3 Một số mơ hình ứng dụng
3.3 Sự ổn định của quá trình chuyển động quay của một vật thể rắ n
một vật thể rắn
Xét chuyển động của một vật thể trong một hệ tọa độ Oxyz nào đó với điểm bất động là gốc tọa độ O (khơng có ngoại lực tác động).
Ký hiệu A, B, C là các momen quán tính chính của vật thể đối với gốc tọa độ
O, w - vector vận tốc góc của nó trong hệ tọa độ đang xét. Giả sử p, q, r là các hình chiếu của vector w lên các trục chính, khi đó phương trình chuyển động Ơle có dạng Ap˙ = (B−C)qr Bq˙ = (C−A)rp Cr˙ = (A−B)pq (3.70)
Phương trình này xác lập sự quay xung quanh trục thứ nhất tương ứng với điểm
p=p0, q= 0, r = 0. Sử dụng phép đổi biến x=p−p0;y=q;z =r, ta có điểm tới
hạn là gốc tọa độ và nhận được hệ phương trình rút gọn ˙ x = B−CA yz ˙ y = C−AB (p0+x)z ˙ z = A−BC (p0+x)y (3.71)
*) Nếu A < B ≤ C thì quá trình quay được thực hiện quanh trục lớn của elipxoit qn tính
Có thể chọn hàm Lyapunov: V :R3 →R+ xác định như sau:
V =B(B−A)y2+C(C−A)z2+By2+ Cz2+A x2+ 2xp02
Ta thấy: Vì A < B ≤C nên hàm Lyapunov xác định như trên là hàm xác định dương. Tính tốn ta đượcV˙ = 0. Vậy hàm V ở trên thỏa mãn các điều kiện của định lý thứ nhất Lyapunov. Do đó nghiệm tầm thường của hệ đã cho là ổn định.
*) Nếu A > B ≥C thì tương tự trên bằng cách chọn hàm Lyapunov
V =B(A−B)y2+C(A−C)z2+By2+ Cz2+A x2+ 2xp02
ta cũng có nghiệm tầm thường của hệ đã cho là ổn định.
3.4 Sự ổn định của phi cơ đang chuyển động
Quan sát một phi cơ đang bay (có thể là một con chim đang bay), giả sử rằng mặt đối xứng của nó trùng với mặt thẳng đứng của một hệ trục tọa độ tại mỗi thời điểm bất kỳ trong quá trình chuyển động. Giả sử v là tốc độ của trọng tâm của vật thể, θ là góc giữa vector chuyển động với trục hoành (trục nằm ngang). Giả sử trục chuyển động (trục hướng theo chiều dài của phi cơ) ln tạo nên một góc không đổi α với v.
Ký hiệu CD(α) và CL(α) là hệ số phản lực tùy ý và lực đẳng. Khi đó ta có phương trình biến thiên của v và θ có dạng
mv˙ =−mgsinθ−CD(α)v2 mvθ˙=−mgcosθ+CL(α)v2 Bằng cách đặt v02 = mg CL, τ = gt v0, y= v v0, α = CD CL
ta đưa phương trình đang xét về dạng ( dy
dτ =−sinθ−ay2 dθ
dτ = −cosθ+yy 2
Ở đây ta chỉ xét trường hợp đơn giản khi a= 0. Khi đó hệ trở thành: ( dy
dτ =−sinθ dθ
dτ = −cosyθ+y2
Hệ phương trình này có các điểm suy biến lày0= 1, θ0 = 2kπ(k ∈N)(các trường hợp này tương ứng với các trường hợp phi cơ đang bay theo chiều ngang với vận tốc là hằng số).
Ta chỉ cần xét một trường hợp khi y0 = 1, θ0 = 0.
Dễ kiểm tra được rằng V(y, θ) = y3 −ycosθ+ 23 là tích phân đầu của hệ phương trình đang xét khi a= 0.
Ngoài ra ta nhận thấy trong một lân cận nào đó của điểm (1,0) thì ta có: (
V(y, θ)>0
V(1,0) = 0.
Hơn nữa ta cịn có thể chứng minhV˙(t, x)≤0, do đó chuyển động của phi cơ tại thời điểm này là ổn định.
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày lại các kết quả cơ bản về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân trong khơng gian Banach và phương trình vi phân hàm.
Trong trường hợp riêng khi xét tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân trong khơng gian Rn và đặc biệt trong trường hợp n = 2,3, dựa vào đặc điểm về cấu trúc tôpô của không gian Euclide n chiều, chúng tôi đã chỉ ra một cách cụ thể hơn việc sử dụng phương pháp phiếm hàm Lyapunov và bước đầu đề cập tới phương pháp xây dựng phiếm hàm Lyapunov đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số.
Trong phần cuối chúng tơi đã trình bày chi tiết một số ứng dụng của phương pháp phiếm hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất cho một số mơ hình ứng dụng.
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt
1.Nguyễn Thế Hồn - Phạm Phu(2010),Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, Nhà xuất bản Giáo dục.
Tiếng Anh
2.Earl A. Coddington, Robert Carlson(1997), Linear ordinary differential equa- tions.
3.Ivanka Stamova, Stability Analysis of Impulsive Functional Differential Equa- tion.
4. Ju.L.Dalekii and M.G.Krein (1974), Stability of Differential Equations in Ba- nach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island.
5. J.D.Murray (2002), Mathematical Biology: I.An Introducation Third Edition,
Springer.
6.J.D.Murray (2002), Mathematical Biology: II.An Introducation Third Edition,
Springer.
7.M.G.Krein (1971), Linear Differential Equations in Banach Space, Providence,
Rhode Island.
8. Yang Kuang, Delay differential equations with application in population dy- namics.