Đang tải... (xem toàn văn)
Lời mở đầu Lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng được nghiên cứu đầu tiên trong các công trình của J D’Alembert (1717 1783), L Euler (1707 1783), D Bernoulli (1700 1782), J Lagrange (1736 1813)[.]
Lời mở đầu Lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng nghiên cứu công trình J D’Alembert (1717 - 1783), L Euler (1707 - 1783), D Bernoulli (1700 - 1782), J Lagrange (1736 1813), P Laplace (1749 - 1827), S Poisson (1781 - 1840) J Fourier (1768 - 1830), cơng cụ để mơ tả học mơ hình giải tích Vật lí Vào kỷ XIX với xuất cơng trình Riemann, lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng chứng tỏ công cụ thiết yếu nhiều ngành toán học Cuối kỷ XIX, H Poincaré mối quan hệ biện chứng lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng ngành tốn học khác Sang kỷ XX, lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng phát triển vơ mạnh mẽ nhờ có cơng cụ giải tích hàm, đặc biệt từ xuất lí thuyết hàm suy rộng S L Sobolev L Schwartz xây dựng Nghiên cứu phương trình hệ phương trình elliptic tổng qt đóng vai trị quan trọng lí thuyết phương trình vi phân Hiện kết theo hướng tương đối hoàn chỉnh Cùng với phát triển khơng ngừng tốn học khoa học kỹ thuật nhiều toán liên quan tới độ trơn nghiệm phương trình hệ phương trình khơng elliptic xuất Có số lớp phương trình, có lớp phương trình elliptic suy biến, khía cạnh có số tính chất giống với phương trình elliptic Tuy nhiên kết đạt cho phương trình phi tuyến elliptic cịn ít, chưa đầy đủ Với lí nêu chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn “Bài tốn tính nhiều nghiệm tốn biên cho phương trình elliptic suy biến phi tuyến” Kết luận văn trình bày dựa báo Dương Trọng Luyện Nguyên Minh Trí [D T Luyen and N M Tri, Infinitely many solutions for a class of perturbed degenerate elliptic equations involving the Grushin operator, Complex Variables and Elliptic Equations 2020, doi: 10.1080/17476933.2020.1730824] Nội dung luận văn gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm, định lý sử dụng luận văn trình bày phương trình elliptic suy biến dạng Grushin Chương Trong chương trình bày chi tiết phần chứng minh bổ đề định lý kết báo “Infinitely many solutions for a class of perturbed degenerate elliptic equations involving the Grushin operator" Tôi hy vọng luận văn tài liệu tham khảo tốt cho người quan tâm đến lĩnh vực Tuy nhiên, với phạm vi thời gian kiến thức tơi có hạn, luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý, bảo thầy, cô bạn đồng nghiệp Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức không gian Lp , khơng gian Sobolev có trọng định lý nhúng Chương gồm ba phần: - Phần thứ nhất: Trình bày khơng gian Lp vá số bất đắng thức liên quan đến không gian Lp - Phần thứ hai: Trình bày khơng gian Sobolev có trọng định lý nhúng - Phần thứ ba: Trình bày phương trình elliptic suy biến chứa tốn tử Grushin 1.1 Khơng gian Lp bất đẳng thức Định nghĩa 1.1.1 [1] Cho Ω miền đo theo nghĩa Lebesgue Rn Họ hàm số f : Ω → R có lũy thừa bậc p R (1 ≤ p < +∞) mođun khả tích Ω, nghĩa |f |pdµ < Ω p p +∞ gọi khơng gian L (Ω, µ) hay L (Ω) Ví dụ 1.1.1 [1] Cho Ω ⊂ R3 miền bị chặn với biên trơn, µ độ đo thể tích, nghĩa µ(A) = V ol(A), ∀A ⊂ R3 Khi với ≤ p < +∞ khơng gian hàm đo Lp (Ω) = R {f : Ω → R} thỏa mãn |f |pdxdydz < +∞ Ω Định nghĩa 1.1.2 [1] Không gian Lp (Ω), ≤ p < +∞ không gian định chuẩn với chuẩn xác định sau Z p1 |f |pdµ ||f ||Lp(Ω) := Ω Định lý 1.1.1 (Bt ng thc Hăolder) Cho Rn l miền bị chặn với biên trơn, p, q ∈ R thỏa mãn < p, q < +∞, p1 + 1q = f ∈ Lp(Ω), g ∈ Lq (Ω) Khi có (i) f g ∈ L1 (Ω) (ii) ||f g||L1 (Ω) ≤ ||f ||Lp (Ω) ||g||Lq (Ω) Dấu “ =" xảy ∃α, β ∈ R, α, β ≥ 0, α + β > thỏa mãn α|f |p = β|g|q h k n Ω Định lý 1.1.2 (Bất ng thc Hăolder tng quỏt) Cho Rn l miền bị chặn với biên trơn số thực p1 , p2 , , pn ∈ (1, +∞), r ∈ [1, +∞) thỏa mãn n X i=1 = , fi ∈ Lpi (Ω), ∀i = 1, 2, , n pi r Khi ta có (i) f1 f2 fn ∈ Lr (Ω) (ii) ||f1 f2 fn ||Lr (Ω) ≤ ||f1 ||Lp1 (Ω) ||fn ||Lpn (Ω) Định lý 1.1.3 (Bất đẳng thức Young) Cho Ω ⊂ Rn miền bị chặn với biên trơn số thực p1 , p2 , , pn ∈ (1, +∞) thỏa n P mãn = fi ∈ Lpi (Ω), với i = 1, 2, , n Khi ta có pi i=1 n Y ||fi||Lpi (Ω) ≤ i=1 n X ||fi||pLipi (Ω) i=1 pi Định lý 1.1.4 (Bất đẳng thức Poincaré) Cho Ω ⊂ Rn miền bị chặn với biên trơn số thực p ≥ ∃c > cho n X ||Dj u||Lp (Ω), ∀u ∈ C0∞(Ω) ||u||Lp (Ω) ≤ c j=1 Định lý 1.1.5 (Định lý nhúng không gian Lp ) Cho Ω ⊂ Rn miền bị chặn số thực p, q ∈ [1, +∞), p < q Khi phép nhúng Lq (Ω) ,→ Lp (Ω) liên tục 1.2 Không gian S1p(Ω) Cho Ω ⊂ RN1 × RN2 miền bị chặn với biên trơn số thực α > Định nghĩa 1.2.1 (Xem [2]) Với ≤ p < ∞, ta định nghĩa tập tất hàm u ∈ Lp (Ω) cho ∂u ∂u , |x|α ∂y ∂xi j ∈ Lp(Ω) với i = 1, 2, , N1, j = 1, 2, , N2 không gian S1p(Ω) p Chuẩn S1 (Ω) định nghĩa N1 N2 X X ∂u p α ∂u p |x| kukS1p (Ω) = ∂x p + ∂y i=1 i L (Ω) j=1 10 j Lp (Ω) ! p1 p + kukLp(Ω) p Nếu p = định nghĩa tích vô hướng S1 (Ω) sau: (u, v)S12(Ω) = N1 X ∂u ∂v i=1 , ∂xi ∂xi + L2 (Ω) N2 X j=1 α ∂u α ∂v |x| , |x| ∂yj ∂yj L2 (Ω) + (u, v)L2(Ω) p Không gian S1,0 (Ω) định nghĩa bao đóng C01 (Ω) khơng p gian S1 (Ω) với C01 (Ω) tập hàm C (Ω) có giá compact Ω p p Dễ dàng chứng minh S1 (Ω) S1,0 (Ω) không gian Banach, không gian S12 (Ω) S1,0 (Ω) không gian Hilbert Từ Mệnh đề [8] có định lí nhúng sau: Mệnh đề 1.2.1 Giả sử Nα = N1 + N2 (1 + α) > Khi phép nhúng 2Nα , Nα − 2 liên tục Hơn nữa, phép nhúng S1,0 (Ω) ,→ Lq (Ω) compact ∗ S1,0 (Ω) ,→ L2α (Ω) , 2∗α = với q ∈ [1, 2∗α ) Đặt ∇α := ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , |x|α , , , , , |x|α ∂x1 ∂x2 ∂xN1 ∂y1 ∂xN2 Nhận xét 1.2.1 Chúng ta có hai chuẩn kukS (Ω) 1,0 21 Z |||u|||S (Ω) = |∇α u|2dxdy 1,0 Ω tương đương 11 Định nghĩa 1.2.2 Cho H H không gian Banach, O(u) lân cận điểm u Ánh xạ E : O(u) ⊂ H → H gọi khả vi Fréchet điểm u tồn ánh xạ T ∈ L (H, H) cho: kE(u + h) − E(u) − T hkH = o(khkH ), h > 0, với h nằm lân cận điểm Khi T gọi đạo hàm Fréchet E u ký hiệu DE(u) = T Định lý 1.2.1 Giả sử E ánh xạ khả vi Fréchet không gian Banach H với không gian đối ngẫu H , đối ngẫu H H h., i : H × H −→ R, giả sử DE : H −→ H định nghĩa đạo hàm Fréchet E Khi đạo hàm E u theo hướng v ký hiệu hv, DE(u)i = DE(u)(v) 1.3 Phương trình ellptic suy biến chứa toán tử Grushin Năm 1970, nhà toán học người Nga V V Grushin đưa toán tử Gα := ∆x+|x|2α ∆y với (x, y) ∈ Ω ⊂ RN1+N2 , N1, N2 ≥ 1, α ∈ Z+ [7], ví dụ điển hình cho lớp tốn tử hypoelliptic, khơng elliptic Nhà tốn học V V Grushin chứng minh Gα u hàm khả vi vơ hạn miền Ω u khả vi vơ hạn miền Ω tính chất địa phương Gα tác giả nghiên cứu đầy đủ [7] Trong mục trình bày 12 khái niệm phương trình elliptic suy biến chứa tốn tử Grushin Xét tốn tử vi phân X P (x, D) = aα (x)Dα , |α|≤m x = (x1 , , xn ) ∈ Ω miền Rn α = (α1, , αn) ∈ Zn+ đa số, |α| = α1 + + αn, aα (x) ∈ C(Ω, R) hàm cho trước, ∂ |α| D = (−i) ∂x1α1 ∂x2α2 ∂xnαn α |α| Hàm số X P (α, ζ) = aα (x)ζ α , |α|≤m với ζ = (ζ1 , , ζn ) ∈ Rn , ζ α = ζ1α1 ζnαn , gọi biểu trưng toán tử P (x, D) Hàm số X aα (x)ζ α Pm(α, ζ) = |α|=m gọi biểu trưng tốn tử P (x, D) Định nghĩa 1.3.1 Toán tử P (x, D) gọi elliptic x ∈ Ω ∀ζ ∈ Rn Pm(x, ζ) ≤ Pm(x, ζ) = ⇐⇒ ζ = Toán tử P (x, D) gọi elliptic miền Ω elliptic ∀x ∈ Ω Ví dụ 1.3.1 Xét tốn tử Laplace P (x, D) = n P j=1 (x) Djj ∂2 = − ∂x2 B(0, 1) = {x ∈ Rn | kxk < 1} j 13 (x) Djj , Khi ta có P (x, ζ) = P2(x, ζ) = n X −ζi2 ≤ 0, ∀ζ ∈ B(0, 1) i=1 P2(x, ζ) = ⇐⇒ ζ = Do P (x, D) tốn tử elliptic hình cầu đơn vị Ví dụ 1.3.2 Xét toán tử Gα (x, y, D) = ∆x + |x|2α ∆y , x, y ∈ Ω ⊂ RN1 × RN2 , N1, N2 ≥ 1, α ∈ R+ ∆x = N1 X ∂2 j=1 ∂x2j , ∆y = N2 X ∂2 l=1 ∂yl2 + Với α = G0 (x, y, D) tốn tử Laplace nên G0 (x, y, D) toán tử elliptic Ω + Với α > Pm(x, ζ, γ) = P2(x, ζ, γ) = N1 X −ζj2 + N2 X j=1 =− N1 X −(x21 + x22 + + x2N1 )α γl2 l=1 ζj2 − (x21 + x22 + + x2N1 )α j=1 N2 X γl2 ≤ 0, ∀(ζ, γ ∈ Ω) l=1 Nhưng Gα (x, y, D) không elliptic điểm dạng (0, y) Do tốn tử Gα (x, y, D) elliptic miền Ω\{(0, y)} không elliptic miền {(0, y) |(0, y) ∈ Ω} Ví dụ 1.3.3 Xét tốn tử Pα,β (x, y, z, D) = ∆x +∆y +|x|2α |y|2β ∆z , x ∈ RN1 , y ∈ RN2 , z ∈ RN3 , α, β ≥ 0, α + β > có biểu 14 trưng Pα,β (x, y, z, ζ) = − N1 X i=1 ζi2 NX +N2 − ζj2 2α 2β − |x| |y| j=N1 +1 N1 +N +N3 X ζl2 l=N1 +N2 +1 Pα,β (x, y, z, D) elliptic miền Ω\{(0, y, z)} ∪ {x, 0, z} Định nghĩa 1.3.2 Toán tử P (x, D) gọi elliptic suy biến Ω ∀ζ ∈ Rn Pm (x, ζ) ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∃x0 ∈ Ω, 6= ζ ∈ Rn cho Pm(x0, ζ 0) = Các toán tử Gα Pα,β ví dụ 1.3.2, ví dụ 1.3.3 toán tử elliptic suy biến Ω Định lý 1.3.1 Cho Ω miền bị chặn với biên trơn RN Ánh xạ f : Ω → R ánh xạ Carathéodory (tức f (., ζ) đo ∀ζ ∈ R f (x, y, ) liên tục với (x, y) ∈ Ω) thỏa mãn |f (x, y, ζ)| ≤ f1(x, y) + f2(x, y)|ζ|θ , hầu khắp nơi Ω × R, f1 (x, y) ∈ Lp1 (Ω), f2 (x, y) ∈ Lp2 (Ω), ≤ 2∗α , p1 > 1, p2 ≥ (θ + 1) p2p−1 2∗α 2∗α −θ−1 Khi ta có Φ1 (u) ∈ C (S1,0 (Ω), R) Z Φ1(u)(v) = p1 p1 −1 ≤ 2∗α , θ > 0, ∀v ∈ S1,0 (Ω), f (x, y, u)v(x, y)dxdy, Ω Zu F (x, y, u) = Z f (x, y, ζ)dζ Φ1(u) = F (x, y, u)dxdy Ω 15 p2 θ+2 α f x, y, un (x, y) − f x, y, u(x, y) ∗p ∗p α α p 2θ+2 p 2θ+2 ∗ α ∗α ≤ C f x, y, un(x, y) + C f x, y, u(x, y) ... chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm, định lý sử dụng luận văn trình bày phương trình elliptic suy biến dạng Grushin Chương Trong chương chúng tơi trình bày chi tiết phần chứng minh... hai: Trình bày khơng gian Sobolev có trọng định lý nhúng - Phần thứ ba: Trình bày phương trình elliptic suy biến chứa tốn tử Grushin 1.1 Không gian Lp bất đẳng thức Định nghĩa 1.1.1 [1] Cho Ω... phương Gα tác giả nghiên cứu đầy đủ [7] Trong mục chúng tơi trình bày 12 khái niệm phương trình elliptic suy biến chứa tốn tử Grushin Xét toán tử vi phân X P (x, D) = aα (x)Dα , |α|≤m x = (x1 , ,