Báo cáo nhóm 5 học phần toán kĩ thuật các bài toán phương trình vi phân, tích phân phức và 1 số bài toán ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN ────── * ────── BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: TỐN KĨ THUẬT CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN PHỨC VÀ SỐ BÀI TỐN ỨNG DỤNG Sinh viên thực hiện: 1, Đào Văn quang : 2022600942 2, Phạm Minh Quân : 2022607207 3, Vũ Đăng Phóng : 2022607000 4, Trần Bá Sơn : 2022607230 5, Lê Văn Sơn : 2022606693 6, Thân Ngọc Sơn : 2022603983 7, Phạm Tất Thành : 2022602300 8, Nguyễn viết thành : 2022601172 9, Phạm Văn Quân : 2022600343 Tên lớp : 2022DHCODT01 Giáo viên giảng dạy : Nguyễn Thị Quỳnh Contents Bảng đánh giá tiêu chí làm việc nhóm, tổng điểm đánh giá thành viên quy đổi hệ số cá nhân: PHẦN MỞ ĐẦU : PHẦN 1: BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HỆ SỐ HẰNG Câu 1: Giải phương trình Câu 2: Giải phương trình: 10 Câu 3: Giải phương trình: 10 Câu 4:Giải phương trình: 11 Câu 5: Giải phương trình: 11 PHẦN 2: BÀI TẬP BÀI TỐN TÍCH PHÂN PHỨC .12 Câu 1: Tính tích phân: 12 Câu 2:Tính tích phân: 13 Câu 3: Tính tích phân: 13 Câu 4:Tính tích phân: 14 Câu 5: Tính tích phân: 15 PHẦN : BÀI TẬP BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ 15 Câu 1: Giải toán 15 Câu 2: Giải toán .16 PHẦN KẾT LUẬN .17 Bảng đánh giá tiêu chí làm việc nhóm, tổng điểm đánh giá thành viên quy đổi hệ số cá nhân: - Phiếu Đào Văn Quang: Tiêu chí Tên thành viên Sự nhiệt tình tham gia công việc Đưa ý kiến ý tưởng làm Đào Văn Quang 10 Phạm Minh Quân Phạm Văn Quân Nguyễn Việt Thành 9 Phạm Tất Thành 10 Vũ Đăng Phóng 9 Thân Ngọc Sơn 9 Trần Bá Sơn Lê Văn Sơn - Phiếu Phạm Văn Quân: Tiêu chí Tên thành viên Sự nhiệt tình tham gia cơng việc Đưa ý kiến ý tưởng làm Đào Văn Quang 8 Phạm Minh Quân Phạm Văn Quân Nguyễn Việt Thành Phạm Tất Thành Vũ Đăng Phóng 10 Thân Ngọc Sơn Trần Bá Sơn 9 Lê Văn Sơn 9 - Phiếu Phạm Minh Quân: Giao tiếp phối hợp tốt với thành viên khác cung giải vấn đề chung 8 9 9 9 Tổ chức hướng dẫn nhóm Hồn thành công việc hiệu Tổng điểm đánh giá A cho tường thành viên 9 9 9 10 9 9 10 45 43 44 45 45 45 45 44 44 Giao tiếp phối hợp tốt với thành viên khác cung giải vấn đề chung 10 9 9 9 Tổ chức hướng dẫn nhóm Hồn thành cơng việc hiệu Tổng điểm đánh giá A cho tường thành viên 9 10 8 9 9 9 8 10 44 44 45 44 43 43 43 46 43 Tiêu chí Tên thành viên Sự nhiệt tình tham gia công việc Đưa ý kiến ý tưởng làm Đào Văn Quang 8 Phạm Minh Quân 8 Phạm Văn Quân 9 Nguyễn Việt Thành 9 Phạm Tất Thành Vũ Đăng Phóng 9 Thân Ngọc Sơn Trần Bá Sơn Lê Văn Sơn - Phiếu Nguyễn Việt Thành: Tiêu chí Tên thành viên Sự nhiệt tình tham gia cơng việc Đưa ý kiến ý tưởng làm Đào Văn Quang 9 Phạm Minh Quân Phạm Văn Quân 9 Nguyễn Việt Thành 9 Phạm Tất Thành 10 Vũ Đăng Phóng 9 Thân Ngọc Sơn Trần Bá Sơn 8 Lê Văn Sơn - Phiếu Phạm Tất Thành: Giao tiếp phối hợp tốt với thành viên khác cung giải vấn đề chung 8 9 9 Tổ chức hướng dẫn nhóm Hồn thành công việc hiệu Tổng điểm đánh giá A cho tường thành viên 9 9 8 8 9 9 9 8 42 42 44 45 42 44 41 42 43 Giao tiếp phối hợp tốt với thành viên khác cung giải vấn đề chung 9 8 9 10 Tổ chức hướng dẫn nhóm Hồn thành cơng việc hiệu Tổng điểm đánh giá A cho tường thành viên 9 9 8 9 9 9 9 9 45 44 44 44 44 44 43 43 44 Tiêu chí Tên thành viên Sự nhiệt tình tham gia công việc Đưa ý kiến ý tưởng làm Đào Văn Quang Nguyễn Minh Quân Phạm Văn Quân 9 Nguyễn Việt Thành Phạm Tất Thành 9 Vũ Đăng Phóng 9 Thân Ngọc Sơn 10 Trần Bá Sơn Lê Văn Sơn 9 - Phiếu Vũ Đăng Phóng: Tiêu chí Tên thành viên Sự nhiệt tình tham gia công việc Đưa ý kiến ý tưởng làm Đào Văn Quang Nguyễn Minh Quân Phạm Văn Quân 9 Nguyễn Việt Thành 8 Phạm Tất Thành Vũ Đăng Phóng Thân Ngọc Sơn Trần Bá Sơn Lê Văn Sơn 9 - Phiếu Thân Ngọc Sơn: Tiêu chí Tên thành viên Sự nhiệt tình tham gia cơng việc Đưa ý kiến ý tưởng làm Giao tiếp phối hợp tốt với thành viên khác cung giải vấn đề chung 9 9 9 Tổ chức hướng dẫn nhóm Hồn thành công việc hiệu Tổng điểm đánh giá A cho tường thành viên 9 9 9 9 9 9 9 9 10 43 43 45 44 44 45 46 43 46 Giao tiếp phối hợp tốt với thành viên khác cung giải vấn đề chung 8 9 8 Tổ chức hướng dẫn nhóm Hồn thành cơng việc hiệu Tổng điểm đánh giá A cho tường thành viên 9 9 9 9 8 9 8 43 42 43 42 43 43 43 42 44 Giao tiếp phối hợp tốt với thành viên khác cung giải vấn đề chung Tổ chức hướng dẫn nhóm Hồn thành cơng việc hiệu Tổng điểm đánh giá A cho tường thành viên Đào Văn Quang 9 Nguyễn Minh Quân 9 Phạm Văn Quân 8 Nguyễn Việt Thành 9 Phạm Tất Thành 10 Vũ Đăng Phóng 9 Thân Ngọc Sơn Trần Bá Sơn 9 Lê Văn Sơn - Phiếu Trần Bá Sơn: Tiêu chí Tên thành viên Sự nhiệt tình tham gia công việc Đào Văn Quang Nguyễn Minh Quân Phạm Văn Quân Nguyễn Việt Thành Phạm Tất Thành Vũ Đăng Phóng Thân Ngọc Sơn Trần Bá Sơn Lê Văn Sơn - Phiếu Lê Văn Sơn: Tiêu chí Tên thành viên Đào Văn Quang Nguyễn Minh Quân Phạm Văn Quân Nguyễn Việt Thành Phạm Tất Thành Vũ Đăng Phóng Thân Ngọc Sơn Trần Bá Sơn Sự nhiệt tình tham gia công việc 9 8 9 Đưa ý kiến ý tưởng làm 9 9 9 9 Đưa ý kiến ý tưởng làm 9 8 8 8 9 9 9 9 8 8 9 9 9 9 45 44 42 43 46 44 43 44 42 Giao tiếp phối hợp tốt với thành viên khác cung giải vấn đề chung 9 10 9 Tổ chức hướng dẫn nhóm Hồn thành cơng việc hiệu Tổng điểm đánh giá A cho tường thành viên 9 9 9 9 9 9 9 45 43 45 45 44 45 42 43 45 Tổ chức hướng dẫn nhóm Hồn thành cơng việc hiệu Tổng điểm đánh giá A cho tường thành viên 9 8 9 8 8 9 45 43 43 42 41 41 43 43 Giao tiếp phối hợp tốt với thành viên khác cung giải vấn đề chung 9 9 8 Lê Văn Sơn Tên thành viên [9;10] 1.2 9 44 TB=Tổng điểm đánh giá tất thành viên nhóm Điểm trung bình = TĐ/(5x số thành viên) Hệ số nhân( dựa bảng qui đổi) 400 395 385 395 399 385 393 397 385 8.89 8.78 8.56 8.78 8.87 8.56 8.73 8.82 8.56 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 Đào Văn Quang Phạm Văn Quân Phạm Minh Quân Phạm Tất Thành Nguyễn Việt thành Vũ Đăng Phóng Lê Văn Sơn Trần Bá Sơn Thân Ngọc Sơn Điểm trung bình Hệ số nhân [8;9] [7;8] [6;7] [5;6] 0.8 0.6 0.4 PHẦN MỞ ĐẦU : Tốn kỹ thuật mn hay nhóm ngành kỹ thuật Cho đến nay, tìm thấy ứng dụng rộng rãi việc thực tính tốn khác nhau, dựa số phương pháp tính phân rã tích phân kép để giải toán cách hiệu ngắn gọn Phương pháp thường sử dụng tiến hành tính tốn, xử lý vấn đề kỹ thuật Với giúp đỡ cơng cụ tính tốn này, bạn dễ dàng nhanh chóng xử lý lượng lớn thông tin kết cuối trình bày dạng thuận tiện cho cơng việc Chúng em – nhóm lớp DHCODT01 – K17 thảo luận khai thác số nội dung sau : + Bài tập phương trình vi phân cấp hệ số + Bài tốn tích phân phức + Bài tốn ứng dụng thức tế PHẦN 1: BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HỆ SỐ HẰNG Câu 1: Giải phương trình '' ' 2x (1) y −5 y +6 y =e (3 x−6) - Phương trình nhất: y ' ' −5 y ' +6 y =0 - Phương trình đặc trưng: k 2−5 k +6=0  =2 [ kk=3  Nghiệm tổng quát pt(2) là: y (x )=C e x +C e x - Vế phải: { (2) (C , C 2=const ¿ a=2(lànghiệm pt đặc trưng) f(x)=e x (3 x−6) => P ( x )=3 x−6 ( n=1 ) =¿ Q ( x )= Ax+ B n n    - Nghiệm riêng có dạng: ^y ( x )=x e2 x ( Ax + B )=e x ( A x 2+ Bx ) ^y ' ( x )=2 e2 x ( A x 2+ Bx ) +e x (2 Ax+ B) ^y ' ' ( x )=4 e x ( A x + Bx ) + e x ( Ax+ B ) +2 Ae2 x Thay vào pt (1), ta được: (1)e x (−2 Ax−B +2 A )=e x (3 x−6) { −3 A= −2 A=3   A−B=−6 B=3 { => ^y ( x )=e 2x ( −32 x + x ) Vậy nghiệm tổng quát pt (1) là: y=C e x +C e x +e 2x C , C 2=const ¿ ( −32 x +3 x) ( Câu 2: Giải phương trình: '' ' x (1) y −2 y + y =e (3 x−2)  - Phương trình nhất: y ' ' −2 y ' + y =0 (2) Phương trình đặc trưng: k −2 k +1=0  k=1 Nghiệm tổng quát pt(2) là: y (x )=(C ¿ ¿ 1+ C2 x)e x ¿ (C , C 2=const ¿ Vế phải: { a=1(là nghiệm kép pt đặc trưng ) f(x)=e x (3 x−2) => P ( x )=3 x−2 ( n=1 )=¿ Q ( x )= Ax+ B n n    - Nghiệm riêng có dạng: ^y ( x )=x e x ( Ax + B )=e x ( A x 3+ B x ) ^y ' ( x )=e x ( A x + B x ) + e x (3 A x +2 Bx) ^y ' ' ( x )=e x ( A x 3+ B x ) +2 e x ( A x +2 Bx ) +e x (6 Ax+2 B) Thay vào pt (1), ta được: (1)e x ( Ax +2 B )=e x (3 x−2) { A= A=3   B=−2 B=−1 { x => ^y ( x )=e ( 12 x −x ) Vậy nghiệm tổng quát pt (1) là: y=(C ¿ ¿ 1+ C2 x)e x ¿ +e C , C 2=const ¿ x ( 12 x −x ) ( Câu 3: Giải phương trình: '' (1) ' y −4 y −5 y =5 cosx +8 sinx - Phương trình nhất: y ' ' −4 y' −5 y =0 - Phương trình đặc trưng: k 2−4 k−5=0  [ k=−1 k=5  Nghiệm tổng quát pt(2) là: y (x )=C e− x +C e5 x - Vế phải: { f(x)=5 cosx+8 sinx => (2) (C , C 2=const ¿ a=0 , b=1(a ± bi=±i không nghiệm pt đặc trưng ) Pn ( x )=5 ( n=1 ) , Pm ( x )=8 ( m=1 )     - S=max{n,m}=1 => R s ( x )= A , H s ( x )=B Nghiệm riêng có dạng: ^y ( x )= Acosx+ Bsinx ^y ' ( x )=−Asinx+ Bcosx ^y ' ' ( x )=− Acosx−Bsinx Thay vào pt (1), ta được: (1)(−6 A−4 B)cosx+(4 A−6 B) sinx=5 cosx+ sinx { −6 A−4 B=5   A−6 B=8 { 26 −17 B= 13 A= => ^y ( x )= 17 cosx − sinx 26 13 Vậy nghiệm tổng quát pt (1) là: y= C e− x +C e5 x+ 17 cosx− sinx 26 13 ( C , C 2=const ¿ Câu 4:Giải phương trình: '' ' x (1) y −3 y +2 y=e (cosx +3 sinx) - Phương trình nhất: y ' ' −3 y ' +2 y=0 - Phương trình đặc trưng: k 2−3 k +2=0  (2) [ k=1 k=2  Nghiệm tổng quát pt(2) là: y (x )=C e x +C e x - Vế phải: { f(x)=e x ( cosx+ sinx) =>     - (C , C 2=const ¿ a=1, b=1(a ± bi=1 ± ikhông nghiệm pt đặc trưng) Pn ( x )=1 ( n=1 ) , P m ( x )=3 ( m=1 ) S=max{n,m}=1 => R s ( x )= A , H s ( x )=B Nghiệm riêng có dạng: ^y ( x )=e x ( Acosx+ Bsinx) ^y ' ( x )=e x ( Acosx +Bsinx )+ e x (− Asinx +Bcosx ) ^y ' ' ( x )=e x (2 Bcosx−2 Asinx) Thay vào pt (1), ta được: (1)e x [ (− A−B ) cosx + ( A−B ) sinx ]=e x (cosx +3 sinx ) A=1 { {−A−B=1 A−B=3 B=−2  => ^y ( x )=e x (cosx −2 sinx) Vậy nghiệm tổng quát pt (1) là: y=C e x +C e x +e x ( cosx−2 sinx) C , C 2=const ¿ Câu 5: Giải phương trình: '' y + y=2 sin xcosx - (1) Phương trình nhất: y ' ' + y=0 10 (2) ( - Phương trình đặc trưng: k 2+ 9=0  [ k=−3i k=3i  Nghiệm tổng quát pt(2) là: y (x )=C cos x +C sin x - Vế phải: f(x)=2 sin xcosx=sinx+sin x=f ( x ) +f ( x ) (C , C 2=const ¿ Trong f ( x )=sinx , f ( x )=sin x + Xét phương trình: y ' ' + y=sinx  (3) Vế phải: f ( x )=sinx { a=0 , b=1(a ± bi=±i không nghiệm pt đặc trưng ) Pn ( x )=0 ( n=1 ) , Pm ( x )=1 ( m=1 )  S=max{n,m}=1 => R s ( x )= A , H s ( x )=B  Nghiệm riêng có dạng: ^y ( x ) =Acosx + Bsinx + Xét phương trình: y ' ' + y=sin x  (4) Vế phải: f ( x )=sin x { a=0 , b=3 (a ± bi=± 3i lànghiệm pt đặc trưng) P n ( x )=0 ( n=1 ) , P m ( x )=3 ( m=1 )  S=max{n,m}=1 => R s ( x )=C , H s ( x )=D  Nghiệm riêng có dạng: ^y ( x ) =x (Ccos x + Dsin x) + Theo nguyên lí chồng chất nghiệm, suy nghiệm riêng pt cho có dạng ^y ( x )=^y ( x ) + ^y ( x )=Acosx + Bsinx+ x (Ccos x+ Dsin x )  ^y ' ( x )=−Asinx+ Bcosx +Ccos x+ Dsin x + x (−3 Csin x+ Dcos x)  ^y ' ' ( x )=− Acosx−Bsinx+ ( Cx+ D ) cos x + (−9 Dx−6 C ) sin x - Thay vào pt (1), ta được: (1)8 Acosx+ Bsinx+6 Dcos x−6 Csin x=sinx+sin x { A=0 A=0 B= B=1  D=0  D=0 −6 C=1 −1 C= { => ^y ( x )= sinx− xcos x Vậy nghiệm tổng quát pt (1) là: y=C cos x +C sin x + sinx− xcos x C , C 2=const ¿ 11 ( PHẦN 2: BÀI TẬP BÀI TỐN TÍCH PHÂN PHỨC Câu 1: Tính tích phân: ❑ I=∮ C zdz với C đường trịn |z|=2 z −4 z −5 Ta có: z 2−4 z−5=0 - [ z1 =−1  z =5 |z 1|=|−1|=12 nên z 2=5 không thuộc miền giới hạn C Gọi C chu tuyến đóng đủ nhỏ bao quanh z C 1=∂ D1 - Áp dụng định lý tích phân cauchy cho miền đa liên, ta có: z ❑ dz ❑ f ( z)dz zdz zdz ❑ z−5 I=∮ =∮ (z +1)(z−5) =∮ =∮ z+ C C C z −4 z −5 z +1 C z ∈ H ( D1 ) Ta thấy: f ( z )= z−5 ❑ - 1 - Áp dụng cơng thức tích phân cauchy, ta tính được: ❑ f ( z)dz (−1) πi = I=∮ z+ =2 πif (−1 ) =2 πi (−1 )−5 C Vậy I= πi Câu 2:Tính tích phân: I= ∮ ❑ +¿ C ¿ sinzdz với C đường tròn |z−4|=5 ( z−2)  z 1=2 Ta có: (z−2)2=0 - |z 1−4|=|2−4|=22 nên z 1=−4 không thuộc miền giới hạn C |z 2|=|−1|=1