2.5.1. Định lý. Giả sử A, B là Zn-k-2 tập mạnh khác rỗng trong En , trong đó k ≥ 0, n ≥ 2k + 2. Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng trong đó k ≥ 0, n ≥ 2k + 2. Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng
i')sh(A) =sh(B),
ii') Các không gian điểm (En / A, A ), (En / B, B ) đồng phôi với nhau, iii') Các không gian điểm (En / A, A ), (En / B, B ) tơng đơng đủ, iv') En \ A , En \ B là đồng phôi.
Chứng minh.(i') → (ii') theo Định lý 2.3.2. (ii') → (iii'), (iii') → (iv') là hiển nhiên.
(iii') → (i'). Giả sử (En / A,A ) và (En / B,B ) tơng đơng đủ. Ta cần chứng minh sh(A) = sh(B).
Thật vậy, giả sử A, B là Zn - k - 2 tập mạnh không rỗng trong En, trong đó k ≥ 0 , n ≥ 2k+2 . Khi đó Mệnh đề 2.1.13 thì dim A ≤ k, dim B ≤ k. Theo Định lý 2.1.20 thì tồn tại phép đồng phôi h: A →lên A' ⊂ E2k+1, trong đó A' là giả đa diện của En. Vì h ; iA trong U = En nên theo Hệ quả 2.1.14, tồn tại phép đồng phôi h': En →lên En thoả mãn h'(A) = A'.
Lập luận tơng tự ta có tồn tại phép đồng phôi h": En →lên En thoả mãn h" (B) = B', trong đó h"(B) ⊂ E2k+1, h"(B) là giả đa diện trong En.
Giả sử A' ∩ B' = φ. Khi đó từ (iii') suy ra (En / A', A') và (En / B', B' ) là tơng đơng đủ. Khi đó theo Bổ đề 2.4.4 thì sh(A') = sh(B').
(iv') → (ii'). Giả sử Sn = En ∪ (x∞) là không gian điểm compact hoá của En
và x0 ∈ Sn \ (A ∪ B ∪ (x∞)). Khi đó theo (iv') thì tồn tại phép đồng phôi h: Sn \ (A ∪ (x∞)) →lên Sn \ (B ∪ (x∞)) và ta chọn phép đồng phôi này thoả mãn h(x0) = x0.
Xét phép đồng phôi ˆh : Sn \ (x0) → En. Đặt  = ˆh (A ∪ (x∞)) , ˆB = ˆh (B ∪ (x∞)). Khi đó ta có h h ˆhˆ -1(E \ An ˆ)
(En \ Â): En \ Â →lên En \ B là phép đồng phôi. ˆ Do đó ˆh h ˆh-1: (En / Â,Â) →lên (En / ˆB , Bˆ) là phép đồng phôi.
Vì vậy iv '→ ii'. Vậy định lý đợc chứng minh.
Sử dụng Hệ quả 2.1.21 và Định lí 2.5.1 ta có hệ quả sau
2.5.2. Hệ quả. Giả sử k và n là hai số tự nhiên thoả mãn n ≥ 2k +2,A, B là hai không gian mêtric compact thoả mãn dim A ≤ k, dim B ≤ k. Nếu sh(A) =sh(B) thì tồn tại 2 tập A', B' trong En đồng phôi với A và đẳng cấu với B sao cho (En \ A') đồng phôi với (En \ B') .
Kết luận
Sau một thời gian nghiên cứu các tài liệu tham khảo, cùng với sự h- ớng dẫn tận tình của thầy giáo - TS. Tạ Khắc C, luận văn đã đạt đợc một số kết quả nh sau:
1. Hệ thống đợc một số tính chất cơ bản của ANR - không gian, Shape, ánh xạ đồng luân, dãy cơ bản, tơng đơng cơ bản.
2. Làm quen với các khái niệm Z - tập , ε - đẩy(ε−push), Zk tập mạnh, lân cận chính quy, ε -lân cận chính quy, giả đa diện, phép nhúng giả đa diện, mối quan hệ giữa giả đa diện và Zn -k-2 tập mạnh, hai không gian điểm tơng đơng đủ, mối quan hệ giữa shape và không gian điểm.
3. Chứng minh chi tiết các mệnh đề đa ra trong các tài liệu tham khảo, đồng thời tác giả đã chứng minh đợc các kết quả Nhận xét 2.1.3, mệnh đề 2.1.6, Mệnh đề 2.1.7, Mệnh đề 2.1.10, Mệnh đề 2.1.11, Mệnh đề 2.1.13, Hệ quả 2.1.212, Nhận xét 2.4.2 đã đợc nêu trong tài liệu tham khảo.