MỞ ĐẦU Fredinand Georg Frobenius (1849 1917) là một nhà toán học người Đức nổi tiếng với những đóng góp trong lý thuyết hàm Eliptic, phương trình vi phân và lý thuyết nhóm Bài toán Diophantine tuyến t[.]
MỞ ĐẦU Fredinand Georg Frobenius (1849 - 1917) nhà tốn học người Đức tiếng với đóng góp lý thuyết hàm Eliptic, phương trình vi phân lý thuyết nhóm Bài tốn Diophantine tuyến tính ông có ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học lý thuyết số, lý thuyết tự động tổ hợp Một ví dụ tiếng tốn Diophantine tuyến tính Frobenius "Bài toán đổi tiền Frobenius": Cho trước k loại tiền có mệnh giá số tự nhiên nguyên tố nhau, xác định khoản tiền lớn khơng thể đổi thành loại tiền Cũng có nhiều ví dụ số học sơ cấp dạng như: Tìm khoản tiền lớn khơng thể đổi thành loại tiền mệnh giá xu, xu, xu Bài toán Frobenius giải cho trường hợp hai số Ta biết cơng thức tính số Frobenius hai số tự nhiên a, b nguyên tố ab − a − b số nguyên dương không biểu diễn qua a, b (a − 1)(b − 1) Nhưng việc giải với trường hợp nhiều số vơ khó đến tốn mở Trong luận văn này, tơi trình bày cách có hệ thống vài kết quan trọng Bài toán đổi tiền Frobenius Mục tiêu luận văn trả lời câu hỏi khoản tiền cho trước đổi thành đồng tiền với mệnh giá cho trước, xác định khoản tiền lớn đổi xác định có cách để đổi tiền Chính vậy, chúng tơi chọn đề tài “Bài tốn đổi tiền Frobenius” làm chủ đề nghiên cứu cho luận văn Bố cục luận văn gồm mở đầu, hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Trong chương 1, chúng tơi giới thiệu sơ lược tốn đổi tiền Frobenius, trình bày cơng thức Frobenius cho trường hợp hai số kết Sylvester Bài toán Frobenius cho hai đồng xu chứng minh định lý Sylvester trình bày phần cuối Chương Chương trình bày số kết trường hợp đặc biệt toán Frobenius cho ba số cho tập đặc biệt Cuối chương chúng tơi có trình bày hai ví dụ thực tế tương tự với toán đổi tiền Frobenius Với tình cảm chân thành, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Phòng Đào tạo, Khoa Tốn – Tin, q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Tốn K10 tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Hoàng Lê Trường, người thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn khoa học Với kiến thức, kinh nghiệm quý báu, thầy ân cần bảo giúp đỡ tác giả tự tin, vượt qua khó khăn, trở ngại q trình nghiên cứu để hồn thành luận văn Xin bày tỏ lòng biết ơn tác giả đến bạn học viên, đồng nghiệp, người thân động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Xin chân thành cảm ơn ! Tác giả Ngụy Phương Hồi Chương Bài tốn đổi tiền Frobenius Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị hàm sinh, ứng dụng hàm sinh để tìm hàm phân hoạch có giới hạn, từ chứng minh tốn Frobenius cho hai số nguyên tố Bài toán Frobenius ví dụ luận văn giúp trả lời câu hỏi số tiền lớn không xuất dùng hệ thống tiền hay số điểm cao không xuất trò chơi Phần cuối chương trình bày số kết số Frobenius trường hợp ba số trường hợp đặc biệt cấp số cộng, cấp số nhân 1.1 Hàm sinh Hàm sinh có nhiều ứng dụng tốn rời rạc lý thuyết số Hàm sinh giúp ta chuyển toán dãy số thành toán hàm số Với điều dễ dàng giải số toán Giả sử khảo sát dãy số vơ hạn (ak )∞ k=0 phát sinh hình học theo kiểu đệ quy (truy hồi) Tìm “cơng thức xác” để tính giá trị ak theo số k ? Có cách xác định ak khác nhau? Chuyển dãy số vào hàm sinh F (z) = X ak z k k≥0 cho phép tìm câu trả lời cho câu hỏi cách vơ nhanh chóng dễ dàng Chúng ta coi hàm F (z) kết việc chuyển đổi dãy số (ak ) từ hàm rời rạc sang hàm liên tục Để minh họa cho khái niệm này, bắt đầu ví dụ cổ điển dãy Fibonacci fk đặt tên theo tên nhà toán học Leonardo Pisano Fibonacci định nghĩa công thức truy hồi f0 = 0, f1 = 1, fk+2 = fk+1 + fk với k ≥ Từ ta có giá trị dãy số (fk )∞ k=0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ) Bây xem hàm sinh mang lại kết cho Nhắc lại hàm sinh dãy Fibonacci (fk )∞ k=0 X F (z) := fk z k k≥0 Chúng ta đặt hai vế công thức truy hồi vào hàm sinh X X X X k k k fk+2 z = (fk+1 + fk )z = fk+1 z + fk z k (1.1) k≥0 k≥0 k≥0 k≥0 Vế trái đẳng thức (1.1) X fk+2 z k = k≥0 X X k+2 k f z = f z = (F (z) − z) k+2 k z k≥0 z k≥2 z2 Trong vế phải đẳng thức (1.1) có giá trị X k≥0 fk+1 z k + fk z k = F (z) + F (z) z k≥0 X Theo đó, đẳng thức (1.1) viết lại sau 1 (F (z) − z) = F (z) + F (z), z2 z F (z) = z − z − z2 Khi khai triển hàm F (z) thành chuỗi lũy thừa, có dãy số Fibonacci hệ số chuỗi z = z + z + 2z + 3z + 5z + 8z + 13z + 21z + 34z + − z − z2 Bây ta sử dụng phương pháp giải hàm hữu tỷ thường dùng: phương pháp khai triển phân thức hữu tỷ thành phân thức hữu tỷ đơn giản Xét trường hợp chúng ta, phần mẫu số √ ! √ ! − + z 1− z − z − z2 = − 2 khai triển thành phân thức hữu tỷ đơn giản, ta có √ √ z 1/ 1/ √ − √ F (z) = = − z − z2 1+ 1− 1− z 1− z 2 (1.2) Hai biểu thức khai triển thành chuỗi thơng qua chuỗi hình học X xk = k≥0 1−x (1.3) √ √ 1− 1+ z x = z Từ đó, ta thu với giá trị tương ứng x = 2 √ !k √ !k ∞ ∞ z X 1+ X 1− F (z) = =√ z −√ z − z − z2 2 k≥0 k≥0 √ !k √ !k ∞ X 1− k 1+ − z =√ 2 k≥0 So sánh hệ số z k định nghĩa F (z) = P fk z k với hệ số k≥0 k z biểu thức F (z) bên trên, nhận công thức √ !k √ !k 1 1+ 1− fk = √ −√ 2 5 cho dãy Fibonacci Phương pháp phân tích hàm sinh hữu tỷ thành phân thức đơn giản công cụ tốn học quan trọng Bởi sử dụng phương pháp phân tích đa thức hữu tỷ thành đa thức đơn giản nên phát biểu chuẩn tắc phương pháp định lý sau Định lý 1.1.1 (Khai triển phân thức đơn giản) Cho hàm hữu tỷ p(z) , ek k=1 (z − ak ) F (z) := Qm p đa thức có bậc nhỏ e1 + e2 + + em ak số phân biệt, tồn phép phân tích m X ck,2 ck,ek ck,1 + + + F (z) = , z − ak (z − ak )2 (z − ak )ek k=1 ck,j ∈ C giá trị 1.2 Hai hệ đồng xu Hãy tưởng tượng đưa hệ thống đồng tiền Thay việc sử dụng đồng cent, đồng cent, 10 cent 25 cent, đồng ý sử dụng đồng cent, 7cent, cent 34 cent Chúng ta nhược điểm hệ thống đồng tiền sau: vài số tiền hệ thống cũ đổi sang số tiền hệ thống (trừ đồng tiền có sẵn), ví dụ cent Tuy nhiên, nhược điểm làm cho hệ thống đồng tiền thú vị hệ thống đồng tiền cũ, đặt câu hỏi “có thể thu tổng giá trị tiền khơng đổi bao nhiêu?” Thực tế sử dụng hệ thống tiền có tiền cũ phần dư khơng đổi biến khỏi thực tế Một câu hỏi tự nhiên đặt ra, số tiền lớn khơng thể đổi có giá trị bao nhiêu? Câu hỏi nhận câu trả lời Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917), James Joseph Sylvester (1814-1897) Chúng ta muốn đặt câu hỏi mang tính khái qt chung Vì đưa câu hỏi cịn gọi toán đổi tiền Frobenius sau: Bài 1.2.1 (Bài toán đổi tiền Frobenius) Đối với đồng tiền có mệnh giá a1 , a2 , , ad số nguyên dương có ước chung lớn 1, câu hỏi đặt là: đưa cơng thức số tiền lớn khơng thể có cách sử dụng đồng tiền a1 , a2 , , ad ? Để phát biểu cụ thể mặt tốn học, có tập hợp số ngun dương A = {a1 , a2 , , ad } với gcd(a1 , a2 , , ad ) = Định nghĩa 1.2.2 Số nguyên dương n gọi biểu diễn tập số A tồn số nguyên không âm m1 , m2 , , md cho n = m1 a1 + m2 a2 + + md ad Ví dụ 1.2.3 Cho tập số A = {2, 3, 5, 7} Khi đó, số 13 = · + · + · + · 7, 15 = · + · + · + · 7, 28 = 14 · + · + · + · 7, nên chúng biểu diễn theo A Xét ngôn ngữ đồng tiền, điều có nghĩa đổi n thành đồng xu a1 , a2 , , ad Bài toán Frobenius (thường gọi tốn Diophantine tuyến tính Frobenius) u cầu tìm số ngun lớn khơng thể biểu diễn thông qua số nguyên không âm a1 , a2 , , ad Định nghĩa 1.2.4 Số nguyên lớn biểu diễn thông qua số nguyên không âm a1 , a2 , , ad gọi số Frobenius kí hiệu g(a1 , a2 , , ad ) Giả thiết gcd(a1 , a2 , , ad ) = cần thiết để số Frobenius tồn Nếu ước chung lớn khác 1, tất số nguyên không bội gcd(a1 , a2 , , ad ) biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính số A Do đó, khơng tồn số lớn biểu diễn thông qua A, có nghĩa khơng tồn số Frobenius gcd(a1 , a2 , , ad ) 6= Ví dụ 1.2.5 Nếu ta có hai đồng cent cent, ước chung lớn 2, khơng có cách kết hợp số lượng hai đồng xu để thu tổng số lẻ Mặt khác, ước chung lớn 1, theo định lý Schur, tập số nguyên biểu diễn tổ hợp tuyến tính {a1 , a2 , , ad } bị chặn, số Frobenius tồn Trong lý thuyết tổ hợp, định lý Schur cho biết số cách biểu diễn số cho trước thành tổ hợp tuyến tính (ngun, khơng âm) tập cố định gồm số nguyên tố Định lý 1.2.6 (Schur) Cho {a1 , , ad } tập số nguyên cho gcd(a1 , a2 , , ad ) = 1, số số nguyên không âm (c1 , , cd ) khác cho x = c1 a1 + · · · + cd ad x dần tới vô xd−1 (1 + o(1)) (n − 1)!a1 · · · ad Nói cách khác, với tập số nguyên tố {a1 , , ad }, tồn giá trị x cho với số lớn biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính {a1 , , an } theo cách Hệ định lý Schur lặp lại ngữ cảnh quen thuộc, xét toán Frobenius đổi số tiền cách sử dụng tập hợp tiền xu Nếu mệnh giá đồng xu số nguyên tố số tiền đủ lớn đổi đồng tiền Nếu d = a1 = nên tất số tự nhiên biểu diễn qua a1 Do đó, khơng tồn số Frobenius trường hợp d = Định lý cho ta công thức với d = Định lý 1.2.7 Nếu a1 a2 số nguyên dương nguyên tố g(a1 , a2 ) = a1 a2 − a1 − a2 Ví dụ 1.2.8 Cho A1 = {3, 4} Khi a1 = a2 = số nguyên dương nguyên tố Theo định lý g(3, 4) = g(a1 , a2 ) = a1 a2 − a1 − a2 = 12 − − = số nguyên lớn biểu diễn thông qua số A1 Các số nguyên 6, 7, 8, 9, biểu diễn thông qua A1 Ví dụ 1.2.9 Cho A2 = {7, 8} Khi a1 = a2 = số nguyên dương nguyên tố Theo định lý g(7, 8) = g(a1 , a2 ) = a1 a2 − a1 − a2 = 56 − − = 41 số nguyên lớn biểu diễn thông qua số A2 Tất số nguyên 42, 43, 44, biểu diễn thông qua A2 Ví dụ 43 = · + 8, 44 = · + · Định lý 1.2.10 (Định lý Sylvester) Cho a1 a2 hai số nguyên dương nguyên tố Đúng nửa số nguyên nằm khoảng (a1 − 1)(a2 − 1) biểu diễn theo {a1 , a2 } Mục đích chương chứng minh hai định lý (và xa chút) cách khai triển thành phân thức đơn giản Chúng ta tiếp cận toán Frobenius cách nghiên cứu hàm phân hoạch có giới hạn Định nghĩa 1.2.11 Một phân hoạch số nguyên dương n tập số nguyên dương {n1 , n2 , , nk } (n1 ≤ n2 ≤ ≤ nk ) cho n = n1 + n2 + · · · + nk Các số n1 , n2 , , nk gọi phần phép phân hoạch Định nghĩa 1.2.12 Số cách phân hoạch số nguyên dương n sử dụng phần tử A = {a1 , , ad } xác định hàm phân hoạch sau pA (n) := #{(m1 , md ) ∈ Zd : mj ≥ 0, m1 a1 + + md ad = n} Xét khía cạnh hàm đơn giản, g(a1 , a2 , , ad ) số nguyên dương n lớn để pA (n) = Chúng ta có cách giải thích hình học đẹp hàm phân hoạch có giới hạn, biểu diễn hình học bắt đầu với tập số P = {(x1 , x2 , , xd ) ∈ Rd : xj ≥ 0, x1 a1 + x2 a2 + + xd ad = 1} (1.4) Mở rộng thứ n tập số S ⊆ Rd định nghĩa {(nx1 , nx2 , , nxd ) : (x1 , x2 , , xd ) ∈ S} Bài toán 1.2.13 Cho trước đồng tiền hệ thống đồng tiền Khi muốn biết có cách đổi đồng tiền thành đồng tiền cho trước Cách tiếp cận toán sử dụng hàm sinh Cụ thể mặt tốn học, có tập hợp số nguyên dương A = {a1 , , ad } cho gcd(a1 , , ad ) = Khi hàm phân hoạch pA (n) hàm đếm số cách đổi đồng tiền n thành đồng có mệnh giá a1 , , ad Các số không âm m1 , , md phương trình n = m1 a1 + + md ad xem điểm ngun khơng gian Rd Do xem tập cách đổi tiền tập điểm nguyên (X1 , X2 , , Xd ) khơng gian Rd mà thỏa mãn phương trình n = X1 a1 + + Xd ad Từ đó, 10 ... gọi toán đổi tiền Frobenius sau: Bài 1.2.1 (Bài toán đổi tiền Frobenius) Đối với đồng tiền có mệnh giá a1 , a2 , , ad số nguyên dương có ước chung lớn 1, câu hỏi đặt là: đưa công thức số tiền. .. toán Frobenius đổi số tiền cách sử dụng tập hợp tiền xu Nếu mệnh giá đồng xu số nguyên tố số tiền đủ lớn đổi đồng tiền Nếu d = a1 = nên tất số tự nhiên biểu diễn qua a1 Do đó, khơng tồn số Frobenius. .. , xd ) ∈ S} Bài toán 1.2.13 Cho trước đồng tiền hệ thống đồng tiền Khi muốn biết có cách đổi đồng tiền thành đồng tiền cho trước Cách tiếp cận toán sử dụng hàm sinh Cụ thể mặt toán học, có tập