GR3-không gian và IF-đối xứng được gọi là IF G4-không gian.
2.3.7 Định lý. Mỗi IF G4-không gian cũng là IF G3-không gian.
Chứng minh. Giả sử (X, τ) là IF G4-không gian. Khi đó X là IF GR3
và IF-đối xứng.
Xét IFS g-đóng F và IFP x(α,β) thoả mãn x(α,β)qF. Vì X là IF-đối xứng nên x(α,β) là IFS g-đóng. Từ đó do X là IF GR3 nên tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U, F ⊆ V và U qV. Suy ra X là IF GR2. Kết hợp với X là IF-đối xứng ta có X là IF G3-không gian. 2.3.8 Định lý. Một IFTS (X, τ) là IF G4 khi và chỉ khi nó là IF T4.
Chứng minh. Giả sử (X, τ) là IF G4-không gian. Khi đó X là IF GR3
và IF-đối xứng. TừX là IF GR3 suy ra X là IF R3. Vì X là IF G4, theo định lí 2.3.7 X là IF G3. Từ đó theo hệ quả 2.2.12 X là IF T2 và do đó
X là IF T1. Do X là IF R3 và X là IF T1 suy ra X là IF T4.
Ngược lại, giả sử X là IF T4-không gian. Khi đó X là IF R3 và IF T1. Từ X là IF T1 suy ra X là IF-đối xứng và IF T1
2-không gian. Do X là
IF T3 và IF T1
2 kéo theo X là IF GR3. Vì X là IF GR3 và IF-đối xứng suy ra X là IF G4.