BÁO cáo bài tập lớn GIẢI TÍCH 1 ỨNG DỤNG của PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG mô tả QUÁ TRÌNH hấp THỤ, tỏa NHIỆT và CHUYỂN ĐỘNG của một CHẤT điểm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MƠ TẢ Q TRÌNH HẤP THỤ, TỎA NHIỆT VÀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA MỘT CHẤT ĐIỂM Giảng viên hướng dẫn: Huỳnh Thái Duy Phương Nhóm sinh viên thực hiện: Nhóm 14 STT Họ tên sinh viên Đặng Thanh Nguyễn Trương Thu Thảo Nguyễn Minh Thiện Nguyễn Thế Hồng Thơng Phó Vạn Thơng MSSV Nhóm /Tổ 211474 14 211480 14 211487 14 211238 211492 14 14 TP.HCM, 12/2021 LỜI NÓI ĐẦU Giải tích mơn khoa học quan trọng sinh viên nghành khoa học tự nhiên kỹ thuật Là mơn học có ứng dụng rộng rãi thực tiễn, giải tích giới thiệu kiến thức tảng quan trọng ứng dụng chúng sử dụng nhiều việc học tập môn khoa học Một ứng dụng phổ biến giải tích phải nói đến ứng dụng phương trình vi phân Phương trình vi phân đóng vai trị quan trọng việc ứng dụng toán học vào lĩnh vực khoa học khác có nhiều q trình thực tế mơ tả phương trình vi phân cách dễ dàng đầy đủ Tuy nhiên, để hiểu ứng dụng phương trình vi phân, cần phải nắm vững kiến thức khoa học tự nhiên ( vật lí, hóa học, sinh học,…) kỹ thuật Và báo cáo trình bày sau tìm hiểu thực hành ứng dụng phương trình vi phân khía cạnh vật lý mà cụ thể mơ tả q trình hấp thụ, tỏa nhiệt chuyển động chất diểm cách viết phương trình vi phân MỤC LỤC Lời nói đầu………………………………………………………………………… i Mục lục…………………………………………………………………………… ii Phần I Mơ tả q trình hấp thụ, tỏa nhiệt phương trình vi phân……………… 1.1.Sơ lược trình thu nhiệt tỏa nhiệt…………………………………… 1.2.Một số tốn ví dụ……………………………………………………… Phần II Mơ tả chuyển động chất điểm phương trình vi phân………… 2.1.Cơ sở lý thuyết……………………………………………………………… 2.2.Một số tốn ví dụ……………………………………………………… Tài liệu tham khảo………………………………………………………………… Phần 1: Mơ tả q trình hấp thụ, tỏa nhiệt phương trình vi phân 1.1 Sơ lược trình thu nhiệt tỏa nhiệt: - Trong nhiệt động lực học, thuật ngữ trình tỏa nhiệt mơ tả q trình phản ứng giải phóng lượng từ hệ thống môi trường xung quanh, thường dạng nhiệt, dạng ánh sáng (ví dụ tia lửa, lửa đèn flash), điện (ví dụ pin), âm (ví dụ tiếng nổ đốt hydro) - Đối lập với trình tỏa nhiệt trình thu nhiệt, trình hấp thụ lượng dạng nhiệt - Từ phát biểu Rudolf Clausius nguyên lý thứ hai nhiệt động lực học: “Nhiệt tự động truyền từ vật lạnh sang vật nóng hơn”, ta rút kết luận nhiệt truyền từ nơi nóng đến nơi lạnh - Theo định luật Newton, tốc độ làm lạnh vật thể tỷ lệ với hiệu số nhiệt độ vật thể T nhiệt độ môi trường xung quanh T0 (1) - Tốc độ làm lạnh vật thể giảm nhiệt độ T đơn vị thời gian t biểu diễn công thức đạo hàm dT (2) dt - Từ (1) (2) ta có phương trình vi phân q trình làm lạnh (làm nóng) vật thể sau: (3) dT = k(T-T0), k hệ số tỉ lệ dt - Giải phương trình vi phân (3): dT =¿ kdt T −T dT => ∫ T −T = k ∫ dt => ln|T −T 0|=kt+lnC => |T −T 0|=C e kt ( đó, số C hệ số tỉ lệ k tìm dựa vào điều kiện đầu toán ) 1.2 Một số tốn ví dụ mơ tả q trình hấp thụ tỏa nhiệt phương trình vi phân: Ví dụ 1: Vận tốc nguội lạnh vật khơng khí tỉ lệ với hiệu số nhiệt độ vật nhiệt độ khơng khí Đặt vật mơi trường khơng khí có nhiệt độ ổn định 20oC, biết sau 20 phút nhiệt độ vật giảm từ 100oC xuống 60oC Hỏi sau kể từ thời điểm nhiệt độ vật 60oC, nhiệt độ vật giảm cịn 30oC Giải Ta có nhiệt độ mơi trường 20oC => T0 = 20, vào công thức tính tốc độ nguội lạnh vật ta phương trình thể nhiệt độ vật sau t phút: T =20+C ekt (*) - Tại t = 0, nhiệt độ vật 100oC => T = 100, vào (*) ta được: 100=20+C e k => C = 80 - Tại t = 20, nhiệt độ vật 60oC => T = 60, vào (*) ta có: 60=20+80 e 20 k => k = -Vậy quy luật nguội lạnh vật T =20+80 e −ln (**) 20 −ln t 20 - Khi nhiệt độ vật giảm 30oC => T = 30, thay vào (**) ta t = 60 phút - Vậy sau 60 −¿ 20 = 40 phút kể từ thời điểm nhiệt độ vật đạt 60oC, nhiệt độ vật 30oC Ví dụ 2: Một lon soda vừa đưa từ tủ đơng có nhiệt độ 32oF, biết nhiệt độ môi trường 68oF nhiệt độ lon soda tăng từ thêm 18oF vịng 10 phút Hỏi sau 30 phút nhiệt độ lon soda Giải Ta có nhiệt độ môi trường 68oF => T0 = 68, vào cơng thức tính tốc độ nguội lạnh vật ta phương trình thể nhiệt độ vật sau t phút: |T −68|=C ekt - Khai triển trị tuyệt đối kết hợp với điều kiện đề ta được: T =68−C e kt (i) - Tại t = 0, nhiệt độ vật 32oF => T = 32, vào (i) ta C = 36 - Tại t = 10, nhiệt độ vật 32 + 18 = 50oF => T = 50, vào (i) ta có: 50=68−36 e 10 k => k = −ln 10 - Từ ta có phương trình thể nhiệt độ vật sau thời gian t phút là: T =68−36 e - Khi t = 30, nhiệt độ vật T =68−36 e −ln t 10 −ln 30 10 =63,5o F Ví dụ 3: Một ứng dụng khác dạng phương trình vi phân sống, cụ thể nghiệp vụ điều tra phá án, xác định thời gian tử vong xác chết Đặt vấn đề: Tại thị trấn A, người đàn ơng tên X bị sát hại hộ Thi thể nạn nhân phát vào lúc 22h tối, thân nhiệt lúc đo 27oC Vào 23h tối ngày, thân nhiệt đo thi thể 24oC Biết nhiệt độ phịng ln trì mức 21oC, xác định thời gian ông X bị sát hại Giải Chọn mốc thời gian t = lúc phát thi thể nạn nhân, nhiệt độ đo thi thể ông X T = 27oC nhiệt độ phòng T0 = 21oC, ta có: 27=21+C e k => C = - Sau 60 phút => t = 60, nhiệt độ đo thi thể ông X 24oC, ta có: 24=21+6 e 60 k => k = −ln 60 - Từ ta có phương trình thể nhiệt độ thể ông X sau t phút kể từ lúc 22h T =21+6 e −ln t 60 - Nhiệt độ thể ông X sống 37oC => 37=21+6 e −ln t 60 => t ≈ -85 - Vậy thời điểm tử vong ông X khoảng 85 phút trước phát hiện, tức vào khoảng 20h35 tối ngày Phần II: Mô tả chuyển động chất điểm 1.1 Cơ sở lý thuyết: a) Chất điểm: Một vật chuyển động coi chất điểm kích thước nhỏ so với độ dài đường Chất điểm có khối lượng khối lượng vật b) Chuyển động cơ: Chuyển động vật (gọi tắt chuyển động) thay đổi vị trí vật so với vật khác theo thời gian c) Quỹ đạo: Quỹ đạo chuyển động tập hợp tất vị trí chất điểm chuyển động tạo đường định d) Cách xác định thời gian chuyển động: - Mốc thời gian (hoặc gốc thời gian) thời điểm mà ta bắt đầu đo thời gian - Nếu lấy mốc thời gian thời điểm vật bắt đầu chuyển động (thời điểm 0) số thời điểm trùng với số đo khoảng thời gian trôi qua kể từ mốc thời gian + Thời điểm giá trị mà đồng hồ đến theo mốc cho trước mà ta xét + Thời gian khoảng thời gian trôi thực tế hai thời điểm mà ta xét - Để đo thời gian người ta dùng đồng hồ * Yêu cầu đặt : Xét vật chuyển động thẳng, khảo sát q trình chuyển động phương trình vi phân e) Vector vị trí ( vector bán kính ): r⃗ = xi⃗ + y ⃗j +jk⃗ (x,y,z tọa độ chất điểm hệ tọa độ Descartes) f) Vector vận tốc: -Vector vận tốc trung bình: ⃗ v tb = ∆ r⃗ ∆t Trong đó: r2 - ⃗ r 1, với ⃗ r2 , ⃗ r vector vị trí chất điểm thời điểm t2 t1 ∆ r⃗ = ⃗ ∆ t = t – t1 - Vector vận tốc tức thời: ⃗v = lim ∆ t →0 ∆ r⃗ d r⃗ = ∆t dt Trong hệ tọa độ Descartes: d r⃗ dx ⃗ dy ⃗ dz ⃗ j+ k = vxi⃗ + vy ⃗j + vzk⃗ = i+ dt dt dt dt ⃗v = Độ lớn vector vận tốc: 2 |⃗v| = √ v 2x + v 2y +v 2z = ( dx ) +( dy ) +( dz ) √ dt dt dt g) Vector gia tốc: - Vector gia tốc trung bình: a tb = ⃗ ∆ ⃗v ∆t Trong đó: v2 - ⃗ v1 , với ⃗ v2 , ⃗ v1 vector vận tốc tức thời chất điểm thời điểm t2 t1 ∆ ⃗v = ⃗ ∆ t = t – t1 - Vector gia tốc tức thời: a⃗ = lim ∆ t →0 ∆ ⃗v d ⃗v = ∆t dt Trong hệ tọa độ Descartes: a⃗ = d ⃗v d r⃗ d x ⃗ d y ⃗ d z ⃗ = = i + j + k = axi⃗ + ay ⃗j + azk⃗ dt dt dt dt dt Độ lớn vector gia tốc: d x d2 y d z |a⃗| = √ a + a +a = ( ) +( ) +( ) dt dt dt x y z √ h) Chuyển động thẳng đều: Quỹ đạo đường thẳng ⃗v = const Gọi s quãng đường v= ds => ds = vdt dt s t ∫ ds = ∫ vdt => s = s0 + vt s0 i) Chuyển động thẳng thay đổi đều: Quỹ đạo đường thẳng a⃗ = const t a= dv => v = ∫ adt dt hay v = at + v0 ( với v0 vận tốc đầu lúc t = ) (*) t mà ds = vdt => ds = (at + v0)dt => s = ∫ ( at + v ) dt = at + v0t + s0 (**) Khử t (*) (**) ta : v2 – v02 = 2a(s – s0) 2.2 Một số tốn ví dụ : Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động trục Ox theo chiều dương với vận tốc v =√ x (m/s) gốc tọa độ O với vận tốc đầu khơng Tìm vận tốc chất điểm thời điểm t = 2s Giải Ta có: v = √ x => v2 = x (1) Lấy đạo hàm vế phương trình (1) theo thời gian : dv dt d v dx = => 2v = v => dv = (2) dt dt dt Lấy tích phân vế phương trình (2) : v 0 ∫ dv = ∫ dt2 => v = 1-0 = m/s Ví dụ 2: Một tơ xuất phát với vận tốc v1(t) = 2t+12 (m/s), sau khoảng thời gian t1 thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc v2(t) = 24−6t (m/s) và thêm khoảng thời gian t2 nữa dừng lại Hỏi từ xuất phát đến lúc dừng lại xe ô tô mét ? Giải Ta có: v02 = 24 (m/s) gặp chướng ngại vật vật có vận tốc là 24 m/s Khi đó v1(t) = 2t+12 = 24 ⇔ t = 6(s) Vật dừng lại khi v2(t) = 24−6t = ⇔ t2 = 4(s) Quãng đường vật là: s=∫ v (t¿)dt ¿ + ∫ v ( t ) dt = ∫ (¿ 2t +12)dt ¿ 0 + ∫ ( 24−6 t ) dt =156 (m) Vậy quãng đường vật s=156m Ví dụ 3: Một ô tô chạy với vận tốc 20 m/s người lái hãm phanh Sau hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = −4t+20 (m/s) đó t là khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Hỏi từ lúc hãm phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét? Giải Khi vật dừng hẳn thì v = ⇒ −4t+20 = ⇔ t = 5(s) Quãng đường vật khoảng thời gian là:  5 S(t)= ∫ v ( t ) dt = ∫ (−4 t +20 ) dt = 50 (m) 0 Vậy quãng đường vật là: s= 50 m Tài liệu tham khảo: - Giáo trình giải tích 1, Nguyễn Đình Huy ( chủ biên ) - Vật lý đại cương A1, Nguyễn Thị Bé Bảy ( chủ biên) - Luận văn tốt nghiệp, khoa vật lý, trường đại học sư phạm Hà Nội 2, Nguyễn Thị Thanh Tâm - Estimating time of death, Tom Woodson, Clayton Tyndall and Chris Stepheson - Exploring differntial equations via graphics and data, Lomen, David and David Lovelock - Heald, MA, american journal of physics, 1997 p11 https://meet.google.com/pzp-zqht-bcy - lớp L35 (T2 9h-12h); L31 (T4 9h-12h); L28 (T5 12h15h); L06 (T6 9h-12h) ... thuật Và báo cáo trình bày sau tìm hiểu thực hành ứng dụng phương trình vi phân khía cạnh vật lý mà cụ thể mơ tả trình hấp thụ, tỏa nhiệt chuyển động chất diểm cách vi? ??t phương trình vi phân MỤC... Mơ tả q trình hấp thụ, tỏa nhiệt phương trình vi phân? ??…………… 1. 1.Sơ lược trình thu nhiệt tỏa nhiệt? ??………………………………… 1. 2 .Một số tốn ví dụ……………………………………………………… Phần II Mơ tả chuyển động chất điểm phương. .. trọng ứng dụng chúng sử dụng nhiều vi? ??c học tập môn khoa học Một ứng dụng phổ biến giải tích phải nói đến ứng dụng phương trình vi phân Phương trình vi phân đóng vai trị quan trọng vi? ??c ứng dụng tốn