(Luận văn thạc sĩ) Tính giải được của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính

(Luận văn thạc sĩ) Tính giải được của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính(Luận văn thạc sĩ) Tính giải được của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính(Luận văn thạc sĩ) Tính giải được của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính(Luận văn thạc sĩ) Tính giải được của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính(Luận văn thạc sĩ) Tính giải được của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính(Luận văn thạc sĩ) Tính giải được của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính(Luận văn thạc sĩ) Tính giải được của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính(Luận văn thạc sĩ) Tính giải được của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính(Luận văn thạc sĩ) Tính giải được của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính(Luận văn thạc sĩ) Tính giải được của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính(Luận văn thạc sĩ) Tính giải được của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính(Luận văn thạc sĩ) Tính giải được của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính(Luận văn thạc sĩ) Tính giải được của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính(Luận văn thạc sĩ) Tính giải được của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính(Luận văn thạc sĩ) Tính giải được của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính(Luận văn thạc sĩ) Tính giải được của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN TỒN TRÍ TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TỐN BIÊN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN GIẢI TÍCH Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN TỒN TRÍ TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TỐN BIÊN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH Chun ngành: Mã số: Tốn giải tích 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN GIẢI TÍCH NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 LỜI CẢM ƠN Sau khoảng thời gian học tập Trường ĐHSP Tp.HCM, hồn thành luận văn cao học Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến q thầy Hội đồng chấm luận văn cao học dành thời gian đọc cho y kiến quí báu để luận văn hồn thiện Tơi xin tri ân thầy khoa Tốn – Tin ĐHSP Tp.HCM truyền thụ kiến thức cho suốt thời gian theo học cao học trường Xin cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường ĐHSP Tp.HCM, phòng SĐH hỗ trợ tơi suốt khố học Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè động viên tơi giúp tơi có thêm niềm tin để hồn thành luận văn Chắc hẳn luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong đón nhận y kiến đóng góp q thầy cô bạn đọc Tp.HCM, tháng 11 năm 2011 Nguyễn Tồn Trí MỞ ĐẦU Lý thuyết tốn biên cho hệ phương trình vi phân đời từ kỉ thứ 18 đến phát triển mạnh mẽ nhờ ứng dụng sâu sắc lĩnh vực khác khoa học đời sống vật lý, học, khí, kinh tế, sinh học Trong khoảng thời gian từ 1995 đến 2000,I Kiguradze B Puza nghiên cứu tồn tính xấp xỉ nghiệm toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính sau: =  x '(t ) p( x )(t ) + q(t )  l ( x ) = c p tốn tử tuyến tính bị chặn mạnh, l tốn tử tuyến tính liên tục, q hàm khả tích Lebesgue cơng trình [15], [16] Trong trường hợp p tốn tử tuyến tính bị chặn vấn đề chưa xem xét Mục đích luận văn tiếp tục xem xét, nghiên cứu vấn đề trường hợp p toán tử tuyến tính bị chặn Luận văn gồm hai chương: Chương I: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính Chương II: Tính giải tốn biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính với p tốn tử tuyến tính bị chặn Luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên năm cuối bậc đại học học viên cao học nghiên cứu toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU MỤC LỤC Những kí hiệu dùng luận văn: Chương I: BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH 1.1 Giới thiệu toán: 1.2 Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính: 1.2.1 Sự tồn nghiệm: 1.2.2 Hệ phương trình vi phân hàm với tốn tử Volterra: 18 1.2.3 Tính xấp xỉ nghiệm toán biên tổng quát: 21 1.3 Các trường hợp riêng toán biên tổng quát: 27 1.3.1 Sự tồn nghiệm: 27 1.3.2 Tính xấp xỉ nghiệm tốn (1.5), (1.6): 31 CHƯƠNG II: TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TỐN BIÊN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH VỚI P LÀ TỐN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN 38 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 Những kí hiệu dùng luận văn: •  = ( −∞, +∞) , = [0, +∞) ,  − = ( −∞,0] + • I = [a , b ] • MesA độ đo Lơ – be tập A • M ab tập hàm đo τ : I → I 1 t ∈ I hàm đặc trưng I 0 t ∉ I • χ I (t ) =  • Ent ( x ) phần nguyên x ∈  n •  n ={x =( xi )in=1 : xi ∈ , i =1, , n} với chuẩn x = ∑ xi i =1 ã nìn l khụng gian cỏc ma trận cấp n × n X = ( xik )in,k =1 xik ∈  (i, k = 1, , n ) với chuẩn X = n ∑x i ,k =1 ik n •  n+ ={x =( xi )in= ∈  : xi ≥ 0, i =1, , n} n ×n : xik ≥ 0, i =1, , n} ã n+ìn ={x =( xik )in,k = ∈ • Nếu x, y ∈  n X , Y ∈  n×n x ≤ y ⇔ y − x ∈  n+ , X ≤ Y ⇔ Y − X ∈  n+×n Nếu X ( xik )in,k =1 ∈  n×n x = ( xi )in=1 , X = ( xik )in,k =1 = x ( xi )in=1 ∈  n = • DetX định thức ma trận vuông X • X −1 ma trận nghịch đảo ma trận vng X • r ( X ) bán kính phổ ma trận vng X • I n ma trận đơn vị • θ ma trận khơng • C ( I ;  n ) không gian Banach hàm vectơ liên tục x : I →  n với chuẩn = x C max{ x (t ) : t ∈ I }  • C ( I ;  n ) không gian hàm vectơ liên tục tuyệt đối x : I →  n • L( I ;  n ) khơng gian Banach hàm vectơ khả tích Lơbe p : I →  n với chuẩn b p L = ∫ p( s ) ds a • C ( I ;  + ) ={x ∈ C ( I ; ) : x (t ) ≥ 0, t ∈ I } • L( I ;  + ) ={p ∈ L( I ; ) : p(t ) ≥ 0, t ∈ I } • Lnab tập tốn tử tuyến tính bị chặn p : C ( I ,  n ) → L( I ,  n ) Nếu p ∈ Lab = p sup{ p( x ) L : x C ≤ 1} • Tốn tử tuyến tính p : C ( I ,  n ) → L( I ,  n ) gọi bị chặn mạnh p ∈ Lnab tồn hàm khả tích η : I →  thỏa: p( x )(t ) ≤ η (t ) x C , t ∈ I , x ∈ C ( I ,  n ) ~ Kí hiệu Lnab tập tốn tử tuyến tính bị chặn mạnh • Pab = {p ∈ Lab , p : C ( I ;  + ) → L( I ;  + )} • Ta t ~ kí hiệu Mp = {y ∈ C ( I ;  n ) : y (t ) = z (a ) + ∫ p ( z )( s )ds, z ∈ C(I, n )} , a p : C ( I ,  n ) → L( I ,  n ) tốn tử tuyến tính bị chặn • Lµ ( I ;  n ) , ≤ µ < +∞ , khơng gian hàm vectơ x : I →  n khả tích bậc µ với b chuẩn x µ L = ( ∫ x (t ) µ dt ) µ a Nếu = x ( xi )in=1 ∈ Lµ ( I ;  n ) x Lµ = ( xi n Là i =1 ) ã L( I ; nìn ) khơng gian ma trận hàm khả tích X : I →  n×n Nếu = X ( xik )in,k =1 : I →  n×n max{X (t )} = ( max{xik (t ))in,k =1 t∈[a ,b ] t∈[a ,b ] , ess sup{X (t )} = (ess sup{x ik (t)})in,k =1 t∈[a ,b ] t∈[a ,b ] • Nếu Z ∈ C ( I ,  n×n ) ma trận hàm với cột z1 , z2 , , zn g : C ( I ,  n ) → L( I ,  n ) tốn tử tuyến tính g ( Z ) ma trận hàm với cột g ( z1 ), g ( z2 ), , g ( zn ) Chương I: BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH 1.1 Giới thiệu toán: Trên đoạn I = [a, b] , xét hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính: dx (t ) = p( x )(t ) + q(t ) dt (1.1) với điều kiện biên tuyến tính: l ( x ) = c0 (1.2) p : C ( I ,  n ) → L( I ,  n ) tốn tử tuyến tính bị chặn mạnh l : C ( I ,  n ) →  n tốn tử tuyến tính bị chặn, q ∈ L( I ,  n ) , c0 ∈  n Trường hợp riêng điều kiện (1.2) điều kiện đầu: x (t0 ) = c0 (1.3) t0 ∈ I hay điều kiện biên tuần hoàn: x ( b) − x ( a ) = c0 (1.4) Nghiệm toán (1.1), (1.2) hàm vectơ x : I →  n liên tục tuyệt đối, thỏa (1.1) hầu khắp nơi I thỏa (1.2) Các trường hợp riêng toán (1.1), (1.2) toán tồn nghiệm hệ phương trình vi phân đối số lệch: dx (t ) = P (t ) x (τ (t )) + q0 (t ) dt (1.5) thoả điều kiện sau: c0 x (t ) = u (t ) với t ∉ I , l ( x ) = (1.6) c0 x (t ) = u (t ) với t ∉ I , x (t0 ) = (1.7) c0 x (t ) = u (t ) với t ∉ I , x (b) − x ( a ) = (1.8) P ∈ L( I ,  n×n ) , q0 ∈ L( I ,  n ) , τ : I →  hàm đo u :  →  n hàm vectơ liên tục bị chặn ta đặt: τ (t ) < a a  = τ (t ) τ (t ) a ≤ τ (t ) ≤ b b τ (t ) > b  p( x )(t ) = χ I (τ (t )) P(t ) x (τ (t )) (1.9) (1.10) q( t ) = (1 − χ I (τ (t ))) P (t )u(τ (t )) + q0 (t ) (1.11) χ I hàm đặc trưng I 1.2 Bài toán biên tổng qt cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính: Cùng với toán (1.1), (1.2), ta xét toán tương ứng: dx (t ) = p( x )(t ) dt (1.1 ) l ( x) = (1.2 ) 1.2.1 Sự tồn nghiệm: Định lí 1.1: Bài tốn (1.1), (1.2) có nghiệm toán tương ứng (1.1 ), (1.2 ) có nghiệm tầm thường Chứng minh Đặt B C ( I ,  n ) ×  n khơng gian Banach gồm phần tử : = u= ( x; c ), x ∈ C ( I ,  n ), c ∈  n với chuẩn u= B x C + c Lấy tuỳ ý u = ( x; c) ∈ B điểm cố định t0 ∈ I Ta đặt: t ( c + x (t0 ) + ∫ p( x )( s )ds, c − l ( x )), t ∈ I f (u )(t ) = (1.12) t0 t = h(t ) ( ∫ q( s )ds, c0 ), t ∈ I t0 Khi tốn (1.1), (1.2) tương đương với phương trình toán tử sau B : = u f (u ) + h (1.13) u = ( x; c) nghiệm (1.13) c = x nghiệm toán (1.1), (1.2) ~ Tuy nhiên, p ∈ Lnab , l ∈ Lnab , q ∈ L( I ,  n ), c0 ∈  n (1.12), nên ta có f : B → B tốn tử tuyến tính compact Thật vậy: ~ Do p ∈ Lnab , l ∈ Lnab , q ∈ L( I ,  n ), c0 ∈  n (1.12), ta có f tốn tử tuyến tính liên tục Đặt t f1 : B → C ( I ,  n ) f1 (u )(t ) = c + x (t0 ) + ∫ p( x )( s )ds với f2 : B → n với t0 f (u )= c − l ( x ) Khi u B ≤ , ta có: f (u ) ≤ + l , f1 (u )(t ) ≤ + η L t f1 (u )(t ) − f1 (u )(= s) ∫ p( x)(ξ )dξ t ≤ ∫ s t p( x )(ξ ) d ξ ≤ ∫ η (ξ )d ξ s s Do đó, ta có f ( B(0,1)) tập compact tương đối  n , f1 ( B(0,1)) tập bị chặn đẳng liên tục C ( I ,  n ) với B(0,1) = {u ∈ B : u B ≤ 1} Theo định lí Ascoli – Arzela, ta có f1 ( B(0,1)) tập compact tương đối C ( I ,  n ) Suy f tốn tử tuyến tính compact Do đó, theo định lí Fredholm cho phương trình tốn tử, điều kiện cần đủ cho tính giải (1.13) phương trình tốn tử : u = f (u ) (1.14) có nghiệm tầm thường Điều tương đương với toán (1.1 ), (1.2 ) có nghiệm tầm thường  Lấy điểm cố định tuỳ ý t0 ∈ I Ta định nghĩa dãy toán tử : p k : C ( I ,  n ) → C ( I ,  n ) ma trận Λ k ∈  n×n sau: t = p ( x )(t ) x= (t ), p k ( x )(t ) ∫ p( p k −1 = ( x ))( s )ds , (k 1, ) (1.15) t0 = Λ k l ( p ( E ) + p1 ( E ) + + p k −1 ( E )), = ( k 1, ) (1.16) Nếu ma trận Λ k không suy biến với k , ta đặt: p k ,0 ( x )(t ) = x (t ) p k ,m (= x )(t ) p m ( x )(t ) − [p ( E )(t ) + + p m −1 ( E )(t )]Λ k−1l ( p k ( x )) (1.17) Định lí 1.2: Giả sử tồn số nguyên dương k , m , số nguyên không âm m0 ma trận A ∈  n+×n cho: r ( A) < , ma trận Λ k khơng suy biến bất đẳng thức: p k ,m ( x ) ≤ A p k ,m0 ( x ) C C thỏa mãn với x nghiệm toán (1.1 ), (1.2 ) Khi tốn (1.1), (1.2) có nghiệm (1.18) ... Chương I: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính Chương II: Tính giải tốn biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính với p tốn tử tuyến tính bị chặn Luận văn tài... luận văn: Chương I: BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH 1.1 Giới thiệu toán: 1.2 Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân. .. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN TỒN TRÍ TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TỐN BIÊN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH Chun ngành: Mã số: Tốn giải tích 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN GIẢI TÍCH NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA