2 Hàm điều hòa bị chặn
2.4 Họ chuẩn tắc
Trong giải tích phức số hạng họ chuẩn tắc nói về tập hợp các hàm chỉnh hình với tính chất: "Mỗi dãy trong tập hợp chứa một dãy con hội tụ đều trên tập compact của miền". Kết quả được sử dụng nhiều nhất trong phạm vi này (các công cụ chính hầu như trong chứng minh của Định lý ánh xạ Riemann) phát biểu rằng "Tập hợp các hàm chỉnh hình bị chặn đều trên mỗi tập con compact của miền là họ chuẩn tắc". Bây giờ ta chứng minh kết quả tương tự cho hàm điều hòa.
Định lý 2.4.1. Nếu (um) là dãy các hàm điều hòa trên Ω bị chặn đều trên mỗi tập con compact của Ω thì mỗi dãy con của (um) hội tụ đều trên mỗi tập con compact của Ω.
Chứng minh. Trước tiên ta có nhận xét: Tồn tại hằng số C < ∞ sao cho với mọi u điều hòa và bị chặn bởi M trên hình cầu bất kỳ B(a,2r):
|u(x)−u(a)| 6 sup
B(a,r)
|Ou|
|x−a| 6 CM
r (x−a), ∀x ∈ B(a, r).
Bất đẳng thức thứ nhất là dễ thấy; bất đẳng thức thứ hai từ Ước lượng Cauchy (2.3.1). Bây giờ giả sử K ⊂ Ω là tập compact và cho
r = d(K, ∂Ω)
3 . Vì tập K2r = {x ∈ Rn : d(x, K) 6 2π} là tập con compact của Ω, dãy (um) bị chặn đều bởi điểm M < +∞ trên K2r. Cho a, x ∈ K và giả sử |x−a| < r. Khi đó x ∈ B(a, r) và |um| 6 M
trên B(2a, r) ⊂ K2r với mọi m và do vậy ta suy ra
|um(x)−um(a)| 6 CM
Chứng tỏ (um) là dãy liên tục đều trên K. Để kết thúc chứng minh ta chọn các tập compact
K1 ⊂ K2 ⊂ · · · ⊂ Ω
có trong phủ Ω. Vì (um) liên tục đều trên K1 nên theo định lý Arzela- Ascoli bao hàm (um) chứa dãy con hội tụ đều trên K1. Áp dụng định lý Arzela-Ascoli một lần nữa, ở đó dãy con của dãy này hội tụ đều trên
K2 và vân vân. Và như vậy mỗi dãy con của (um) hội tụ đều trên mỗi tập con compact Kj của Ω.
Lưu ý rằng từ Định lý (1.6.3), dãy con hội tụ thu được ở trên hội tụ tới một hàm điều hòa; hơn nữa mỗi đạo hàm riêng của dãy con này hội tụ đều trên mỗi tập con compact của Ω.
Định lý (2.4.1) thường được sử dụng để chứng minh cực trị tồn tại nhất định. Chẳng hạn như, nếu a ∈ Ω thì tồn tại hàm điều hòa v trên Ω sao cho |v| < 1 trên Ω và:
|Ov(a)| = sup{|Ou(a)| : u điều hòa trên Ω và |u| < 1 trên Ω}.
2.5 Nguyên lý cực đại
Hệ quả (1.4.2) là nguyên lý cực đại trong dạng tổng quát nhất của nó. Nó phát biểu rằng: Nếu u là hàm giá trị thực điều hòa trên Ω và
u 6 M tại biên của Ω, thì u 6 M trên Ω. vấn đề ở đây ta xem ∞ như một điểm biên (Một lần nữa hàm u(x, y) = y trên H cho thấy tại sao điều này là cần thiết). Thường ta có thể bỏ qua các điểm vô cực khi
u bị chặn. Kết quả tiếp theo cho thấy điều này luôn làm được trong không gian hai chiều.
Định lý 2.5.1. Giả sử Ω ⊂ R2 và Ω 6= R2. Nếu u là hàm điều hòa giá trị thực, bị chặn trên Ω thỏa mãn:
lim
k→∞supu(ak) 6 M (2.5.1)
với mọi dãy (ak) trong Ω hội tụ tới một điểm trong ∂Ω thì u 6M trên
Chứng minh. Vì Ω 6= R2, ∂Ω không rỗng. Cho ε > 0 và chọn dãy trong Ω hội tụ tới một điểm trong ∂Ω. Từ giả thiết unhỏ hơn M+εtrên đoạn cuối dãy này. Điều này cho thấy có một hình cầu đóng B(a, r) ⊂ Ω mà trên đó u < M +ε. Đặt Ω0 = Ω\B(a, r) và đặt v(z) = ln z −a r
với z ∈ Ω0. Khi đó v dương và điều hòa trênΩ0 và v(z) → ∞khi z → ∞
ở trong Ω0.
Cho t > 0, bây giờ ta định nghĩa hàm điều hòa wt trên Ω0 xác định bởi
wt = u−M −ε−tv.
Từ (2.5.1) và chú ý trước đó, lim
k→∞supwt(ak) < 0 với mỗi dãy (ak) nằm trong Ω0 hội tụ tới một điểm trong Ω0. Trong khi đó tính bị chặn của u
trên Ω0 chỉ ra rằng wt(ak) → −∞ với mỗi dãy (ak) hội tụ tới ∞ ở trong Ω0. Từ hệ quả 1.4.2 wt < 0 trên Ω0. Bây giờ cho t → 0, ta thu được
u 6 M + ε trên Ω0. Vì u < M + ε trên B(a, r) nên ta có u 6 M + ε
trong khắp Ω. Do ε là tùy ý nên ta thu được u 6 M trên Ω.
Lưu ý rằng Định lý (2.5.1) không còn đúng trong không gian có số chiều cao hơn.
Ví dụ 7. Cho Ω = {x ∈ Rn : |x| > 1} và đặt u(x) = 1− |x|2−n. Nếu
n > 2 thì u là hàm điều hòa bị chặn trên Ω triệt tiêu trên ∂Ω nhưng không đồng nhất bằng 0 trên Ω (Thực tế u cũng không bao giờ bằng 0 trên Ω).
Nguyên lý cực đại sau vẫn đúng trong tất cả các không gian với số chiều tùy ý. Nhớ lại Hn biểu thị nửa không gian của Rn.
Định lý 2.5.2. Giả sử Ω ⊂ Hn. Nếu u là hàm đạt giá trị thực, điều hòa và bị chặn trên Ω thỏa mãn:
lim
k→∞supu(ak) 6 M
Chứng minh. Với (x, y) ∈ Ω ta xác định: v(x, y) = n−1 X k=1 ln(x2k + (y + 1)2)
thì v dương và điều hòa trên Ω, và v(z) → ∞ khi z → ∞ trong Hn. Để thu được v ta có thể sử dụng ý tưởng trong chứng minh của Định lý (2.5.1) để kết thúc chứng minh.