Một số tính chất về thứ tự từ trong lí thuyết cơ sở grobner

1 Trờng đại học vinh Khoa toán số tính chất thứ tự từ lý thuyết sở grệbner khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân s phạm toán Chuyên ngành: đại số - lý thuyết số Cán hớng dẫn : PGS.TS Nguyễn thành quang Sinh viên thực hiện: Dơng xuân giáp Lớp : 44A2 - Toán Vinh 2007 Mục Lục Trang Mục lục Lời nói đầu Đ1 Vành đa thức nhiều biến Đ2 Thứ tự từ 10 Đ3 Cơ sở Grệbner phép chia đa thức 21 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 Lời nói đầu Toán học hình thức (Symbolic computation), hay gọi Đại số máy tính (Computer Algebra), xuất khoảng ba chục năm gần trở thành chuyên ngành độc lập Nó kết hợp chặt chẽ Toán học Khoa học máy tính Sự phát triển máy tính đòi hỏi phải xây dựng lý thuyết toán học làm sở thiết lập thuật toán phần mềm toán học Mặt khác Đại số máy tính tác động tích cực trở lại nghiên cứu toán học lý thuyết Chúng ta biết nhờ máy tính phần mềm toán học, phần mềm tin học giúp dự đoán kết lý thuyết có đợc phản ví dụ Hạt nhân tính toán hình thức máy tính Đại số giao hoán Hình học Đại số lý thuyết Cơ sở Grệbner Lý thuyết nhà Toán học ngời áo Bruno Buchberger đa Luận án Tiến sĩ năm 1965 dới dẫn dắt ngời thầy Wolfgang Grệbner Điểm mấu chốt khởi đầu cho hình thành lý thuyết Buchberger việc mở rộng thuật toán chia hai đa thức biến sang trờng hợp đa thức nhiều biến Cơ sở Grệbner phơng diện lý thuyết đợc khẳng định việc cung cấp chứng minh cho ba Định lý Hilbert - Định lí sở, Định lí xoắn Định lí không điểm Nghiên cứu số tính chất thứ tự từ lý thuyết Cơ sở Grệbner nội dung Khoá luận Trong Khoá luận trình bày số Định nghĩa tính chất lý thuyết Cơ sở Grệbner, nghiên cứu số tính chất thứ tự từ khái niệm mở đầu lý thuyết Cơ sở Grệbner Nó đợc thể qua mục sau: Đ1: Vành đa thức nhiều biến Đ2: Thứ tự từ Đ3: Cơ sở Grệbner phép chia đa thức Theo với việc đa vào định nghĩa hình nón dơng, chứng minh đợc tính chất lồi (xem Định lý 2.4.6) Chúng trọng nghiên cứu điều kiện để tích từ điển thứ tự thứ tự từ (xem Định lý 2.4.7 Định lý 2.4.8) với việc mở rộng giả thứ tự tập từ lên vành đa thức nhiều biến chứng minh giả thứ tự tốt (xem Định lý 3.3.5) Đồng thời vào nghiên cứu điều kiện để đa thức d định lý chia đa thức (xem Định lý 3.4.5 Định lý 3.4.8) Bên cạnh đa số phản ví dụ giải ý ngợc lại số định lý, tính chất có tính chiều Để hoàn thành Khoá luận tác giả nhận đợc hớng dẫn, bảo tận tình Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang thầy cô giáo Khoa Toán Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang thầy cô giáo Khoa Toán, đặc biệt thầy cô Tổ Đại số giúp đỡ, góp ý kiến bảo để tác giả hoàn thành Khoá luận nh suốt khoá học vừa qua Mặc dù có nhiều cố gắng nhng không tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Tác giả mong nhận đợc góp ý kiến quý báu thầy cô bạn Vinh, tháng năm 2007 Tác giả Đ vành đa thức nhiều biến 1.1 Đa thức bậc đa thức nhiều biến Cho R vành giao hoán có đơn vị x1, , xn biến * Ta gọi đơn thức biểu thức có dạng x1a x na n Để cho tiện ta viết xa, x = (x1, , xn) a = (a1, , an) Ơ n Nếu a = (0,,0) Ơ n ta viết thay cho xa Phép nhân đơn thức ( x1a xna ).( x1b xnb ) = x1a + b xna n n 1 n + bn , xa.xb = xa+b tơng ứng phép cộng số mũ nhóm cộng Ơ n * Từ biểu thức có dạng ( x1a xna ), R xa đợc gọi hệ số từ n Hai từ xa xa đợc gọi đồng dạng với , Có thể xem đơn thức từ có hệ số * Đa thức n biến x1, , xn vành R tổng hình thức từ f(x) = a N n a.xa (1), có hữu hạn hệ số a Từ a.xa (a 0) đơn thức xa tơng ứng từ đơn thức đa thức f(x) Hai đa thức f(x) = a N n a.xa g(x) = a N n axa đợc gọi a = a , a Ơ n Đa thức mà a = 0, a Ơ n đợc gọi đa thức không, ký hiệu * Phép cộng đa thức đợc định nghĩa ( a a xa ) + ( a a x a) = N N n n a N n (a + a)xa Với việc nhóm từ đồng dạng, ta viết f(x) dới dạng f(x) = xa1 + + pxap (2) a1, , ap Ơ n phận số mũ khác Biểu diễn đợc gọi biểu diễn tắc f(x) Với i degf(x), kí hiệu fi tổng tất từ có bậc tổng thể i biểu diễn tắc f(x) * Phép nhân đa thức đợc định nghĩa ( a a xa ).( a a x a) = N N n n a x a, a N n a = b , c N n , b + c = a bc Dễ dàng kiểm tra đợc kết phép cộng phép nhân đa thức đa thức * Với hai phép toán cộng nhân đa thức ta kiểm tra tập tất đa thức lập thành vành giao hoán, có phần tử đơn vị đơn thức đợc ký hiệu R[x1, , xn] , hay R[x] 1.1.1 Định nghĩa Vành R[x1,,xn] xây dựng nh đợc gọi vành đa thức n biến vành R a a * Chú ý : Cho m < n Có thể xem từ ( x1 x n ) R nh từ n (x1a1 xma m ) xma m++11 xna n vành R[x1, , xm]; xem vành R[x1, , xn] nh vành đa thức n - m biến xm+1, , xn vành R[x1,, xm], tức R[x1, , xn] = R[x1, , xm][xm+1,, xn] 1.1.2 Định nghĩa Bậc tổng thể đa thức f(x) = a a xa số N n deg f (x) = max{a1 ++ ak / a 0} * Chú ý : + Bậc tổng thể đa thức + Bậc tổng thể đa thức đợc quy ớc số tuỳ ý + Trong vành R[xk+1, , xn][x1, , xk] deg x1 xk f ( x) = max{a1 + + a k / a 0} 1.1.3 Tính chất + Nếu R miền nguyên vành đa thức R[x] miền nguyên + Nếu R miền nguyên đa thức f(x), g(x) R[x] có deg(f(x).g(x)) = degf(x) + degg(x) deg(f(x) + g(x)) max{degf(x), degg(x)}, ta có bất đẳng thức chặt degf(x) = degg(x) fdegf(x)= - gdegg(x) + R vành Noether R[x] vành Noether (đó dạng tổng quát Định lý Hilbert sở) 1.2 Iđêan đơn thức 1.2.1 Định nghĩa Iđêan I K[x] đợc gọi iđêan đơn thức sinh đơn thức Tức iđêan đơn thức có dạng I = (xa ; a A), A Ơ n 1.2.2 Bổ đề Cho I = (xa/ aA) iđean đơn thức Đơn thức xb I xb chia hết cho đơn thức xa với aA Chứng minh: + Nếu xb chia hết cho đơn thức xa với a A xb I s + Nếu x I tồn hi K[x] a(i)A, i = 1, , s cho x = b b i =1 hi x a ( i ) Xem hi nh tổng hữu hạn từ khai triển vế phải đẳng thức ta thấy từ phải chia hết cho xa(i) Sau giản ớc, số từ lại phải xb; xb phải có tính chất từ đó, tức x b chia hết cho xa(i) mà a(i) A 1.2.3 Bổ đề Cho I iđêan đơn thức f K[x] Khi điều kiện sau tơng đơng: (i) f I (ii) Mọi từ f thuộc I (iii) f tổ hợp tuyến tính K đơn thức thuộc I Chứng minh : + Hiển nhiên (iii) (ii) (i) + Ta cần chứng minh (i) (iii) đủ Lí luận tơng tự nh chứng minh Bổ đề 1.2.2 ta có f I f = s h x i i a (i ) , I = (xa ; aA), A Ơ n , a(i)A, hi K[x] Khai triển vế phải ta có từ f chia hết cho xa(i) với a(i)A Mà đơn thức chia hết cho xa lại thuộc I, từ f tích đơn thức thuộc I phần tử thuộc K (iii) 1.2.4 Hệ Hai iđêan đơn thức vành đa thức chúng chứa tập đơn thức Nh iđêan đơn thức hoàn toàn xác định tập đơn thức 1.2.5 Bổ đề Iđêan I iđêan đơn thức với f I, từ f thuộc I Chứng minh: + Chiều thuận suy từ Bổ đề 1.2.3 + Ta chứng minh chiều ngợc lại Gọi A tập tất đơn thức đa thức I I = (A) I iđêan đơn thức 1.2.6 Bổ đề Dickson Mọi iđêan đơn thức I = (xa ; aA) viết đợc dới dạng I = (xa(1), , xa(s)), a(1), , a(s)A Nói riêng I hữu hạn sinh Chứng minh : Suy từ Định lý Hilbert sở 2.2.7 Thuật toán tìm tập sinh đơn thức tối tiểu Theo Bổ đề 1.2.2 Bổ đề Dickson suy iđêan đơn thức I có tập sinh tối tiểu gồm đơn thức Tập sinh đợc gọi tập sinh đơn thức tối tiểu I Mỗi đơn thức tập sinh đợc gọi đơn thức sinh I Sau thuật toán tìm tập sinh đơn thức tối tiểu {u 1, , us} biết tập sinh hữu hạn đơn thức {m1, , mr} iđêan đơn thức I : Tìm tapsinh.đttt(m1, , mr) := {u1,, us} Input : m1, , mr Output : u1, , us s := 0; i :=1 While i r j := i+1 While j r If mj mi then i := i+1; j := i+1 Else While mi mj k := j ; r := r -1 While k r mk := mk+1; k := k+1 j :=j +1 s := s +1 ; us := mi ; i := i+1 1.2.8 Tính chất + Nếu m = x1a x na m'= x1b xnb hai đơn thức, ký hiệu ƯCLN(m,m') đơn n n thức bậc lớn chia hết cho m m', BCNN(m, m') đơn thức bậc nhỏ chia hết cho m m' Khi ƯCLN(m,m') = x1min{a ,b } x nmin{a 1 n ,bn } BCNN(m,m') = x1max{a ,b } xnmax{a 1 n ,bn } 10 + Cho I =(m1, , mr) J =(n1,, ns) hai iđêan đơn thức Khi I J iđêan đơn thức I J = (BCNN(mi , nj )/1 i r, 1j s) 19 m1 < m3 m1 R < m3 + Khả 2: m2, m3 không so sánh đợc với theo thứ tự m2 < m3 Khi theo Nhận xét 1.4.1.a (m2) = (m3) Nh (m1) = (m3), thứ tự từ nên thoả mãn tính bắc cầu m < m3 , m1 m3 nên m1, m3 không so sánh đợc với theo thứ tự (theo Nhận xét 1.4.1.a) m1 < m3 m1 R< m3 Nói tóm lại R thoả mãn tính bắc cầu +) Tính phản đối xứng : Giả sử m1R m2, m2R m1 m1 m2; tức m1 R< m2, m2R< m1 Theo tính chất bắc cầu chứng minh m1 R< m1, điều vô lý xảy m1 < m1 m1 < m1 + Tính toàn phần : Điều ta có thứ tự toàn phần(vì thứ tự từ) nên R thứ tự toàn phần * ) Bây ta chứng minh R thoả mãn hai điều kiện định nghĩa thứ tự từ + Điều kiện (i): Với m M, thứ tự theo trọng nhận làm phần tử cực tiểu nên (1) (m) Có khả sau xảy ra: Khả 1: (1) < (m) Khi < m1 R< m R m Khả 2: (1) = (m) m Theo Nhận xét 1.4.1.a m không so sánh đợc với theo thứ tự , đồng thời m (vì thứ tự từ) nên 1R m 20 Tóm lại ta có 1R m với m M + Điều kiện (ii): Với m, m1, m2 M cho m1 R m2 Nếu m1 = m2 m.m1 = m.m2 hay m.m1 R m.m2 Nếu m1 m2 ta có khả sau: Khả 1: m1 < m2 Theo Định nghĩa 1.3.1 (m1) < (m2) (m) + (m1) < (m2) + (m) (m.m1) < (m.m2) m.m1< m.m2 m.m1 R< m.m2 m.m1 R m.m2 * Chú ý m M m = xa, mà : Rn R phiếm hàm tuyến tính nên ta viết (m) thay cho (a), tính "tuyết tính" thể chỗ (m1.m2)=(m1)+(m2) Khả 2: m1, m2 không so sánh đợc với theo m1 < m2 Khi m.m1 m.m2 (m.m1) = (m.m2) nên m.m1, m.m2 không so sánh đợc với theo m.m1 m.m2 (do thứ tự từ) m.m1 R m.m2 2.4.8 Định lý Cho u = (u1, , un) Ă n cho u1, , un số thực d- ơng độc lập tuyến tính Q Khi quan hệ u đợc định nghĩa nh sau thứ tự từ: x x2 > > xn Gọi f1 = x1 f2 = x12.x2 + x3 f3 = x13 x22.x3 + x4 fs = x1s.x2s-1 xs + xs+1 24 {f1, , fn} hệ sinh tối tiểu iđêan I = (f1, , fs) (do ta bỏ đợc phần tử fi với i s nào, fi biểu thị qua fi lại, nguyên nhân phần tử xi+1 đa thức fi ) Ta có in(f1) = x1; in(f2) = x12x2, , in(fs) = x1s.x2s-1 xs (in(f1), , in(fs)) = (in(f1)) = (x1) Ta có f = f2 (x1x2)f1 = x3 I in(f) in(I) f in(I) (do in(f) = f) Nhng f = x3 (in(f1), , in(fs)) (do (in(f1), , in(fs)) = (x1)) in(I) thực chứa (in(f1), , in(fs)) Nh sở Grobner iđêan sở iđêan nhng chiều ngợc lại không 3.3.4 Định lý Cho G I sở hữu hạn iđêan I Khi đó, G sở Grobner I với f I, in(f) chia hết cho in(g) với g G Chứng minh: Theo Định nghĩa 3.3.1 sở Grobner ta có : G sở Grobner I in(I) = (in(g1), in(g2), , in(gs)) (trong G = {g1, , gs}) Ta chứng minh in(I) = (in(g1), , in(gs)) Với f I, in(f) chia hết cho in(g) với g G +) Chiều thuận : Với f I, I =(g1, , gs) nên f = s fg i =1 i i Ta có in(f) in(I) in(f) (in(g1), , in(gs)) Theo Bổ đề 1.2.2 in(f) chia hết cho in(gk) với k s 25 +) Chiều nghịch: Rõ ràng (in(g1), , in(gs)) in(I) Với f I, hay in(f) in(I), ta có in(f) chia hết cho in(g), với g G in(f) (in(g1), , in(gs)) in(I) (in(g1), , in(gs)) in(I) = (in(g1), , in(gs)) 3.3.5 Định lý Với đa thức f R = K[x], kí hiệu M(f) tập tất đơn thức f Cho thứ tự từ M Với f, g R ta định nghĩa f * g M(f) ' M(g), nghĩa là: - Nếu M(f) = M(g) f * g g * f - Nếu M(f) M(g) f * g - Nếu M(f) M(g), xếp đơn thức M(f) M(g) theo thứ tự giảm dần Tại cặp đơn thức khác kể từ bên trái, đa thức có đơn thức bé bé Khi * giả thứ tự tốt R mở rộng giả thứ tự tập từ R Chứng minh: Điều đợc suy từ thứ tự từ nên thứ tự tốt Việc kiểm tra * giả thứ tự dễ dàng Bây ta chứng minh giả thứ tự tốt Rõ ràng giả thứ tự toàn phần Giả sử không giả thứ tự tốt Tồn tập A gồm đa thức R A phần tử nhỏ theo giả thứ tự * Trên A: ta gọi A1 tập đa thức có đơn thức đầu bé nhất(điều tồn thứ tự tốt M) Tơng tự : Trên A1: ta gọi A2 tập đa thức có đơn thức thứ bé nhất(đa thức đợc viết theo thứ tự giảm dần đơn thức) Trên An: ta gọi An+1 tập đa thức có đơn thức thứ n+1 bé Rõ ràng A A1 An 26 (Ta coi trình vô hạn, trái lại đến lúc A N đa thức có đơn thức thứ N+1 lúc A có phần tử bé phần tử AN) Gọi mi đơn thức thứ i Ai , i = 1, 2, m1 > m2 > > mn >, điều mâu thuẫn với M(A)-tập đơn thức đa thức A có phần tử nhỏ 3.3.6 Định lý Cho I iđêan vành R = K[x] Trên R cố định thứ tự từ cho T in(I) từ Khi tập đa thức f I với in(f) = T có phần tử tối tiểu (theo giả thứ tự định nghĩa nh Định lý 3.3.5) Chứng minh: Theo Định lý 3.3.5 tập có phần tử tối tiểu Bây ta chứng minh Thật vậy, giả sử ngợc lại, tập có phần tử tối tiểu khác f g Khi chúng có dạng: f = T + 1.xa1 + 2.xa2 ++ n x an g = T + 1.x a1 + 2.xa2 ++ n.xan i, i 0, i = 1, , n Gọi k số nhỏ mà k k Không tính tổng quát ta giả sử k =1 Do I iđêan f, g I 1.f , 1.g I 1.f - 1.g I Hay (1- 1)T + (11 - 1)xa1 +(2 1- 12)xa2+ + (n 1- 1n)xan I (1- 1)T + (21- 2)xa2 + + (n - 1n)xan I Do - 0, K trờng cho =(1- 1)-1 [(1- 1)T + (21- 12)xa2 ++(n 1- 1n )xan ] I T + (21- 12)xa2++(n 1- 1n)xan I Điều mâu thuẫn với f, g phần tử tối tiểu 3.4 Phép chia đa thức 3.4.1 Định lý - Định nghĩa Cố định thứ tự từ M cho F = {f1, f2, , fs} R = K[x1, , xn] Khi đa thức f R viết đợc dới dạng f = q1 f1 + + qs fs + r Trong qi , r R thoả mãn điều kiện sau: 27 (i) Hoặc r = từ r chia hết cho từ khởi đầu in(f1), , in(fs) Hơn in(r) in(f) (ii) Nếu qi in(qi fi) in(f), i =1, s Đa thức r gọi đa thức d (hoặc phần d ) f chia cho F ký hiệu r =RemF(f) * Biểu diễn f gọi biểu diễn tắc f theo f1, , fs 3.4.2 Chú ý: * Đa thức d RemF(f) không xác định * Định lý đợc chứng minh nhờ vào thuật toán chia đa thức sau : Tìm Phandu(f; f1, , fs) := r chia f cho f1, , fs Input : f1,, fs, f : đa thức K[x] Output: q1, , qs , r : đa thức K[x] q1 := 0, , qs := 0, r := p := f While p i :=1 Chiahet := false While i s and Chiahet = false If in(fi)in(p) then qi := qi + in(p)/in(fi) p := p - (in(p)/in(fi )).fi Chiahet := true Else i := i + If Chiahet = false then r := r + in(p) p := p - in(p) * Kết thuật toán chia đa thức phụ thuộc vào thứ tự xếp phần tử F={f1,, fs} Đa thức Phandu(f; F) xác định giá trị RemF(f) 28 3.4.3 Tính chất (i) F ={f1, , fs} sở Gr o bner thứ tự từ cho trớc Khi với đa thức f R, đa thức d r phép chia f cho hệ F (trong Định lý chia đa thức 3.4.1) xác định (ii) F ={f1, , fs} sở Gr o bner iđêan I thứ tự từ cho trớc đa thức f I Khi f I đa thức d r phép chia f cho hệ F 3.4.4 Định lý Trong Định lý chia đa thức (Định lý - định nghĩa 3.4.1) điều kiện in(r) in(f) đợc suy từ điều kiện (ii) Chứng minh: Thật vậy, giả sử ngợc lại in(r) > in(f), mà f = q1 f1 + + qs fs + r in(r) phải bị khử đa thức q i fi với i =1, , s, chắn có đa thức q k fk mà có từ đồng dạng với in(r) Khi đó, in(qk fk) in(r) > in(f) in(qk fk) > in(f) : Điều mâu thuẫn với (ii) 3.4.5 Định lý Trong Định lý chia đa thức, hệ đa thức chia gồm đa thức đa thức d đa thức "thơng" đợc xác định Chứng minh: Gọi g đa thức chia (giả thiết cho hệ đa thức chia gồm đa thức) f đa thức "bị chia" Giả sử đa thức d không xác định nhất, tức tồn đa thức q1, q2, r1, r2 cho f = qi.g + ri với i = 1, thoả mãn điều kiện Định lý chia đa thức, r1 r2 Ta có f = q1.g + r1 = q2.g + r2 r1 - r2 = (q2 - q1)g Do r1 r2 nên r1- r2 Theo Tính chất 3.1.2 in(r1- r2) = in(q2 - q1).in(g) Do q1 q2 nên in(r1 - r2) chia hết cho in(g) (Điều mâu thuẫn với đơn thức in(r1 - r2) đơn thức r1 r2 nên không chia hết cho in(g)) 29 3.4.6 Định lý Trên vành đa thức R = K[x1, , x2] cho hệ đa thức F ={f1, , fn-1} cho f1= 1x1 + g1, f2 = 2x2 + g2, , fn-1 = n-1xn-1 + gn-1 g1, , gn-1 đa thức dạng xnan i 0, i = 1, , n-1 Khi đa thức f R viết dới dạng f = h1 f1 + + hn-1 fn-1 + r r đa thức phụ thuộc xn Chứng minh: Ta chứng minh cho việc biểu diễn từ f dạng trên, f có dạng Do đó, không tính tổng quát ta giả sử f từ Đồng thời K trờng i nên ta chứng minh cho i = đủ Tức là: f1 = x1 + g1, , fn-1 = xn-1 + gn-1 f = x1a1xnan Đi từ f1 đến fn-1 : a1 > f = x1 a1 Rõ ràng k1 = - x1 a1 a 2a2 x nan g1 a 2a2 x nan (x1 + g1) + k1 bậc x1 từ k1 giảm đơn vị so với f tiếp tục trình từ k1 nh f sau hữu hạn bớc ta có f = h1(x1 + g1) + k2 với k2 từ chứa x1 Tiếp tục tơng tự chia k2 cho f2 = x2 + g2 nh ta có f = h1 f1 + h2 f2 + k3 với k3 từ chứa x1, x2 Cuối f = h1 f1 + + hn-1 fn-1 + r với r từ chứa x1, x2, , xn-1 r phụ thuộc xn Một cách tổng quát ta có kết nh sau: 3.4.7 Định lý Trên vành R = K[x1, , x2] ta chia tập {1, 2, , n} thành tập khác rỗng S1, S2 Gọi F1 = {xi / i S1} F2 = { xi / i S2} Gọi F = {fi / fi có dạng ixi + gi với i S1, i từ gi không chứa xj với j S1} Khi với đa thức f R biểu diễn đợc dới dạng 30 f= f i F hi f i + r với r đa thức phụ thuộc vào biến xi với i S2 3.4.8 Định lý Cho f, f1, , fs R R có thứ tự Khi f viết dới dạng f = h1 f1 + + hs fs + r , cho đơn thức hi nằm tập đơn thức m thoả mãn m.in(fi) (in(f1), , in(fi -1)) đơn thức r không nằm (in(f1), , in(fs)) Chứng minh: Việc tồn tại, ta chứng minh phơng pháp quy nạp theo s truy hồi từ f1 đến fs thoả mãn điều kiện toán Chú ý ta thực lên từ f có dạng f có dạng nên ta giả thiết f từ Bây ta chứng minh tính Thật vậy, giả sử có cách phân tích khác f = h1 f1 + + hs fs + r1 = k1 f1 + + ks fs + r2 thoả mãn yêu cầu toán (h1 - k1) f1 + + (hs - ks) fs = r2 - r1 +) Nếu r1 = r2 (h1 - k1) f1 + + (hs - ks) fs = Gọi s' số lớn mà hs' ks' (nếu không ta có điều phải chứng minh) (h1 - k1) f1 + + (hs' - ks') fs' = (hs' - ks') fs' = (k1 - h1) f1 + + (ks'-1 - hs'-1) fs'-1 Đơn thức hs' - ks' đơn thức hs' ks' 31 Tồn đơn thức m hs' ks' cho m.in(fs') (in(f1), , in(fs'-1) : Mâu thuẫn +) Nếu r1 r2 ta có từ r1 - r2 chia hết cho từ {in(f1), , in(fs)} Mà đơn thức r1 - r2 đơn thức r1 r2 : mâu thuẫn Kết luận 32 Khoá luận thu đợc kết sau: Trình bày số kiến thức lý thuyết sở Grệbner Đặc biệt thứ tự từ khái niệm mở đầu cho lý thuyết sở Grệbner Nghiên cứu số tính chất thứ tự từ Chẳng hạn nh Định lí 2.4.6 định nghĩa hình nón dơng tính chất nó, Định lí 2.4.7 2.4.8 điều kiện để tích từ điển thứ tự từ Nghiên cứu mở rộng thứ tự từ M lên giả thứ tự tập từ mở rộng giả thứ tự tập từ lên vành đa thức R Định lí 3.3.5 Nghiên cứu tìm số điều kiện để đa thức d Định lý chia đa thức (Định lý 3.4.5 Định lý 3.4.8) Khoá luận đặt số câu hỏi cần giải quyết, chẳng hạn nh vấn đề tơng tự thứ tự từ M sang giả thứ tự R theo Định lí 3.3.5 nh nào, có điều kiện để đa thức d định lý chia đa thức nhất, có điều kiện để tích từ điển thứ tự từ, đặc biệt thứ tự theo trọng (liên hệ công cụ nghiên cứu phiếm hàm tuyến tính Giải tích vào lĩnh vực Đại số) 33 Tài tiệu tham khảo [1] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính- Cơ sở Grệbner,Viện Toán học [2] Th.Becker and V.Weispfenning (1993), Grệbner Bases-A Computational Approach to Commutative Algebra, Springer Verlag [3].D.Cox (1991), T.Little and DOshea, Ideals,Varieties and Algorithms, Springer Verlag [4].B.Sturmfels (1996), Grệbner bases and convex polytopes, University Lecture Series 8, American Mathematical Society, providence, RI [5] W.V.Vasconcelos (1998), Computational Methods in Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Springer-Verlag [...]... với một thứ tự từ thì thứ tự từ đó gọi là thứ tự từ phân bậc Theo đó, thứ tự từ điển phân bậc và thứ tự từ điển ngợc là những thứ tự từ phân bậc + Thứ tự theo trọng là một thứ tự bộ phận, không phải là thứ tự từ 2.3.3 Tính chất + Nói chung tích từ điển của các thứ tự bộ phận không phải là thứ tự + Tích từ điển của các thứ tự theo trọng là thứ tự bộ phận trên M Hơn nữa, nếu tất cả các hàm trọng số nhận... không âm trên Ơ n và thứ tự tích là thứ tự toàn phần thì thứ tự tích là một thứ tự từ + Vấn đề ngợc lại là một kết quả chính của Robbiano: "Mọi thứ tự từ là tích từ điển của tối đa n thứ tự theo trọng Tích từ điển của n thứ tự theo trọng liên kết với n hàm trọng số độc lập tuyến tính là một thứ tự từ, nếu hàm trọng số đầu tiên không âm" 2.4 Một số tính chất về thứ tự từ Suy trực tiếp từ Định nghĩa 2.3.1... Mà đơn thức của r1 - r2 là đơn thức của r1 hoặc r2 : mâu thuẫn Kết luận 32 Khoá luận đã thu đợc những kết quả sau: 1 Trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết cơ sở Grệbner Đặc biệt là thứ tự từ khái niệm mở đầu cho lý thuyết cơ sở Grệbner 2 Nghiên cứu một số tính chất của thứ tự từ Chẳng hạn nh Định lí 2.4.6 về định nghĩa hình nón dơng và tính chất của nó, Định lí 2.4.7 và 2.4.8 về một điều... tích từ điển là thứ tự từ 3 Nghiên cứu mở rộng thứ tự từ trên M lên giả thứ tự trên tập các từ và mở rộng giả thứ tự trên tập các từ lên vành đa thức R bởi Định lí 3.3.5 4 Nghiên cứu tìm ra một số điều kiện để đa thức d trong Định lý chia đa thức là duy nhất (Định lý 3.4.5 và Định lý 3.4.8) 5 Khoá luận này còn đặt ra một số câu hỏi cần giải quyết, chẳng hạn nh những vấn đề tơng tự về thứ tự từ trong. .. 3.3 Cơ sở Grệbner 3.3.1 Định nghĩa Cho là một thứ tự từ và I là một iđêan của R * Tập hữu hạn các đa thức khác không g1, , gs I gọi là một cơ sở Gr o bner của I đối với thứ tự từ nếu in(I) = (in(g1), , in(gs)) 23 * Tập g1, , gs gọi là một cơ sở Gr o bner , nếu nó là cơ sở Gr o bner của iđêan sinh bởi chính các phần tử này * Cơ sở Gr o bner tối tiểu của I đối với thứ tự từ đã cho là một cơ sở. .. in(g') in(g) * Cơ sở Gr o bner rút gọn của iđêan I đối với một thứ tự từ đã cho là một cơ sở Gr o bner G I thoả mãn 2 điều kiện: (i) lc(g) = 1, g G (ii) g G và mọi từ m của g đều không tồn tại g' G \ {g} để in(g') m 3.3.2 Tính chất (i) Cho I là một iđêan tuỳ ý của R Nếu g1, , gs là cơ sở Gr o bner của I đối với một thứ tự từ nào đó thì g1, , gs là cơ sở của I (ii) Cho là một số thứ tự từ Khi đó mọi... sau hữu hạn phần tử (b) Thứ tự từ là thứ tự tốt Ngợc lại mọi thứ tự tốt trên M thoả mãn điều kiện (ii) của Định nghĩa 2.2.1 là thứ tự từ 2.3 Thứ tự theo trọng và tích từ điển của các thứ tự (bộ phận) 2.3.1 Định nghĩa + Hàm trọng số trên vành K[x] là một phiếm hàm tuyến tính Ă n Ă Hàm trọng số nguyên là hàm trọng số mà ( Â n ) Â + Thứ tự theo trọng liên kết với là thứ tự bộ phận trên M xác định... không tính từ bên phải 1 n 1 n của vectơ (1 - 1, , n - n ) là một số dơng, là một thứ tự từ + Giả sử là một thứ tự từ nào đó đã đợc xác định Giả thứ tự trên tập các từ của vành R = K[x] (cũng đợc ký hiệu là ) xác định: Nếu 0 , K và m, n M sao cho m n (tơng ứng m < n ) thì ta nói .m .n (tơng ứng .m < .n) 2.2.3 Tính chất (a) Một thứ tự toàn phần trên M là thứ tự tốt khi và chỉ khi mọi dãy đơn thức... đó * là giả thứ tự tốt trên R và là mở rộng của giả thứ tự trên tập các từ của R Chứng minh: Điều này đợc suy ra từ là thứ tự từ nên nó là thứ tự tốt Việc kiểm tra * là giả thứ tự là dễ dàng Bây giờ ta chứng minh nó là giả thứ tự tốt Rõ ràng đây là giả thứ tự toàn phần Giả sử nó không là giả thứ tự tốt Tồn tại tập A gồm các đa thức trên R và A không có phần tử nhỏ nhất theo giả thứ tự * Trên A: ta... toán chia đa thức phụ thuộc vào thứ tự sắp xếp các phần tử của F={f1,, fs} Đa thức Phandu(f; F) xác định duy nhất và là một giá trị của RemF(f) 28 3.4.3 Tính chất (i) F ={f1, , fs} là một cơ sở Gr o bner đối với một thứ tự từ cho trớc Khi đó với mỗi đa thức f R, đa thức d r của phép chia f cho hệ F (trong Định lý chia đa thức 3.4.1) là xác định duy nhất (ii) F ={f1, , fs} là một cơ sở Gr o bner ... trọng số + Hàm bậc tổng thể tơng thích với thứ tự từ thứ tự từ gọi thứ tự từ phân bậc Theo đó, thứ tự từ điển phân bậc thứ tự từ điển ngợc thứ tự từ phân bậc + Thứ tự theo trọng thứ tự phận, thứ tự. .. - Định lí sở, Định lí xoắn Định lí không điểm Nghiên cứu số tính chất thứ tự từ lý thuyết Cơ sở Grệbner nội dung Khoá luận Trong Khoá luận trình bày số Định nghĩa tính chất lý thuyết Cơ sở Grệbner,... thứ tự từ 2.3.3 Tính chất + Nói chung tích từ điển thứ tự phận thứ tự + Tích từ điển thứ tự theo trọng thứ tự phận M Hơn nữa, tất hàm trọng số nhận giá trị không âm Ơ n thứ tự tích thứ tự toàn